排列组合第3阶03
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1. （2012•浦东新区一模）1，2，…，n共有n!种排列a1，a2，…，an（n≥2，n∈N*）,其中满足“对所有k=1，2，…，n都有ak≥k-2”的不同排列有_______种．
【考点】排列及排列数公式．
【专题】概率与统计．
【分析】正确分析已知条件“对所有k=1，2，…，n都有ak≥k-2”，再利用乘法原理即可得出．
【解答】解：就是现在所给出排列必须满足一个条件，就是要有ak≥k-2，比如a5≥3，所以现在a5并不能是n个数都可以了，必须要大于等于3，这样1，2这样的数字就不行．具体做法可以先选an，它只能选n-2，n-1，n，只有3种可能；接着选an-1，它除了之前3个中选掉一个剩下的2个之外，还多一个n-3的选择．
所以依然只有3种可能，所以排列数应该是3×3×3…×3×2×1=2×3n-2．
故答案为2×3n-2．
【点评】正确分析已知条件“对所有k=1，2，…，n都有ak≥k-2”和熟练掌握乘法原理是解题的关键．
2. 如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an=2005，则n= __________．
【考点】计数原理的应用．
【专题】排列组合．
【分析】利用“吉祥数”的定义，分类求出“吉祥数”，即可得到结论．
【解答】解：∵方程x1+x2+…+xi=m使x1≥1，xi≥0（i≥2）的整数解个数为
C(k-1,m+k-2)．
现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P(k)=C（k-1,5+k）=C(6,k+5)
且P（1）=C(6，6)=1，P（2）=C(6,7)=7，
P（3）=C(6,8)=28对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即C(2,8)=28个．
∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，
∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，
即an=2005，从而n=65．故答案为：65
【点评】本题考查新定义，考查学生的计算能力，注意分类讨论，属于中档题．
3. 在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P j（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数。
记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为a n，如排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a3=6。
（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；
（2）令，证明2n＜b1+b2+…+b n＜2n+3，n=1，2，…。
