2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 7 不等式的综合应用教学案苏教版必修5.doc

2019-2020年高考数学复习不等式问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．二．考试要求：1．理解不等式的性质及其证明。

2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

4．掌握简单不等式的解法。

5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3______年______月______日____________________部门20xx最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为A．(2)性质：P(A)＋P(A)＝1，P(A)＝1－P(A)．1．从集合的角度理解互斥事件与对立事件．设两个事件分别为A 和B，则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示．(2)事件A和B对立可用图(2)表示．2．运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．[例1] 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件．并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．[思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断．[精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件．道理是：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不可能是互斥事件．从而也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件．也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．也是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．[一点通]对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和是不是必然事件，这是判断两个事件对立的基本方法．1．下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件其中，正确的个数是________．解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有②④正确．答案：22．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(3分)故事件A，B，C的概率分别为，，分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋分)∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(6分)＝＝.故1张奖券的中奖概率为分)(3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，分)∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P＝＋＝.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E 概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.答案：3 54．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)m)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，16)(m)；(2)[8，12)(m)；(3)水位不低于14 m.解：设水位在[a，b)范围内的概率为P([a，b))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P([10，16))＝P([10，12))＋P([12，14))＋P([14，16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P([8，12))＝P([8，10))＋P([10，12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P([14，18))＝P([14，16))＋P([16，18))＝0.16＋0.08＝0.24.[例3] 一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2， (9)从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？[思路点拨] 用对立事件的性质去求解．[精讲详析] 从9张票中任取2张，有(1，2)，(1，3)，…，(1，9)；(2，3)，(2，4)，…，(2，9)；(3，4)，(3，5)，…，(3，9)；…(7，8)，(7，9)；(8，9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2，4，6，8的四张票中任取2张有(2，4)(2，6)(2，8)(4，6)(4，8)(6，8)共6种取法．∴P(C)＝＝，由对立事件的性质得P(B)＝1－P(C)＝1－＝.[一点通]1．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．2．涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．5．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的对立事件为两颗卫星预报都不准确，故所求概率为1－(1－0.8)·(1－0.75)＝0.95.答案：0.956.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示．随机选出一个成员，求：(1)他至少参加2个小组的概率；(2)他参加不超过2个小组的概率．解：(1)由题图知3个课外兴趣小组的总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A表示“选取的成员至少参加2个小组”．于是P(A)＝1－P(A)＝1－＝.(2)用事件B表示“选取的成员参加不超过2个小组”，用B表示“选取的成员参加3个小组”，所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.1．利用互斥事件的概率加法公式可以求一些复杂事件的概率，但一定要注意公式使用前提，一是两两互斥，二是有一个发生．2．利用互斥事件与对立事件的概率公式有助于解决较复杂的古典概型问题，可以把一个复杂事件分成几个简单的互斥事件或者考虑一个事件的对立事件往往能达到化繁为简的目的．课下能力提升(十八)一、填空题1．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________．①至少有一个红球；至少有一个白球②恰有一个红球；都是白球③至少有一个红球；都是白球④至多有一个红球；都是红球解析：对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．答案：②2．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．解析：∵摸出红球的概率P1＝＝0.45，∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.答案：0.323.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15、0.20、0.45，则不中靶的概率是________．解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C，D彼此互斥，故射手中靶概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0．15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率P(D)＝1－P(A ＋B＋C)＝1－0.80＝0.20.答案：0.204．袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有1个白球的概率是________．解析：从5个球中任取两个球含10个基本事件，取得的两球中没有白球的含3个基本事件，且此事件与事件A：“取得的两球中至少有一个白球”对立，则P(A)＝1－P()＝1－＝.答案：7 105．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，所以P(A)＝，所以P()＝1－P(A)＝1－＝.答案：3 5二、解答题6．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．7．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员中属于一支球队”为事件A，则事件A的概率为P(A)＝＝.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率为P(B)＝1－＝.8．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示“和为6”的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，以B表示“甲至少赢一次”的事件，C表示“乙至少赢两次”的事件，则B与C是否为互斥事件？试说明理由；(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)令x、y分别表示甲、乙出的手指数，则基本事件可表示为坐标中的数表示甲、乙伸出的手指数的和．因为S中点的总数为5×5＝25，所以基本事件总数n＝25.事件A包含的基本事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个，所以P(A)＝＝.(2)B与C不是互斥事件，如“甲赢一次，乙赢两次”的事件中，事件B与C是同时发生的．(3)由(1)知，和为偶数的基本事件数为13个，即甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平．。

5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二、过程与方法
三、情感、态度与价值观
【教学重点与难点】 ：
重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性
目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
b 2 4 ac ，则不等式的解
的各种情况如下表： ( 让学生独立完成课本第 86 页的表格 )
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c y ax2 bx c y ax2 bx c
y ax2 bx c
（ a 0 ）的图象
一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0 的根
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
第 14 课时：本章复习与小结
【三维目标】 ：
一、知识与技能
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”
，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
如果 p 是定值 , 那么当 x y 时， s 的值最小； ○2 如果 s 是定值 , 那么当 x y 时， p 的值最大 .
注意： ①前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ② “和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
.
思维拓展： 已知 1 a b 5 ， 1 a b 3 ，求 3a 2b 的取值范围。

3.求同时满足不等式6x－2≥3x－4和 的整数x的值.
4.（2012浙江省衢州）不等式2 x－1＞ x的解是.
板书设计
当堂作业
课外作业
教学札记
个案调整
教师主导活动
学生主体活动
回顾一：不等式及其性质
不等式性质应用若 ，用“＞”号或“＜”号填空：
， ；－ － ， ，
变式训 练 ：已知（2a-1）x＜4的解为x＞ ，则a的取值范围为
回顾二：不等式（组）解集
1.若不等式组 无解，则m的取值范围是( )
A.m＜11B.m＞11 C.m≤11D.m≥11
2019-2020学年七年级数学下学期复习七不等式（组）及应用教案（新版）苏科版
课题
复习 （七）------不等式（组）及应用
课型
新授课
教学目标
1、不等式有关概念及性质，解不等式（组），
2、会运用不等式模型解决实际问题
重点
不等式解集的理解及不等式组解集的确定，
难点
运用不等式解决实际问题
教法教Biblioteka 学过程教学内容
2.若不等式组 的解集是x>1，则a的取值范围是。
回顾三：解不等式（组）
解不等式组
【典型例题】
例题1.解下列不等式(组)，并把不 等式（组）的解集在数轴上表示出来．
（1）3[ x-2(x-7)]≤4x（2）
教
学
过
程
教学内容
个案调整
教师主导活动
学生主体活动
例题2.已知关于 的不等式组 只有四个整 数解，则实 数 的取值范围是．
分析：方法1.借助数轴方法2运用规则
例题3已知|3x+18|+(4x-y-2k)2=0，求k为何值时，y的值是负数．

2019-2020学年高二数学 不等式教案8 苏教版教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：一、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

二、 例一、求证：5273<+证： ∵052,073>>+ 综合法：只需证明：22)52()73(<+ ∵21 < 25 展开得： 2021210<+ ∴521<即： 10212< ∴10212< ∴ 521< ∴2021210<+ 即： 21 < 25（显然成立） ∴22)52()73(<+ ∴5273<+ ∴5273<+例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+ 证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+ 即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++ 即：3322222)(3y x y x y x >+只需证：xy y x 3222>+ ∵xy xy y x 32222>≥+成立∴ 31332122)()(y x y x +>+证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+ 2333366)(2y x y x y x +=++> ∵x > 0，y > 0， ∴31332122)()(y x y x +>+ 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c )2= 0展开得：2222c b a ca bc ab ++-=++∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c )2即证：0222≥+++++ca bc ab c b a即：0])()()[(21222≥+++++a c c b b a （显然） ∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b )c = ab (a + b )2=a 2b 2 ab= 0]43)2[(22≤++-b b a 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

3.4.2 基本不等式的应用教学目标：一、知识与技能1． 能利用基本不等式解决最值问题；2． 会利用基本不等式解决与三角有关问题．二、过程与方法1． 通过实例体会基本不等式在最值问题中的应用；2． 通过实例体会总结基本不等式在应用中需要注意的问题．三、情感、态度与价值观通过亲历解题的过程，体会基本不等式的应用价值，培养学生敢于思考的科学精神．教学重点：利用基本不等式解决最值问题．教学难点：利用基本不等式需要注意的问题．教学方法：教学过程：一、问题情景1． 函数2282y x x=+的最小值是什么?取得最小值时x 的值是什么？ 2．若,x y 都是正实数,且41x y +=,则xy 的最大值是什么？二、学生活动1．小组合作解决问题情境中的两道题目．2．总结解决问题所用的主要方法以及需要注意的事项．三、建构数学总结应用基本不等式2a b+≥（1）a ，b 的取值必须为正；（2）ab 或a b +必须有一为定值；（3）当且仅当a b =时等号成立．四、数学运用1．例题．例1 已知0x >,求函数21161xy x x x =+++的最小值．解2222221161161101168111681xx xy x x x x x x x x x x x xy x x x +=++=+++>+∴+≥±+∴=+++，，，当且仅当=2时取等号．的最小值是．例2 已知0,0a b >>,且1a b +=,求11(1)(1)a b ++的最小值．解 1a b +=， 11(1)(1)(1)(1)11(2)(2)522a b a ba b a b a b a bb a ++∴++=++=++=+⋅+⋅．又0,0a b >>，5229a b b a ∴+⋅+⋅≥，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故11(1)(1)a b ++的最小值是9．例3 在ABC ∆中,角A B C ，，所对的边是,,,a b c 且22212,2b a c b ac =+-=．求ABC ∆面积的最大值．解 由22212a c b ac +-=可得222112cos 224aca cb B ac ac +-===，又B 为ABC ∆的内角,所以sin 4B =．故1sin 28ABC S ac B ∆==． 222142b a c ac =∴+-=，． 又222a c ac +≥，1242ac ac ∴-≥． 解得83ac ≤．83ABC S ∆∴=≤=， 当且仅当a c =时, ABC S ∆． 2．练习（1）已知lg lg 1,x y +=求52x y+的最小值； （21的直角三角形的面积的最大值；（3）在ABC ∆中,角A B C ，，所对的边是,,,a b c且1cos ,3A a ==求ABC ∆面积的最大值．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．利用基本不等式解决最值问题；2．利用基本不等式解决与三角有关问题；3．利用基本不等式时需要注意的问题． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第3章 不等式[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]一元二次不等式的解法[探究问题]1．当a >0时，假设方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，那么不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？[提示] 借助函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |x <α或x >β}． 2．假设[探究1]中的a <0，那么不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？ [提示] 解集为{x |α<x <β}．3．假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？[提示] 当a >0时，不等式的解集为R ；当a <0时，不等式的解集为∅．[例1] 假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值X 围．[思路点拨] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2．对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k ．(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52． (2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅．(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k． ∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的X 围是－3≤k <2．(变条件，变结论)假设将例题改为“a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0〞． [解] (1)假设a ＝0，那么原不等式为－2x <0， 故解集为{x |x >0}． (2)假设a >0，Δ＝4－4a 2．①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ． ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅． ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅． (3)假设a <0，Δ＝4－4a 2．①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1－1－a 2a 或x <1＋1－a2a ． ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为(x ＋1)2>0， ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R ． 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}； 当－1<a <0时，原不等式的解集为当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}； 当a <－1时，原不等式的解集为R ．不等式的解法1一元二次不等式的解法. ①将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0a >0或ax 2＋bx ＋c <0a >0的形式；②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.2含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.不等式恒成立问题2(1)假设x ∈R 时不等式恒成立，某某数m 的取值X 围；(2)假设x ∈[1,3]时不等式恒成立，某某数m 的取值X 围；(3)假设满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立，某某数x 的取值X 围．[思路点拨] 先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题． [解] (1)①假设m ＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立； ②假设m ≠0，那么不等式mx2－mx －1<0 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0．综上可知，实数m 的取值X 围是(－4,0]． (2)令y ＝mx 2－mx －1，①当m ＝0时，y ＝－1<0显然恒成立；②当m >0时，假设对于x ∈[1,3]不等式恒成立，只需当x ＝1时，y <0，即y ＝－1<0；当x ＝3时，y <0，即y ＝9m －3m －1<0，解得m <16，∴0<m <16．③当m <0时，函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝12，假设x ∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需当x ＝1时，函数y <0即可，解得m ∈R ，∴m <0符合题意．综上所述，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16． (3)令z ＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，假设对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立，那么只需当m ＝－2时，函数z ＝－2(x 2－x )－1<0；当m ＝2时，函数z ＝2(x 2－x )－1<0；解得1－32<x <1＋32．∴实数x 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32．对于不等式恒成立求参数X 围的问题常见的类型及解法有以下几种：1变更主元法,根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值X 围的变量要看做主元.2分离参数法,先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关函数得最值问题. 3数形结合法,利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.[跟进训练]1．设y ＝mx 2－mx －6＋m ，(1)假设对于m ∈[－2,2]，mx 2－mx －6＋m <0恒成立，某某数x 的取值X 围；(2)假设对于x ∈[1,3]，mx 2－mx －6＋m <0恒成立，某某数m 的取值X 围． [解] (1)依题意，设y ＝(x 2－x ＋1)m －6，那么y ＝(x 2－x ＋1)m －6为关于m 的一次函数，且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以y ＝(x 2－x ＋1)m －6在[－2,2]上y 随m 的增大而增大， 所以m ＝2时，y 的最大值为2(x 2－x ＋1)－6， 所以欲使mx 2－mx －6＋m <0恒成立， 需2(x 2－x ＋1)－6<0， 解得－1<x <2．(2)法一：要使m (x 2－x ＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 那么有m <6x 2－x ＋1在[1,3]上恒成立，而当x ∈[1,3]时， 6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67， 所以m <67，因此m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67． 法二：①当m ＝0时，y ＝－6<0对x ∈[1,3]恒成立，所以m ＝0． ②当m ≠0时y ＝mx 2－mx －6＋m 的图象的对称轴为x ＝12，假设m >0，那么y ＝mx 2－mx －6＋m 在[1,3]上y 随x 的增大而增大， 所以x ＝3时，y 的最大值为7m －6． 要使mx 2－mx －6＋m <0对x ∈[1,3]恒成立， 只需7m －6<0， 所以0<m <67．假设m <0，那么y ＝mx 2－mx －6＋m 在[1,3]上随x 的增大而减小， 所以x ＝1时，y 的最大值为m －6． 要使mx 2－mx －6＋m <0对x ∈[1,3]恒成立， 只需m <6，所以m <0．综上可知m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67．利用基本不等式求最值[例3] 设函数y ＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)．(1)当a ＝2时，求函数y ＝x ＋ax ＋1的最小值；(2)假设a >1且a 为正常数，求函数y ＝x ＋ax ＋1的最小值．[解] (1)把a ＝2代入y ＝x ＋ax ＋1，得y ＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时等号成立，此时函数y ＝x ＋ax ＋1的最小值为22－1．(2)当a >1时，y ＝x ＋1＋ax ＋1－1，x ＋1＋ax ＋1≥2a ，那么当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，即x ＝a －1时取等号， 所以函数y ＝x ＋ax ＋1的最小值为2a －1．基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛.1基本不等式通常用来求最值，一般用a ＋b ≥2aba >0，b >0解“定积求和，和最小〞问题，用ab ≤解“定和求积，积最大〞问题.2在实际运用中，经常涉及函数f x ＝x ＋kxk >0，一定要注意适用的X 围和条件：“一正、二定、三相等〞.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.[跟进训练]2．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，假设价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0．2]t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40．因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解． ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10．2．因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10．2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．。

所以该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
引申探究 若受车辆限制， 该厂至少 15 天才能去购买一次面粉， 则该厂应多少天购买一次面粉，
才能使
平均每天所支付的费用最少？
解 设 x1， x2∈[15 ，＋∞ ) ，且 x1<x2.
900
900
则 9x1＋ x1 ＋ 10809 － 9x2 ＋ x2 ＋ 10809
∴当 x＝ 15，即每 15 天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少．
反思与感悟 应用题，先弄清题意 ( 审题 ) ，建立数学模型 ( 列式 ) ，再用所掌握的数学知识解
决问题 ( 求解 ) ，最后要回应题意下结论 ( 作答 ) ．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是
否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．
题点 利用基本不等式求最值
12
12
解 (1) ∵ x>0，∴ f ( x) ＝ x ＋ 3x≥２ x ·３x＝ 12，
12 当且仅当 3x＝ x ，即 x＝2 时，取等号，
∴ f ( x) 的最小值为 12.
(2) ∵ x<3，∴ x－ 3<0，
4
4
∴ f ( x) ＝ x－ 3＋ x＝ x－ 3＋ x－ 3＋ 3
3.4.2 基本不等式的应用
学习目标 1. 熟练掌握基本不等式及变形的应用 .2. 会用基本不等式解决简单的最大 问题 .3. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
( 小) 值
知识点 用基本不等式求最值 思考 因为 x2＋1≥２x，当且仅当 x＝ 1 时取等号．所以当 x＝ 1 时， ( x2＋1) ＝ min 2.
400＋ 16
v 20

[最新]江苏省泰兴中学高中数学第3章不等式7不等式的综合应用教学----04e1bcca-6ea5-11ec-9e01-7cb59b590d7d江苏省泰兴中学高一数学教学案(97)强制5_u综合应用不平等班级姓名客观要求1、证明不等式的基本思想方法；2、基本不等式的应用；3、不等式在函数、方程等问题中应用难点重点要点：基本不等式的应用难点：不等式的证明，以及不等式的综合应用典例剖析例1。

（1）如果x？0，y？0，验证：114??.xyx?y（2）若a?b?c，求证：114??. A.bb？ca？例2。

如果方程4关于x？A.2.A.1.0有一个实数解。

求实数a的取值范围例3、某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示：品种a、B电力（千度）28煤（吨）35劳动力（人）产值（千元）52710xx1该厂的劳动力满员200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨时，问每天生产这两种产品各几吨，才能创造最大经济价值？例4。

一家食品厂定期购买面粉。

据了解，该厂每天需要6吨面粉，每吨面粉价格为1800元。

面粉的平均储存费和其他费用为每吨3元/天，购买面粉的运费为900元/次工厂购买面粉的天数是多少，以尽量减少每天的总成本？学习反思1、不等式证明的基本方法是比较，分析，综合，要善于从不等式的结构上寻求解题的突破嘴2、函数、方程与不等式的联系非常密切，要善于相互转化；课堂练习1.设定一个目标？0，b？0，ab？（a？b）？1，则AB的值范围为2、已知方程sinx?4sinx?1?a?0有解，则实数a的取值范围是.3、设x?0,y?0,x?y?1,则x?4、若x?0,y?0,2y?a恒成立的a的最小值是.28?? 1，则XY的最大值为xy2225、设一个三角形的三边长为x,y,x?xy?y，则最长边与最短边的夹角为.6、甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元（1）将整个运输成本y（元）表示为速度V（km/h）的函数，并指出了该函数的定义域；（2）为了将整个运输成本降至最低，汽车应该以多快的速度行驶？江苏省泰兴中学高一数学作业(97)班名分数1、下列命题中正确的序号是.1x2？3（1）功能y？十、最小值为2；（2）功能y？最小值为2；2xx?2(3)函数y?2?3x?值为2?43；2、函数y?44(x?0)的最大值为2?43；(4)函数y?2?3x?(x?0)的最小xxx2?3x?22的最小值是.功能y？2.3倍？4（x？0）的最大值为X223。

2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章章末小结与测评-含答案1．随机现象在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果．2．事件的分类(1)必然事件：在一定条件下，必然发生的事件；(2)不可能事件：在一定条件下，肯定不发生的事件；(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母表示随机事件，简称为事件．3．随机事件的概率(1)随机事件的概率：如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率m n 作为事件A 发生的概率的近似值，即P (A )≈m n.(2)概率的性质：①有界性：对任意事件A ，有0≤P (A )≤1.②规范性：若Ω、∅分别代表必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝1；P (∅)＝0. 二、古典概型 1．基本事件在一次试验中可能出现的每一个基本结果． 2．等可能事件若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件． 3．古典概型(1)特点：有限性，等可能性． (2)概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n.即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.三、几何概型(1)特点：无限性，等可能性． (2)概率的计算公式：在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．四、基本事件 1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．(2)规定：设A ，B 为互斥事件，若事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A ＋B . 2．互斥事件的概率加法公式(1)若事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)若事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥．则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A .(2)性质：P (A )＋P (A )＝1，P (A )＝1－P (A )．(考试时间：90分钟 试卷总分：120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列事件属于必然事件的有________． ①长为2，2，4的三条线段，组成等腰三角形 ②电话在响一声时就被接到 ③实数的平方为正数 ④全等三角形面积相等解析：①2＋2＝4，不能组成三角形，为不可能事件；②为随机事件；③中0的平方为0，为随机事件；④为必然事件．答案：④2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是__________． 解析：共出现4种结果其两正面向上只有1种， 故P ＝14.答案：143．在坐标平面内，已知点集M ＝{(x ，y )|x ∈N ，且x ≤3，y ∈N ，且y ≤3)}，在M 中任取一点，则这个点在x 轴上方的概率是________．解析：集合M 中共有16个点，其中在x 轴上方的有12个，故所求概率为1216＝34.答案：344．某人随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完．则标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中的概率等于________．解析：随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中共有6种情况，而将标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中有B ，A ，C ；B ，C ，A ；A ，C ，B ；C ，A ，B ，共4种情况，因此所求概率等于23.答案：235．已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．解析：以上事件为互斥事件，故命中6环以下(含6环)的概率为1－0.5－0.2－0.1＝0.2. 答案：0.26．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：出现奇数点或2点的概率为P ＝12＋16＝23.答案：237．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为________．解析：所有基本事件为：123，132，213，231，312，321共6个．其中“从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册”包含2个基本事件，故P ＝26＝13.答案：138．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，那么任意x 0∈[－5，5]使f (x 0)≤0的概率为________．解析：f (x )＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ∈[－5，5]，区间长度为10，∵f (x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122－94≤0， ∴－1≤x 0≤2，区间长度为3，∴概率为310.答案：3109．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为________．解析：甲不输为两个事件的和事件，其一为甲获胜(事件A )，其二为甲获平局(事件B )，并且两事件是互斥事件．∵P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝90%－40%＝50%. 答案：50%10．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为6的概率是________．解析：掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，故所得的点数之和为6的概率是P ＝536.答案：53611．从分别写有ABCDE 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为________．解析：随机抽取两张可能性有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，BA ，CA ，DA ，EA ，CB ，DB ，EB ，DC ，EC ，ED ，共20种．卡片字母相邻：AB ，BA ，BC ，CB ，CD ，DC ，DE ，ED 共8种． ∴概率为820＝25.答案：2512．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为2 cm 的一枚铁片抛到此纸板上，使铁片整体随机落在纸板内，则铁片落下后把小圆全部覆盖的概率为________．解析：铁片整体随机落在纸板内的测度D ＝πR 2＝64π；而铁片落下后把小圆全部覆盖的测度d ＝πr 2＝π，所以所求的概率P ＝d D ＝π64π＝164.答案：16413．(安徽高考改编)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．解析：由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.答案：91014．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________．解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A 包含(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即事件A 由4个基本事件组成，因而，P (A )＝46＝23.答案：23二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)除了电视节目中的游戏外，我们平时也会遇到很多和概率有关的游戏问题，且看下面的游戏：如图所示，从“开始”处出发，每次掷出两颗骰子，两颗骰子点数之和即为要走的格数．(1)在第一轮到达“车站”的概率是多少？(2)假设你想要在第一轮到电信大楼、杭州日报或体育馆，则概率是多少？解：(1)第一轮要到“车站”，则必须掷出的点数之和为5，而用2颗骰子掷出5会有4种结果，假定一颗骰子为红色，另一颗骰子为蓝色，则有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)4种组合，而抛掷两颗骰子共有36种可能结果，所以第一轮到达“车站”的概率为436＝19.(2)需要掷出的点数之和为6或8或9，而要得出这3种结果共有下列14种组合：(5，1)，(4，2)，(3，3)，(2，4)，(1，5)，(6，2)，(5，3)，(4，4)，(3，5)，(2，6)，(6，3)，(5，4)，(4，5)，(3，6)，所以到达这一区域的概率为1436＝718.16．(辽宁高考)(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P (B )＝815.17．(本小题满分12分)某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第k声时被接”为A k(k∈N)，那么事件A k彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A；根据对立事件的概率公式，得P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.18．(本小题满分14分)一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5.(1)从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率；(2)若在袋中再放入其他5个相同的球，测量球的弹性，经检测，这10个球的弹性得分如下：8.7，9.1，8.3，9.6，9.4，8.7，9.7，9.3，9.2，8.0，把这10个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件B，Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)…}，共包含20个基本事件；其中B＝{(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)}，包含6个基本事件，则P(B)＝620＝310.(2)样本平均数为x＝110(8.7＋9.1＋8.3＋9.6＋9.4＋8.7＋9.7＋9.3＋9.2＋8.0)＝9，设B表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则包含{8.7，9.1，9.4，8.7，9.3，9.2}6个基本事件，所以P(B)＝610＝35.。

3.2.2基本不等式的应用学习目标核心素养1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点)2．会利用基本不等式求参数的取值X围．(重点)3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点) 1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？1．利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1〞的代换求目标函数最值．2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)(3)解题注意点①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值X围内求解．1．a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，那么y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5C [∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1．∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22ab ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b2a ，即b ＝2a 时，等号成立．)故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．]2．假设x >0，a >0 且a 为正常数，且x ＋ax的最小值为4，那么a ＝ ．4[因为x >0，a >0所以x ＋a x ≥2x ·ax＝2a ＝4，解得a ＝4．]3．直角三角形ABC 的斜边AB ＝4，那么△ABC 的面积的最大值为 ． 4[设直角三角形ABC 的另外两条直角边分别为a ，b 那么a 2＋b 2＝42＝16，所以△ABC 的面积S ＝12ab ≤a 2＋b24＝4当且仅当a ＝b ＝22时取等号．]利用基本不等式求条件最值或多元最值[例1] (1)a ＞0，b ＞0,2a ＋b ＝1，那么1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．9 (2)设a ＞b ＞0，那么a 2＋1ab＋1a a －b的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)假设正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，那么x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233(1)C (2)D (3)A [(1)法一(“1〞的代换)：因为 a ＞0，b ＞0,2a ＋b ＝1， 所以1a ＋2b＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b ＝2a ＝12时取等号，应选C ．法二 (消元法)：因为2a ＋b ＝1，所以b ＝1－2a ，又 a ＞0，b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－2a >0，所以1a ＋2b ＝1a＋21－2a ＝1－2a ＋2a a 1－2a ＝1a1－2a＝22a1－2a≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1－2a 22＝8，当且仅当2a ＝1－2a ，即a ＝14，b ＝12时取等号． 应选C ．(2)因为a >b >0，所以a －b >0，a 2－ab >0，那么a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab＋1ab＋ab ≥2 a 2－ab ×1a 2－ab＋2 1ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号．应选D ． (3)法一(消元法)：因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0, 所以y ＝1－x26x．由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎝ ⎛x >0，1－x 26x>0，解得0＜x ＜1．所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223， 当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223． 应选A ．法二(配凑法)：因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0,所以x (x ＋6y )＝1，所以2x (x ＋6y )＝2，因为x ，y 均为正数，所以3(x ＋2y )＝2x ＋(x ＋6y )≥22x x ＋6y＝22，当且仅当2x ＝x ＋6y ＝2，即x ＝22，y ＝212时取等号． 故x ＋2y 的最小值为223． 应选A ．]1．基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项． 常见形式有y ＝ax ＋b x(积定)型和y ＝ax (b －ax )(和定)型．2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的X 围．3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．[跟进训练]1．0<x <1，那么x (3－3x )取最大值时x 的值为( ) A ．12 B ．34 C ．23D ．25A [∵0<x <1，∴1－x >0，那么x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34， 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．]2．正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，那么2x ＋y 的最小值是__________． 3[由题意得y ＝3－x22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．]3．x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y＝1，求x ＋2y 的最小值．[解] ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx＝18， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16yx ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18．利用基本不等式求参数取值X 围[例2] (1)函数y ＝x ＋x＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，那么a 的值是( )A ．12B ．32C ．1D ．2(2)函数y ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，假设对于任意的x ∈N *，y ≥3恒成立，那么a 的取值X围是 ．(1)C (2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[(1)由题意可得a ＞0， ①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax＋2≥2a ＋2， 当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1． 应选C ．(2) 对任意x ∈N *，y ≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3．设z ＝x ＋8x，x ∈N *，那么z ＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又x ＝2时z ＝6，又x ＝3时z ＝173．∴a ≥－83，故a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞．]求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值X 围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将不等式看作关于参数的不等式，表达了主元与次元的转化.[跟进训练]4．不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，那么正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [对任意的正实数x ，y ，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a＞0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4，应选B ．]5．正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，那么实数λ的最小值为__________． 2[依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2．又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．]利用基本不等式解决实际问题各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，那么由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18． 设每间虎笼面积为S ，那么S ＝xy ． 法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4．5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5． 故每间虎笼长为4．5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．[跟进训练]6．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，那么每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ．当x ＋225x取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立． ∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等〞，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过1的代换、配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但假设对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，假设取不到，必须利用函数值随着自变量变化的规律性求函数的最值．1．假设实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，那么ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C [因为1a ＋2b＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b ≥21a ·2b＝22ab，得ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为22．应选C ．]2．a ＞0，b ＞0，假设不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，那么m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24B [因为a ＞0，b ＞0，由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a＋ab＋6．又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12．应选B ．]3．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A ．32 3 cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2D [设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，那么S ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32＝336[]x 2＋12－x2≥336×x ＋12－x22＝23，当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号．故两个正三角形面积之和的最小值为23cm 2．]4．x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，那么1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64． (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，那么x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18．。