电力系统分析习题集（第三章）【例3-1】某发电系统有2台发电机组，其容量分别为30MW 和40MW ，强迫停运率FOR 分别为0.04和0.06。
试求该发电系统的停运表。
【解】发电系统的停运表是指指整个系统各种容量状态的概率表，是由各发电机组的停运表按上节的递推公式求出的。
因此，应首先建立各发电机组的停运表。
取步长X ∆=10MW ，可以得到这2台发电机组的停运表，见表3–2和表3-3。
有了各发电机组的停运表后，就可利用递推公式形成发电系统的停运表，如表3–4所示。
30.0976P =为例介绍递推公式的具体应用。
令30MW 发电机组为元件a ，40MW 发电机组为元件b 。
则知3a n =，因此根据式（3-51）可以写出组合后等效机组c 在3k =时的累积概率为：3(3)()()(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)c a b i a b a b a b a b P p i P k i p P p P p P p P ==-=+++∑将30MW 及40MW 发电机组停运表中相应的数值代入上式，得(3)0.960.0600.0600.060.04 1.00.0976c P =⨯+⨯+⨯+⨯=对于并联的输电线路或变压器也可以形成其停运表。
有了电力系统元件的停运表，就可以简化系统运行可靠性的评估过程。
【例3-2】应用蒙特卡洛模拟法对图2.6所示的5节点系统进行可靠性评估。
该系统元件的容量与可靠性参数如表3-5和表3-6所示。
【解】该系统由5个节点、7条支路组成，共2个发电厂，以标幺值表示的总装机容量11，负荷为7.3。
表3-5 发电元件可靠性参数发电厂G1 发电厂G2可用容量(p.u.) 累积概率可用容量(p.u.) 累积概率5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 ---1.000.060.040.020.010.01---6.05.04.03.02.01.00.01.000.080.060.040.020.010.01 表3-6 输电元件可靠性参数支路节点号容量FOR1—2 2.0 0.051—3 2.0 0.052—3 2.0 0.052—4 5.0 0.053—5 5.5 0.05表中FOR为强迫停运率。
根据图3-5所示的流程计算所示系统的可靠性指标。
首先，应用蒙特卡洛模拟法抽样系统状态ix。
对每个元件，我们用计算机产生一个随机数，利用此随机数按照3.4.2节的方法确定该设备的状态。
表3-7和表3-8给出了某次系统状态选择过程中，对每个元件所生成的随机数及由随机数所确定元件的状态向量ix。
表3-7 根据均匀分布(0,1)U随机数所确定的发电厂出力发电厂(0,1)U随机数x发电厂可用容量（p.u.）G1 0.6502 5.0G2 0.1325 6.0表3-8根据均匀分布(0,1)U随机数所确定的支路状态支路节点号1-2 1-3 2-3 2-4 3-5 (0,1)U随机数0.32 0.2 0.46 0.75 0.017 支路故障率0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 支路状态运行运行运行运行故障x。
首先对该状态下的网络拓扑进行分析，判断系统是否连通。
从图2-6至此，可得到一个系统的抽样状态i中可以看出，在变压器5（支路3-5）故障后，发电厂G2与系统解列，此时系统的可用容量只有发电厂G1的出力5.0 p.u.。
比较系统的出力和负荷，系统总的发电厂出力5.0 p.u.小于系统的总负荷7.3 p.u.，系统的有功功率平衡无法满足，因此系统必须切负荷。
此时，该状态对可靠性指标有贡献，系统停电1次，切负荷量为2.3 p.u.。
x。
该状态下，发电厂这样我们就完成了对系统的一次抽样。
重新进行抽样，可以得到一个新的系统状态jx进行状态评估：G1和G2的出力均为5.0 p.u.，除支路1-2故障外，其余支路都正常运行。
对jx下网络的拓扑，判断系统的连通性。
从图2-6中可以看出，在输电线路1-2故障后，系统仍然1）分析状态j是连通的。
x下，系统的有功出力是10.0 p.u.，负荷是7.3 p.u.，所以系统有功出2）判断系统的有功功率是否平衡。
状态j力大于系统负荷。
因此，系统的有功功率平衡可以满足。
3）判断支路潮流是否满足支路的传输容量约束。
这里应用直流潮流模型计算支路潮流。
所计算出的发电厂G1和G2的出力分别为5.0 p.u.和2.3 p.u.，支路潮流数据如表3-9所示：表3-9支路的传输功率支路节点号1-3 2-3 2-4 3-5传输功率(p.u.） 1.6 3 5 2.3传输容量(p.u.) 2 2 5 5.5是否满足约束满足不满足满足满足从表3-9中可以看到，支路2-3出现过负荷，需进行发电厂出力调整。
4）调整发电厂出力进行系统状态校正。
系统状态校正根据3.4.3节中式（3-68）的系统的状态评估模型进行调整。
调整后的发电厂G1和G2的出力分别为4.0 p.u.和3.3 p.u.，支路潮流如表3-10所示：表3-10 调整后各支路的功率支路节点号1-3 2-3 2-4 3-5传输功率(p.u.) 1.6 2 4 3.3传输容量(p.u.) 2 2 5 5.5是否满足约束满足满足满足满足由上面的计算可以看出，尽管该抽样状态下，有线路过负荷，但经过发电厂出力的调整，可以消除线路的过负荷，因此，对本抽样状态而言没有负荷被切除。
重复以上步骤，对系统进行多次抽样，统计每次计算结果，将系统停电的次数和停电量进行累计，即可得到系统的可靠性指标。
根据公式（3-67）可以得到系统切负荷概率(LOLP)。
根据公式（3-68）可以得到系统电量不足期望值(EENS)。
5节点系统的计算结果如表3-11所示：表3-11 5节点系统的可靠性指标系统的可靠性指标计算结果LOLP 0.13345EENS（104kWh/a）30038.478从表中可以看出，系统切负荷概率为0.13345，每年停电量的期望值为30038.478 104kWh，大约占整个系统全年电量的4.7%。
系统的可靠性指标偏差，因此应采取加强措施进一步提高系统的可靠性。
下面对可靠性指标的收敛速度进行进一步的统计与分析。
图3-6～3-7是可靠性指标EENS 的收敛曲线，LOLP 有类似的特点，不再赘述。
图3-6 EENS 的收敛曲线 图3-7 EENS 相对误差的收敛曲线从图3-6可以看出， EENS 经过20000次的抽样才会收敛到一个稳定的数值。
这从EENS 相对误差的收敛曲线中可以更清楚地看出。
当抽样次数为20000次时， EENS 的相对误差为0.02，因此EENS 基本收敛在一个稳定的数值，可以满足电力系统可靠性评估的需要。
如果我们进一步的提高计算的精度，减小计算的误差，就需要增加抽样的次数，例如，抽样40000次时，得到的EENS 指标的相对误差为0.014。
从这儿也可以看出，蒙特卡洛模拟法的计算量与估计精度的平方成反比，在一定的精度下，减少抽样次数的唯一途径就是减小方差。
【例3-3】马尔可夫链蒙特卡洛方法，对IEEE-RTS 24节点可靠性试验系统[13]进行可靠性评估计算。
【解】应用Gibbs 抽样器共进行55000次抽样，前5000次抽样用于“退火”，消除初始值的影响，后50000次抽样结果作为样本值进行可靠性指标的评估。
利用MCMC 方法所得到可靠性指标如表3-12所示。
表3-13为MCMC 方法与其它几种计算方法结果的比较。
表3-12 IEEE-RTS 24节点系统的可靠性指标 系统的可靠性指标 数值LOLP 0.08464 EENS/⨯104kWh12785.97336表3-13 不同方法对IEEE-RTS 24节点系统计算结果比较可靠性指标卷积法状态枚举法随机采样 MC 方法MCMC 方法LOLP 0.084578 0.084575 0.084420 0.084640 EENS/⨯104kWh 12871.662 12869.53 12978.186 12785.97从表3-13可以看出，MCMC 方法与其它几种计算方法的结果非常相近，说明了MCMC 方法的有效性。
下面根据算例的计算结果分别讨论MCMC 方法的收敛速度和稳定性。
1） 算法的收敛速度比较0 1 2 3 4 ⨯104采样次数 00.040.08 0.12 MCMC 方法MC 方法L O L P 的相对误差图3-8 两种方法的LOLP 相对误差收敛曲线图3-8为指标LOLP 相对误差的收敛速度示意图。
从图3-8中可以计算出同样采样次数下MCMC 方法LOLP 指标的方差系数约是MC 方法的0.35倍，即在抽样次数相同的情况下，使用MCMC 方法时，LOLP 的收敛速度比使用MC方法提高了近7倍。
同时从图3-8还可以看出，MCMC方法采样10000次时，LOLP指标的方差系数已达到0.01。
即：使用MCMC方法时，只需要进行10000次的采样就可以获得较精确的计算结果，减少了采样时间，加快了评估速度。
【例3-4】对IEEE-14节点系统进行随机潮流分析计算。
其节点和支路的原始数据如表3-14所示。
为了突出随机潮流的计算全过程，本例未考虑支路故障的情况。
*为变压器支路，最后一列数值为变比**节点1为松弛节点。
***“—”表示PQ节点，电压未知。
反映节点注入功率随机性的数据如下。
发电机组的有关数据如表3-15所示。
负荷有关参数如标-16，3-17所示。
节点 9 的负荷为离散分布，其值如表3-16 所示，其余节点的负荷均为正态分布，其期望值和均方差见表3-17。
【解】根据随机潮流计算流程图3-11，我们可进行如下计算：（1） 用牛顿－拉夫逊法计算正常情况潮流：所得正常情况下的节点状态向量0X 和支路潮流0Z 如表3-18所示。
0X 和0Z 将作为随机潮流计算的期望值。
雅可比矩阵0J 和灵敏度矩阵0S 也已同时求出，受篇幅所限略去不写。
表3-18牛顿–拉夫逊法潮流计算结果（2）计算各节点注入功率的半不变量：根据3.3.1介绍的求取随机分布半不变量的方法，我们可以求出发电机节点1、2和离散分布负荷节点9的八阶半不变量，其结果如表3-19所示（表中均为标幺值）。
对正态分布的注入功率，其一阶半不变量等于期望值，二阶半不变量为正态分布的方差，三至八阶半不变量为零，例如节点2的有功负荷期望值为0.2174，均方差百分数为0.09，则其各阶半不变量为10.2174K =22(0.21740.09)0.000382828K =⨯=3,4,,8j K j ==L节点2有功负荷的半不变量与发电机输出功率的各阶半不变量对应相加后显示在表3-19中的第3列。
同理开求出其它各节点注入功率的各阶半不变量。
（3）求节点状态变量的各阶半不变量因为在正常情况潮流计算时已求出灵敏度矩阵0S ，所以根据式（3-104）可以由节点注入功率的八阶半不变量直接求出各节点状态变量的八阶半不变量。
