下载文档原格式
几何中的相似三角形相似三角形的判定条件相似三角形是几何学中的重要概念，判断两个三角形是否相似可以通过一系列的条件来确定。
本文将介绍几何中的相似三角形以及相似三角形的判定条件。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
它们的所有对应角度相等，对应边的长度成比例。
二、相似三角形的判定条件在几何学中，有三种主要的判定条件用于确定两个三角形是否相似，它们分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
1. AA相似定理（角-角相似定理）当两个三角形中有两个对应角度相等时，它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，而另一个角度也相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS相似定理（边-角-边相似定理）当两个三角形的一个角度相等，并且两边成比例，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，并且与这个角度对应的两边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理（边-边-边相似定理）当两个三角形的三边成比例时，它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的三边长度成比例，那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决几何问题。
1. 对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即它们的三个角度一一对应相等。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边长度成比例，即它们的三个边按比例相等。
3. 高度性质相似三角形的对应边上的高度成比例，即它们的高度按比例相等。
4. 重心性质相似三角形的重心重合，即它们的重心位置一致。
四、应用举例下面通过一个实例来演示相似三角形的判定过程。
例题：已知∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AB = 8 cm，BC = 6 cm，是否可以判定△ABC与△DEF相似？解答：根据角度相等的条件，我们可以得知∠ABC = ∠DEF = 60°以及∠ACB = ∠DFE = 40°。
相似三角形的判定（1）教学内容本节课主要内容是三角形相似的判定定理中的一个判定定理，即有两个角相等的两个三角形相似．教学目标1．知识与技能．初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 2．过程与方法．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯．3．情感、态度与价值观．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值．重难点、关键1．重点：掌握有两个角相等的相似三角形判定定理．2．难点：应用三角形相似的判定定理．3．关键：培养学生识图能力．教学准备1．教师准备：投影仪．2．学生准备：复习相似三角形概念；预习本节课内容．教学过程一、回顾交流，问题牵引1．谈话导入：对应角相等、对应边也相等的两个三角形全等，•同学们还记得三角形全等的判定条件吗？教师活动：用课件或投影展示全等的三角形，引导学生关注图形，在回顾全等三角形概念中导入相似三角形判定．2．导入新课．提问：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似．你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件？如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？评析：分小组进行讨论，让学生尽量地联想，猜想，提出自己的见解． 教师活动：操作投影仪，组织讨论，师生交流． 学生活动：分四人小组进行讨论交流、猜想． 媒体使用：投影显示问题． 二、动手操作、探究新知1．教师活动：要求学生完成课本P55试一试．学生活动：先独立完成试一试，然后和其他同学比较一下，其结果是否相同，感悟其结果．教师引导：请同学们观看屏幕上所提出的问题，并完成做一做． 2．做一做．（投影显示）（1）画一个△ABC ，使得∠BAC=60°，与同伴交流，•看看你们所画的三角形是否相似？（2）与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B=∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形．∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比：``AB A B ，,````AC BCA CBC 相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α、∠β的大小，再试一试．评析：通过上述操作，让学生感悟当一个三角形只有一个角相等时大家所画的三角形形状各异，大小不一．让学生发现“两角对应相等的两个三角形相似”．这样引入本节课内容比较自然．教师活动：操作投影仪，组织学生交流． 学生活动：分四人小组进行探索，发现规律．教学方法：师生互动．引入判定：两角对应相等的两个三角形相似． 三、范例学习，应用所学1．例：如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ．（投影显示） （1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由．（3）写出三组成比例的线段．E D CBA思路点拨：由DE ∥BC ，可以很快地得到同位角∠ADE 等于同位角∠ABC ，•同位角∠AED 等于同位角∠ACB ．由于∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB ，根据相似三角形判定△ADE ∽△ABC ．因为△ADE ∽△ABC ，所以AD DE AEAB BC AC==． 2．拓展延伸：在上面例题的条件下，BD CEAD AE=吗？ 思路点拨：△ADE ∽△ABC ，同时通过比例性质可以得到，若DE ∥BC ，可知,,,,AD AE AD AE BD EC BD EC AB ACAB AC DB EC AD AE AB AC AD AE=====等． 教学方略：小组合作学习，组成四人小组，学生讨论，然后教师提问，引导学生． 四、随堂练习，巩固深化 1．课本P57练习第1、2题． 2．探研时空．如图，在△ABC 的BC 边上任取一点D ，作DE ∥AC 交BA 于E ，作DF ∥BA 交CA 于F ，请问：DF ：FA=AE ：EC 成立吗？说明理由．FEDCBA思路点拨：因为DE ∥CA ，可以得到△BED ∽△BAC ，推得BE BDBA BC=，再应用比例性质推得BE BD EA DC =，同理可得BD AFDC FC=，再应用中间比过渡得：BF ：FA=AE ：EC ，实际上，当DE ∥BA 时，可以直接推得,//BF BD BD AEDE AB FA DC DC EC=→=，这样就更简便． 教师活动：操作投影仪，组织学生学习，讨论，关注中等或中等以下水平的学生． 学生活动：书面练习，独立思考后，再与同伴交流． 五、课堂总结，提高认识 1．本节课你学到了哪些知识？2．在思维方面你有什么提高？学到了哪些方式？ 3．学习相似概念应注意什么？ 教师归纳：（1）判定两个三角形相似的方法，目前学习了一种，•就是：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（2）在理解相似比的概念时，要注意顺序问题和对应问题，•如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比．全等三角形相似比等于1． 六、布置作业，专题突破1．课本P64习题24．3第4（1）、5题．2．选用课时作业设计．七、课后反思（略）第二课时作业设计1．如图，若DE ∥BC ，且AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm ，则AE=_______．E D CBAE D CBA(1) (2) 2．如图2，若DE ∥BC ，DB=4AD ，则DEBC=_______． 3．如图2，若DE ∥BC ，AE EC =13，DB-AD=2cm ，则AD=________．(3) (4) (5) 4．如果3，若DE ∥BC ，AD DB =23，则DEBC=_______． 5．如图3，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：DB=2：3，BC=20cm ，则BF=_______． 6．如果a ：b=12：8，且b=ac ，则b ：c=________． 7．如图4，如果∠C=∠B ，∠D=∠A ，那么能推出（ ）． A ．...OC OAOC ODOC OAOC ODB C D OD OB AD BCBC ADOB OA==== 8．如图5，DE ∥BC ，若AD ：DB=6：7，则EC=（ ）AC ． A ．137.713B C ．67 D ．769．如图，已知DE∥BC，EC=6cm，DE=5cm，AE=3cm，AB=14cm，求AD、BC的长．•10．如图，D是AB的中点，CF∥AB，DB DFCF EF=，请问：DE：EF=DG：FG成立吗？为什么？参考答案1．322．453．1 4．255．8 6．327．D 8．B9．AD=143cm，BC=15cm10．提示：因为D为AB中点，所以BD=DA，再通过CF∥AB，推出△FCE∽△DBE，推得：BD DFCF FE=，•再由△FGC∽△DGA，推得：DA DGFC FG=，从而得到DE：EF=DG：FG．。
相似三角形的判定及应用相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
判定两个三角形是否相似可以通过以下几种方法，同时这些方法也可以应用于解决实际问题：1. AAA判定法：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三个角分别对应相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如测量倾斜物体的高度等。
2. AA判定法：若两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的两个角分别对应相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算山坡的斜率等。
3. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的一个角相等，且两条与该角相对应的边的比例相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算高塔的阴影长度等。
4. SSS判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三条边的比例相等，则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算建筑物的缩放比例等。
相似三角形的应用在几何学和现实生活中都非常广泛。
以下是一些应用示例：1. 建筑和工程：通过相似三角形的概念，可以计算建筑物的缩放比例，包括建筑物的高度、宽度和深度等。
这对于设计和规划新建筑物或改建现有建筑物非常有用。
2. 地形测量：利用相似三角形的原理，可以测量山坡的斜率、高塔的阴影长度等。
这对于地理测量和地形分析非常重要，可以用于制作地形图和地图。
3. 倾斜物体测量：对于无法直接测量的高物体（如高塔、山峰等），可以利用相似三角形的原理，通过测量影子长度和角度，计算物体的高度。
这在地理测量和旅行中很常见。
4. 统计学：在统计学中，相似三角形的概念可以被用于创建样本的代理数据集，从而更好地理解和解释真实数据集的特征和趋势。
5. 生物学：在生物学中，相似三角形的原理可以应用于研究和分析动物和植物的形态特征以及它们之间的关系。
相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。
在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。
本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。
1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。
我们需要证明它们是相似的。
根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。
假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。
根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。
因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。
2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。
我们需要证明它们是相似的。
假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。
根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。
因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。
3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。
我们需要证明它们是相似的。
我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。
设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。
由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。
相似三角形判定条件与性质相似三角形是指形状相似但大小不同的两个三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似有一些条件和性质。
下面将详细介绍相似三角形的判定条件与性质。
一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理（全等三角形基本性质之一）当两个三角形的对应角度分别相等时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. AA相似定理（全等三角形基本性质之二）当两个三角形的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理当两个三角形的对应边分别成比例时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 边比例性质在相似三角形中，相应边之间的比例相等。
如果两个三角形相似，则对应边的比例相等。
2. 角度性质在相似三角形中，对应角度相等。
如果两个三角形相似，则对应角度相等。
3. 高比例性质在相似三角形中，相应高的比例等于对应边的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高之间的比例相等。
4. 周长比例性质在相似三角形中，相应边的比例等于相应高和周长的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高以及周长之间的比例相等。
5. 面积比例性质在相似三角形中，相应边的比例的平方等于面积的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边的比例的平方等于面积的比例。
6. 中线比例性质在相似三角形中，相应中线的比例等于对应边的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应中线之间的比例相等。
通过上述判定条件与性质，我们可以方便地判断两个三角形是否相似，并且得出相应的比例关系。
相似三角形在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决实际问题，如测量高度、距离等。
总结：相似三角形的判定条件包括AAA相似定理、AA相似定理和SSS相似定理。
相似三角形具有边比例性质、角度性质、高比例性质、周长比例性质、面积比例性质和中线比例性质等性质。
相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
相似性是几何学中的基本概念之一，研究相似三角形的判定与性质对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
本文将从判定相似三角形的条件和相似三角形的性质两个方面进行论述。
一、判定相似三角形的条件1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
2. AA判定法：如果两个三角形的两个角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角度相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，AB/XY = BC/YZ = AC/XZ（其中AB表示边AB 的长度），则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
4. SSS判定法：如果两个三角形的三个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
二、相似三角形的性质1. 对应边比值相等性质：相似三角形的对应边的比值相等。
即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。
2. 对应角度相等性质：相似三角形的对应角度相等。
即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z。
3. 定理一：如果一个三角形的一个角较大，那么它对应的边也较大。
4. 定理二：如果两个三角形的对应边比值相等（即相似），则它们的对应角度也相等。
5. 定理三：如果两个角相等，则它们所对应的边的比值相等。
