2016重庆高职单招数学试题知识点：复数的加法与减法

复数四则运算复数是一种普遍存在于数学中的特殊数据，它不但外表简单，而且具有深刻的数学内涵，可以成为数学文献研究的重要研究内容。

同时，复数的四则运算也是数学课堂中不可缺少的内容之一。

本文将论述复数的定义，并进一步阐述其四则运算的相关知识，为读者提供一份参考资料。

一、复数的定义复数，又称复数类型的数，是组合实数和虚数的组合体。

它可以以a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，值为-1.因此，复数可以认为是双重元素的组合，具有实数和虚数两部分构成。

二、复数的四则运算一、加法运算复数的加法运算规则如下：a+bi+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即复数的加法运算是将实数部分和虚数部分分别进行加法运算，得到新的复数结果。

例如：(2+3i)+(1+2i)=(3+5i).二、减法运算复数的减法运算规则如下：a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即复数的减法运算是将实数部分和虚数部分分别进行减法运算，得到新的复数结果。

例如：(2+3i)-(1+2i)=(1+1i).三、乘法运算复数的乘法运算规则如下：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，也就是说，复数的乘法运算是将实数部分和虚数部分分别进行乘法运算，然后将乘法结果相加，得到新的复数结果。

例如：(2+3i)×(1+2i)=(-4+7i).四、除法运算复数的除法运算规则如下：1/(a+bi)=(a/[a2+b2])-(b/[a2+b2])i，也就是说，复数的除法运算是将实数部分和虚数部分分别进行除法运算，然后将除法结果相加，得到新的复数结果。

例如：1/(2+3i)=(-3/13)+(2/13)i.三、复数四则运算的应用复数的四则运算广泛应用于数学研究、物理实验和工程设计等多种领域。

除了可以求解数学问题外，复数运算还可以用于物理实验，例如电流和电压的实验，也可以用于工程设计，例如电路设计等。

考单招——上高职单招网2016重庆高职单招数学试题知识点：复数的概念与复数系【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：设a、b、c、d∈R，且≠0，若为实数，则A、bc＋ad≠0B、bc－ad≠0C、bc－ad＝0D、bc＋ad＝02：复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3：复数在复平面中所对应的点到原点的距离为( )A、B、1C、D、4：已知复数满足，为虚数单位，则A、B、C、D、考单招——上高职单招网5：若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是()A、B、C、D、6：复数分别表示，则向量表示的复数是7：若,为虚数单位),则= .8：若为纯虚数，则实数的值为__________。

9：若复数是纯虚数，则实数的值为。

10：已知复数为纯虚数，则实数的值为。

11：（本小题满分8分）m取何值时，复数（1）是实数；（2）是纯虚数.12：复数，当实数m为何值时（1）Z为实数；（2）Z为虚数；（3）Z为纯虚数。

13：设复数，试求m取何值时考单招——上高职单招网（1）Z是实数；（2）Z是纯虚数14：已知复数(i为虚数单位)复数的虚部为2且是实数。

求：。

15：实数m取什么值时，复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？答案部分1、C略2、A试题分析：，对应的点为在第三象限，∴，∴，∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件.考点：1.复数的除法运算；2.复数和点的对应关系；3.充分必要条件.3、C略考单招——上高职单招网4、B略5、D解：因为z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1即为选D6、试题分析：根据题意，由于复数分别表示，那么可知则向量,因此可知向量表示的复数是考点：复数的几何意义点评：主要是考查了复数的向量的几何意义运用，属于基础题。

复数运算知识点总结复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面对每种运算进行详细介绍。

一、加法：复数的加法即是实数部分相加，虚数部分相加。

例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。

二、减法：复数的减法即是实数部分相减，虚数部分相减。

例如，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

三、乘法：复数的乘法可以采用分配律展开。

例如，(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i。

虚数单位i的平方为-1，所以i²=-1。

四、除法：复数的除法需要用到共轭复数。

共轭复数是指虚数部分的符号取反。

例如，对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。

复数的除法可以通过乘以分子的共轭复数来得到。

例如，对于复数(a+bi)/(c+di)，乘以(c-di)/(c-di)可以得到分子的虚数部分消去，然后再进行实数部分的除法。

在实际运用时，复数的运算可以通过将复数进行分解成实数部分和虚数部分，然后进行实数的运算和虚数的运算，最后将结果合并成新的复数。

比如，对于复数(a+bi)和复数(c+di)的乘法运算，可以先计算实数部分的乘法和虚数部分的乘法，然后再合并成新的复数。

另外，复数的绝对值也是一个重要的概念。

复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理来计算。

对于复数a+bi，他的绝对值表示为|a+bi| = √(a² + b²)。

在实际应用中，复数广泛用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。

在工程和科学的计算中，复数都有着重要的作用。

因此，熟练掌握复数的运算规则，对于学习和工作都有着重要意义。

总的来说，复数是数学中一个重要的概念，它包括实数和虚数部分，可以表示为a+bi的形式。

复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，对于每种运算都有着明确的规则。

掌握复数的运算规则对于学习和工作都具有重要意义。

§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。

复数代数形式的加减运算及其几何意义复数是由实数和虚数组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1、复数代数形式的加减运算是指复数之间的加法和减法操作。

复数加法运算：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，其中 a、b、c、d 都是实数。

复数加法运算的计算规则如下：1.实部相加：(a+c)2.虚部相加：(b+d)因此，两个复数之和为 z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

复数减法运算：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，其中 a、b、c、d 都是实数。

复数减法运算的计算规则如下：1.实部相减：(a-c)2.虚部相减：(b-d)因此，两个复数之差为 z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

综上所述，复数的加减运算可以分别对实部和虚部进行相应的加减操作，从而得到新的复数。

几何意义：复数可以用平面上的向量来表示，其中复数的实部对应向量在 x 轴上的投影，虚部对应向量在 y 轴上的投影。

对于复数 z = a + bi，可以将其在平面上表示为一个点 P(x, y)。

- 复数加法的几何意义：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，根据复数加法运算规则，z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i。

可以将其几何意义理解为将向量 z2 平移至向量 z1 的尾部，得到一个新的向量。

新向量的坐标为 (a + c，b + d)。

因此，复数加法可以看作是两个向量的矢量相加。

- 复数减法的几何意义：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，根据复数减法运算规则，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。