倍长中线法、截长补短法

专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。

（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =　EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。

专题08倍长中线法和截长补短法综合应用倍长中线类型一：直接倍长中线△ABC 中AD 是BC 边中线方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE类型二：间接倍长中线作CF ⊥AD 于F ，作BE⊥AD 的延长线于E 连接BE 。

延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN截长补短常见类型及常规解题思路：①a b c ±=可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

②a b kc±=可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30 的直角三角形等。

截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法常规辅助线：（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起类型一：倍长中线法【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝b，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即a﹣b＜2AD＜a+b，∴＜c＜．【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF ＞EF．【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为　．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠E＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AD＝DE＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．故答案为：8+2．【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为　．【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，在△BED和△AEH中，，∴△BED≌△AEH（SAS），∴AH＝BD，∠D＝∠H，∵AF＝BD，∴AH＝AF，∴∠AFH＝∠H，∴∠CFD＝∠D，∴CD＝CF＝2，故答案为：2．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为　．【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，∴BG∥CA，∴∠EBG＝∠A＝90°，∵BE＝2，∴EG＝＝＝，∵DF⊥DE，DF＝DG，∴EF＝EG＝，故答案为：．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF 与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，则FM＝AB＝8，∵BF＝2FC，BC＝9，∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，∴AF＝＝＝10，∵OM∥AE，∴，∵点E为AB的中点，∴OM ＝，∴OF ＝FM ﹣OM ＝8﹣＝，∵AE ∥FO ，∴△AGE ∽△FGO ，∴＝，∴AG ＝＝，∴GH=10-4-415=49【变式5】如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且点F 为AB 的中点，连接DF ，DE ．（1）如图①，若DF 平分∠ADE ，求证：AD +BE ＝DE ；（2）如图②，若四边形ABCD 是边长为4的正方形，当ED 平分∠FDC 时，求EC 的长．【解答】（1）证明：延长DF ，CB 交于G ，如图：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥CB ，∴∠ADG ＝∠G ，∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADG＝∠EDG，∴∠G＝∠EDG，∴DE＝GE＝GB+BE，∵F是AB中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BGF中，，∴△ADF≌△BGF（AAS），∴AD＝GB，∴DE＝AD+BE；（2）解：延长AB，DE交于H，如图：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，∴DF＝＝＝2，AB∥CD，∴∠CDE＝∠H，∵ED平分∠FDC，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠FDE＝∠H，∴FH＝DF＝2，∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE∽△HBE，∴＝，即＝，解得CE＝2﹣2．∴EC的长为2﹣2．【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．下而是部分证明过程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．（1）求证：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．【解答】解：任务一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CGF，∴CF＝FD，同理BF＝FG，∴BF＝CF，∴点F为BC的中点；任务二：（1）证明：延长CM到F使MF＝CM，∵AM＝MB，∴ACBF是平行四边形，∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，∴∠CAF+∠ACB＝180°，∠DCE+∠ACB＝180°，∴∠CAF＝∠DCE，∵DC＝AC，∴△DCE≌△CAF（SAS），∴∠D＝∠ACF，∵∠ACF+∠DCN＝90°，∴∠D+∠DCN＝90°，∴∠DNC＝90°，∴MN⊥DE；（2）解：作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝30，AC＝4，∴CG＝2，AG＝2，∵AM＝AB＝3，∴GM＝，∵CM2＝CG2+GM2，∴CM2＝22+（）2，∴CM＝，∵△DCE≌△CAF，∴DE＝CF＝2．类型二：截长补短【典例4】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥PA，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BFA＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S＝＝；△ABC（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC 的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；△AHE【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例5】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF ＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为　．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠FAC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠FAC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式5】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。

倍长中线专题初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。

三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：①必有相等的线段②必有相等的面积③必有倍长中线构成全等。

本专题只讨论倍长中线的问题。

【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。

口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。

【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE证明： 如图所示。

延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。

在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD∴△ADC ≌△GDB∴BG =AC ，∠1=∠G又因为AF=EF∴∠1=∠2=∠3∴∠3=∠G∴BG=BE （等角对等边）∴AC=BE②证全等①作倍长中线 ③列出需要用的结果④转化替代 ⑤得出结果【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD+>AB2AC【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。

求证：AB=AC【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

截长补短专题要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。

①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条；②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。

【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。

求证：AC=AB+BD 方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

倍长中线（线段）造全等1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 证明：延长AD 到E,使DE=AD, 则△ADC ≌△EBD ∴BE=AC=2在△ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE ，∴10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=5思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。

3、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.4、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( )A 、1<AB<29B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<191、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF 分析：要求证的两条线段AC 、BF 不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF 困难，考虑能否通过辅助线把AC 、BF 转化到同一个三角形中，由AD 是中线，常采用中线倍长法，故延长AD 到G ，使DG=AD ，连BG ，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。

2、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形6、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.7、已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）11、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CHADBCDC B AA C E F FE BCE D CB ACABFDEC4321DEA B C 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ． 在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC截长补短7.6作业：如图,∠B=∠C=90°,AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC 求证:点M 为BC 的中点7.9作业：已知，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1＝∠2， ∠3＝∠4。