高中数学课时分层作业3余弦定理含解析新人教A版必修51021143

课时跟踪检测(三） 余弦定理层级一 学业水平达标1.在△ＡB Ｃ中,已知A ＝30°，且3ａ=错误!未定义书签。

b =１２,则c 的值为( )Ａ．４Ｂ.8 C.4或８ Ｄ．无解解析:选C 由3ａ＝＼ｒ（3)b ＝12，得a ＝4，b ＝4错误!,利用余弦定理可得a 2＝b ２＋c 2-2bc ｃｏs A ，即16=4８＋c 2－１2c ,解得c ＝4或c =8.２．在△ABC 中,已知（a ＋b +ｃ)（b ＋c -a ）＝3bc ,则角A 等于（ ）Ａ．30°Ｂ.60° C.120°D ．150° 解析:选Ｂ ∵（ｂ+c ）2-a ２=ｂ2+c 2+2b ｃ-a 2=３ｂｃ，∴b 2＋c ２－a 2＝ｂｃ，∴cos A ＝错误!=错误!，∴A ＝６0°。

３．在△A ＢC 中,若ａ＝8,b =7,cos C =错误!未定义书签。

，则最大角的余弦值是（ )A ．-＼f(1,5)B ．－错误!未定义书签。

Ｃ．－１7Ｄ．－错误!未定义书签。

解析:选C 由余弦定理，得 ｃ2=a 2+ｂ２-2ab c ｏs C ＝82+７2-2×８×７×错误!未定义书签。

＝9,所以c =3，故a 最大，所以最大角的余弦值为co ｓ A ＝＼ｆ（b 2＋ｃ2－ａ2,2bc )＝错误!未定义书签。

=-错误!。

４.若△ABC 的内角A ,Ｂ，C 所对的边ａ,b ，c 满足(a ＋b )２－c ２=4,且C ＝60°,则ａb 的值为( ）A 。

错误!未定义书签。

ﻩB ．8－4错误!C.1 ﻩＤ.错误!解析：选Ａ 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a ２+b 2－ｃ2＋2ab =4，由余弦定理得ａ2+ｂ2-c 2=2ab ｃｏs ﻬC ＝2a ｂc ｏs 6０°=ab ,则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝错误!.５.在△ＡBC 中,若a 4＋b 4＋c 4＝２c 2（a 2＋ｂ2)，则角C =（ ）A.60°Ｂ.４5° C ．135° Ｄ.4５°或１35°解析：选D∵cｏs Ｃ＝错误!未定义书签。

专题13：6.4.3.1余弦定理课时作业（解析版）一、单选题1．ABC 的三边满足222a b c +=-，则ABC 的最大内角为（ ） A ．60B ．90C ．120D ．150【答案】D【分析】利用余弦定理结合三角形内角的取值范围求得角C 的值，由此可得出结果.【详解】由余弦定理可得222cos 222a b c C ab ab +-==-=-，0180C <<，150C ∴=，因此，ABC 的最大内角为150.故选：D.2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且22c ac a bc +-=，则A 等于（ ）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π 【答案】A【分析】由题意2b ac =，结合余弦定理求出cos A 即可得到A 的值．【详解】解：a 、b 、c 成等比数列，所以2b ac =，因为22c ac a bc +-=，所以222c b a bc +-=，由余弦定理可知2221cos 22c b a A bc +-==，因为()0,A π∈ 所以3A π=故选：A3．若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a ，b ，c 满足22()3a b c +-=，且120C =︒，则ab 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】 根据余弦定理可得得2221cos 22a b c C ab +-==-，整理可得222a b c ab +-=-，通过配方即可得解.【详解】 由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==-， 即222a b c ab +-=-，所以22()a b c ab +-=，解得3ab =.故选：C.4．ABC 中5AB =，7BC =，8AC =．则A ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 【答案】C【分析】利用余弦定理求cos A ，即可求得A ∠.【详解】 由余弦定理可得2222564491cos 22582AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯， 又()0,πA ∠∈，所以60A ∠=.故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，属于基础题.5．已知ABC 的三边长满足等式222a b bc c -+=，则A =（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150【答案】B【分析】利用余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的大小.222a b bc c -+=，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 0180A <<，因此，60A =.故选：B.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.6．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，222c a b =+，则角C 的大小为（ ）A ．4πB ．3πC ．34πD ．23π 【答案】A【分析】由222c a b =+-可得222a b c +-，再利用余弦定理即可得cos C ，从而可得角C .【详解】由222c a b =+-可得222a b c +-，由余弦定理可得：222cos =222a b c C ab ab +-==， 因为0C π<<， 所以4Cπ， 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题.7．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3,a b c ===C =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C由余弦定理可得1cos 2C =，再根据C 为△ABC 内角，即可求出结果. 【详解】 由余弦定理得222+2cos c a b ab C =-， 得2224+971cos 22232a b c C ab +--===⨯⨯， 又C 为ABC 内角，所以3C π=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.8．三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程25760x x --=的根则三角形的另一边长为（ ）A ．213B ．13C ．52D ．13 【答案】A【分析】设已知两边的夹角为θ．求出cos θ，再利用余弦定理求解.【详解】设已知两边的夹角为θ．根据题意得3cos 5θ=-或cos 2θ=（舍去），∴三角形的另一边长为2253253cos =52=213θ+-⨯⨯⨯．故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ：b ：c ＝4：5：6，则cos A ＝（ ）A ．316B ．38C ．34D ．45【答案】C【分析】根据边长比，设出边长，再利用余弦定理推导即可求解.【详解】在△ABC 中，a ：b ：c ＝4：5：6，不妨设4,5,6a k b k c k ===，且0k >， 所以2222222536163cos 22564b c a k k k A bc k k +-+-===⋅⋅. 故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设向量(,)p a c b =+，(,)q b a c a =－－，若//p q ，则角C 的大小为 （ ）． A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【详解】由//p q ，可得()()()a c c a b b a +-=-, 222222,c a b ab a b c ab ∴-=-∴+-=,2221cos ,0180,6022a b c C C C ab +-∴==︒<<︒∴=. 故选：B.二、填空题11．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2a =，3b =，4c =，则cos A =______. 【答案】78【分析】由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案.【详解】 在ABC 中，22291647223c 48os b c a bc A +-+-===⨯⨯， 故答案为：78. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果3a =，2b =，22c =，那么ABC 的最大内角的余弦值为________.【答案】18【分析】由边的大小关系可知A ∠是最大角，然后利用余弦定理求解.【详解】角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果3a =，2b =，22c =，则A ∠是最大角， 则2221cos 282222b c a A bc +-===⨯⨯， 故答案为：18. 【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.13．小船A 和小船B 在中午12时离开起点C ，两艘小船的航行方向之间的夹角为120︒，小船A 的航行速度是2.5/nmile h ，小船B 的航行速度是1.5/nmile h ，下午2时两船之间的距离是________nmile .【答案】7【分析】由小船A 和小船B 的航行速度、时间及方向夹角，可得它们的航行示意图，结合余弦定理即可求得下午2时两船之间的距离【详解】由题意知，截止下午2时小船A 、B 的航行距离分别为5nmile 、3nmile又两艘小船的航行方向之间的夹角为120︒，有如下图下午2时，小船A 沿CE 方向航行5nmile 到E 点，小船B 沿CD 方向航行3nmile 到D 点∴由余弦定理知：2222cos DE CD CE CD CE DCE =+-⋅⋅∠即可得：7DE nmile =故答案为：7【点睛】本题考查了余弦定理的实际应用，由题意画出实际问题的几何示意图，结合余弦定理求距离，属于简单题14．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为()(),,,3a b c a b c a b c ab +++-=，求角C =___________. 【答案】3π 【分析】对原式化简可得222a b c ab ++-=，再根据余弦定理，即可求出结果.【详解】因为()()3a b c a b c ab +++-=，所以222a b c ab +-=， 所以2221cos ,0π22a b c C C ab ++-==<<， 所以3C π=. 故答案为：3π. 【点睛】 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.三、解答题15．已知()2cos 2cos 1f x x x x =+-． （1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，1a =，S 是ABC 的面积，22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较33b c +【答案】（1）当,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）33b c +≥ 【分析】 （1）先化简函数()f x ，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先代入求出角A ，再根据立方和公式与面积公式化简代数式，再根据基本不等式即可比较大小．【详解】解：（1）∵()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x +2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴当22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）由题意可得2sin 226A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴62A ππ+=， ∴3A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得221b c bc +-=，又==，∴()()3322b c b c b c bc +=++--()b c =+-0≥=，当且仅当b c =时取等号，∴33b c +≥【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数与解三角形，第一问的解题关键在于化简函数解析式，第二问的关键在于熟记立方和公式与基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．。

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【答案】（1）（2）≤b<1【解析】(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0.因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.又cos B≠0，所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝.(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.因为a＋c＝1，cos B＝，有b2＝32＋.又0<a<1，于是有≤b2<1，即有≤b<1.3.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理4.（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．【答案】见解析【解析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．5.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】【解析】由已知，所以，，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时．【考点】三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．6.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是( )A．2B．3C．4D．4【答案】C【解析】由余弦定理得:a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc bc≤16，∴S＝bcsinA≤×16×sin＝4．8.在中，角，，所对的边分别为为，，，且（1）求角；（2）若，，求，的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知利用正弦二倍角公式展开，因为，约去，得的值，进而求；（2）已知三角形的面积和，不难想到，得，又根据余弦定理得，联立求即可．试题解析：（1）由已知，∴，∵，∴，∴．（2）由余弦定理，又， 10分由解得 13分【考点】1、正弦二倍角公式；2、三角形面积公式；3、余弦定理.9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意得所以.在三角形AOB中，由于,所以由余弦定理得,即，所以，的形状为等边三角形.【考点】几何概型概率，余弦定理10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和、差、倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转化、概括．由题知，将展开，得，移项合并得，注意到，可求，进而求角A的大小；（2）由（1）知，结合△ABC的面积为，不难想到①，得关系；又根据，利用余弦定理得②，联立求．试题解析：（1）∵，∴可得，∴． 4分∵，可得．∴． 7分=∴，解得bc=8．① 10分（2）由（1）得．∵S△ABC由余弦定理，得， 12分即．②将①代入②，可得． 14分【考点】1、两角差的余弦公式；2、诱导公式；3、余弦定理.11.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.12.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，3a＝2c＝6，则b的值为( ) A．B．C．－1D．1＋【答案】D【解析】因为3a＝2c＝6，所以a＝2，c＝3，由余弦定理知cos C＝，即cos＝＝＝，得b＝1＋.13.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度为()A．3B．4C．6D．7【答案】B【解析】设出三边的长度,然后由余弦定理,使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围,再结合边长是自然数得到解.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1),则n+1对的角θ为钝角,由余弦定理得cosθ= ,所以(n-1)2+n2<(n+1)2,解得0<n<4,所以n=2,3.当n=2时,三边长为1,2,3,1+2=3,不符合题意.当n=3时,三边长为2,3,4,符合题意.故最长边的长度为4.14.已知函数的图像经过点．（1）求的值；（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．【答案】(1)（2）sinB=【解析】（1）f(x)的图像经过点,带入函数得到关于的三角等式,再利用常见三角函数值与的范围即可求出的值.（2）利用三角形关于C角的余弦定理与题目已知式子结合即可得出C角的余弦值,进而得到C角的正弦值(三角形内角的正弦值都为正数),再把带入函数解析式即可得到A角的余弦,利用余弦与正弦的关系得到A角的正弦值,而三角形三个角和为180度,则B角的正弦利用和差角公式即可用A,C两个角的正余弦值来表示,进而得到B角的余弦值.试题解析：（1）由题意可得，即． 2分，，，． 5分（2），， 7分． 8分由（1）知，．，， 10分又，． 12分【考点】三角函数的图象与性质，三角恒等变换余弦定理15.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理有：.所以.【考点】余弦定理.16.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－17.已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】1.向量的运算；2.余弦定理.18.在△ABC中，∠ACB＝60°，sin A∶sin B＝8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．【答案】【解析】设BC＝m，AC＝n，则＝，m＋n＝2a，(2c)2＝m2＋n2－2mn cos 60°，先求得m＝a，n＝a，代入得4c2＝a2，e＝.19.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.【答案】5【解析】由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，则cos A＝.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得：72＝b2＋62－12b×，解之得b＝5(舍去负值)．20.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为()．A．－B．－C．D．【答案】A【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝＝－.21.在△中，，，，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由余弦定理，代入各值整理可得,解得,三角形面积,所以面积为或【考点】1.余弦定理；2.三角形的面积公式。

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理3.在中，，，，则； .【答案】2,【解析】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.4.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，或.【解析】根据三角形面积公式可以求出，利用可以解出，对进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.由三角形面积公式，得，故.∵，∴.当时，由余弦定理得，，所以；当时，由余弦定理得，，所以.【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.5.已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，，即，，又，所以．【考点】双曲线的定义与性质，余弦定理．6.在中，,,，则边上的高等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，即，，即，又，设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.故选【考点】余弦定理；三角形面积公式.7.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形8.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，故选A.10.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a，b，c，若3a2+2ab+3b2－3c2=0，则sinC 的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵3a2+2ab+3b2－3c2=0，∴a2+b2－c2=ab由余弦定理知cosC==－又sin2C+cos2C=1∴sinC=11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若C＝120°，c＝a，则( ) A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】方法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即()2＋－1＝0＝<1，故b<a．方法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即b2＝a2－ab＝a(a－b)>0，∴a>b．12.在中，角所对的边的长度分别为，且，则 .【答案】【解析】由余弦定理知，所以，，．【考点】余弦定理．13.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于( ) A．B．5C．D．25【答案】B【解析】∵，∴，由余弦定理得，∴，故选B.【考点】余弦定理的应用14.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.15.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】10(m)【解析】如图，A为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理，得MN＝＝10(m)．16.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．【答案】【解析】根据正弦定理，3sinA＝5sinB可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3∴BD＝18.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理判断.解:由sin2A+sin2B<sin2C得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.又∵cosC=,故cosC<0.又∵0<C<π,故<C<π,所以△ABC是钝角三角形.【方法技巧】三角形形状判断技巧三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型,也是高考的热点问题,因而正确快速地判断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化,常规是边化角,再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.19.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－20.已知a、b、c是△ABC的三边，且B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2＝________.【解析】利用余弦定理，再变形即得答案．＝2，则b等21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于________．【答案】5【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝522.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BC＝10，在直角△ABC中，AB＝BC tan 60°＝30.23.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．【答案】2【解析】由三角形的面积公式得c2＝ab sin C⇒＝sin C，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C⇒＝＋2cos C＝sin C＋2cos C，所以＝2sin C＋2cos C＝2sin，最大值是224.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.25.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.26.已知三角形内角A,B,C的对边分别为且满足，则_________.【答案】【解析】因为，所以可得.又因为在三角形中，由余弦定理可得.所以.又因为.所以.故填.本小题的关键是余弦定理的应用.【考点】1.余弦定理.2.三角函数方程的解法.27.在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】7【解析】由即得，再由余弦定理可得，所以.【考点】三角形面积公式和余弦定理.28.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.29.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】乙船每小时航行海里．【解析】连接，依题意可知，求得的值，推断出是等边三角形，进而求得，在中，利用余弦定理，可得，从而可求出的值，最终可求得乙船的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】应用余弦定理解三角形．30.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为 .【答案】【解析】∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB=.【考点】1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角31.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则下面结论正确的是____________.①是直角三角形；②的最小值为；③的最大值为；④存在使得【答案】①②④【解析】在中，，解得，因为,故，如图所示建立平面直角坐标系,则，设点（），所以=，故当时，最小值为，当时，最大值为12，由三点共线，故（）得，所以，令，故正确结论为①②④.【考点】1、余弦定理；2、二次函数的值域；3、平面向量基本定理.32.在中，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，由余弦定理可得，故，选C.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.基本不等式33.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，则b= .【答案】3【解析】由余弦定理，所以，，又所以，，故答案为3.【考点】余弦定理的应用34.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由得：，故由余弦定理知：，解得，故选C.【考点】余弦定理的应用35.在中，若，，，则 .【答案】【解析】设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.【考点】余弦定理36.在中，分别是的对边，若，则的大小为 .【答案】＋1【解析】由，得，即，∵，∴，又∵，∴在中，由余弦定理得，解得.【考点】1.余弦定理；2.倍角公式.37.已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cos A=，∴A=，∴2sin B cos C-sin(B-C)= sin B cos C+cos B sin C=sin(B+C)=sin A= 6分(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得b+c=sin B+sin C=sin B+sin(-B)=sin B+2cos B=4sin(B+)，可知周长的最大值为6 ． 12分【考点】三角函数的性质，解三角形点评：主要是考查了余弦定理和正弦定理的运用，属于基础题。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A 版必修51.1 正弦定理和余弦定理 第2课 时余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1，选A. 答案：A2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4. 所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2. 故△ABC 是直角三角形． 答案：B3．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD＝－1010，故选C.答案：C5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：C 二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sinC ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可． 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.答案：－148．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.答案：40 3 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数． 解：因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ， 由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝ －cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， 所以AB ＝10.B 级 能力提升1．在△ABC 中，sin 2 A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：因为sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形． 答案：B2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，所以sin C ＝22. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案：33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0. 所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16， 在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，可得：BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。

课时达标训练(二) 余弦定理[即时达标对点练]题组1利用余弦定理解三角形1.已知在△ABＣ中，ａ=1,b=2，C=60°,则c等于（)Ａ.错误!未定义书签。

Ｂ。

错误!未定义书签。

C。

错误!Ｄ.5解析：选A由余弦定理,得ｃ２＝1２＋22－2×1×2×cｏｓ60°＝3,∴c=错误!未定义书签。

,故选A.2.在△ABＣ中，ａ＝７,b=４＼r(3),c＝错误!未定义书签。

，则△AＢC的最小角为( )A。

错误!B。

错误!C。

错误!未定义书签。

D。

错误!未定义书签。

解析:选Ｂ∵a〉b〉c，∴C为最小角，由余弦定理得cos C＝错误!未定义书签。

＝错误!＝错误!,∴Ｃ=错误!.3．已知在△AＢC中，b２=ａc且ｃ=２a，则cos B等于( )A.错误!B.错误!C。

错误!Ｄ。

错误!解析:选B∵b2＝aｃ,c＝2a,∴b2＝2a2,∴cos B＝错误!=错误!＝错误!.4.(2０1８·全国卷Ⅱ)在△ABＣ中,cos错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,BC＝1，AC ＝5，则AB=( )A.4 2B.错误!未定义书签。

Ｃ。

错误!未定义书签。

D．2＼r(5）解析：选A ∵coｓ＼ｆ(C，2)＝错误!未定义书签。

，在△AＢC中，由余弦定理,得AB２＝ＡC２+ＢＣ２-２AＣ·BC·cｏs C=52+12－2×5×1×错误!未定义书签。

＝３2,∴AB＝4错误!未定义书签。

.5.(２018·浙江高考)在△A ＢC 中,角A ，B ，C 所对的边分别为ａ，b ，c 。

若a =错误!未定义书签。

，b =2，Ａ＝60°,则sin B =__＿＿＿＿＿,ｃ＝＿_______。

解析:由正弦定理错误!未定义书签。

=错误!，得ｓin B ＝错误!未定义书签。

·ｓin A ＝错误!未定义书签。

高中数学课时作业3余弦定理新人教版必修51．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D．150° 答案 C解析 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B．120° C ．135° D．150° 答案 B解析 设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6B ．2 C.3D. 2 答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C ．120° D．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，于是A ＝30°，故选A. 6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B．60° C ．90° D．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 B解析 由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)． 故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定 答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析 由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612. 14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值． 解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析 由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析 由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析 本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sinA 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14.2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (bc)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.。

课时作业 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ． 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ． ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463B ．4C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ， 所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，①由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，②又由cos C ＝35，得sin C ＝45，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab5＝4，∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝217，c ＝3_. 解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝32. 解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°. 由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°， 此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”． 10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6.解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ， ∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32， 又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝⎛⎭⎪⎫32，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC →＞0知，B 为钝角，又asin A＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得，sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝23sin A cos B ＋23cos A sin B ， 即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ， 从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号，∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3.解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )， 即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ． 当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233. 法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －23π ＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π，∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3. 综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ， ∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得bsin B＝csin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎪⎨⎪⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。

课时分层作业(十一) 余弦定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [由题意知，(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.] 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )A ．1<a <3B ．1<a <5 C.3<a < 5 D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.4 [因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b .由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14， 解得b ＝4.]三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解] 在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.[等级过关练]1．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32， 即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0＜B ＜π，∴角B 的值为π3或2π3.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π A [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.] 3．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 7 [由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23， 设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7. 所以AC 边上的中线长为7.]4．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________. (1，7)∪(5,7) [①若x >4，则x 所对的角为钝角，∴32＋42－x 22×3×4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7. ②若x <4，则4对的角为钝角，∴32＋x 2－422×3×x<0且3＋x >4， ∴1<x <7.∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．]5．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．[解] 由⎩⎨⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ， 得⎩⎨⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a ＞b ＞c ，∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10.当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.。

【高考调研】2015年高中数学 课时作业3 余弦定理新人教版必修51．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b 2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析 设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，于是A ＝30°，故选A. 6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3答案 D解析 本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)． 故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析 由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612. 14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值． 解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析 由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析 由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析 本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sinA 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14.2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (bc)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.。

课时分层作业(三) 余弦定理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°B [∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A ．43B ．8－4 3C ．1D ．23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C ．3<a < 5D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________． 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________． π3 [由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ， ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3.]三、解答题9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．[解] (1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径．又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B . 又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3.又因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋4a 2－2a 2＝9， 解得a ＝3，故c ＝2 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[能力提升练]1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sinC ．一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sinA ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sinB ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos C sin A ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πA [cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac2ac＝（a －c ）22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A .]3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．4 [5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0， ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)，∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16，∴c ＝4，即第三边长为4.]4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值是________．34[由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得2b ＝3c ， 由b －c ＝12a 可得a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.]5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a ＞b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a ＜c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－513＝7226.。

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∴a＋b 的最大值为 8 4 3 。 【解】在△ABC 中，∵ a cos A b cos B ，由正弦定理， 得 2 R sin A cos A 2 R sin B cos B，∴ sin 2 A sin 2 B 。 16 ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝180°，∴A＝B 或 A＋B＝90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角 形。
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
＝2R，
a b c ，sin B＝ ，sin C＝ . 2R 2R 2R a2 b2 c2 ＋ ＜ ，∴a2＋b2＜c2， 4R2 4R2 4R2
a2＋b2－c2 ＜0， 2ab
∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【解】 (1)∵(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝ 结合正弦定理得 (b＋c＋a)(b＋c－a)＝ 10 18 8 bc，整理得 b2＋c2－a2＝ bc. 5 5 18 sin B·sin C. 5
6
π 【解析】 ∵a 是最大边，∴A＞ ，又 a2＜b2＋c2，由余弦定理 cos 3 0，∴A＜ π π π ，故 ＜A＜ . 2 3 2
b2＋c2－a2 A＝ ＞ 2bc
7
【答案】 4 【解析】 在△ABC 中，由 b2＝a2＋c2－2accos B 及 b＋c＝7 知，b2＝4＋(7－b)2－2
5．在△ABC 中，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，则 A＝________.
6．在不等边三角形中，a 是最大的边，若 a ＜b ＋c ，则角 A 的取值范围是________． 1 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7，cos B＝－ ，则 b＝________. 4 8．已知△ABC 的顶点为 A(2，3)，B(3，－2)和 C(0，0)，求∠ABC. 知识点：定理变形 9．(2012·上海高考)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是( A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．不能确定 )

1.1.2 余弦定理时间：45分钟 分值：100分A 学习达标一、选择题1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cos B 等于( ) A.1524 B.6524C.5760 D ．－720解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1524.答案：A2．已知△ABC 满足B ＝60°，AB ＝3，AC ＝7，则BC 的长等于( )A ．2B ．1C ．1或2D ．无解解析：设BC ＝x ，则(7)2＝9＋x 2－6x cos60°，解得x ＝1或2.答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为() A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：由a 2＋c 2－b 2＝3ac 联想到余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，∴B ＝π6.答案：A4．若三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角是( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°解析：设三边分别为3k,5k,7k ，最大内角为7k 所对的角α，由余弦定理得cos α＝3k 2＋5k 2－7k 22×3k ×5k ＝－12，∴最大内角α＝120°，故选C.答案：C5．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且bc ＝a 2，则该三角形的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．非等边的等腰三角形D ．有一角为60°的直角三角形解析：∵A ＋B ＋C ＝π，且2A ＝B ＋C ，∴A ＝π3， 又∵bc ＝a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝12， ∴(b －c )2＝0，∴b ＝c ，∴此三角形为等边三角形．答案：B6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设三边长分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m >a ＋m ，c ＋m >b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2>c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．答案：A二、填空题7．在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是________． 解析：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶8，设a ＝5x ，b ＝6x ，c ＝8x ，则三角形最大角C 的余弦值是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－120. 答案：－1208．在△ABC 中，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 解析：在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1， 则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3. 所以AD ＝ 3. 答案： 39．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C＝________. 解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，。

课时分层作业(三十)余弦定理、正弦定理一、选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC ＝()A．1 B．2C．5D．3D[由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．]2．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sinA－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5C．4 D．3A[由已知及正弦定理可得a2－b2＝4c2，由余弦定理推论可得：－1 4＝cos A＝b2＋c2－a22bc，∴c2－4c22bc＝－14，∴3c2b＝14，∴bc＝32×4＝6.故选A．]3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()A．19B．13C．12D．23A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×23＝9，AB＝3，所以cos B＝9＋9－162×9＝19，故选A．]4．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)A [∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ． ∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A ． 又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜2A ＜π2，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2，∴π6＜A ＜π4，∴22＜cos A ＜32.即2＜b ＝2cos A ＜3，故选A ．]5．(多选)(2021·三湘名校模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝32b ＝3，B ＝2C ，则下列结论正确的是( )A ．sin C ＝63 B ．a ＝c3 C ．a ＝cD ．S △ABC ＝2 2AB [∵B ＝2C ，∴sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 由正弦定理知，b sin B ＝csin C ， ∵c ＝32b ，∴cos C ＝33，sin C ＝1－cos 2C ＝63，即选项A 正确；由余弦定理知，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，∴9＝a 2＋(23)2－2a ·(23)·33，即a 2－4a ＋3＝0， 解得a ＝3或a ＝1，若a ＝3，则A ＝C ＝π4，此时cos C ＝22，与题意不符， ∴a ＝1＝c3，即选项B 正确，选项C 错误；△ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×1×23×63＝2，即选项D 错误．故选AB ．]6．(多选)(2021·镇江高三期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是( )A ．若a cos A ＝b cosB ，则△ABC 一定是等腰三角形 B ．若cos A >cos B ，则sin A <sin BC ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos CD ．若△ABC 是钝角三角形，则tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A <3 BCD [对于A ，若a cos A ＝b cos B ，则由正弦定理得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，即A ＝B 或A ＋B ＝90°，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误；对于B ，在△ABC 中，“cos A >cos B ”，由余弦函数在(0，π)是减函数，故有A <B ，可得a <b ，即有2R sin A <2R sin B ，则“cos A >cos B ”可以推出“sin A <sin B ”，故B 正确；对于C ，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，则A >π2－B, ∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C ，故C 正确；对于D ，不妨设C 为钝角，可得tan C <0，tan A >0，tan B >0，因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，可得1－tan A tan B >0，即0<tan A tan B <1，又tan A tan C <0，tan B tan C <0，则tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A <1<3，故D 正确． 故选BCD ．] 二、填空题7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 4 [在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4.]8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________.22 [∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，∴12ac sin B ＝3⇒12ac ×32＝3⇒ac ＝4⇒a 2＋c 2＝12， 又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ⇒12＝12－b 28⇒b ＝22(负值舍)．]9．(2021·浙江高考)在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23，则AC ＝________；cos ∠MAC ＝________.21323913[在△ABM 中， AM 2＝BA 2＋BM 2－2BA ·BM cos 60°， ∴(23)2＝22＋BM 2－2×2·BM ·12，∴BM 2－2BM －8＝0，解得BM ＝4或－2(舍去)．∵点M 是BC 中点，∴MC ＝4，BC ＝8，在△ABC 中，AC 2＝22＋82－2×2×8cos60°＝52，∴AC ＝213.在△AMC 中，cos ∠MAC ＝(23)2＋(213)2－422×23×213＝23913.]三、解答题10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B ＋b cos A ＝77ac ，sin 2A ＝sin A ．(1)求A 及a ；(2)若b －c ＝2，求BC 边上的高． [解] (1)因为a cos B ＋b cos A ＝77ac ，所以由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝77a sin C ， 所以sin(A ＋B )＝77a sin C ，又A ＋B ＝π－C ，所以sin C ＝77a sin C ， 又sin C ＞0，所以a ＝7.因为sin 2A ＝sin A ，所以2sin A cos A ＝sin A ， 又sin A ＞0，所以cos A ＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝7.将b ＝c ＋2，代入b 2＋c 2－bc ＝7，得c 2＋2c －3＝0， 解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以b ＝3. 因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝2114，设BC 边上的高为h ，则h ＝b sin C ＝32114.11．(2021·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶1∶2，b ＝ 2.(1)求a 的值； (2)求cos C 的值； (3)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6的值．[解] (1)∵△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶1∶2，∴a ∶b ∶c ＝2∶1∶2，∵b ＝2，∴a ＝2b ＝22，c ＝2b ＝2. (2)△ABC 中，由余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝8＋2－42×22×2＝34.(3)由(2)可得sin C ＝1－cos 2C ＝74，∴sin 2C ＝2sin C cos C ＝378，cos 2C ＝2cos 2C －1＝18， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝sin 2C cos π6－cos 2C sin π6＝321－116.1．(多选)(2021·山东潍坊模拟)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222(S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论正确的是( )A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角A ，C ，B 成等差数列 C ．△ABC 的外接圆半径为4213 D ．△ABC 的中线CD 的长为3 2AB [A 项：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)， 因为S △ABC ＝63， 所以63＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t 2×4t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7t 2＋4t 2－9t 222， 解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27， 故△ABC 的周长为10＋27，所以A 正确； B 项：因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12，所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ，故△ABC 的三个内角A ，C ，B 成等差数列，所以B 正确； C 项：因为C ＝π3，所以sin C ＝32，由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213，R ＝2213，所以C错误；D 项：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714，在△BCD 中BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714，解得CD ＝19， 所以D 错误，故选AB ．]2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________.9 [∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 法一：(三角函数法)∵a ＝3，∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝23，∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 则a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴当B ＝π3时，周长取得最大值9.法二：(基本不等式)∵a ＝3， ∴9＝b 2＋c 2－bc ， ∴(b ＋c )2－3bc ＝9，∴(b ＋c )2－9＝3bc ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， ∴(b ＋c )2≤36，∵b ＋c ＞0，∴0＜b ＋c ≤6，当且仅当b ＝c 时取“＝”， ∴a ＋b ＋c ≤9，∴△ABC 的周长最大值为9.]3．(2020·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．[解] (1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0，cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件得 sin B －sin C ＝33sin A ． 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.由于0<B <2π3，故B ＝π2. 从而△ABC 是直角三角形．1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC ，BD 是其两条对角线，BD ＝4，且△ACD 为正三角形，则△ABC 面积的最大值为________，四边形ABCD 的面积为__________．(注：圆内接凸四边形对角互补)3 43 [如图，设△ACD 的边长为a .根据托勒密定理可得4a ＝a ·AB ＋a ·BC ，所以AB ＋BC ＝4.根据基本不等式得AB ·BC ≤(AB ＋BC )24＝4，当且仅当AB ＝BC ＝2时等号成立．又△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝π3. 根据圆内接凸四边形的对角互补得∠ABC ＝2π3. 所以△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin 2π3≤12×4×32＝ 3. 所以△ABC 面积的最大值为 3.又因为∠ABD ＝∠ACD ＝π3，∠CBD ＝∠CAD ＝π3，所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ·sin ∠ABD ＋12BC ·BD ·sin ∠CBD ＝12sin π3·BD ·(AB ＋BC )＝4 3.] 2．(2021·武汉模拟)在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝2π3，b ＝ 6.(1)若cos A cos C ＝23，求△ABC 的面积；(2)试问1a ＋1c ＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC 的周长；若不能成立，请说明理由．[解] (1)由B ＝2π3，得A ＋C ＝π3，cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ， 即12＝cos A cos C －sin A sin C ． 又∵cos A cos C ＝23，∴sin A sin C ＝16.∵asin A＝csin C＝632＝22，∴a＝22sin A，c＝22sin C．∴S△ABC ＝12·22sin A·22sin C·sin B＝4sin A sin B sin C＝4×16×32＝33.(2)假设1a＋1c＝1能成立，∴a＋c＝ac.由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴6＝a2＋c2＋ac.∴(a＋c)2－ac＝6，∴(ac)2－ac－6＝0，∴ac＝3或－2(舍)，此时a＋c＝ac＝3.不满足a＋c≥2ac，∴1a ＋1c＝1不成立．11/11。

2021年秋高中数学课时分层作业3任意角的三角函数的定义新人教A 版必修4(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 的坐标为( )【导学号：84352025】A ．P (sin α，cos α)B ．P (cos α，sin α)C ．P (r sin α，r cos α)D ．P (r cos α，r sin α)D [设P (x ，y )，则sin α＝yr ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r，∴x ＝r cos α，∴P (r cosα，r sin α)，故选D.]3．若cos α与tan α同号，那么α在( ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第三、四象限D ．第二、四象限B [因为cos α与tan α同号，因此α在第一、二象限．] 4．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2，其中正确的个数为( ) 【导学号：84352026】 A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [①正确；②错误，如sin π6＝sin 5π6；③错误，如sin π2＝1＞0；④错误，cos α＝x x 2＋y2.因此B 选项是正确的．]5．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin CD [∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.]二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，假如角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝________. －1613 [由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，因此sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第________象限． 四 [因为2 018°＝5×360°＋218°， 因此2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 因此tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0， 因此点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边通过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝________.【导学号：84352027】－8 [因为|OP |＝x 2＋－62＝x 2＋36，因此cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，因此xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.] 三、解答题9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判定角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.【导学号：84352028】[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[冲A 挑战练]1．点P 从(1,0)动身，沿单位圆按逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点P 从(1,0)动身，沿单位圆逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，因此点Q 是角26π3与单位圆的交点，因此Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 26π3，sin 26π3，又cos 26π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π3＝－12，sin 26π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝sin 2π3＝32，因此Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.]2．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【导学号：84352029】－713 [依照三角函数的定义，tan α＝a 5＝－125， ∴a ＝－12，∴P (5，－12)．这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________.35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因此cos θ＜0，r ＝－3cos θ2＋4cos θ2＝5|cos θ|＝－5cos θ，因此cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为________.【导学号：84352030】{－2,0,2} [已知函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z， 角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2,0,2}．]5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判定sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，因此θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，因此θ为第一、三象限角，因此θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限； 当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，因此sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，因此sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.。

高考数学一轮复习 3.7 正弦定理和余弦定理课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·天津十二区县联考(一))在钝角△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A.32 B.34 C.32 D.34解析：由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C 即112＝3sin C ，sin C ＝32.则C ＝60°或120°，C ＝60°时，△ABC 为直角三角形(舍去)；C ＝120°时，A ＝30°所以S ＝12×1×3×sin 30°＝34. 答案：B2．(2013·辽宁五校第二次模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，设A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( )A ．45°或135°B ．135° C．45° D．以上都不对解析：由正弦定理可得：43sin A ＝b sin B ⇒sin B ＝22，又∵a >b ，∴∠A >∠B ，故∠B ＝45°，所以选C.答案：C3．(2013·泰安市高三复习质检)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A. 3 B ．3 C.7 D ．7解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理得BC ＝3，选A.答案：A4．(2013·天津五区县质量调研(一))设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝14，则sin A ＝( )A.154 B.158 C.64 D.68解析：由余弦定理得c ＝10，由cos C ＝14得sin C ＝154，所以由正弦定理得出sin A＝64，选C. 答案：C5．(2013·重庆市六区高三调研抽测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C ＝2(A ＋B )，则下列正确的是( )A ．c 2<3ab B ．c 2>3ab C ．c 2≤3abD ．c 2≥3ab解析：由C ＝2(A ＋B )＝2(π－C )，得C ＝2π3，由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故c 2≥3ab .答案：D6．(2013·湖北八校第一次联考)在△ABC 中，sin(A －B )＋sin C ＝32，BC ＝3AC ，则∠B ＝( )A.π3 B.π6 C.π6或π3 D.π2解析：∵sin(A －B )＋sin C ＝32∴sin(A －B )＋sin(A ＋B )＝2sin A cos B ＝32 ①又∵a ＝3b ，∴a b ＝sin Asin B＝3，∴sin A ＝3sin B 代入①得23sin B cos B ＝32，∴sin 2B ＝32，∴2B ＝120°或60°，∴B ＝60°或30°当B ＝60°代入①sin A ＝32(舍)，故B ＝30°，选B.答案：B 二、填空题7．(2013·北京昌平期末)在△ABC 中，若b ＝3，c ＝1，cos A ＝13，则a ＝________.解析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，故a ＝2 2.答案：2 28．(2013·山东泰安第二次模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin C ，a 2－b 2＝32bc ，则角A 等于________．解析：由sin B ＝2sin C 得：b ＝2c ，又a 2－b 2＝322c ×c ＝3c 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－2c24c2＝－12，∴A ＝2π3.答案：23π9．(2013·河南洛阳高三统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，且b 2＝3ac ，则角A 的大小为________．解析：依题意得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0，则cos B ＝12，B ＝π3，sin B ＝32，又3sin A sin C ＝sin 2B ＝34，∴4sin A sinC ＝1，即2[cos(A－C )－cos(A ＋C )]＝1,2[cos(A －C )＋cos B ]＝1，∴cos(A －C )＝0.又－π<A －C <π，∴A－C ＝±π2；又A ＋C ＝2π3，∴A ＝π12或A ＝7π12.答案：π12或7π12三、解答题10．(2014·河北沧州高三质量监测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－ 3.(1)求角B 的大小；(2)若BA →·BC →＝4，a ＝2c ，求b 的值．解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－3，得tan B ＋31－3tan B ＝－3，∴tan B ＝3，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)由BA →·BC →＝4，得ac cos π3＝4，即ac ＝8，∵a ＝2c ，∴a ＝4，c ＝2.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝12，∴b ＝2 3.11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin 30°－α，化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 12．(2014·河北名校名师俱乐部二调)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A 2－cos 2A 2＝58.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，cos B ＝35，求b 的值．解：(1)由cos 2A 2－cos 2A 2＝58，得1＋cos A 2－cos 2A 2＝58，得(2cos A －1)2＝0，即cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝60°.(2)由cos B ＝35，得sin B ＝45，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b ＝a sin Bsin A ＝3×4532＝85.[热点预测]13．(2013·海淀区期末练习)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (B ＋C )＝1，a ＝3，b ＝1，求角C 的大小．解：(1)因为f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12＝32sin x ＋cos x ＋12－12 ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6又y ＝sin x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2kπ－π2，2kπ＋π2，(k ∈Z )所以令2kπ－π2<x ＋π6<2kπ＋π2解得2kπ－2π3<x <2kπ＋π3所以函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ－2π3，2kπ＋π3，(k ∈Z )(2)因为f (B ＋C )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π6＝1， 又B ＋C ∈(0，π)，B ＋C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6所以B ＋C ＋π6＝π2，B ＋C ＝π3，所以A ＝2π3由正弦定理sin B b ＝sin Aa把a ＝3，b ＝1代入，得到sin B ＝12又b <a ，B <A ，所以B ＝π6，所以C ＝π6.。

1.2余弦定理一、选择题1.一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为（ ）A ．518B ．34C ．32D ．78【解析】设底边长为,则两腰长为2x ,则顶角的余弦值222(2)(2)7cos 2228x x x x x θ+-==⨯⨯.选 D ．2.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B B C C =++，则A = （ ）A.30o B ．60o C ．120o D ． 150o3.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为，，，02cos cos 232=+A A ， 7=a ， c=6，则=b （ ）A. 10B.9C.8D.54. 在△ABC 中， AB=2，AC=3，AB u u u r ·BC uuu r =1，则BC=（ ）(A)3 (B)7 (C)22 (D)23二、填空题5.如图1，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______.6.在ABC ∆中,sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列,则B 的取值范围是_____________【解析】因为sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列,所以2sin sin sin A C B =,即2ac b =,所以22222221cos 2222a c b a c ac a c B ac ac ac +-+-+===-,所以221211cos 22222a c ac B ac ac +=-≥-=,所以03B π<≤,即B 的取值范围是(0,]3π.三、解答题 7．在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线5BD sinA 的值.。