中职数学(高教版)授课教案复数的几何意义和三角形式

3.3《复数的几何意义》教案(1)教学目标了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。

教学重、难点重点：复数的几何意义难点：复数加、减法的儿何惫义教学过程一.问题引入：我们知道实数可以用数轴上的点来表示。

——对应实数 < ----------- > 数轴上的点(数) (形)； - 片实数的几何模型：----- J---那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？二、知识新授：复平面、实轴、虚轴：复数m+bi(a、b^R)与有序实数对(a, b)是 ------ 对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a. b^R),由复数相等的定义可知，、可以由一个有序实数对(a, b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实Z=a+bi数对(3, 2)确定，又如z=-2+i可以由有序实数对(一2, 1)來确定；Z(a,bf ............................ 匕I又因为有序实数对(d,历与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 1 ____a 0 —如有序实数对(3, 2)它与平血直角坐标系中的点4,横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系屮的点集Z间可以建立一一对应的关系•点Z的横坐标是e纵坐标是4复数Z=a+bi(a. b^R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0, 0),它所确定的复数是込=()+0匸0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点祁表示纯虚数在复平面内的原点(0, 0)表示实数0，实轴上的点(2, 0)表示实数2,虚轴上的点(0, —1)表示纯虚数T,虚轴上的点(0, 5)表示纯虚数5,非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(一2, 3)表示的复数是一2+3z, z=—5—3：对应的点(一5, —3)在第三象限等等..例题应用：例1、(1)下列命题屮的假命题是(D ) (A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B) 在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C) 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。

复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。

复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。

复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。

例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。

使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。

复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。

这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。

在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。

根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。

这种形式方便了复数的乘法和幂运算。

例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。

复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。

首先，复数可以用来表示平面上的向量。

向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。

复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。

其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。

情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。
教学重点
用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、辐角主值的概念.
教学难点
复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角的求法.
教学资源
课本，教学参考书,学习指导书，网络
教法与学法
教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。
解：(1） =1，辐角主值
=
(3) ，由 和点 在第四象限，得
,
所以 =
想一想：怎样把复数 表示成三角形式？
复数的代数形式 化为复数的三角形式一般方法步骤是：
①求复数的模： ;②由 及点 所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
南京商业学校教案
授课日期
2015年月 日第周
时 数
课型
新课
课题
§17。3复数的几何意义和三角形式
教学
目标
知识目标:了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示；理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的三角形式及其特征。
能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）;会进行复数的三角形式与代数形式的互化。
2．复数的几何表示
有序实数对（ 与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式 可以知道,任何一个复数 ，都可以有一个有序的实数对（ ）唯一确定,即复数 图1
与有序实数对（ )之间一一对应.由此可知,复数 与复平面内的点 之间是一一对应的（如图1所示)，即任何复数 都可以用复平面内的点 来表示。我们把这种表示形式叫做复数的几何表示.
学情分析
（含更新、补充、删节内容）

复数的三角形式与指数形式详细教案教案主题：复数的三角形式与指数形式教学目标：1.理解复数的三角形式与指数形式的概念；2.学会将复数转换为三角形式和指数形式；3.掌握复数的三角形式和指数形式的运算法则；4.能够在实际问题中灵活应用复数的三角形式和指数形式；5.培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。

教学内容：1.什么是复数的三角形式和指数形式。

2.如何将复数转换为三角形式和指数形式。

3.复数的运算法则和性质。

4.如何将复数的三角形式和指数形式应用于实际问题。

教学步骤：Step 1：复习复习复数的定义和基本运算法则，并介绍复数的表示形式：直角坐标形式。

Step 2：引入介绍复数的三角形式和指数形式的概念，并解释为什么引入这两种形式。

Step 3：三角形式3.1解释复数的三角形式的定义和表示方法；3.2解释如何将复数转换为三角形式；3.3练习题与讲解。

Step 4：指数形式4.1解释复数的指数形式的定义和表示方法；4.2解释如何将复数转换为指数形式；4.3练习题与讲解。

Step 5：三角形式与指数形式的关系5.1解释三角形式与指数形式之间的转换关系；5.2练习题与讲解。

Step 6：运算法则和性质6.1复数的加法和减法规则；6.2复数的乘法和除法规则；6.3复数的幂运算规则；6.4复数的共轭和模长的计算；6.5练习题与讲解。

Step 7：应用实际问题7.1解释如何将复数的三角形式和指数形式应用于实际问题；7.2解答一些实际问题，并帮助学生理解如何运用三角形式和指数形式解决问题；7.3练习题与讲解。

Step 8：总结与评价总结本节内容，并进行班级讨论和答疑解惑。

教学方法：1.讲授法：通过讲解理论知识，帮助学生理解复数的三角形式和指数形式的概念和定义。

2.演示法：通过示例演示如何将复数转换为三角形式和指数形式。

3.练习法：通过练习题的讲解和解答，巩固学生对知识点的理解和运用能力。

4.案例分析法：通过解答实际问题，帮助学生理解复数的三角形式和指数形式的实际应用。

高中数学备课教案复数的指数形式与三角形式的应用高中数学备课教案复数的指数形式与三角形式的应用一、引言在数学中，复数是由实部和虚部组成的数，它在各种数学领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍复数的指数形式和三角形式，并探讨它们在数学中的实际应用。

二、复数的指数形式1. 复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数的指数形式是指采用指数的形式来表示复数。

2. 复数的极坐标形式复数可以用极坐标形式表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。

复数的极坐标形式与直角坐标形式可以相互转化，具体的转换公式为：- 直角坐标形式转换为极坐标形式：r=sqrt(a²+b²)，θ=arctan(b/a)；- 极坐标形式转换为直角坐标形式：a=r*cosθ，b=r*sinθ。

3. 复数的指数形式复数的指数形式可以表示为z=Re^(iθ)，其中R为复数的绝对值，θ为辐角。

复数的指数形式与极坐标形式也可以相互转化，具体的转换公式为：- 极坐标形式转换为指数形式：R=e^r，θ=arctan(b/a)；- 指数形式转换为极坐标形式：r=ln(R)，θ=arctan(b/a)。

三、复数的三角形式1. 复数的三角形式定义复数的三角形式是指通过正弦、余弦函数表示复数，具体形式为z=r*cosθ+r*sinθ，其中r为复数的模，θ为辐角。

2. 复数的三角形式与指数形式的转换- 三角形式转指数形式：根据欧拉公式，e^(iθ)=cosθ+isinθ，将复数的三角形式代入得到对应的指数形式；- 指数形式转三角形式：根据欧拉公式，cosθ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2，sinθ=(e^(iθ)-e^(-iθ))/(2i)，将复数的指数形式代入得到对应的三角形式。

四、复数的应用复数的指数形式和三角形式在数学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 电路分析复数广泛应用于电路分析中，可以用来表示电流、电压、阻抗等。

复数的几何意义教案【最新精选】第一章：复数的概念1.1 引入复数的概念讲解实数和虚数的概念，引入复数的概念。

通过实际例子，让学生理解复数是由实部和虚部组成的数。

1.2 复数的表示方法讲解复数的代数表示法，即a + bi 的形式。

讲解复数的字母表示法，如z = a + bi。

1.3 复数的实部和虚部讲解复数的实部和虚部的定义。

讲解实部和虚部的性质和运算规则。

第二章：复数的几何表示2.1 引入复数的几何表示讲解复数在复平面上的表示方法。

讲解复数的实轴和虚轴的概念。

2.2 复数的几何图形讲解复数的圆和螺旋图形。

讲解复数的四叶草图形。

2.3 复数的几何性质讲解复数的旋转性质。

讲解复数的缩放性质。

第三章：复数的运算3.1 复数的加法和减法讲解复数的加法和减法的运算规则。

通过实际例子，让学生掌握复数的加法和减法的运算方法。

3.2 复数的乘法和除法讲解复数的乘法和除法的运算规则。

通过实际例子，让学生掌握复数的乘法和除法的运算方法。

第四章：复数的三角表示4.1 引入复数的三角表示讲解复数的三角表示方法，即r(cosθ+ isinθ) 的形式。

讲解复数的三角函数的概念。

4.2 复数的三角性质讲解复数的三角性质，如复数的模和辐角的概念。

讲解复数的三角函数的性质和运算规则。

4.3 复数的三角变换讲解复数的三角变换方法，如复数的乘法和除法的三角表示。

通过实际例子，让学生掌握复数的三角变换方法。

第五章：复数的应用5.1 复数在信号处理中的应用讲解复数在信号处理中的应用，如复数表示交流电信号。

讲解复数在通信系统中的应用，如复数表示调制和解调。

5.2 复数在电路分析中的应用讲解复数在电路分析中的应用，如复数表示电阻、电容和电感元件。

讲解复数在交流电路分析中的应用，如复数表示相位和阻抗。

5.3 复数在其他领域的应用讲解复数在数学分析中的应用，如复数表示复平面上的点。

讲解复数在其他科学和工程领域的应用，如复数表示量子力学中的波函数。

《复数的几何意义》教学设计第2课时1.理解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．2.掌握复数的几何意义，并能适当应用．3.掌握复数模的定义及求模公式．教学重点：复平面、实轴、虚轴、共轭复数、复数的模等概念．复数的几何意义的简单应用．教学难点：一、问题导入问题1：能怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？师生活动：学生先回忆初中实数几何意义等．【想一想】否为复数找一个几何模型呢？设计意图：通过对实数几何意义的回顾，提出复数几何意义的问题，引导学生进行类比思考．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的几何意义.（板书：复数的几何意义）【新知探究】1．分析实数几何意义，感知复数几何意义.问题2：实数几何意义是什么？如何定义复数几何意义？复平面如何定义？师生活动：实数几何意义是：对每一个实数，总能在数轴上找到唯一点与之的对应.反之，对数轴上任意一个点，总能确定一个唯一的实数值．一方面根据复数相等的定义，复数Z=a+b i(a，b∈R)被它的实部与虚部唯一确定，即复数Z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对(a，b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z (a，b)，因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数Z=a+b i 与点Z (a，b)具有一一对应关系.建立了直角坐标系来表示复数的平面，也称为复平面， x 轴上的点对应的都是实数，因此x 轴称为实轴， y 轴上的点除了原点以外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y 轴为虚轴．追问：联系向量，复数还可以有什么几何意义？预设的答案：因为平面直角坐标系中的点 Z (a ，b )能唯一确定一个以原点O 为始点， Z 为终点的向量OZ ，所以复数也可以用向量OZ 来表示，这样以来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O 为始点的向量组成集合之间建立一一对应关系，即复数Z a bi =+↔向量OZ = (a ，b )设计意图：类比实数几何意义，感知复数几何意义，发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养．2.在实例感知的基础上，总结出共轭复数的概念．问题3：两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，它们有什么关系？师生活动：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数Z 的共轭复数用OZ 表示，因此，当(,)Z a bi a b R =+∈时，有OZ =a －b i追问：一般地，当a ，b ∈ R 时，复数a +b i 与a －b i 在复平面内对应的点有什么位置关系？预设的答案：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：自主阅读教材，回答：复数的模如何定义？师生活动：一般的向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模用表示，因此． 可以看出，当b =0时， 说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 追问：两个共轭复数的模什么关系？预设的答案：一般地两个共轭复数的模相等，即．设计意图：通过联系向量知识，体会复数与向量的对应关系，进而提出模长的概念．发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 【巩固练习】 例1. 设复数134=+z i 在复平面内对应的点为1Z ，对应的向量为1OZ ；复数2z 在复平面内对应的点为2Z ，对应的向量为2OZ .已知1Z 与2Z 关于虚轴对称，求2z 并判断1OZ 与2OZ 的大小关系.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由题意可知1(3,4)Z ，又因为1Z 与2Z 关于虚轴对称，所以2(3,4)-Z ． 从而有234=-+z i ．因此222(3)45=-+=z . 又因为2211||345==+=OZ z ，225==OZ z ． 所以12||||=OZ OZ . 设计意图：通过典例解析，加深对复数几何意义的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例2. 若复数z 1＝(x －3)＋(x +2y+1)i 与z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，求x 与y.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )的共轭复数＝2y －i(x ，y ∈R ) 根据复数相等的定义，得3221()-=⎧⎨++=-++⎩x y x y x y z ． 解这个方程组，得39,77==-x y ． 设计意图：通过典例解析，加深对共轭复数的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例3. 设复数z 在复平面内对应的点为Z ，说明当z 分别满足下列条件时，点Z 组成的集合是什么图形，并作图表示.（1）||2=z ；（2）1||3<≤z . 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：（1）由||2=z 可知向量OZ 的长度等于2，，即点Z 到原点的距离始终等于2，因此点Z 组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆.如图（1）所示.（2）不等式1||3<≤z 等价于不等式组31⎧≤⎪⎨>⎪⎩z z .又因为满足||3≤z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部． 而满足||1>z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部．所以满足条件的点Z 组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图（2）所示.设计意图：通过典例解析，加深对复数模的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．【课堂小结】问题：（1）复数的几何意义包含哪两种情况？（2）如何理解复数的模？ 互为共轭复数的两个复数的模是什么关系？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．复数的几何意义包含两种情况：（1）复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．（2）复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．(3)根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ 之间的关系可用下图表示：2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．（4）两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确集合的有关知识．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．( )设计意图：巩固理解复数的几何意义．2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为()A．(1，i)B．(1，－i) C．(1，1) D．(1，－1)设计意图：3．已知复数z＝3＋2i，则z＝________；|z|＝________.设计意图：巩固理解复数的几何意义．4．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)表示的图形是________．设计意图：巩固理解复数的模及几何意义．5．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．设计意图：巩固理解复数的几何意义．参考答案：1． (1)√ (2)× (3)×2．复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．故选D ． 3．∵z ＝3＋2i ，∴z ＝3－2i ，|z |＝32＋22＝13.4．∵|z |＝22，∴x 2＋y 2＝22，∴x 2＋y 2＝8.则点(x ，y )表示以原点为圆心，以22为半径的圆．5．因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限． (3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时． 点Z 位于直线x －y －3＝0上．。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容我们把横轴和纵轴分表叫做实轴和虚轴，这样的平面直角坐标系叫做复平面。

用复平面内的点来表示复数，叫做复数的几何表示法。

三、例题选讲解：这些复数分别用点坐标Z1=(0,4),Z2=(4,0),Z3=(2,1),Z4=(-2,2),Z5=(2,-3),Z6=(-2,-2)来表示。

教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容例 2 指出如图所示复平面内个点所表示的复数。

练习：P70练习2.复数的模与辐角一般的，复平面内表示复数z=a+bi的点Z （a,b）到原点的距离叫做复数的模，记作z，即：22z a b=+，以x轴正半轴为始边，OZ为终边的角α叫做复数z的辐角。

复数的辐角不是唯一的，事实上，若α是复数z的辐角，那么2kπ+α也是辐角，所以，我们把复数z在（-π，π】内的辐角叫做辐角的主值，记作arg z，以后所说的辐角一般指的是他的主值。

规定：复数0的辐角是任意值。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：17.3.1复数的几何意义及三角形式教学目标1.理解掌握复数的三角形式2.会进行复数代数形式和三角形式间的互化重点理解掌握复数的三角形式难点会进行复数代数形式和三角形式间的互化教法讲练结合数形结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一引入有了复数的模和辐角后，可以用另一种方式来表示复数。

二新授若设复数z=a+bi，其模z,rθ=辐角为，如图所示，试用r，θ表示复数z的实部和虚部。

若复数z的模为r，辐角为θ，则z=r(cosθ+isinθ)一般的，将z=r(cosθ+isinθ)叫做复数的三i+6(cos60sin60)。

高中数学教案复数的指数形式与三角形式一、引言复数是数学中的一个重要概念，在高中数学学科中占据了重要的地位。

本教案旨在帮助学生理解复数的指数形式与三角形式，以及它们在实际问题中的应用。

二、复数的指数形式1. 复数的定义复数是由实部与虚部组成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2. 指数形式的概念指数形式是将复数写成指数的形式，即z=r×e^(θi)，其中r为模长，θ为辐角。

3. 求模长与辐角a) 模长的计算：模长r=√(a^2+b^2)b) 辐角的计算：tanθ=b/a4. 乘法与除法的指数形式表示a) 复数相乘：将模长相乘，辐角相加，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)ib) 复数相除：将模长相除，辐角相减，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的三角形式1. 三角形式的概念三角形式是将复数写成三角函数的形式，即z=r(cosθ+isinθ)。

2. 求模长与辐角a) 模长的计算：与指数形式相同，模长r=√(a^2+b^2)b) 辐角的计算：与指数形式相同，tanθ=b/a3. 乘法与除法的三角形式表示a) 复数相乘：将模长相乘，辐角相加，即r_1(cosθ_1+isinθ_1)×r_2(cosθ_2+isinθ_2)=r_1r_2[cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)]b) 复数相除：将模长相除，辐角相减，即(r_1(cosθ_1+isinθ_1))/(r_2(cosθ_2+isinθ_2))=(r_1/r_2)[cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)]四、复数的应用1. 电路中的应用复数的指数形式与三角形式在电路中有广泛的应用，可以用于描述交流电路中电流与电压之间的关系。

2. 幅角的意义解释复数的辐角可以表示相位差，常用于解释波的相位变化以及信号之间的相对位置关系。

() − ; () − +
3.写出下列复数的共轭复数,并求它们的模.
() + ;
() − + ;
4.指出满足下列条件的复数所对应的点Z的集合是什么图形.
() + ;
() − + ;
如果两个复数不全是实数,那么不能比较大小.
复数 = +
一一对应
一一对应
平面向量
直角坐标系中的点(, )
一一对应
1. 在复数平面内画出下列复数的点和向量.
() + ;
() − 3 + ;
() − ; ()
2. 求下列复数的模.
() − ;
();
A(4,3)
(2)|| =
|| =
B(4,-3)
+ = ;
+ (−) = ;
∴ || = ||
4.共轭复数
一般地,如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时,那么这两个复数
叫做互为共轭复数.
复数的共轭复数用ത表示,即如果= + , 那么ത = −
x
复数 = + 可以用直角坐标系中的点(, )来表示.
用来表示复数的平面称为复平面,直角坐标系中的轴称为实轴,
轴(除去原为)称为虚轴.实轴上的点表示实数,虚轴上的点称为纯虚数.
例：复平面内的原点(, )表示实数;
点(, )表示实数;
点(, −)表示纯虚数−;
的复数,复数与平面上的点是一一对应的.
2.复数的模
一般地,向量的长度称为复数 = + 的模,记作||或| + |,
即
|| = | + | =

高中数学教案复数的三角形式与指数形式高中数学教案：复数的三角形式与指数形式一、引言数学中的复数是指具有实部和虚部的数，可以用多种形式表示，其中最常见的是三角形式与指数形式。

本教案将重点介绍复数的三角形式与指数形式的概念、转换方法以及在数学问题中的应用。

二、复数的三角形式1. 定义复数的三角形式是指将复数表示为模长和辐角的形式，形如：z =r(cosθ + isinθ)。

其中，r表示复数的模长，θ表示复数的辐角。

2. 模长与辐角的计算模长r的计算公式：r = |z| = √(a^2 + b^2)，其中，a为复数的实部，b为复数的虚部。

辐角θ的计算公式：θ = arg(z) = arctan(b/a)。

3. 复数的三角形式转换为直角坐标形式对于给定的模长和辐角，可以通过如下公式将复数的三角形式转换为直角坐标形式：z = r(cosθ + isinθ) = a + bi。

其中，a = rcosθ，b = rsinθ。

三、复数的指数形式1. 定义复数的指数形式是指将复数表示为指数和虚指数的形式，形如：z = re^(iθ)。

其中，r表示复数的模长，θ表示复数的辐角，e是自然对数的底，i是虚数单位。

2. 模长与辐角的计算同样地，复数的模长和辐角可以通过模长公式和辐角公式来计算。

3. 复数的指数形式转换为直角坐标形式复数的指数形式可以通过欧拉公式转换为直角坐标形式：z = re^(iθ) = r(cosθ + isinθ) = a + bi。

四、三角形式与指数形式之间的转换1. 三角形式转换为指数形式将三角形式的复数z = r(cosθ + isinθ)代入欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，得到指数形式的复数：z = re^(iθ)。

2. 指数形式转换为三角形式已知复数的指数形式z = re^(iθ)，可以通过欧拉公式的逆运算得到三角形式的复数：r = |z|，θ = arg(z)。

五、复数的应用示例1. 解析几何中的应用复数的三角形式和指数形式在解析几何中有广泛应用，例如在平面内旋转、平移等操作中可以用复数来表示，方便运算和表达。

3.调整策略：根据学生掌握情况和反馈信息，调整教学策略和方法，更好地满足学生的学习需求。
通过以上的学历案，希望学生能够全面、系统地掌握复数的概念和基本运算法则，并在日常生活和学习中加以应用。同时，通过评价任务和学后反思，让学生不断总结和调整自己的学习方法和策略，提高学习效果。在今后的学习中，教师和学生都应继续努力，不断探索和尝试新的教学方法和手段，以更好地促进学生的学习和发展。
2.过程与方法：通过实例分析，理解复数在解决实际问题中的应用，并能够运用复数知识解决简单的数学问题。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学学习的兴趣和自信心，增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、评价任务
1.课堂小测验：检测学生对复数基本概念和运算法则的掌握情况。
2.课堂讨论：学生围绕复数在日常生活和学科学习中的应用进行讨论，评价学生的理解能力和分析能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学学习的兴趣和好奇心，增强学生数学应用意识和实践能力。
三、评价任务
1.了解学生对复数基本概念的掌握情况，通过课堂提问和小组讨论进行评价。
2.评价学生是否能够正确理解复数的代数形式和几何意义，通过课堂练习和作业进行检验。
3.评价学生是否能够运用复数解决实际问题，通过课后小项目或实践活动进行籍或网上资源，了解复数在其他领域的应用。
2.组织学生参加数学竞赛或实践活动，锻炼学生的数学应用能力和实践能力。
3.鼓励学生探索复数领域的深入研究，培养学生对数学的兴趣和热爱。
通过以上就是关于“中职数学课程《复数的概念》学历案（第一课时）”的详细内容。整个学习过程从导入到拓展延伸，旨在让学生全面、深入地理解复数的概念，掌握其基本知识和应用方法，同时培养学生的数学学习兴趣和实践能力。通过本课时的学习，学生将能够为后续的数学学习打下坚实的基础，为未来的学习和工作做好准备。同时，教师也将不断总结教学经验，优化教学方法和手段，提高教学质量，为学生的成长和发展提供更好的支持和帮助。

z=a+bi
Z(a,b)
b

ao
幅角是一个角度，可以写成30°可以写成π/6。 弧度和角度形式都对！
x
tan

b a

虚部 实部
只要注意这几个特殊的tan角度即可。
角度 0° 30° 45° 60° 90°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2
tan 0
31
3
3/
≈0.577
≈1.732
考点二：幅角主值怎么看？（重点难点）
6
6
（1 cosπ i sinπ）
6
6
模r 2，幅角主值 75
模r
1，幅角主值
π
6
其他内容
复数的三角形式转化为代数形式
很少考，比较难 在这里就不讲了，如果有需要，回到学校再补充
将下列复数的三角形式化成代数形式：
(1)
z1

2(cos

6

i sin

6
);
(2)z2 6(cos 60o i sin 60o).
D．第四象限
• 3.复数Z=1+√3i 的模和辐角主值分别是（ ）。 • • 4.请写出下列复数的模和幅角（幅角主值） • 注意：用角度形式或者幅度形式都可以，挑其中一种写。
（1）Z 3 i （2）Z 2 2i
（3）Z i
（4）Z 1

π，所以arg Z
π
3
3
z=a+bi 点Z(a,b) 复数Z的模 即：z a2 b2
例题：指出下列复数的模和幅角
（2）Z 2 2i
tan

b a

集合称为纯虚数集,它们与实数集、复数集之间具有怎样的关系？复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可以用下图表示.例1 指出下列复数的实部和虚部,并判断这些复数是实数练习5.1.11. 写出下列复数的实部和虚部.2.下列复数哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？3.求满足下列条件的实数x和y.5.1.2 复数的几何意义由复数相等的定义,复数z=a+b i与有序实数对(a,b)之间是一一对应的.而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点也是一一对应的．因此,复数集里的复数与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系,即复数可以用平面直角坐标系中的点来表示.如图所示,复数z=a+b i可以用平面直角坐标系中的点Z(a,b)来表示.用来表示复数的平面称为复平面,直角坐标系中的x轴称为实轴,y轴(除去原点)称为虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点都表示纯虚数.例如，复平面内的原点O(0,0)表示实数O，点A(1,0)表示实数点B(0,-1)表示纯虚数-i，点D(1,-1)表示复数1-i.由于复数z=a+b i与点Z(a,b)是一一对应的,点Z(a,b)与向量OZ也是一一对应的,如图所示.因此,复数z=a+b i 既可以用点Z(a,b)表示,也可以用向量OZ表示,这就是复数的几何意义.一般地,向量OZ的长度称为复数z=a+b i的模,记作|z|或|a+b i|，即显然,复数的模就是它在复平面中所对应的点到原点的距离.如果b=0,那么复数z=a+b i是一个实数,它的模等于实数a的绝对值|a|.典型例题例3 在复平面内，画出表示复数 3-i、4、2i 的点和向量.解如图所示表示复数 3-i的点为A(3,-1)，向量为OA；表示复数4的点为B(4,0)，向量为OB；表示复数2i的点为C(0,2)，向量为OC.例4 已知复数z1=4+3i，z2=4-3i.(1)在复平面内画出复数z1、z2对应的点和向量；(2)求复数z1、z2的模，并比较模的大小.解(1)如图所示，复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，对应的向量分别为1OZ和2OZ；(2)|z1|=|4+3i|=224+3=5,|z2|=|4-3i|=224+(3)=5-.所以|z1|=|z2|.一般地,如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数互为共轭复数.共轭复数用z表示，即如果z=a+b，那么z=a-b i.例4可知,两个共轮复数z和z的模相等,表示两个共轭复数z和z的点关于实轴对称.特别地,实数a的共轭复数仍是a本身.例5 设复数z在复平面内对应的点为Z，问满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1) |z|=3；(2) 2≤|z|≤3.解(1)由|z|=3知，向量OZ的模等于3，所以满足条件|z|=3的点Z的集合是以原点为圆心、以3为半径的圆.(2)不等式2≤|z|≤3可化为23.zz⎧⎨⎩，≥≤满足条件|z|≥2的点Z在以原点O为圆心、以2为半径的圆上或其外部，满足条件|z|≤3的点Z在以原点O为圆心、以3为半径的圆上或其内部.因此，满足条件2提问引导讲解强调指导示范提问引导讲解强调指导示范提问引导讲解强调思考分析解决交流主动求解思考分析解决交流主动求解思考分析解决交流例3例4是在理解复平面概念的基础上，训练如何用复平面内的点表示复数，如何在复平面内表示向量，体会复数、点、向量间的一一对应关系例5巩固复数几何意义，提升学生直观想象核心≤|z|≤3的点的集合是以原点O为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所围成的圆环.探究与发现两个实数可以比较大小,试问两个复数可以比较大小吗？练习5.1.2(1) |z|=1；(2) 2≤|z|<4.。

5.1.2 复数的几何意义（教案）（2课时）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一上册）教学目标：1. 知道复数的几何意义，理解复平面和复数的对应关系。

2. 了解复数的模和辐角及其在复平面上的表示方法。

3. 认识复数运算在复平面中的几何意义，能够画出复数加减乘除的几何图形。

教学内容：第一节：复数的几何意义1. 复平面的定义和图示2. 复数与复平面的对应关系3. 复数的模和辐角第二节：复数的几何运算1. 复数加减的几何意义2. 复数的乘法与除法的几何意义教学方法：讲解法、实验法、实践操作法、研究式教学法教学过程：第一节：复数的几何意义（第一课时）1. 导入引出本节课的主体内容，并从实际生活经验中出发，引导学生理解“复数”的含义及其起源。

2. 知识讲解（1）复平面的定义和图示复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面笛卡尔坐标系，用于表示复数。

（2）复数与复平面的对应关系我们可以将复数z=a+bi表示为平面直角坐标系中的点(x,y)，其中x=a,y=b。

即z=a+bi<=>(x,y)。

（3）复数的模和辐角复数z=a+bi（a、b为实数，i为虚数单位）的模定义为|z|=√(a²+b²)。

复数z=a+bi的辐角定义为与正实轴的夹角，用符号arg(z)表示，其中0 ≤ arg(z) < 2π。

注意：当a=0,b>0时，arg(z)=π/2，当a=0,b<0时，arg(z)=-π/2.3. 实验操作（1）观察实际示例，通过实验探究复数与复平面的对应关系。

（2）通过实验确定复数模和辐角的含义和计算方法。

4. 深入探究引导学生对已知的复数进行模和辐角的计算，在复平面上标出对应的点，并通过分析推出模和辐角的几何含义。

例如：z=3+4i，|z|=√(3²+4²)=5，arg(z)=tan⁻¹(4/3)≈0.93（弧度制），则z对应平面上的点坐标为(3,4)，并与正实轴形成近似于50度的夹角，即z在复平面上的位置与其模和辐角有密切关系。

【课题】 3.1 复数的概念（一）【教学目标】知识目标：理解复数的有关概念． 能力目标：通过复数概念的学习与相关计算，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】复数的概念．【教学难点】复数的概念．【教学设计】首先给出了复数的定义，然后引入虚数、纯虚数的定义，将实数集推广到复数集．介绍复数i a b +（,a b ∈R ）的概念时，要注意以下几点：（1）复数的虚部是b ，而不是i b ，如教材中指出复数34i z =--的虚部是4-，而不是4i -．（2）当虚部0b =时，复数i a b a +=就是0b ≠时，复数i a b +是虚数，特别0a =时，虚数i b 是纯虚数.（3）i a b +（,a b ∈R ）中的“+”号有两种作用，第一个作用是连接记号，表示i a b +是一个整体，由实数a 和纯虚数i b 组成复数；第二个作用是运算符号表示实数a 和纯虚数i b 相加．例1的作用是帮助学生理解概念．这部分内容学生了解即可，不需要特别强化训练，不介绍关于数系讨论问题的解题技巧．教学中要把握难度，不超过教材的例、习题的难度．讲解复数相等的定义时要强调11a b +i 22a b =+i 等价于12a a =且12b b =，只有当12a a =，12b b =这两个条件同时成立时11a b +i 才能等于22a b +i. 复数i z a b =+的共轭复数是i z a b =-．要注意它们的特征：实部相等，虚部互为相反数，教学中可引导学生得出：实数的共轭复数就是它本身．例2的作用是帮助学生理解复数相等的定义．教学中要讲清楚解题的基本思想，分清等号两边复数的实部与虚部，利用复数相等的概念，由“实部与实部相等，虚部与虚部相等”列出一个二元一次方程组，最后求出未知数x 、y 的值．例3的作用是帮助学生理解共轭复数的概念．要强调互为共轭的两个复数，其实部相等，虚部互为相反数．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】。

§3.1.2复数的几何意义（教学设计）备课组：*****数学组主备人：***** 审核人：*****授课类型：新授课授课教师：*** 授课时间：****年**月**日复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

1.知识与技能目标理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模.2.过程与方法目标通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力.3.情感与态度价值观目标通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣.重点：复数的几何意义以及复数的模；难点：复数的几何意义及模的综合应用.教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式.学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式.：三角板、多媒体等教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境1.复数的代数形式为z a bi=+，a为实部，b为虚部。

2.复数),(Rbabiaz∈+=是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是？针对上述问题，学生进行讨论。

学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。

新知探究一：复数的几何意义思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗？思考2：平面向量OZ的坐标为),(ba,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？教师提出问题学生思考，进行小组讨论。