初中数学苏科版七年级上册2.7 有理数的乘方

乘方的含义是什么难易度：★★关键词：有理数答案：有n个相同因数的积的运算叫有理数的乘方。

因此可以运用有理数乘法法则进行符号的确定和幂的求值。

乘方的含义:（1）表示一种运算。

（2）表示运算的结果.乘方的读法：（1)当a表示运算时，读作a的n次方.(2)当a表示运算的结果时,读作a的n次幂，读式时，要注意题目要求.【举一反三】典例:把下列各式写成乘方的形式：1、（—3）（—3）(-3）（-3） (2）、思路导引:一般来说，此类问题应根据定义，找出相同的因数及相乘的个数。

1、由于是4个—3相乘，底数应是—3，而这里底数是3，正确等案是(-3）；2、这里是5个相乘，底数应该是，也就是的分子与分母都要乘5次方，正确答案是：（）。

标准答案：1、（-3)；2、（)。

尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

七年级上册 2.7有理数的乘方教学设计[课程标准]理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。

[教材分析]本科内容是苏科版，七年级上册第二章有理数重的内容。

课程标准在的要求是理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。

在实际的考察中，对学生的混合运算考察的比较多。

并且也为后期的科学计数法和幂的运算做了铺垫，是有理数运算中承上启下的重要一环。

[学情分析]小学阶段学生的计算都是整数，并且对分数和小数的计算都保留在2到3步，所以说对于有理数的乘方，第一大难点就是增加了负数和分数的乘方，对学生的计算能力提出了更高的要求。

因此，在教学过程中，多从定义出发，利用法则和规律，充分调动学生的智力和非智力因素，熟练掌握有理数的乘方，以达到良好的教学效果。

回忆：已经学过了哪些运算，他们各自对应的结果又叫做什么？2.一般地， n aa a a a ⋅⋅⋅⋅个记作a n ，读作“a 的n 次方”（作为过程），或者“a 的n 次幂”（作为结果）.你还能举出类似的实例吗？ 2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．26、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数，6、3叫做指数． 练一练：1.以下乘方的意义，并指出其中的底数和指数：74，()1325,5,31-⎪⎭⎫ ⎝⎛-；补充说明：2次方又叫平方，3次方形成并理解乘方、幂、指数、底数的概念，理解乘方运算和乘法运算的关系．学生模仿老师说出231⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()25-，51，的意义，指出其中的底数和指数.学生解答通过定义来写出式子，以更清晰地理解和比较底数，并且总结法的关系． 类似于乘法是求几个相同加数的和的运算，乘法是比加法高一级的运算，乘方是求几个相同因数的积的运算，乘方是比乘法高一级的运算．及时巩固对乘方有关概念的理解，当底数是板书：[教学反思]一、做得比较好的地方：1.引入较好，一个棋盘的故事，引起了学生的兴趣。

第2章有理数2.7 有理数的乘方课程标准课标解读1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；1、有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数．2、有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征．知识点01 有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在n a中，a叫做底数， n叫做指数．【微点拨】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．【即学即练1】1．计算()23-的结果是（）A．9-B．9C．6-D．6【答案】B【分析】目标导航知识精讲根据乘方的法则即可求解．【详解】解：（-3）2=9．故选：B．知识点02 乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如n a≥0．【微点拨】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．【即学即练2】2．下列运算中错误的是（）A．4(2)16-=B ．328327=C．3(3)27-=-D．104(1)1-=【答案】B【分析】利用乘方的意义对各选项进行判断．【详解】解：A、（-2）4=16，正确，故选项不符合；B、323=83，错误，故选项符合；C、（-3）3=-27，正确，故选项不符合；D、（-1）104=1，正确，故选项不符合；故选：B．考法01 有理数的乘方运算1．求n个相同因数的积的运算叫做乘方。

能力拓展2． 乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

2.7 有理数的乘方第 1 课时有理数的乘方(一)自主学习1.求的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫 .2.在a°中, 是底数, 是指数.3.正数的任何次幂都是数；负数的奇数次幂是数，负数的偶数次幂是数.当堂反馈1. 比较(-3)⁴和-3⁴,下列说法正确的是 ( )A.它们底数相同，指数也相同B.它们底数相同，但指数不相同C.它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D.它们底数不同，运算结果也不相同2.−1²⁰ ²⁰等于 ( )A.1B. -1C. 2020D. -20203.下列各数中一定是正数的是 ( )A.0B. |a|C.-(-5)D. -2²4.下列运算正确的是 ( )A.−(−2)²=−4B.-|-2|=2C.(−2)³=−6D.(−2)³=85.如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个数是 ( )A. 正数B.负数C.非负数D.任何有理数6.将5×5×5写成乘方的形式是 ;将-5×5×5写成乘方的形式是 ;将(-5)×(-5)×(-5)写成乘方的形式是 .,-(-2),(-4)²中,正数有个.7.在有理数-3²,0,20,-1.25,1348.(1)一个数的平方等于它本身，这个数是；(2)一个数的立方等于它本身，这个数是；(3)如果一个数的平方等于36，那么这个数是 .9.探究规律:3¹=3,个位数字为3;3²=9,个位数字为9;3³=27,个位数字为7;3⁴=81,个位数字为1;3⁵=243,个位数字为3;3⁶=729,个位数字为9，……那么3⁷的个位数字是，3²⁰²ˡ的个位数字是10. 计算.(1)(-3)³; (2)(−23)2; (3)−(23)2;(4)−(−23)2; (5)−223; (6)−232.11. 计算.(1)(−23)3; (2)−23÷49×(−32)2;(3)−(−2)³×(−3)²; (4)(−14)3×(−4)2÷(−1)11.12. 计算.(1)(−2)3−2×(−4)÷14; (2)−5²×4+|−2|×3³.13.你吃过“手拉面”吗?拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条(假设在拉的过程中面条没有断)，如图所示.这样的捏合，到第多少次后可拉出128根细面条?捏合了10次后可拉出多少根细面条?能力拓展14. 若( (x +1)²+|y −2020|=0,则2020-x ʸ的值为 .15.现有两种给你钱的方法：第一种方法是每天给你1元，一直给你10年；第二种方法是第一天给你1分钱，第2天给你2分钱，第3天给你4分钱，第4天给你8分钱，第5天给你16分钱……依次类推，给你20天.哪一种方法得到的钱多?第2课时有理数的乘方(二)自主学习一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤a<10，n是正整数.这种记数法称为科学记数法.注意：n等于 .当堂反馈1.为了将新冠疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元,其中632400000000用科学计数法表示为 ( )A.6.324×10¹¹B.6.324×10¹⁰C.632.4×10⁹D.0.6324×10¹²2. 2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约 7100000名党员获此纪念章.数71000 00用科学记数法表示为 ( )A.71×10⁵B.7.1×10⁵C.7.1×10⁶D.0.71×10⁷3.今年6月13 日是我国第四个文化和自然遗产日.目前，我国世界遗产总数居世界首位.其中自然遗产总面积约68000km²，将68000用科学记数法表示为 ( )A.6.8×10⁴B.6.8×10⁵C.0.68×10⁵D.0.68×10⁶4.嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即11200 米/秒，数字11200用科学记数法表示为 ( )A.112×10²B.1.12×10³C.1.12×10⁴D.1.12×10⁵5.过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么能减少3.12×10⁶吨二氧化碳的排放量，把3.12×10⁶写成原数是 ( )A.312000B.3120000C. 31200000D.3120000006.“我的连云港”App是全市统一的城市综合移动应用服务端.一年来，实名注册用户超过1600 000人.数据1600000用科学记数法表示为7.2020年6月23日，中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成，其星载原子钟授时精度高达每隔3000000年才误差1秒.数据3000000用科学记数法表示为8. 地球的半径大约为6400 km.数据6400 用科学记数法表示为9.一天有8.64×10⁴秒，一年如果按365天计算，用科学记数法表示一年有秒.10.用科学记数法表示下列各数字.(1)太阳的半径约为696000km;(2)陕北大红枣是驰名中外的陕西特产，目前陕北地区红枣的种植面积约有420000亩；(3)光的速度大约是300000千米/秒;(4)第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000 人；(5)中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长.预计2020年底中国在线教育用户规模将达到305000000 人.11.有关资料表明，一个人在刷牙过程中如果一直打开水龙头，将浪费大约7 杯水.(每杯水约250mL)(1)如果你家里人(按 3 人算)也像这样每天刷两次牙，请计算一年要浪费多少毫升水? (一年按360天计算)(2)如果每立方米水按2元计算，你家里一年要浪费多少元?(3)某城市约有100万个这样的家庭，如果所有人在刷牙过程中都不关水龙头，则一年要浪费多少毫升水?浪费多少元?(4)这道题给了我们什么启示?12.已知全国总人口约1.41×10⁹人，若平均每人每天需要粮食0.5kg，则全国每天大约需要多少粮食?(结果用科学记数法表示)能力拓展 --o13.我们平常用的数是十进制的数，如1234=1×10³+2×10²+3×10¹+4×1,表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，101=1×2²+0×2¹+1等于十进制的数5；10111=1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+1等于十进制的数23.请问二进制中的10 11101 等于十进制中的数 .14.先计算，然后根据计算结果回答问题.(2×10²)×(3×10⁴)=;(2×10⁴)×(4×10⁷)=;(5×10⁷)×(7×10⁴)=;(9×10²)×(3×10¹¹)=.已知式子(a×10ⁿ)×(b×10ᵐ)=c×10ᵖ(其中a、b、c均为大于或等于1而小于 10的数,m、n、p均为整数)成立，你能说出m、n、p之间存在的等量关系吗?2.7 有理数的乘方第1 课时有理数的乘方(一)【自主学习】1. 相同因数幂2. a n3. 正负正【当堂反馈】1. D2. B3. C4. A5. D6. 5³ -5³ (-5)³7.48.(1)0,1 (2)-1,0,1(3)-6,69. 7 310. (1)﹣27 (2)49(3)−49(4)−49(5)-43(6)-2911.(1)−827(2)−812(3)72 (4) 1412. (1)24 (2)-4613. 捏合7次后有 128 根细面条.捏合 10 次后有10 24 根细面条.【能力拓展】14. 2019 【解析】因为(x+1)²+|y−2020|=0,所以x+1=0,y-2020=0,解得:x=-1,y=2020,所以2020−xʸ=2020−(−1)²⁰²⁰=2020−1=2019.15. 第一种方法获得:1×365×10=3650(元)=365000(分钱)；第二种方法：按规律，到第20天给的钱数是2¹⁹分钱，所以共获得分钱数为：S=1+2+2²+2³+2⁴+218+219 circle1,因为2S=2+22+23+24+25+⋯+219+220②,所以②-①得:S=2²⁰−1=(2¹⁰)²−1=1024²−1,因为1024²>1000²,即1024²>100000,所以1024²−1 >365000，所以第二种方法得到的钱多.第2课时有理数的乘方(二)【自主学习】a×10ⁿ原数的整数位数减去1【当堂反馈】1. A2. C3. A4. C5. B6. 1.6×10⁶7. 3×10⁶8. 6.4×10³9.3.1536×10⁷10. (1)6.96×10⁵(2)4.2×10⁵(3)3×10⁵(4)1.41178×10⁹ (5)3.05×10⁸11.(1)3.78×10⁶mL (2)7.56元(3)3.78×10¹²m L 7.56×10⁶元 (4)节约用水，从身边小事做起.12.1.41×10⁹×0.5=0.705×10⁹=7.05×10⁸(kg)答:全国每天大约需要7.05×10⁸kg粮食.【能力拓展】13. 93 【解析】1011101=1×2⁶+0×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+0×2¹+1=64+0+16+ 8+4+0+1=9314.6×1068×10113.5×10122.7×1014通过计算发现：前两式结果中10的指数正好等于两因数指数的和,是因为2×3<10,2×4<10;后两式结果中10的指数正好等于两因数指数的和加1，是因为5×7=35>10，9×3=27>10.所以当ab≥10时,m+n+1=p;当1≤ab<10时, m+n=p.。

?有理数的乘方?练习题一、选择题1、118表示〔 〕A 、11个8连乘B 、11乘以8C 、8个11连乘D 、8个别1相加2、－32的值是〔 〕A 、－9B 、9C 、－6D 、63、以下各对数中，数值相等的是〔 〕A 、 －32 与 －23B 、－23 与 (－2)3C 、－32 与 (－3)2D 、(－3×2)2与－3×224、以下说法中正确的选项是〔 〕A 、23表示2×3的积B 、任何一个有理数的偶次幂是正数C 、－32 与 (－3)2互为相反数D 、一个数的平方是94，这个数一定是32 5、如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于〔 〕 A 、－2 B 、2 C 、4 D 、2或－26、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是〔 〕A 、正数B 、负数C 、 非负数D 、任何有理数7、－24×(－22)×(－2) 3=〔 〕A 、 29B 、－29C 、－224D 、2248、两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值〔 〕A 、相等B 、不相等C 、绝对值相等D 、没有任何关系 9、一个有理数的平方是正数,那么这个数的立方是〔 〕A 、正数B 、负数C 、正数或负数D 、奇数10、(－1)2021＋(－1)2021÷1-＋(－1)2021的值等于〔 〕 A 、0 B 、 1 C 、－1 D 、2二、填空题1、(－2)6中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；523⎪⎭⎫ ⎝⎛-的底数是 ，指数是 ，结果是 ；2、根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ；3、平方等于641的数是 ，立方等于641的数是 ； 4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是； 5、平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ；6、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=-433 ； 7、()372⋅-，()472⋅-，()572⋅-的大小关系用“＜〞号连接可表示为 ； 8、如果44a a -=，那么a 是 ；9、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ；10、假设032＞b a -，那么b 0三、计算题1、()42--2、3211⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3、()20031- 4、()33131-⨯-- 5、()2332-+- 6、()2233-÷-7、()()3322222+-+-- 8、()34255414-÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷ 9、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷----721322246 10、()()()33220132-⨯+-÷--- 四、探究创新乐园1、你能求出1021018125.0⨯的结果吗?2、假设a 是最大的负整数，求2003200220012000a a a a +++的值。

课题有理数的乘方（1）
一． 问题情境
手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅将
一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力
拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条．你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗？
二． 做一做
将一张白纸对折1次，2次、3次、4次，观察可以得到几层
结论：对折1次，可以得到＿＿层，
对折2次，可以得到＿＿层，
对折3次，可以得到＿＿层，
对折4次，可以得到＿＿层，
想一想：若对折n 次呢？该怎样列出算式？ 一般地，
n a a a a a ⋅⋅⋅⋅个 记作： a n 读作“a 的n 次方”
1.试一试62222
⨯⨯⋅⋅⋅⨯个，2222⨯⨯⋅⋅⋅⨯64个，n 2222⨯⨯⋅⋅⋅⨯个记作，读作。

引出定义：求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂。

读法：a 的n 次幂
运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 结果 和 差 积 商 幂
2，练一练：分别说出47，51()3-，35-，4的底数，指数及意义。

例1计算。

2.7有理数的乘方（1）教学目标：1．知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；2．知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂；3．会用科学记数法表示较大的数．教学重点:1．乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；2．用科学记数法表示较大的数． 教学难点：有理数乘方结果（幂）的符号的确定．教学过程问题引入手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条．你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗？积极思考、解决问题：1根面条拉扣1次成2根，拉扣2次就成2×2根……每拉扣1次，面条数就增加1倍，拉扣6次．共有面条2×2×2×2×2×2＝64根．引入乘方运算的方法很多，用“拉面”引入，一是有趣，易接受；二是引导学生用“数学的眼光”观察分析生活中的实际问题．乘方的有关概念试一试：将一张报纸对折再对折……直到无法对折为止．你对折了多少次？请用算式表示你对折出来的报纸的层数．你还能举出类似的实例吗？2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．一般地，n a a a a a ⋅⋅⋅⋅个记作a n ，读作“a 的n 次方”．求相同因数的积的运算叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．26.73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2.7叫做底数，6.3叫做指数．思考：1．(－4)3的底数是什么？指数是什么？幂是多少？2．23和32的意义相同吗？3．(－2)3.－23.－(－2)3分别表示什么意义？4．(－23 )4.－243 分别表示什么意义？思考并举例．形成并理解乘方、幂、指数、底数的概念，理解乘方运算和乘法运算的关系．学生解答：1．(－4)3的底数是－4，指数是3，幂是－64；2．23和32的意义不同，23表示3个2相乘的积，32表示2个3相乘的积；3．(－2)3.－23.－(－2)3分别表示的意义为：3个－2相乘的积、3个2相乘的积的相反数、3个－2相乘的积的相反数；4．(－23 )4.－243 分别表示的意义为：4个－23 相乘的积、4个2相乘的积的13的相反数． 运用几个具有相同特征的算式，引出乘方的概念，同时揭示乘方和乘法的关系．类似于乘法是求几个相同加数的和的运算，乘法是比加法高一级的运算，乘方是求几个相同因数的积的运算，乘方是比乘法高一级的运算．及时巩固对乘方有关概念的理解，同时引导学生理解乘方不具有交换律，当底数是分数和负数时，底数应放在括号内．例题讲解例1 计算：（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．（2）①(12 )5；②(35 )3；③(－23)4． 例2 计算并思考幂的符号如何确定：（1）52.0.23.(23 )4；（2）(－4)3.(－23 )5.(－1)7；（3）(－1)4.(－3)2.(－12)6． 根据乘法的意义计算：例1解答：（1）①2187；②343；③81；④－64．（2）①132 ；②27125 ；③1681． 例2解答：（1）52＝25.0.23＝0.008.(23 )4＝1681； （2）(－4)3＝－64.(－23 )5＝－32243、(－1)7＝－1； （3）(－1)4＝1.(－3)2＝9.(－12 )6＝164． 思考，概括出有理数的幂的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．例2化无序为有序，有利于学生的探究．学生通过计算、观察、归纳很快可以总结出有理数乘方的符号法则．这样的设计可以避免学生总结出“任何数的偶次幂是正数”、“0的任何次幂是0”的科学性错误．课堂练习．1．计算．（1）(－5)3；（2）(－12 )5； （3）(－13)4（4）－53；（5）0.14； （6）18． 2．如果你第1个月存2元．从第2个月起每个月的存款都是上个月的2倍．那么第6个月要存多少钱？第12个月呢？3．观察下列各式，然后填空：10＝101；100＝10×10＝102；1 000＝10×10×10＝103；10 000＝10×10×10×10＝104；＝＝105；＝＝106；＝＝107；＝＝108．独立完成，课堂交流．当堂巩固所学知识．课堂小结：回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．。