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小学奥数各年级经典题解题技巧大全——对应法，超全面讲解！对应法解应用题时要找出题中数量间的对应关系。
如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。
因此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。
用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称为对应法。
解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。
（一）解平均数应用题在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用题。
解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系，然后再按照公式例1：同学们参加麦收劳动。
第一天收麦16亩，第二天上午收麦8亩，下午收麦12亩。
平均每天收麦多少亩？（适于三年级程度）解：本题的总份数是2天（注意：总份数不是3天），2天所对应的总数量是（16+8+12）亩。
所以，平均每天收麦亩数是：（16+8+12）÷2=36÷2=18（亩）答略。
例2：服装厂一、二月份共生产13356套服装，三月份生产12030套服装。
第一季度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度）解：本题的总份数是3个月（注意：不是2个月），与3相对应的总数是（13356+12030）套。
例2 服装厂一、二月份共生产13356套服装，三月份生产12030套服装。
第一季度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度）所以，平均每个月生产服装的套数是：（13356+12030）÷3=25386÷3=8462（套）答略。
例3：某乡有两块稻谷实验田。
第一块8亩，平均亩产稻谷550千克；第二块6亩，共产稻谷2880千克。
这两块试验田平均亩产稻谷多少千克？（适于四年级程度）解：求平均亩产量，总份数就是总亩数（8+6）亩，和总份数对应的总数量就是总产量（550×8+2880）千克。
第一讲观察法在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。
书中除图1-1的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。
实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。
从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。
（适于二年级程度）6、16、26、____、____、____、____。
41、简单方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。
解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。
解去分母，两边同乘以6，得3（x-9）-2（11-x）=12去括号，得3x-27-22+2x=12移项，得3x+2x=12+27+22合并同类项，得5x=61【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。
解分式方程的一般步骤（或方法）是：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。
解方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得5（x-2）=7x解这个整式方程，得x=-5，检验：当x=-5时，x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，所以，-5是原方程的根。
解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得（x－2）2-16＝（x+2）2解这个整式方程，得x=-2。
检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。
42、加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。
加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。
例如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。
这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。
加法结合律用字母表达，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。
例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 5892843、几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。
41、简单方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。
解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。
解去分母，两边同乘以6，得3（x-9）-2（11-x）=12去括号，得3x-27-22+2x=12移项，得3x+2x=12+27+22合并同类项，得5x=61【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。
解分式方程的一般步骤（或方法）是：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。
解方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得5（x-2）=7x解这个整式方程，得x=-5，检验：当x=-5时，x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，所以，-5是原方程的根。
解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得（x－2）2-16＝（x+2）2解这个整式方程，得x=-2。
检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。
42、加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。
加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。
例如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。
这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。
加法结合律用字母表达，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。
例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 5892843、几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。
小学奥数辅导35个专题汇总1.和差倍问题2.年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；5.鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
第一讲简单推理例1：一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重量等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？1、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨的重量等于几根香蕉的重量？2、3包巧克力的重量等于两袋糖的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？3、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，一只小猪的重量等于几只鸭的重量？例2：一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量，一头象的重量等于几头小猪的重量？1、一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，一个菠萝的重量等于4个苹果的重量，1个苹果的重量等于两个橘子的重量，一只西瓜的重量等于几个橘子的重量？2、一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。
已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天一共吃青草多少千克？3、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的重量等于6条鱼的重量，问两只小猪的重量等于几条鱼的重量？例3：根据下面两个算式，求○和□各代表多少？○＋○＋○=18○＋□=101、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？○＋○＋○＋○=32□－○=202、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？○＋○＋○=15○＋○＋□＋□＋□=403、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？□－○=8例4：根据下面两个算式，求○和□各代表多少？△－○=2○＋○＋△＋△＋△=561、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？□－○=8○＋○＋□＋□=202、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？△＋△＋△＋○＋○=78△＋△＋○＋○＋○=723、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？△＋△＋△－□－□=12□＋□＋□－△－△=2第二讲应用题例1：某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多，每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？1、百货商店运来300双球鞋分别装在两个木箱和6个纸箱里。
幻灯片1小学奥数解题方法完整版幻灯片2解题方法1--分?类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。
幻灯片3可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE；（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。
一共有线段4+3+2+1=10（条）。
幻灯片4还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。
（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。
幻灯片5有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。
如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。
设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。
幻灯片61、11 一种2、11 2、10 二种3、11 3、10 3、9 三种4、11 4、10 4、9 4、8 四种5、11 5、10 5、9 5、8 5、7 五种6、11 6、10 6、9 6、8 6、7 6、6 六种7、11 7、10 7、9 7、8 7、7 五种8、11 8、10 8、9 8、8 四种9、11 9、10 9、9 三种10、11 10、10 二种11、11 一种1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种幻灯片7解题方法2--化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。
6.盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；8.周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；9.平均数基本公式：①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②10.抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
小学奥数21类难题汇总，附解题思路题型一：归一问题【含义】在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
【数量关系】总量÷份数=单一量单一量×所占份数=所求几份的数量或总量A÷（总量B÷份数B）=份数A【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例】买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12（元）再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92（元）综合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）题型二：归总问题【含义】解题时先找出“总数量”，再根据已知条件解决问题的题型。
所谓“总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。
【数量关系】1份数量×份数=总量总量÷一份数量=份数【解题思路】先求出总数量，再解决问题。
【例】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。
问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？解：先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2（米）再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）题型三：和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。
【数量关系】大数=（和+差）÷2小数=（和－差）÷2【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：直接套用公式——甲班人数=（98+6）÷2=52（人）乙班人数=（98-6）÷2=46（人）题型四：和倍问题【含义】已知两个数的和及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。
1、最值问题【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。
故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。
由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。
故图（3）的面积最大。
例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。
已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。
为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。
（台北市数学竞赛试题）讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。
现把600个商品按每份10个，可分成60份。
因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。
所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。
因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。
2、最值规律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。
用字母表示，就是如果a1+a2+…+a n=b（b为一常数），那么，当a1=a2=…=a n时，a1×a2×…×a n有最大值。
例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。
三个或三个以上的数也是一样的。
由于篇幅所限，在此不一一举例。
由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n 边形）的面积为最大。
例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。
例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得（a+b）×2=24即 a+b=12由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为6×6=36（平方厘米）。
（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。
）结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。
例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得（a+b+c）×4=12即a+b+c=3由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。
最大体积为1×1×1=1（立方米）。
（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。
例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。
怎么办呢？我们可将各种拆法详述如下：分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。
分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。
分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。
它们的积分别是3和4。
分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。
它们的积分别为4，6，8。
分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。
它们的积分别为5，8，9，12，16。
分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。
它们的积分别为6，10，12，16，18。
分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。
它们的积分别为7，12，15，16。
分拆成一个数，就是这个8。
从上面可以看出，积最大的是18=3×3×2。
可见，它符合上面所述规律。
用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现6=3+3时，其积3×3=9为最大；7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。
【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。
用字母表达，就是如果a1×a2×…×a n=c（c为常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+a n有最小值。
例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。
例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。
要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。
根据“和最小规律”，取a=b=4（分米）时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。
推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。
例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而的周长小于正方形的周长。
【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。
为0.433×6=2.598（平方分米）。
方形的面积。
推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。
例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。
【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。
例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。
而表面积为8平方厘米长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。
显然，正方体体积大于正四面体体积。
推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。
例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。
可见上面的结论是正确的。
【排序不等式】对于两个有序数组：a1≤a2≤…≤a n及b1≤b2≤…≤b n，则a1b1+a2b2+……+a n b抇n（同序）T≥a1b抇1+a2b抇2+……+a n b抇n（乱序）≥a1bn+a2b n-1+……+a>n b1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n为b1、b2、……、b n的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=a n，或b1=b2=…=b n时，式中等号成立。
）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。
例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。
水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。
问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。
打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成1，2，3，……，9，10。
根据排序不等式，最小积的和为倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=（10+18+24+28+30）×2=220（分钟）其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。
3、最优方案与最佳策略【最优方案】例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。
