组合优化课程简介.

组合优化问题简介在我们的日常生活和工作中，经常会遇到各种各样需要做出最优选择的情况。

比如，在旅行时规划最佳路线，以使花费的时间和费用最少；在生产线上安排工序，以提高生产效率和降低成本；在物流运输中选择最优的配送方案，以减少运输时间和成本等等。

这些问题都属于组合优化问题。

组合优化问题是一类在离散的、有限的可行解集合中，寻找最优解的问题。

这里的“组合”意味着解决方案是由多个元素的组合而成，而“优化”则表示我们要找到其中最好的那个组合。

让我们以一个简单的例子来理解组合优化问题。

假设你要从城市 A 前往城市 C，中间需要经过城市 B。

从 A 到 B 有三条路线可选择，分别需要花费 2 小时、3 小时和 4 小时；从 B 到 C 也有三条路线可选择，分别需要花费 1 小时、2 小时和 3 小时。

那么，要找到从 A 到 C 的最短时间路线，就需要考虑所有可能的组合，即 3×3=9 种组合，然后从中挑选出总时间最短的那一种。

组合优化问题具有一些显著的特点。

首先，可行解的数量通常是有限的，但可能非常庞大。

就像上面的例子，仅仅是两个阶段的选择就有 9 种可能，如果涉及更多的阶段和更多的选择，可行解的数量会呈指数级增长，这使得直接枚举所有可能的解变得非常困难，甚至在计算上是不可行的。

其次，组合优化问题的目标函数通常是明确的。

在上述例子中，目标就是找到从 A 到 C 的总时间最短的路线，这个目标是清晰可度量的。

再者，很多组合优化问题具有实际的应用背景和重要的经济价值。

例如，在资源分配问题中，如何将有限的资源分配给不同的项目或任务，以实现最大的效益；在网络设计中，如何规划网络拓扑结构，以最小化建设成本和提高网络性能；在排班问题中，如何安排员工的工作时间表，以满足业务需求并减少人力成本等。

常见的组合优化问题包括旅行商问题（TSP）、背包问题、装箱问题、指派问题等。

旅行商问题是一个经典的组合优化问题。

假设有一个旅行商要访问n 个城市，每个城市只能访问一次，最后回到出发城市。

组合优化—运筹学的一个分支学科运筹学（Operations Research）是运用系统化的方法（主要是数学方法），经由建立数学模型及其求解测试，以便达到最优决策的一门科学。

其目的是为决策者提供科学的决策依据。

它主要研究经济活动和军事活动中能用量化来表达的有关运用、筹划与管理等方面的问题。

根据问题的要求，从全局的观点出发，通过数学的分析与运算，做出综合的安排，以实现经济有效地使用人力、物力、财力等资源。

运筹学主要研究计划管理工作中有关安排和估计的问题。

一般可以归纳为在满足既定的要求下，按某一衡量指标来寻求问题的最优方案。

例如“运输问题”是：将某种物资从一些地点运送到另一些地点，确定流向与流量，使总运输成本最低。

我国曾运用线性规划进行水泥、粮食和钢材的合理调运，取得了较好的经济效益。

运用运筹学的方法还可以解决“合理选址”问题、“车辆调度”问题、“物流资源（人员或设备）指派”问题等。

运筹学研究的内容十分广泛，主要分支有:线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、大型规划、动态规划、图论、网络理论、博弈论、决策论、排队论、存储论、搜索论等。

应用运筹学处理问题时通常可以分为五个阶段：提出和形成问题：包括制定和明确目标，把整个问题分解成若干子问题，确定问题的尺度、有效性度量、参数、可控变量和不可控变量。

收集数据和建立模型：把问题中的可控变量、参数和目标，与各种定量关系、经验关系和规范关系，用一定的模型表示出来。

模型的求解和方案优化：包括确定求解模型的数学方法，程序设计、调试运行和方案选优。

模型的检验和评价：包括检验模型在主要参数变动时的结果是否合理，输入发生微小变化时输出变化的相对大小是否合适以及模型是否容易解出等方面的检验和评价。

方案实施和不断优化：包括应用所得的结果解决实际问题，并在方案实践过程中发现新的问题不断优化。

上述五个阶段在实际过程中往往交叉重复进行，不断反复。

作为运筹学的一个分支学科，组合优化要讨论的问题具有如下的特点：（一）存在一个仅包含有限个点（元素）的集合S，叫做可行解集合；（二）有个函数f（通常具有线性的特点），叫做目标函数，其定义域包含集合S；（三）现需要从集合S中选出或找出一个（或多个）点x*使目标函数f在该点处达到最大（或最小）。

组合优化组合（最）优化问题是最优化问题的一类。

最优化问题似乎自然地分成两类：一类是连续变量的问题，另一类是离散变量的问题。

具有离散变量的问题，我们称它为组合的。

在连续变量的问题里，一般地是求一组实数，或者一个函数；在组合问题里，是从一个无限集或者可数无限集里寻找一个对象——典型地是一个整数，一个集合，一个排列，或者一个图。

一般地，这两类问题有相当不同的特色，并且求解它们的方法也是很不同的。

概念定义编辑组合优化（Combinatorial Optimization）问题的目标是从组合问题的可行解集中求出最优解，通常可描述为：令Ω={s1，s2，…，sn}为所有状态构成的解空间，C(si)为状态si对应的目标函数值，要求寻找最优解s*，使得对于所有的si∈Ω，有C(s*)=minC(si)。

组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的一个重要分支。

问题分类编辑典型的组合优化问题有：旅行商问题（Traveling Salesman Problem－TSP）；加工调度问题（Scheduling Problem，如Flow-Shop，Job-Shop）；0-1背包问题（Knapsack Problem）；装箱问题（Bin Packing Problem）；图着色问题（Graph Coloring Problem）；聚类问题（Clustering Problem）等。

这些问题描述非常简单，并且有很强的工程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运行时间与极大的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸”。

正是这些问题的代表性和复杂性激起了人们对组合优化理论与算法的研究兴趣。

组合优化问题一个通俗的定义：所谓组合优化，是指在离散的、有限的数学结构上，寻找一个（或一组）满足给定约束条件并使其目标函数值达到最大或最小的解。

—般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度非线性的NP完全（难）问题，因此，精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一般是不存在的。

组合优化问题集覆盖问题（set-covering problem）装箱问题（bin-packing problem）背包问题（knapsack problem）指派问题（assignment problem）旅行商问题（traveling salesman problem）影片递送问题（film delivery problem）最小生成树问题（minimum span tree problem） 图划分问题（graph partitioning problem）作业调度问题（job-shop scheduling problem）组合优化问题组合优化问题——装箱问题货运装箱问题截铜棒问题布匹套裁问题。

装箱问题属于NP－难问题组合优化问题——背包问题0/1背包问题：给出几个体积为S 1，S 2，…，S n 的物体和容量为C 的背包；要求找出n 个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C 的背包。

数学形式：最大化满足∑=n i i i X S 1,1C X S ni i i≤∑=组合优化问题——背包问题广义背包问题：输入由背包容积C和两个向量：物品体积S＝(S1，S2，…，Sn)和物品价值P＝(P1，P2，…，Pn)组成。

设X为一整数集合（物品的标识），X＝1，2，3，…，n，T为X的子集，则问题就是找出满足约束条件，并使总价值最大的子集T。

数学形式：最大化满足∑=niiiXP1,1CXSniii≤∑=niXi≤≤∈1},1,0{组合优化问题——背包问题在应用问题中，设S的元素是n项经营活动各自所需的资源消耗，C是所能提供的资源总量，P的元素是人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。

从货郎问题谈起----组合最优化简介 本报告简要介绍组合最优化的基本内容和学科特点。

希望通过本讲座使同学对组合最优化有个初步的认识，激发同学学习组合最优化的兴趣。

货郎问题：一个货郎从一个村庄C1出发,到村庄C2，C3，…，Cn 去卖货,然后再回到C1，如何走才是一条最短的路线（每两个村庄Ci 和Cj 之间都有长为IJ S 路）？组合最优化问题：
在最优化问题
s.t 中, S
是有限或可数的,称这样的最优化问题为组合最优化问题。

在货郎问题中,组合最优化问题的特点是：叙述简单，解决困难，应用广泛。

执行算法所用时间的多少称为算法的时间复杂性，组合最优化中的算法复杂性指的是算法的时间复杂性。

用算法所执行的运算次数来表示算法的运行时间。

把其中最坏情况的的运算次数定义为算法复杂性。

它是关于输入规模为n 的函数。

算法复杂性是多项式函数的算法为多项式（时间）算法。

其余的称为指数（时间）算法。

多项式（时间）算法是有效算法。

)
(min x f S x ∈},{π所有的路=S ∑==n j j j s f 1
)
()(ππ
有一类组合最优化问题，还没有找到求解它们的多项式算法，但也不能证明不存在求解它们的多项式算法，它们具有一些特定的性质，称这一类组合最优化问题为NP -难的。

如果问题A 是NP-难的，那么它有一个令人生畏的性质：若A有多项式算法，则所有的NP -难问题都有多项式算法。

货郎问题是NP -难的。

求解NP-难的组合最优化问题主要用近似算法和巧妙的枚举法(动态规划算法,分枝定解算法)。

新课程教学法之六优化组合法一个团队集体要想发挥其最大的效能，就必须对团队进行最合理的组合，使每一个人都能在自己最适当的位置上，产生最大的作用。

在动物世界里，我们会发现这样两种情况：蚂蚁虽然身体极小，但每一只蚂蚁都具有很大的力量，能够拖动超过自己身体重量几倍的物体。

如果碰到更大的物体，一只蚂蚁拖不动时，就会有许多蚂蚁来共同参与这次的搬运。

因此，常常被我们认为是最具团队精神与作战能力的集体。

但是，如果我们更进一步来观察蚂蚁的这种集体搬运方法却会发现，蚂蚁在搬运物体时每一只蚂蚁拖动物体的方向却是不一致的，因此，整体的行进只是向着合力的方向，相互之间产生了许多被抵消的力量，换句话说，蚂蚁在进行搬运时产生了许多“无用功”；而另一种动物，野狗却显得比蚂蚁“聪明”得多。

野狗的身躯与力量远远不及大象，甚至，大象可以一脚踩死一只野狗，但野狗却敢于攻击大象，它们用得就是一种团队作战的方式。

野狗的攻击是极具效应的，它们会采取围堵方式迫使大象行动缓慢，然后采用从不同的方向同时进攻，使得大象照顾不过来，而被不断地咬伤，野狗之间不会产生蚂蚁力量上的相互抵消，野狗的配合是巧妙的，目标是一致的，因此成功率是很高的。

蚂蚁的团队精神虽然很好，但由于其相互之间的牵制而不可能产生最大的效益；野狗虽然从数量上讲远远不及蚂蚁，但发挥了每一只野狗的优势，组合成了一个极具战斗力的团队，产生了最大的效益，用我们人类的思维方式来看，就是野狗优化了自己的组合。

现在，就让我们来用人类的思维来研究一下这种优化组合的方法。

一、现代教育需要优化组合1、借鉴于企业管理的经验优化组合这个名称显然不是教育界首先提出来的，应该是属于企业管理中的一个专用名词。

在一个企业中最大的生存原则就是效益，企业没有了效益就没有了企业生存的条件。

因此，围绕效益就产生了管理，优秀的管理能产生优秀的效益这是不争的事实。

但同样是管理为什么产生的效益大小却不同呢？这就是企业管理要研究的第二个问题，管理水平。

组合最优化简介在当今复杂多变的世界中，组合最优化作为一门重要的学科，正发挥着越来越关键的作用。

它不仅在数学领域有着深厚的根基，还广泛应用于计算机科学、经济学、管理学等众多领域，帮助我们解决各种各样的实际问题。

组合最优化，简单来说，就是在给定的有限个可行解集合中，找出最优的解。

这个最优解可以是使某个目标函数达到最大值，也可以是达到最小值。

想象一下，你要安排一场会议，有多个会议室可供选择，每个会议室的容纳人数、设备条件不同，租金也不一样，而你需要根据参会人数、预算、对设备的需求等因素，选出最适合的会议室。

这就是一个简单的组合最优化问题。

组合最优化问题有很多特点。

首先，它的可行解数量通常是有限的，但可能非常庞大。

比如在物流配送中，要从众多的配送路线中选择最优的那一条，可能的路线组合数量会让人眼花缭乱。

其次，这些问题往往具有离散性，也就是说，解不是连续变化的，而是一个个离散的点。

再者，很多组合最优化问题都具有很强的实际背景，它们不是凭空想象出来的，而是来自于我们日常生活和工作中的各种需求。

让我们来看看一些常见的组合最优化问题。

旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP）就是其中的经典之一。

假设一个旅行商要访问若干个城市，每个城市只能访问一次，最后回到出发地，如何规划路线才能使总行程最短？这看似简单，实则极富挑战性。

背包问题（Knapsack Problem）也很有趣。

给定一个背包的容量和一些物品，每个物品都有一定的重量和价值，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大？还有设施选址问题，比如要在一个地区建设一些仓库，以满足周边客户的需求，同时要考虑建设成本、运输成本等因素，如何确定仓库的位置才能使总成本最小？为了解决这些组合最优化问题，人们提出了各种各样的方法。

精确算法是其中的一类，它们能够保证找到问题的最优解，但往往计算复杂度很高，只适用于规模较小的问题。

比如分支定界法，它通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行评估和筛选，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。

优化组合方案优化组合方案摘要在实际工作中，优化组合方案是一个重要的任务，它可以帮助我们在有限的资源下获得最佳的效果。

本文通过介绍优化组合方案的概念、目标和方法，以及实施优化组合方案的步骤和技巧，希望能为读者提供一些有用的信息和指导。

引言在各个领域，例如物流、供应链管理、项目管理等，都存在组合问题，即将一系列元素组合在一起以达到某个目标。

然而，由于资源有限和约束条件的存在，我们常常需要通过优化来找到最佳的组合方案。

优化组合方案的目标通常是最大化效益、最小化成本或者在资源约束下达到平衡。

概念优化组合方案优化组合方案是指通过调整和重新组合元素，以最大化或最小化某个指标的方法。

优化组合方案可以应用于各种领域，例如物流中最佳路径规划、供应链中的最佳库存配置、项目管理中的最佳资源分配等。

目标优化组合方案的目标可以根据具体情况而定，通常包括以下几个方面：1. 最大化效益：使组合方案的效益最大化，例如最大化收益、最大化生产能力等。

2. 最小化成本：降低组合方案的成本，例如最小化运输成本、最小化库存成本等。

3. 平衡资源：在有限资源下达到平衡，例如在项目管理中平衡资源的需求和供给。

优化组合方案的方法有很多种，选择适当的方法取决于具体问题的性质和约束条件。

下面介绍一些常用的方法。

贪心算法贪心算法是一种简单而常用的方法，它通过每次选择当前最优的元素来构建组合方案。

贪心算法的优点是简单快速，但是它不能保证得到最优解。

动态规划动态规划是一种递推的方法，它通过将复杂的问题分解为简单的子问题，并利用子问题的解来求解原问题。

动态规划的优点是可以得到最优解，但是它的计算复杂度较高，适用于规模较小的问题。

遗传算法遗传算法是一种模拟自然界进化的优化算法，它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索最优解。

遗传算法的优点是适用范围广，可以应用于复杂的组合问题，但是它的计算复杂度较高。

实施步骤实施优化组合方案的步骤可以概括为以下几个阶段：1. 确定目标：明确优化组合方案的目标以及相关约束条件。

数学的组合优化数学的组合优化是运用组合数学和优化方法来解决一类特定问题的数学分支。

它的目标是找到最佳的组合方式，以满足特定的目标函数和约束条件。

这种技术广泛应用于各种领域，如工程、运输、制造、电信、金融等，以提高效率和优化资源利用。

一、组合优化的概念和基础知识组合优化问题主要涉及从一个给定的集合中选择一组对象，以满足一些特定的条件。

其中组合指的是从集合中选择若干个对象进行排列组合。

优化指的是通过调整选择的组合，使得目标函数最优。

组合优化问题通常包括以下几个要素：1. 集合：给定一个元素的集合，通常用符号S表示。

2. 目标函数：用于衡量选择的组合的好坏，通常用符号f(S)表示。

3. 约束条件：限制组合的选择，通常用一组条件或不等式表示。

组合优化问题可以通过数学模型表示，并采用各种优化算法来求解。

常用的优化算法包括线性规划、整数规划、动态规划、贪心算法、遗传算法等。

二、组合优化的应用领域1. 交通运输领域：组合优化可以应用于交通路线规划、配送路径优化、公交车调度等问题。

通过优化交通路线，可以减少交通拥堵、提高交通效率，降低能源消耗和环境污染。

2. 生产制造领域：组合优化可以应用于生产排程、资源分配、机器调度等问题。

通过对生产过程进行优化，可以提高生产效率、降低成本，增强企业竞争力。

3. 电信网络领域：组合优化可以应用于无线网络规划、信号传输路由优化、频谱分配等问题。

通过优化电信网络的布局和配置，可以提高网络覆盖率和通信质量，满足用户需求。

4. 金融投资领域：组合优化可以应用于资产配置、投资组合优化等问题。

通过优化资产配置，可以实现风险和收益的平衡，提高投资回报率。

三、组合优化的挑战和解决方法组合优化问题由于其复杂性和多样性，常常面临一些挑战。

其中主要包括：1. 组合爆炸：由于组合优化问题的规模庞大，穷举搜索往往是不可行的。

解决这个问题的方法通常是采用启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法等，通过随机搜索和逐步优化来寻找最优解。