第一讲 不等式和绝对值不等式(1)

B．3
C.523 5
D．4
3 2
解析：y＝3x＋
1 2x2
＝
3x 2
＋
3x 2
＋
1 2x2
≥3
3
33 1 2x·2x·2x2
＝
3 3
98＝323 9.
当且仅当32x＝21x2，即x＝ 3 13时，等号成立． 答案：A
3．设x＞0，则y＝x＋x42的最小值为(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．2
B．2 2
C．3 2
D．3
解析：y＝x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3· 3 x2·x2·x42＝3， 当且仅当x2＝x42时取“＝”号． 答案：D
(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤
a＋b＋c 3
3
，当且
仅当a＝b＝c时，等号成立．( )
(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V， 则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14 （a－2x）＋（3 a－2x）＋4x3＝22a73， 当因且此仅V取当最a－大2值x＝22a473x，，即x＝a6时，等号成立． 故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16 时，盒子的容积最大．

14
[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，
故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ab＋abbcc＋ca ＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
15
(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
22
[解] 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 πr2 平方米，侧面积为 2πrh 平方米．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2， ∴πr2h＝π2， ∴rh＝21r.
16
用平均不等式求解实际问题
【例 2】如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正
中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子
边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不
亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正
比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝
5
已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值为 3
B．最大值为 3
C．最小值为 2
D．最大值为 2
A [ab＋bc＋ac≥3 3 ab×bc×ac＝3， 当且仅当ab＝bc＝ac，即 a＝b＝c 时，取等号．]
6
教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们 的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝… ＝an 时，等号成立．

1.1.4 基本不等式（2）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )A.2∈M,0∈MB.2M,0MC.2∈M,0MD.2M,0∈M解析:M={x|x≤k4k241},∵k4k241k4151k2=k2-1+k5=(k2+1)+215k21-2≥25-2>2,∴2∈M,0∈M.答案:A温馨提示本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式k44k12经过变形化为“x+ax(a>0)”型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时,形如“x+ax(a>0)”的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型,有很多最值问题可转化为该类型,因此,在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练1已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA OB的最小值.解析:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a= 2.又半焦距c=2,故b= c2a22.所以W的方程为x =1(x≥2).2y222(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x i2-y i2=(x i+y i)(x i-y i)=2(i=1,2).令s i=x i+y i,t i=x i-y i,1则 s i t i =2,且 s i >0,t i >0(i=1,2), 所以OAOB =x1x 2+y 1y 2= =1 4 12 1 (s 1+t 1)(s 2+t 2)+ (s 1-t 1)(s 2-t 2)41 s 1s 2+t 1t 2≥ s 1s 2t 1t 2 =2.2x 1, x2当且仅当 s 1s 2=t 1t 2,即yy12时“=”成立,所以OA OB 的最小值是 2.变式提升 1若对任意正数 x,y,都有 a≤xx2y 2xy,则实数 a 的最大值是( )A.1 2B.2C.2 2 2 1D.2 1 21解析:由 x x 2y 2xy ≥ x x y x 2y= 12,故选 A.答案:A二、利用基本不等式求条件等式的最值 【例 2】 已知 x>0,y>0,且1 x + 9 y=1,求 x+y 的最小值.解法一:∵x>0,y>0,1 x + 9 y=1,∴x+y=(x+y)(1 x + 9 y)=10+y 9 ≥10+6=16,当且仅当 xxyy 9x . x y又∵ 1 x + 9 y=1,∴x=4,y=12时，上式等号成立.故当 x=4,y=12时，x+y 取最小值 16. 解法二:∵1 x + 9 y=1,x>0,y>0,∴y=9xx1且x>1.故x+y=x+ 9xx1=x+x91+9=(x-1)+9+10≥6+10=16.x 12当且仅当x-1=x 91，∵x>1,∴x=4时上式等号成立.解法三:∵1x+9y=1,∴y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.又由条件知x>1,y>9,∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2(x 1)(y 9)+10=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，x+y取最小值16.温馨提示解法一、解法三的技巧性较强,解法二是把目标函数化为一元函数,一元函数再变形,“求积造定和或求和造定积”,难度明显降低,思路也自然些,这是解此类问题的通法.类题演练2若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为( )A. 3-1B. 3+1C.23+2D.23-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-23a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-23.而2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2(a b)(a c)2423=23-2.当且仅当a+b=a+c,即b=c时等号成立.答案:D变式提升2已知x,y∈R+,且x+y=1,求2x+1y的最小值.x 0,解法一:y 1x 00<x<1.记f(x)= 2x+1y=2x1+12xx x (1x).令t=2-x,∵x∈(0,1),∴-x∈(-1,0),t∈(1,2).则f(x)=t(2t)(1)t 2t t3t231(t2)t,3∵t∈(1,2),22 ∴t+2 t2 2tt. ∴-(t+ 2 t)≤2 2 ,0<3-(t+ 2 t)≤3 2 2 .∴f(x)=3 1 (t 2 ) t3 1 2 2=3+2 2 . ∴f(x)max =3+2 2 .此时 t=2 t= 2 2-x= 2 x=2- 2 .tx 解法二:由 y0, 1x得 0<x<1.∴21 =(x+y)( x y2 1 )=3+ 23 2 2 3 2 2x y x yx y y x y xx.当且仅当x 2y (又 x+y=1)时“=”成立,即 x=2- 2 ,y= 2 -1时,y x21 的最小值为x y3+2 2 .三、利用基本不等式解决实际应用问题【例 3】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2m 的无盖长方体沉淀箱，污水 从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长为 a m ，高为 b m ，已知流出的水中杂质的质量 分数与乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 m 2，问当 a,b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小?(A 、B 孔的面积忽略不计)思路分析:要抓住本题的主要条件及要求:①流出的杂质与 ab 成反比，若设 y 为流出的杂质的质量分数，那么 y= 为最大.k ab,其中 k 为反比例系数;②题目要求流出的杂质质量分数最小，就是积 ab解法一:设 y 为流出的杂质的质量分数， 则 y=k ab,k>0,k 为比例系数， 依题意，即所求的 a,b 的值，使 y 最小. 依题设，有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 得 b=30 a2 a(0<a<30).①4于是y= kabk30aa22aak3264a 234(ak264)a 2342k64(a 2)a 2k18当a+2=64a 2时取等号，y达到最小值.这时a=6,a=-10(舍去)，将a=6代入①得b=3.∴当a为6 m,b为3 m时，沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.解法二:设流出的水中杂质的质量分数为y,依题意y= k ab.其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值.依题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a>0,b>0).∵a+2b≥22ab(当且仅当a=2b时取“=”),∴ab+22ab≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小.类题演练3甲,乙两个同学同时到同一个商店分别买了两次糖,甲同学每次买一元钱的,乙同学每次买一斤, 如果两次糖的价格不同,问甲,乙两同学谁买的更便宜?解析:甲同学乙同学设糖的价格第一次1元1斤a元/斤第二次1元1斤b元/斤共花钱2元(a+b)元共买糖( 1a+1b)斤2斤平均价格1a 2a12bb甲的平均价格-乙的平均价格=1a 21b-a2b= 2ab a b4ab (a b)2(ab)2a b22(a b)2(a<0.(∵a≠b)b)答:甲同学买的糖比乙同学便宜.5变式提升3某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元.使用规定，不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元，若使每个同学游8次，每人最少得交多少钱?解析:设分n批去游泳，活动总开支为y元，则包车费为40n元，每批去那么需购卡488n张.488n人,∴y=40n+488n×240=40(n+482n).∵n+482n≥25n·482n·=2×48,n∴y≥80×48=3840.当且仅当n= 482n,即n=48时，y min=3 840.384 0÷48=80(元).答:每人至少交80元.6。

探究二 不等式性质的简单应用
[例 2] 若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A.1a<1b，
B．a2>b2
C.c2＋a 1＞c2＋b 1
D．a|c|>b|c|
[解析] 选项 A，还需有 ab>0 这个前提条件；选项 B，当 a，b 都为负数或一正
一负时都有可能不成立，如 2>－3，但 22>(－3)2 不正确；选项 C，c2＋1 1>0，因而
)
A．2 x
B．x＋1
1 C.1－x
D．无法确定
解析：∵0<x<1，x＋1－2 x＝( x－1)2>0， ∴x＋1>2 x. 又1－1 x－(x＋1)＝1－x2x>0，
∴1－1 x>x＋1. 答案：C
∴2 x，x＋1，1－1 x三个数中最大的是1－1 x.
4．已知 a＋b>0，则ba2＋ab2与1a＋1b的大小关系是________． 解析：ba2＋ab2－1a＋1b＝a－b2 b＋b－a2 a ＝(a－b)b12－a12＝a＋ba2ba2－b2. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0.
探究一 作差法比较大小 [例 1] 若 x∈R，试比较(x＋1)x2＋x2＋1 与x＋12(x2＋x＋1)的大小．
[解析] ∵(x＋1)x2＋x2＋1＝(x＋1)x2＋x＋1－x2 ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)． x＋12(x2＋x＋1)＝x＋1－12(x2＋x＋1) ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－12(x2＋x＋1)． ∴(x＋1)x2＋x2＋1－x＋12(x2＋x＋1)
＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)－(x＋1)(x2＋x＋1)＋12(x2＋x＋1) ＝12(x2＋x＋1)－12(x2＋x) ＝12>0. ∴(x＋1)x2＋x2＋1>x＋12(x2＋x＋1)．