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第三章：流体的运动

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第三章流体运动学

第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动

第三章 流体的运动

第三章 流体的运动

x x
P1
s1

t+t
v1
y
v1 S 1 t = v2 S 2 t = V
y 得：
h1
t
s2
h2
v2 P2
A = （ P 1 - P 2） V
对于稳定流动来 说，由于在 x y 之间的 P1 流体的动能和重力势能 保持不变，所以机械能
x x
v1
s1

t+t
y
y
的增量仅由 x x 和 两段流体决定。
x x
P1
s1

t+t
v1
y
y
h1
t
s2
A = E 2 - E1
h2
v2 P2
1 2 1 2 （P1 P2 ） V V ( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 ) 2 2
即：
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v 2 gh2 1 2 2
三
S2
连续性方程
1 v 1 S 1 t = 2 v 2 S 2 t
V2
S1
V1
2
1
1 v 1 S 1 = 2 v 2 S 2 即： v S = 常量 流体作稳定流动时，单位时间内流过同
一流管中任一截面的流体质量相等。
对于不可压缩的流体，由于它的密度不变 1v1S1= 2v2S2 即 : 1= 2 v 1S 1 = v 2S 2 说 明： (1)定义: 流量 Q = Sv (2)S与v 成反比。 (3)v 取截面S上流速的平均值。 (4)连续性方程的实质：流体在流动中质量守恒。 不可压缩流体的连续性方程
层与层之间的阻 力称为内摩擦力或粘 滞力。 ƒ = dv S dx

流体力学课件 第3章流体运动的基本原理

流体力学课件 第3章流体运动的基本原理

u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz

《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程

《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0

流体的运动

流体的运动
19
三、雷诺数
Re
vr
讨论： 雷诺数Re＜1000层流
雷诺数Re＞1500湍流 雷诺数1000＜Re＜1500过渡流动
注意：在急转弯或有分支地方雷诺数Re=550可 发生湍流现象。
例题分析：（教材43页第10题
20
第四节 黏性流体的运动规律
一、黏性流体的伯努利方程
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
P2
P1
P2
13
3、体位对血压的影响 若血液在等截面管中流动，则由公式p+ρgh=常量 得：高处的（体位高）压强小，低处的（体位低）压 强较大。 （解释：测量血压时为什么手臂不能随意举高或放低？） 4、例题3－1
14
小结 （理想流体流动规律）
一、理想流体
二、稳定流动
三、连续性方程 1、质量流量守恒定律 1S1v1 2S2v2 常量 2、体积流量守恒定律：S1v1 S2v2 常量 （连续性方程）
4、为什么倒水比倒油容易？冬天倒油难而夏天倒油容 易？
5、测量血压时为什么手臂不能随意举高或放低？ 1
（高中） 大气压、正压和负压
一、大气压
1、大气压：把0℃时，北纬45°的海平面上的大 气压强叫做标准大气压。
一个标准大气压相当于760mmHg所产生的压强。
P0 gh 13.6103 9.8 0.76 101.325kPa
r R
V P1 P2 (R2 r 2 )
4L
讨论：（1）当r=0时，V最大=
P1 P2
4L
R2
（2）当r=R时，V=0
层流特点：愈靠近管壁速度愈慢，与管壁附着的流层
速度为零，中央轴线处速度最大。

第三章 流体的运动(幻)

第三章 流体的运动(幻)

二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。

2 gh

30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32

工程流体力学-第三章

工程流体力学-第三章

三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax

dux dt

dux (x, y, z,t) dt

ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay

du y dt

duy (x, y, z,t) dt

u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az

du z dt

duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt

ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A

水力学 第三章 流体运动学

水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。

第三章流体运动学

第三章流体运动学

于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。

流体力学 第三章

流体力学 第三章

t x
y
z
物理意义：单位时间内通过单位体积表面流入的 流体质量，等于单位时间内内部质量的增量。
（2）、可压缩定常流动连续性方程
当为恒定流时，有 ＝0
t(uLeabharlann ) (uy ) (uz ) 0x
y
z
(3)、不可压缩流体定常流动或非定常流动连续 性方程
当为不可压缩流时，有ρ=常数，则：
ux uy uz 0 x y z
2z t 2
流体的压强、密度也可表示为：p=f4(a, b, c, t)， ρ=f5(a, b, c, t)
p：流体流经某点时的压强——流体动压强 p=(px+py+pz)/3
注：
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而 实际上也无须知道个别质点的运动情况， 所以除了少数情况（如波浪运动）外，在 工程流体力学中很少采用。
二、欧拉法
欧拉法（Euler Method）是以流体质点流经流场 中各空间点的运动，即以流场作为描述对象研究 流动的方法。——流场法
欧拉法不直接跟踪质点的运动过程，而是以充满 运动液体质点的空间——流场为对象。研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运 动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过 观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随 时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出 的整个流体的运动情况。
一、迹线
某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
烟火的轨迹为迹线
在迹线上取微元长度dl表示某点在dt时间内的微 小位移，dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz ，则其速度为：
u dl dt
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt

第三章 流体的运动习题解答演示教学

第三章 流体的运动习题解答演示教学

第三章流体的运动习题解答第三章流体的运动习题解答2-1 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈慢，而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈快，两者似有矛盾，你认为如何？为什么？解：对于一定的管子，在流量一定的情况下，管子愈粗流速愈慢；在管子两端压强差一定的情况下，管子愈粗流速愈快。

2-2水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动。

已知截面S1处的压强为110P a，流速为0.2m/s，截面S2处的压强为5Pa，求S2处的流速（内摩擦不计）。

解：由伯努利方程在水平管中的应用P1+=P2+代入数据110+0.5×1.0×103×0.22=5+0.5×1.0×103×得=0.5 m/s2-3 水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为管的最细处的3倍。

若出口处的流速为2m/s，问最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水会不会流出来？解：由连续性方程S1v1=S2v2，得最细处的流速v2=6m/s，再由伯努利方程在水平管中的应用P1+=P2+代入数据 1.01×105+0.5×1.0×103×62=P2+0.5×1.0×103×62得:管的最细处的压强为P2=0.85×105P a可见管最细处的压强0.85×105Pa，小于大气压强1.01×105P a，所以水不会流出来。

2-4在水平管的某一点，水的流速为2m/s，高出大气压的计示压强为104P a，管的另一点高度比第一点降低了1m，如果在第二点处的横截面积是第一点的半，求第二点的计示压强。

解：由连续性方程S1v1=S2v2，得第二点处的流速v2=4m/s，再由伯努利方程求得第二点的计示压强为P2-P0= P1-P0-+ρg h代入数据得P2-P0=1.38×104（P a）第二点的计示压强为1.38×104Pa2-5一直立圆形容器，高0.2m，直径为0.1m，顶部开启，低部有一面积为10-4m2的小孔。

北航水力学第三章—流体运动学

北航水力学第三章—流体运动学
第三章 流体运动学
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得

uz z
dz

2(x

y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy


3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)

流体力学-第3章

流体力学-第3章

ux
uy
E
u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 ux u x dx u x dy u x dz x 2 y 2 z 2
v1
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
注1：在非恒定流情况下，流线会随时间变化。在恒定流情况下， 流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。故： 恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中流线与迹线不重合
流线动画
注2：迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在 不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同 一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉 观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者 仍是完全不同的概念。
恒定流动 质量守恒定律
1v1 A1dt 2 v2 A2 dt 3v3 A3 dt vAdt
1v1 A1 2 v2 A2 3v3 A3 vA
不可压缩流体 1 2 3
v1 A1 v2 A2 v3 A3 vA Q
同理： 任一元流断面：dA1，d A2， …… 对应流速： u1， u2， ……
Qm
例6 如图气流压缩机用直径d1=76.2mm的管子吸入密度 ρ1=4kg/m3的氨气，经压缩后，由直径d2=38.1mm的管子以 v2=10m/s的速度流出 ，此时密度增至ρ2=20kg/m3 。求（1）质 量流量；（2）流入流速。 v
1
解：（1）质量流量为
Qm Q 2 v2 A2 20 10
一、流动的分类
1、恒定流和非恒定流(定常流和非定常流) 恒定流动：流动参量不随时间变化的流动。 u u ( x, y , z )

水力学-第3章流体运动学 - 发

水力学-第3章流体运动学 - 发
【解】由于 uz=0，所以是二维流动，其流线方程微分为
dx dy ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t)
将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到
dx dy ky kx
xdx ydy 0 积分 x2 y2 c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
流线的基本特性
• 流线的特性 – 流线一般不相交
§3.1 研究流体运动的两种方法
怎样描述整个流体的运动规律呢？
拉格朗日法
欧拉法
§3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法
拉格朗日法: 从分析流体质点的运动入手，设法描述出每一 流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的 规律，综合流场中所有流体质点的运动情况，来获得整个流 体运动的规律。
§3.1 研究流体运动的两种方法 迹线、流线和脉线
• 迹线
– 一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹
线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向
• 迹线方程
拉格朗日法
欧拉法
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a,b,c确定后，消去t 后可得迹线方程
dx uxdt dy uydt dz uzdt
(x, y, z) :
(a, b, c , t ) :
质点起始坐标 任意时刻 质点运动的位置坐标 拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z) : t:
(x, y, z , t ) :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
§3.1 研究流体运动的两种方法
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt

《水力学》课件——第三章 流体运动学

《水力学》课件——第三章 流体运动学

是否是接
均匀流 否
？
渐变流
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
急变流
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况
来判定
急变流示意图
五. 流动按空间维数的分类
一维流动 二维流动 三维流动
• 根据流线的定
• 在非恒定流情况下，流
义，可以推断：除
线一般会随时间变化。在
非流速为零或无穷
恒定流情况下，流线不随
大处，流线不能相
时间变，流体质点将沿着
交，也不能转折。
流线走，迹线与流线重
合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观
点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速
• 由确定的流体质点组成
的集合称为系统。系统在 运动过程中，其空间位 置、体积、形状都会随时 间变化，但与外界无质量 交换。
• 有流体流过的固定不变
的空间区域称为控制 体，其边界叫控制面。 不同的时间控制体将被 不同的系统所占据。
• 通过流场中某曲面 A 的流速通量
u nd A
A
称为流量，记为 Q ，它的物理意 义是单位时间穿过该曲面的流体 体积，所以也称为体积流量，单 位为 m3/s .
n A
dA
u
• u n d A 称为质量流量，记为Qm，单位为 kg/s . 流量计算
A
公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反
s s — 空间曲线坐标
元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。

3工程流体力学 第三章流体运动学基础

3工程流体力学 第三章流体运动学基础
总流： 由无数元流构成的大的流束，包括整
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2

流体力学：第3章流体运动学(上)

流体力学：第3章流体运动学(上)

• 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和
一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便 分析处理。
• 一维流动 流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动
其流场为
s
u u( s, t )
s — 空间曲线坐标
沿着流线。
元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s
在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间
圆柱绕流——涡激振荡
丝线法 烟流法
染色法
1. Reynolds实验(1883)
实验目的：观察粘性流体的流动状态。 实验装置：水箱，染色水，玻璃管，
阀门；很干净，扰动小。
层流（laminar flow）： 流速较低，红墨水迹线平 稳。水质点沿轴向分层平 稳流动。 不稳定流动： 红墨水迹线波动。水质点 不稳定，有轴向和垂向的 分速度。
3.2.2 Euler法
1.基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。 2.欧拉变数：（x,y,z,t）——流体 质点所在空间位置
•欧拉变数 x,y,z 与 L. 法中质点位
置x,y,z有所区别，空间点x,y,z是t 独立变量即与 t 无关，而质点位 置x,y,z是t的函数
3.2 描述流体运动的两种方法
M
y
x
uM uM0 du a lim lim t 0 d t t 0 t
x (u M 0 u M 0 ) (u M u M 0 )
t
3.2.2 Euler法
4.质点加速度
du u u d x u d y u d z a dt t x dt y dt z dt u u u u ux uy uz ( u )u t x y z t

第三章：流体运动学

第三章：流体运动学
或：
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
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交通工具：汽车、船舶、飞行器 汽车的外形设计从最早期的方型逐渐向今天的流线 型过渡，反映了空气动力特性对汽车性能的影响。
船舶的设计依赖我们对浮力定理与浮体稳定性的掌 握，大型潜艇的舰体设计与推进系统更是离不开流 体力学知识。
大气、海洋运动
可怕的龙卷风（tornado)
对大气运动、海洋环流运动及其相互作用的掌握对气 候灾害预报与控制、农业、渔业、航空航海等有积极意 义。
让我们一起加油！！
• 流体力学的研究方法
理论分析、实验研究和数值计算相结合。三个方面是互 相补充和验证，但又不能互相取代的关系。
理论分析
基本假设
数学模型
解析表达
数值计算
数学模型
数值模型
数值解
实验研究
模型试验
量测数据
换算到原型
理想流体的连续性方程
一. 基本概念
❖ 可压缩性 流体的体积(或密度)随压强大 小而变化的性质,称为流体的可压缩性.
水电站
水库大坝
❖ 小孔流速
p0
gh
p0
1 2
vB2
vB 2gh
结论：小孔流速与物体自由 落体的末速度相同
当小孔的面积是s，则其流量为：
Q svb s 2gh
课后练习：经过多长时间水可以流完？
❖ 铜壶滴漏 “寸金难买寸光阴”对我们来说 是再熟悉不过的诗句了,其中揭 示了计量时间的方法. 我国古代用铜壶滴漏计时,使水 从高度不等的几个容器里依次 滴下来,最后滴到最低的有浮标 的容器里,根据浮标上的刻度也 就是根据最低容器里的水位来 读取时间.
3）船舶航行避免并行
4）小实验
p 1 v2 const .
2
吹气
例 用一根跨过水坝的粗细均 匀的虹吸管,从水库里取水, 如图所示.已知虹吸管的最高 点C比水库水面高2.50 m,管 口出水处D比水库水面低4.50 m,设水在虹吸管内作定常流 动.
(1) 若虹吸管的内径为3.00×10-2m,求从虹吸管流 出水的体积流量. (2) 求虹吸管内B、C两处的压强.
略不计,pA= pD=p0.整理后得
vD 2g(hA - hD )
2 9.8 [0 - (-4.5)]m s-1
9.4m s-1
QD
SD vD 3.14
π DD2
(3.00
4
10-2
)
2
9.4m3
s-1
6.6 10-3 m3
s-1
结果表明,通过改4 变D点距水面的垂直距离和虹
请说明其计时原理. ---课后作业
铜壶滴漏
(三) 压强与流速的关系
在许多问题中,所研究的流体是在水平或接近 水平条件下流动.此时,有 h1=h2或 h1≈h2,伯努利 方程可直接写成
p1
1 2
v12
p2
1 2
v
2 2
p 1 v2 常量
2
结论：流速大压强小，流速小的地方压强大
喷雾器是利用流速大、压强 小的原理制成的。
矢量与之相对应的空
间称为流速场,简称
流场.
流场
交错排列管道群中的流场 协 和 式 飞 机 着 陆 时 的 流 场
❖ 流线(streamline) 在流场中画出的一些曲线, 曲线上的任意一点的切线 方向,与流过该点流体的 速度方向一致.
流线
流体流过不同形状障碍物的流线
流线不会相交。 定常流动的流线形状及分布稳定不变。
流体运动时,若流线有头有尾 不形成闭合曲线,这样的流动 称为无旋流动,对应的流场为 无旋场;若流线无头无尾形成 闭合曲线,这样的流动称为有 旋流动,如河流中的涡旋,对应 的流场为有旋场.
龙
卷
风
缓慢的水流
❖ 流管(stream tube) 在流体内部,由流线围成的细管.
❖ 非定常流动
流场中各点的流速随时间 的变化而改变,流线的形状 亦随时间而变的流动.
伯努利方程
由于流体中各点的压强、流速、密度等物理 量不随时间变化, b1a2 段流体的运动状态在 流动过程中没有变化.
根据能量守恒定律及功能原理,可推得（推导见黑板）
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
v
2 2
gh2
考虑到 S1、 S2 的任意性,上式还可以写成
p 1 v2 gh 常量
2
此两式称为理想流体的伯努利方程.
（6）说明球类比赛中的“旋转球”原 理
只平动(向下)
只旋转
香蕉球原理
平动加旋转
（7）说明火车站和地铁站 为何要设置安全线
(8) 机翼的升力
地铁安全线
课堂讨论：伯努利方程的应用
1）飞机的升力
p 1 v2 const .
2
国产歼十战机
机翼上下空气流线分布
2）“香蕉球”的奥秘
力
香蕉球：球旋转
直线球：球不旋转 香蕉球踢法
1 2
v
2 2
-
1 2
v12
p1
-
p2
gh
伯努利管
Q =S1 v1= S2 v2
2gh
Q S1S2
S12
-
S
2 2
思考并回答
(1)船只在航道上行驶时，能否并行? 为什么?
(2)为什么家里向外开的门窗如果没销 好的话，外面刮风时会自动打开呢?
(3)测量血压时，为什么放气时要求缓 慢? (4）口吹纸带，纸带为什么相互吸引？ （5）喷水池的喷泉上也常可见到有个 球在跳跃，它的方向一直都不会偏斜， 为什么？
结果表明,在重力势能不变的情况下,流速大处压
强小,流速小处,压强大.B点压强小于大气压,水能
够进入虹吸管.
对于同一流线上的C、D两点,应用伯努利方程有
水 采 航 交 环 气 石 机生
利 矿 空 通 境 象 油 械物
航土
化冶
天建
工金
流体力学在工程中的应用
航空航天航海
海洋平台
船舶运动
地效翼艇 （WIG）
潜器
浮标
流体力学的应用
常见的流体力学现象 人类在空气、水中的运动 鸟类飞行 米糠分离
大雁的飞行团队
水利工程 1993年青海沟后水库垮坝 “有关人员确实经验不足，缺乏有关专业技术知识”
汽油发动机的汽化器
A
B
C
❖ 流速计原理
1 v2
2
b
a
O
A
pA
pO
1 2
vO2
皮托管（流速计）
vO 2gh
1779年皮托用这种方法，测量了法国塞纳河的流速
问题: 气体流速如何测量 ❖ 皮托管
1 2
1vB2
PB
1 2
1VA2
PA
vA
2 'gh 1
安装在飞机上，测飞机相对与地面的飞行速率
❖ 流量计
吸管内径,可以改变虹吸管流出水的体积流量.
(2) 对 于 同 一 流 线 上 A 、 B 两 点,应用伯努利方程有
pA
1 2
v
2 A
pB
1 2
vB2
pB
p0
-
1 2
vB2
根据连续性方程可知,均匀虹吸管内,水的速率处
处相等,vB=vD.
pB
1.013 105
-
1 2
1.0 103
9.42
5.7 104 Pa
伯努利方程给出了理想流体作定常流动时,同一流管 上任一截面处流体的压强、流速和高度之间关系.
显然 1 v2, gh 分别相当于单位体积流体所具
2 有的动能和重力势能,而p则可视为单位体积流体 的压强能.
*方程实质是能量守恒定律在流体运动中的具体表现.
*适用条件：理想流体、作定常（稳定）流动、
同一流管内(或流线上)
连续性方程推导
当选取的流管截面足够小时,流管上任一截面上 各点的物理量都可视为均匀的.若设S1 和S2 处 流体的速度分别为 v1 和 v2 ,流体的密度分别为
1 和 2.
由于流体是作定常流动, 流管内各点流体的密度 不随时间改变,因此封闭 曲面内流体的质量不会 有变化,即在t 时间内, 从S1 流入封闭曲面流体 的质量 m1 应等于由 S2 流出流体的质量 m2,即
丹 ·伯 努 利 (Daniel
Bernoull, 1700-1782) 瑞士物理学家、数学 家、医学家.在1725～ 1749年间，曾十次荣 获法国科学院的年度 奖。
2．在数学方面，有关微积分、微分方程和概率论等， 他也做了大量而重要的工作。
在定常流动的理想流体
中,取任一细流管,设某 时刻 t,流管中一段流体 处在 a1a2 位置,经很短 的 时 间 t, 这 段 流 体 到 达 b1b2 位置,如图所示.
二. 伯努利方程的应用
在流体力学中,伯努利方程十分重要,应用极其广泛.
(一)压强与高度的关系 若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽略时 ,伯努利方程可以直接写成
p1 gh1 p2 gh2 或 p gh 常量
表明流速不变或流速的改变可以忽略时,理想流体 稳定流动过程中流体压强能与重力势能之间的转 换关系,即高处的压强较小,低处的压强较大.
❖ 定常流动
流管
流场中各点的流速不随时间变化的流动.
特点 流线不随时间改变,不同时刻的流线不 相交;流管形状也不随时间改变,流管内的流 体不会流出到管外,流管外的流体不会流入到 管内.
二. 连续性方程
流体作定常流动时,在任 一细流管内取与流管垂 直的两个截面S1 和S2 与流管构成封闭曲面,流 体由S1流入,从 S2 流出, 如图所示.
流体力学
研究对象:流体--指具有流动性的物体，包括气体 和液体二大类。
流动性