知识文库 第13期
65 2020.07（上） 知识文库 关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法
李志民
1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：
判别式 相交
1.1代数法： 相切
Δ=b2-4ac 相离
1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径
r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离
(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆
内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。
2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法
2.1 几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径
构成直角三角形计算。
2.2 代数方法
一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距
离公式得出；
二是运用韦达定理及弦长公式 |AB|= |xA-xB|= .]4))[(1(22BABAxxxxk-++
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程
3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆
的切线方程为：x0x+y0y=r2
3.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可
设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.
4 例题选讲：
例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝
12。
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交
点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。
(1)证明 由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2
＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝
直线与圆的位置关系
一、 直线与圆的位置关系
位置关系有三种：相交、相切、相离•判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1) 代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的
一元二次方程，求出其厶的值，然后比较判别式 厶与0的大小关系.若.■: ::: 0，则直线与圆相离；若抡.=0,
则直线与圆相切；若■ = 0，则直线与圆相交.
(2) 几何法：利用圆心到直线的距离 d和圆的半径r的大小关系：d ::： r=相交，d =r：=相切，d . r =
相离.
二、 计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1 )几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.
(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式 AB =・1亠孑xA -XB = (1亠k2)[(xA亠xB)2 4XAXB]
三、 圆与圆的位置关系的判定
设 |_G ：(x -印)2 (y -bi)2 =rj(「i . 0), _ C2 ：(x-a2)2 • (y -b?)2 =『(「2 0)，则有：
C1C2 ri r^LJCi 与 L C2 外离；
C1C2 =ri tuLICi 与 L C2外切；
「1 •；：■ CiG| .；：丁1 ■「2 u |_| Ci 与 L C2 相父；
GG =「i -「2(「i =「2)= LI Ci与 L C2 内切；
GG :::「1 一「2 = LlG 与L C2 内含；
四、 圆的切线方程问题
(1) 已知 |_Oi :x2 y2 =「2, _ O2 ：( x -a)2 (y -b)2 =「2O3 ：x2 y2 Dx Ey F = 0,则以 M (x0, y0) 为切点的LI Oi的切线方程 xx0 • yy°二「2; L O2的切线方程(x 7)化- a) • (y - b)( y° -b)二「2 ,L Q切线 方程xx yy0匹亠.旦j F =0
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆是在平面几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系及性质有很多种，下面我们来一一介绍。
1. 直线与圆的位置关系有三种情况：
（1）直线与圆相交；
（3）直线与圆内含。
2. 直线与圆的位置关系具有对称性质，即交换直线和圆的位置仍然成立，特别地，直线可以看成是以半径为无限大的圆。
3. 直线与圆的位置关系决定了它们之间的交点数目，以及交点的性质。
（1）交点数目：一条直线与一个圆最多有两个交点，最少有一个交点，如果切线重合，则只有一个交点。
（2）交点的位置：
① 两交点的连线经过圆心；
② 被交点的角度相等，且互为补角；
③ 两条切线垂直于径，且互相垂直；
④ 两条切线在点处的切线垂直于过该点的直径。
（3）判定方法：
① 如果直线与圆的方程可通过联立求解得到交点，则两者相交；
③ 如果扫描线经过圆时出现奇数个交点，则该直线与圆相交（扫描线法）。
① 交点在切线上；
① 确定圆心和半径，然后根据切线的判定条件求出切点；
② 针对某一求交点的定点，使各定点到圆心的距离相等，然后根据勾股定理求出交点。
（1）交点数目：一条直线与一个圆内含时，无交点。
① 切线内含于圆； （3）判定方法：只需要判断过直线的所有圆的半径与直线的距离之差是否有大于零的情况即可。
总结：
在解决直线与圆的位置关系问题时，需要熟练掌握判定条件和数学技巧，才能快速判断它们的位置关系，从而有效地解决问题。同时，本文的介绍也只是直线与圆位置关系的一些基本性质，实际问题中还可能存在更加复杂的情况和解决方法。
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一、点与圆的位置关系
1. 确定圆的条件
（1） 圆心(定点)，确定圆的位置；
（2） 半径(定长)，确定圆的大小．
注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．
2. 点与圆的位置关系
（3） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
（4） 设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr.如下表所示：
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 PrO 点在圆的外部 dr点P在O⊙的外部.
点在圆上 PrO 点在圆周上 dr点P在O⊙的外部.
点在圆内 PrO 点在圆的内部 dr点P在O⊙的外部.
二、过已知点的圆
1. 过已知点的圆
（1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
（2） 经过两点AB、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点AB、的圆，这样的圆也有无数个．
（3） 过三点的圆：若这三点ABC、、共线时，过三点的圆不存在；若ABC、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
（4） 过n4n个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆
（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
（2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．
三、三角形的外接圆及外心
1. 三角形的外接圆
（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
