直线与圆的位置关系(1)

1 第 14课时：直线和圆的位置关系（1）

班级_________ 姓名__________学号__________

学习目标：

1、掌握直线与圆的三种位置关系和判定.

2、直线与圆的位置关系的判定.

典例精析：

问题1、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.

（1）在下列条件下，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？

①r=2cm；②r=3cm；③r=2.4cm.

（2）以C为圆心，r为半径的圆.

①当r满足 时，直线AB与⊙O相交；

②当r满足 时，直线AB与⊙O相切；

③当r满足 时，直线AB与⊙O相离.

（3）若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的范围是 ；

若⊙C与斜边AB有一个公共点，则r的范围是 ；

若⊙C与斜边AB有没有公共点，则r的范围是 .

问题2、⊙O的半径是4cm.点P在直线上，

若OP=4cm，则直线l和⊙O位置关系是 ；

若OP=3cm，则直线l和⊙O位置关系是 ；

若OP=5cm，则直线l和⊙O位置关系是 .

问题3、已知点A的坐标为（-3，-4）

①以A为圆心，6为半径的圆与x轴的位置关系是 ，与y轴的位置关系是 ；

②若①中⊙A的半径为r，当r= 时⊙A与x轴相切，当r= 时⊙A与y轴相切；

③当r 时，⊙A与坐标轴无公共点，

当r 时，⊙A与坐标轴有1个公共点，

1 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系：

1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示.

（1）直线与圆相交：有两个公共点；

（2）直线与圆相切：有一个公共点；

（3）直线与圆相离：没有公共点.

2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.

1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l和C的方程联立方程组2200AxByCxyDxEyF，

若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交；

若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切；

若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.

2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a，b)到直线的距离d=22||AaBbCAB与半径r作比较

若dr时，直线l和圆C相离.

3、圆的切线的求法：

（1）当点(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，切线方程为x0x+y0y=r2；

（2）若点(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2；

（3）斜率为k且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为21ykxk；

斜率为k且与圆(x－a)2+(y－b)2=r2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m，然后变成一般

式kx－y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m；

（4）点(x0，y0)在圆外面，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离

等于半径，解出k，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.

4、直线与圆相交的弦长公式

1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长

即为直线l与圆相交的弦长.设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有

知识结构

模块一：直线与圆的位置关系

知识精讲

直线与圆、圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容．重点是 理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系，掌握它们数量表达， 并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系．难点是直线与圆、圆与圆位置关系在 实际中的应用，及分类讨论的思想．

1、 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交

当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；

当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；

当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线．

2、 数量关系描述直线与圆的位置关系

如果 O 的半径长为 R，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么：

直线 l 与 O 相交 0  d  R ；

直线 l 与 O 相切 d  R ；

直线 l 与 O 相离 d  R ．

3、 切线的判定定理

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 直线与圆、圆与圆的位置关系

内容分析 B O A

【例1】 在 ABC 中， C  90 ，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？

（1）r = 2 cm；（2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm．

【例2】 经过 O 上一点 P 作 O 的切线．

【例3】 已知， O 的圆心 O 的坐标是（4，6），半径为 5，则 x 轴与 O 的位置关系是 ．

【例4】 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范围是 ．

【例5】 如图，在射线 OA 上取一点 A，使 OA = 4 cm，以 A 为圆心，作一个直径为 4 cm

的圆．问射线 OB 与 OA 所夹锐角 取怎样的值时，OB 与 O 相离、相切、相交？

【例6】 等腰ABC ，AB = AC = 5，CB = 6，以 BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径 r 的取值范围为 ．

数学

篇方法集锦直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交、相离.判断直线与圆的位置关系问题的常见命题形式有：（1）根据直线与圆的方程判断二者的位置关系；（2）根据直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围.解题的关键在于明确直线与圆的位置关系，建立代数或几何关系.下面主要谈一谈解答直线与圆的位置关系问题的三种方法.一、几何法运用几何法求解直线与圆的位置关系问题，需先根据圆的方程确定圆心、半径；然后根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，或根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，利用勾股定理求得圆心到直线的距离；再判断圆心到直线距离d与半径r的大小关系.一般地，①当r>d时，直线与圆相交；②当r=d时，直线与圆相切；③当r

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数学篇方法集锦=-()1-cos2θk2-2sinθcosθ∙k+()1-sin2θk2+1=-()sinθ∙k-cosθ2k2+1≤0，所以对任意的实数k,θ，直线l和圆M有公共点，但不一定相切.故（1）错误，（2）正确；当直线与圆相切时，d2M-l=1，可得：sinθ∙k=cosθ①，当sinθ=0时，①不成立，所以对于任意的实数θ，不一定会存在k，使得等式成立.但对于任意的k，总有k=cosθsinθ=1tanθ，使得①成立，即直线与圆相切.所以（3）错误，（4）正确.综上所述，本题的答案为（2）（4）.本题主要考查直线与圆的位置关系.经分析可知，四个命题均和直线与圆的位置关系相关.于是先确定圆心、半径、圆心到直线的距离.为了判断出dM-l与半径1之间的大小关系，将d2M-l与1作差，通过三角恒等变换，根据正余弦函数的有界性比较出d2M-l与1的大小，从而断定出直线l和圆M有公共点，但不一定相切，进而判断出（1）（2）的正确性.然后根据直线与圆相切，建立关系式d2M-l=1，并确定当d2M-l=1时是否存在满足题意的k、θ，进而判断出（3）（4）的正确性.二、代数法一般地，若直线与圆有2个交点，则直线与圆相交；若直线与圆只有1个交点，则直线与圆相切；若直线与圆没有交点，则直线与圆相离.将直线与圆的方程联立，消去x或y，即可构建出一元二次方程，根据方程的判别式可以确定直线与圆的交点的个数，即：①若Δ>0，则方程有2个解，此时直线与圆相交；②若Δ=0，则方程有1个解，此时直线与圆相切；③若Δ<0，则方程组无解，此时直线与圆相离.例4.已知直线l:x-my+1-m=0(m∈R)，圆C:x2+y2+4x-2y-4=0，请判断直线l与圆C的位置关系.解：由x-my+1-m=0可得x=my-1+m，将其代入圆C:x2+y2+4x-2y-4=0可得：(m2+1)y2+2(m2+m+1)y+m2+2m-7=0，△=4(m2+m+1)2-4(m2+1)(m2+2m-7)<0，所以直线l与圆C有2个公共点，即直线l与圆C相交.我们将直线与圆的方程联立，消去x，构建关于y的一元二次方程，求出判别式Δ<0，即可判定直线l与圆C有2个公共点，就能顺利判断出直线与圆的位置关系.三、根据点与圆的位置关系进行判断若直线恒过定点且定点在圆内，则可断定直线与圆相交；若直线恒过的定点在圆上，则可断定直线与圆相切或相交.该方法的适用范围较窄，一般只适用于求解动直线与圆的问题.例5.直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是().A.相切B.相交C.相离D.随a的变化而变化解：由(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)得x-y+a(x+y+2)=0，令ìíîx-y=0,x+y+2=0,得x=-1，y=-1，即直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)恒过定点(-1，-1)，又(-1)2+(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7=-5<0，则点(-1，-1)在圆x2+y2-2x+2y-7=0的内部，故直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0相交．所以本题的正确答案为B项.将直线的方程变形为关于a的一元一次方程，分别令x-y=0，x+y+2=0，那么方程对任意a都成立，即直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)恒过定点(-1,-1).而(-1，-1)在圆内，那么就可以确定直线与圆相交.总之，若已知直线与圆的方程，或易求得圆心到直线的距离，则用几何法解题；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法求解.相比较而言，第一、三种方法较为简单，运用第二种方法解题的运算量较大.一般地，尽量用几何法，而不用代数法.（作者单位：中国核工业集团公司二0二厂中学）44Copyright©博看网. All Rights Reserved.