2 .2超几何分布-北师大版高中数学选修2-3练习

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金戈铁骑 §2 超几何分布

A组

1.一个袋中有6个同样的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:

①X表示取出的最大号码;②Y表示取出的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.

这四种变量中服从超几何分布的是( )

A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④

答案:B

2.一个盒子里装有除颜色外都相同的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为C261C41+C42C302的事件是( )

A.没有白球 B.至少有一个白球

C.至少有一个红球 D.至多有一个白球

解析:C261C41+C42C302=C261C41C302+C42C302表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率,即至少有一个白球的概率.

答案:B

3.一个盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为( )

A.1220 B.2755 C.27220 D.2125

解析:由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)=C32×C91C123=27220.

答案:C —————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————

金戈铁骑 4.10名同学中有a名女生,若从中选取2人作为学生代表参加某研讨会,则恰选取1名女生的概率为1645,则a= ( )

A.1 B.2或8 C.2 D.8

解析:由题意知选取女生的人数服从超几何分布,所以C𝑎1C10-𝑎1C102=1645,解得a=2或a=8.

答案:B

5.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张A的概率为( )

A.C43C482C525 B.C483C42C525

C.1-C481C44C525 D.C43C482+C44C481C525

解析:设X为抽出的5张扑克牌中A的张数,则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C43C482C525+C44C481C525=C43C482+C44C481C525.

答案:D

6.有学生10人,其中男生3人女生7人,现需选出3人去某地调查,则3人中既有男生又有女生的概率为 .

解析:由题意得,3人中既有男生又有女生的概率为C31C72+C32C71C103=710.

答案:710

7.已知某批产品共100件,其中二等品有20件.从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数,试填写下列关于ξ的分布列.

ξ=k 0 1

2

P(ξ=k)

解析:ξ的可能取值为0,1,2,ξ服从参数为N=100,M=20,n=2的超几何分布,则P(ξ=0)=C200C802C1002=316495,P(ξ=1)=C201C801C1002=3299,P(ξ=2)=C202C800C1002=19495. —————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————

金戈铁骑 答案:316495 3299 19495

8.导学号43944030某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量;

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.

解(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505克的产品数量为40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12.

(2)Y的可能取值为0,1,2,

P(Y=0)=C282C120C402=63130,

P(Y=1)=C281C121C402=2865,

P(Y=2)=C280C122C402=11130,

故Y的分布列为

Y 0 1 2

P 63130 2865 11130

B组

1.一个小组有6人,任选2名代表,则其中甲当选的概率是 ( ) —————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————

金戈铁骑 A.12 B.13 C.14 D.15

解析:设X表示2名代表中含有甲的个数,X的可能取值为0,1,

由题意知X服从超几何分布,其中参数为N=6,M=1,n=2,

则P(X=1)=C11C51C62=13.

答案:B

2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若离散型随机变量X表示取得次品的件数,则P(X<2)等于 ( )

A.715 B.815 C.1415 D.1

解析:P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,

∴P(X<2)=1415.

答案:C

3.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则等于C221C41+C222C262的是( )

A.P(0

C.P(X≥1) D.P(X≥2)

解析:由条件知,随机变量X服从参数为N=26,M=4,n=2的超几何分布,其中X的不同取值为0,1,2,且

P(X=k)=C4𝑘C222-𝑘C262(k=0,1,2).

∴P(X=0)=C40C222C262,P(X=1)=C41C221C262,

P(X=2)=C42C262.

∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C222+C41C221C262. —————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————

金戈铁骑 答案:B

4.口袋内装有10个大小、形状、质地相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1,若从口袋中摸出5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 (用数字作答).

解析:{ξ=i}表示“摸出的5个球所标数字之和为i”(i=0,1,2,3,4,5),则P(ξ=0)=C55C105,P(ξ=1)=C54C51C105,P(ξ=4)=C51C54C105,P(ξ=5)=C55C105,故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=4)+P(ξ=5)=2(C55+C51C54)C105=2×26252=1363.

答案:1363

5.盒中装有除颜色外,其余完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于 .

解析:由题意知,从5个球中随机取出2个球共有C52=10种不同取法,而取出的球颜色不同共有C31C21=6种不同取法,故所取出的2个球颜色不同的概率为P=C31C21C52=610=35.

答案:35

6.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有1张中奖的概率大于0.5,n至少为 .

解析:设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”,则X服从超几何分布,其中N=50,M=2,X可取0,1,2,

∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C21C48𝑛-1C50𝑛+C22C48𝑛-2C50𝑛>0.5,且n∈N+,解得n≥15.

答案:15

7.导学号43944031从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其月用电量都在50千瓦时至350千瓦时之间,频率分布直方图如图所示. —————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————

金戈铁骑

(1)根据频率分布直方图求x的值,并估计该小区100户居民的月均用电量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)从该小区已抽取的100户居民中,随机抽取月用电量超过250千瓦时的3户参加节约用电知识普及讲座,其中恰有ξ户月用电量超过300千瓦时,求ξ的分布列.

解(1)由已知得50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060)=1,解得x=0.0044.

设该小区100户居民的月均用电量为S,

则S=0.0024×50×75+0.0036×50×125+0.0060×50×175+0.0044×50×225+0.0024×50×275+0.0012×50×325=9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186(千瓦时).

(2)月用电量在(250,300]的用户数为0.0024×50×100=12,

月用电量在(300,350]的用户数为0.0012×50×100=6,

ξ的可能取值为0,1,2,3,

且P(ξ=0)=C123C183=55204,

P(ξ=1)=C122C61C183=3368,

P(ξ=2)=C121C62C183=1568,

P(ξ=3)=C63C183=5204,

所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3

P 55204 3368 1568 5204 —————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————

金戈铁骑

8.导学号43944032某大学志愿者协会有10名同学,成员构成如下表:

专业

性别 中文 英语 数学 体育

男 n 1 m

1

女 1 1 1

1

已知从这10名同学中随机抽取一名,抽到的同学为数学专业的概率为25.

现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动.

(1)求m,n的值;

(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;

(3)设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数,求随机变量ξ的分布列.

解(1)设事件A为从10名同学中随机抽取一名,抽到的同学为数学专业.

由题意可知,P(A)=1+𝑚10=25,解得m=3.

所以n=10-6-3=1.

(2)设事件B为选出的3名同学恰为专业互不相同的男生.

由题意得P(B)=C31C32+1C103=112.

(3)ξ的可能取值为0,1,2,3,

且P(ξ=0)=C33C103=1120,

P(ξ=1)=C71C32C103=21120=740,

P(ξ=2)=C72C31C103=63120=2140,