等比数列前N项和(一)

等比数列的前n项和

一．等比数列前n项和公式

1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

【例1】 在等比数列{an}的前n项和为Sn，

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

[解] 由题意知

 a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得 a1＝5，q＝5或 a1＝180，q＝－56.

从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1 080×1－－56n11.

(2) a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；

[解]法一：由题意知 a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得 a1＝8，q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.

法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.

(3) a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.

[解]因为a2an－1＝a1an＝128，

所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．

从而 a1＝2，an＝64或 an＝2，a1＝64.

又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q为2或12.

(4) a1＝1，S3＝34，求S4.

[解] ∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝34，

∴q≠1，1－q31－q＝34，整理可得，q2＋q＋14＝0，解得，q＝－12，

则S4＝1－q41－q＝1－1161＋12＝58.

跟踪训练1．(1) 在等比数列{an}中，若a1＝2，an＝162，Sn＝112，求n和q；

1 求数列前N项和的七种方法

1. 公式法

等差数列前n项和：

11()(1)22nnnaannSnad

特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，1nSna 1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.

解：由212loglog3log1log3323xxx

由等比数列求和公式得 nnxxxxS32 （利用常用公式）

＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn

∴

1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501

∴ 当

88n，即n＝8时，501)(maxnf

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS……………①

解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积

设nnxnxxxxxS)12(7531432………. ② （设制错位）

①－②得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432

等比数列前n项和知识点归纳总结

等比数列（geometric sequence）是数学中重要且常见的一种数列。它由首项、公比和项数所确定。本文将对等比数列的前n项和进行归纳总结。

一、等比数列的定义

等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项均是前一项乘以一个相同的固定比例，称为公比。

二、等比数列的通项公式

对于等比数列{an}，第一项为a1，公比为q，第n项为an，则其通项公式为：

an = a1 * q^(n-1)

三、等比数列前n项和的公式

等比数列前n项和（Sn）的公式是一个重要的数学概念，它表示等比数列前n项相加的结果。根据等比数列的性质，我们可以推导出等比数列前n项和的公式如下：

当公比q不等于1时：

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)

当公比q等于1时：

Sn = n * a1 四、等比数列前n项和的推导过程

下面我们来推导一下等比数列前n项和的公式，以加深对其理解。

假设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则根据等比数列的通项公式可知：

a1 = a1 * q^(1-1) = a1

an = a1 * q^(n-1)

将等比数列的前n项和表示为Sn，即：

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

将a1和an按照等比数列的通项公式进行替换，得：

Sn = a1 + a1*q^0 + a1*q^1 + ... + a1*q^(n-2) + a1*q^(n-1)

等比数列前n项和Sn中每一项都是a1与q的某个幂的乘积。我们可以通过乘以q来使等比数列前n项和中每一项的幂相应地增加1，得到：

q*Sn = a1*q + a1*q^2 + a1*q^3 + ... + a1*q^(n-1) + a1*q^n

将上述两式相减，得到：

(1-q)*Sn = a1*q^n - a1

由于1-q不等于0，我们可以将上述等式两边同时除以(1-q)，得到等比数列前n项和的公式：

靠山山会倒，靠人人会跑，只有自己最可靠。

第 1 页 共 1 页 2.5等比数列的前n项和

班级： 姓名：

三维目标

知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

过程与方法：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及类比思想；

情感态度与价值观：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；发现数学来源于生活，服务与生活。

教学重点：等比数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：等比数列前n项和公式的推导．

新课学习

一．问题引入

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算？

二．公式推导

根据等比数列的定义＿＿＿。 变形：an+1=＿＿＿.具体：a2=＿＿,a3=＿＿

snq ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

当＿＿＿＿＿时，Sn=＿＿＿＿＿; 当＿＿＿＿ 时，Sn=＿＿＿＿＿

三．课堂精炼

变式练习

根据下列条件，写出表达式（不要求计算）

1.a1=3,q=2,n=6.则s6= ＿＿＿

2.a1=2.4，q=-1.5,an=0.5.则sn=＿＿＿

3.等比数列1,2,4……从第5项到第10项的和s=＿＿＿.

例2.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？

四．课时小结

1.填表

2．本节课用到了哪些数学思想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

五．课后作业

1.基础题 ：课本P61 习题2.5 A组1，2

2.探究题：

数列

等差数列

等比数列

前N项和公式

推导方法

02431272,81,41,2118191qaa，＝，＝）（）（项的和、求下列等比数列的前例1111123()2482nn(1)求和：2(1)(2)()nnSxxxn(2)求和：