高等数学A1第八章：空间解析几何和向量代数 习题解析

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.....专业资料...可分享.下载 第八章 空间解析几何与向量代数

1．自点0000,,zyxP分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。

xoyDP0平面，垂足D的坐标为0,,00yx；

yozEP0平面，垂足E的坐标为00,,0zy；

zoxFP0平面，垂足F的坐标为00,0,zx；

xAP0轴，垂足A的坐标为0,0,0x；yBP0轴，垂足B的坐标为0,,00y；

zCP0轴，垂足C的坐标为0,0,0z。

2．在yoz平面上，求与三点2,1,3A、2,2,4B和1,5,0C等距离的点。

解：设所求点为,,,0zyP 则

2222213||zyPA， 2222224||zyPB，22215||zyPC。

由于P与A、B、C三点等距，故222||||||PCPBPA，

于是有：22222222221522415213zyzyzyzy， 解此方程组，得1y，2z，故所求的点为2,1,0P。

3．已知2,2,21M，0,3,12M，求21MM的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知：,2,1,120,23,2121MM 则

,221122221MM z

C 00,,0zyE

00,0,zxF 0000,,zyxP

y

O B

A 0,,00yxD

x ......Word文档...范文范例...供学习参考

.....专业资料...可分享.下载 21cos，21cos，22cos，

于是，32，3，43。

4．已知1,5,3a，3,2,2b，3,1,4c，求下列各向量的坐标：

(1)a2；(2)cba；(3)cba432；(4).bnam

解：(1) 2,10,62a；(2)5,8,1cba；(3)23,0,16432cba；

(4).3,25,23nmnmnmbnam

5．设向量的方向余弦分别满足(1)0cos；(2)1cos；(3)0coscos，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解：(1)0cos，向量与x轴的夹角为2，则向量与x轴垂直或平行于yoz平面；

(2)1cos，向量与y轴的夹角为0，则向量与y轴同向；

(3)0coscos，则向量既垂直于x轴，又垂直于y轴，即向量垂直于xoy面。

6．分别求出向量kjia，kjib532及kjic22的模，并分别用单位向量a，b，c表示向量a，b，c。

解：3111||222a，aa3，38532||222b，bb38，3212||222c，cc3。

7．设kjim853，kjin742和kjip45，求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量。

解：kjikjikjia4574238534kji15713

故a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为j7。

8．在xoz坐标面上求一与已知向量4,3,2a垂直的向量。 ......Word文档...范文范例...供学习参考

.....专业资料...可分享.下载 解：设所求向量为00,0,zxb，由题意，

04200zxba

取10z，得20x，故1,0,2b与a垂直。当然任一不为零的数与b的乘积b也垂直a。

9．求以3,2,1A，5,4,3B，7,2,1C为顶点的三角形的面积S。

解：由向量的定义，可知三角形的面积为ACABS21，因为2,2,2AB，4,4,2AC，所以

4,12,16442222kjiACAB，

于是， .69242162144222221222kjiS

10．求与向量1,0,2a，2,1,1b都垂直的单位向量。

解：由向量积的定义可各，若cba，则c同时垂直于a和b，且

kjikjibac23211102，

因此，与bac平行的单位向量有两个：

kjikjibabaccc2314123123||||222和

.23141kjic

11．设三向量a，b，c满足0abcbba，试证三向量a，b，c共面。

证：由,0accbba有 ......Word文档...范文范例...供学习参考

.....专业资料...可分享.下载 .accbba

两边与c作数量积，得

.,,,,,,cacccbcba

由于0,,ccb，0,,cac，所以0,,cba，从而a，b，c共面。

12．将xoz坐标面上的抛物线xz52绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为xzy5222，即xzy522。

13．画出下列各方程所表示的曲面：

(1)22222ayax；(2)14922zx；(3)22xz。

14．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

(1)2x；(2)1xy；(3)422yx；(4)122yx。 z

y

x

(1) z

2

y

3

x

(2)

z

O y

2

x （3） a/2

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方程 在平面解几中表示 在空间解几中表示

2x 平行于y轴的一直线 与yoz平面平行且过0,0,2的平面

1xy 斜率为1，在y轴截距为1的直线 平行于z轴，过(0,1,0)，(-1,0,1)的平面

422yx 圆心在原点，半径为2的圆 以过z轴的直线为轴，半径为2的圆柱面

122yx 双曲线 母线平行于z轴的双曲柱面

15．说明下列旋转曲面是怎样形成的？

(1)14222zyx；(2)222yxaz。

解：(1)由xoy坐标面上的双曲线1422yx，绕y轴旋转一周或是yoz坐标面上的双曲线1422zy，绕y轴旋转一周得到。

(2)是yoz坐标面上关于z轴对称的一对相交直线22yaz，即ayz和ayz中之一条绕z轴旋转一周；或是xoz坐标上关于z轴对称的一对相交直线22xaz，即axz和axz中之一条，绕z轴旋转一周。

16．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？

(1)3215xyxy；(2).319422yyx

解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；

(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭圆柱面19422yx与其切平面3y的交线。

17．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线0162222222yzxzyx的柱面方......Word文档...范文范例...供学习参考

.....专业资料...可分享.下载 程。

解：10．从方程组中消去x得：162322zy，此方程即母线平行于x轴且通过已知曲线的柱面方程；

20．从方程组中消去y得：162322zx，此方程即母线平行于y轴且通过此曲线的柱面方程。

18．求球面9222zyx与平面1zx的交线在xoy面上的投影的方程。

解：由1zx，得xz1，代入9222zyx，消去z得91222xyx，即82222yxx，这就是通过球面9222zyx与平面1zx的交线，并且母线平行于z轴的柱面方程，将它与0z联系，得：082222zyxx，即为所求的投影方程。

19．求平面0522zyx与xoy面的夹角。

解：1,2,2n为此平面的法向量，设此平面与xoy的夹角为，则3131,0,01,2,2||||cosknkn，故31cosArc。

20．分别按下列条件求平面方程

(1)平行于xoz面且经过点3,5,2；

(2)通过z轴和点2,1,3；

(3)平行于x轴且经过两点2,0,4和7,1,5。

解：(1)因为所求平面平行于xoz面，故0,1,0j为其法向量，由点法式可得：

0305120zyx，

即所求平面的方程：05y。

(2)因所求平面通过z轴，其方程可设为(*)0ByAx，已知点2,1,3在此平面上，因而有03BA，即AB3，代入（*）式得：