高一数学简单的三角恒等变换

高中数学必修四优质学案高效专题

简单的三角恒等变换

一、教学目标

1、通过三角恒等变形，形如xbxacossin的函数转化为)sin(xAy的函数；

2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点

重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程

（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析

例1：.54sin,20已知 的值求2coscos2sinsin)1(22；的值求)45tan()2(．

解：（1）由,54sin,20得,53cos

.201cos3cossin2sin2coscos2sinsin2222

（2）.71tan11tan)45tan(,34cossintan

例2．.10tan3150sin）（利用三角公式化简 高中数学必修四优质学案高效专题

解：）（原式10cos10sin3150sin10cos)10sin2310cos21(250sin

10cos10sin30cos10cos30sin50sin2 10cos40sin40cos2

110cos10cos10cos80sin.

例３．已知函数xxxxxf44sincossin2cos)(

（1） 求)(xf的最小正周期，（2）当]2,0[x时，求)(xf的最小值及取得最小值时x的集合．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数

sinyAx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

例4．若函数]20[cos22sin3)(2，mxxxf在区间上的最大值为6，求常数m的值及此函数当Rx时的最小值及取得最小值时x的集合。

3．2《简单的三角恒等变换》导学案

【学习目标】：

1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差公式与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用。

【重点难点】： 辅助角公式在三角恒等变换中的应用及三角恒等变换的相关综合问题。

【学法指导】： 自主探究与老师引导相结合。

【知识链接】：

（1）半角公式

sin2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

cos2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

tan2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（2）积化和差公式

sincos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：

cossin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

coscos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

sinsin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（3）和差化积公式

sinsin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：

sinsin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

coscos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

coscos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（4）辅助角公式

sincosaxbx＿＿＿＿sin()x（其中tan=＿＿＿＿＿）

【学习过程】：

有了和（差）角公式，倍角公式以后，我们就有了三角变换的新工具，请同学们利用现有知识，试着证明下面的半角公式。

例1：求证：1cossin22；1coscos22；1costan21cos。

上述公式可用于求半角的三角函数值。

试一试：若0sin76m，试用含m的式子表示0cos7。

例2：求证：1sincos[sin()sin()]2

高一数学 必修二《简单的三角恒等变换》教学设计

课题 3.2 简单的三角恒等变换（二） 计划课时 1

教学目标 知识与技能 （1）通过三角恒等变形将形如xbxaycossin的函数转化为)sin(xAy的函数，并解决函数的最值、周期、单调性等问题。

（2）建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题。

过程与方法 抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．

情感态度与价值观 培养学生观察、分析、解决问题的能力．

教学重点、难点 重点：三角恒等变换；

难点：三角恒等变换的应用。

学习者分析 学生基础参差不齐。

教学资源与策略 合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，掌握三角函恒等变换的基本方法。

教学过程

教师活动 学生活动 设计意图

1、引例：求函数y=2sin(3x+4)的周期，最大值及单调区间. 学生动手练习，回归三角函数性质及求解方法。 复习三角函数的基本性质及及求解方法。

2、例1：求函数y =sinx +3cosx的周期，最大值和最小值．

分析：利用三角函数恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 思考如何用公式进行三角函数恒等变换 体会和角差角公式的逆用

3、随堂练习：

（1）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值和最小值．

（2）函数f (x)=3sinxcosx-4cos2x的最大值是__ _． 学生自主练习 利用和角、差角公式及二倍角公式化简表达式

4、例2、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

学生先思考再动手 求解三角函数的实际运用问题，并掌握其基本基本思路

OABDCQP5、变式1.把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）

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1．常用的三角公式的变形

(1)1±sin α＝____________．

(2)1＋cos α＝____________，1－cos α＝____________．

(3)降幂公式：sin2α2＝________，cos2α2＝________，tan2α2＝________．

(4)tanα2＝________＝________．

2．常见的几种角的变换

(1)α＝(α＋β)－________，α＝________＋β.

(2)2α＝(α＋β)＋________，2β＝________－(α－β)．

(3)α＋β2＝________－α2－β，α＝2×________．

3．常数的变换

(1)1＝sin2α＋cos2α.

(2)1＝tanπ4.

题组一 常识题

1．[教材改编] sin 75°＋3cos 75°的值是________．

2．[教材改编] 函数f(x)＝sin22x＋12sin 4x(x∈R)的最小正周期是________．

3．[教材改编] 已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β的值为________．

题组二 常错题

◆ 索引：忽视角的范围出错；用错公式出错．

4．若sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，则cos 2θ＝________．

5．若sin 2α＝14，则sin2α＝________．

题组三 常考题

6．[2016·全国卷Ⅲ改编] 若tan α＝3，则sin αcos α＝__________．

7．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编] 已知sin 2α＝13，则cos2α－π4＝________．

探究点一 三角函数式的化简

1 (1)化简：1＋sin 2α－cos 2α1＋sin 2α＋cos 2α＝________． 第 2 页 共 5 页 (2)化简：1tanα2－tanα21＋tan αtanα2＝________．