全国各地中考数学压轴题集锦答案 .doc
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谢谢观赏 全国各地中考数学压轴题集锦答案
1．（北京模拟）已知抛物线y＝－x 2＋2x＋m－2与y轴交于点A（0，2m－7），与直线y＝2x交于点B、C（B在C的右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得∠BFE＝∠CFE，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；
（3）动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒 5 个单位长度、每秒25 个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒．若△PMQ与抛物线y＝－x 2＋2x＋m－2有公共点，求t的取值范围．
解：（1）把点A（0，2m－7）代入y＝－x 2＋2x＋m－2，得m＝5
∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋2x＋3
（2）由
y＝－x 2＋2x＋3y＝2x 解得 x1＝3y1＝23 x2＝－3y2＝－23
∴B（3，23），C（－3，－23）
∵y＝－x 2＋2x＋3＝－( x－1 )2＋4
∴抛物线的对称轴为x＝1
设F（1，y）
∵∠BFE＝∠CFE，∴tan∠BFE＝tan∠CFE
当点F在点B上方时，3－1
y－23 ＝ 3＋1
y＋23
解得y＝6，∴F（1，6）
当点F在点B下方时，3－1
23－y ＝ 3＋1
－y－23
解得y＝6（舍去）
∴满足条件的点F的坐标是F（1，6）
（3）由题意，OP＝5t，OQ＝25t，∴PQ＝5t
∵P、Q在直线直线y＝2x上
∴设P（x，2x），则Q（2x，4x）（x ＜0）
∴x 2＋4x 2 ＝5t，∴x＝－t
∴P（－t，－2t），Q（－2t，－4t）
∴M（－2t，－2t） x O y
A B
C
P
Q M
x O y
A B
C F
E
x O y
A B
C P
Q M 谢谢观赏
谢谢观赏 当M（－2t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－4t 2－4t＋3
解得t＝ 13－1 4 （舍去负值）
当P（－t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－t
2－2t＋3
解得t＝3（舍去负值）
∴t的取值范围是：13－1 4 ≤t ≤3
2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax 2＋3x＋c经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．
（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．动点P从O点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF．
①当点E落在抛物线y1上时，求OP的长；
②若点P的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q点到达O点时P、Q两点停止运动．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t的值．（正方形在x轴上的边除外）
解：（1）∵抛物线y1＝ax 2＋3x＋c经过原点及点A（1，2）
∴c＝2a＋3＋c＝2 解得
a＝－1c＝0
∴抛物线y1的解析式为y1＝－x 2＋3x
令y1＝0，得－x 2＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝3
∴B（3，0）
（2）①由题意，可得C（6，0）
过A作AH⊥x轴于H，设OP＝a
可得△ODP∽△OAH，∴ DP
OP ＝ AH
OH ＝2
∴DP＝2OP＝2a
∵正方形PDEF，∴E（3a，2a）
∵E（3a，2a）在抛物线y1＝－x 2＋3x上
∴2a＝－9a 2＋9a，解得a1＝0（舍去），a2＝ 7 9 x A y
OB C P F E D
Q G
N M
x A y
OB C P F E D
Q G
N M
H 谢谢观赏
谢谢观赏 ∴OP的长为 7 9
②设直线AC的解析式为y＝kx＋b
∴2＝k＋b0＝6k＋b 解得k＝－ 2 5 ，b＝ 12 5
∴直线AC的解析式为y＝－ 2 5 x＋ 12 5
由题意，OP＝t，PF＝2t，QC＝2t，GQ＝ 4 5 t
当EF与MN重合时，则OF＋CN＝6
∴3t＋2t＋ 4 5 t＝6，∴t＝ 30 29
当EF与GQ重合时，则OF＋QC＝6
∴3t＋2t＝6，∴t＝ 6 5
当DP与MN重合时，则OP＋CN＝6
∴t＋2t＋ 4 5 t＝6，∴t＝ 30 19
当DP与GQ重合时，则OP＋CQ＝6
∴t＋2t＝6，∴t＝2
3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax 2＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点
∴9a－3b＋4＝016a＋4b＋4＝0 解得a＝－ 1 3 ，b＝ 1 3 x A y
OC
B D P Q O P N Q C x y
D A E
F
M G
O P N Q C x y
D
A E
F
M G
O P N Q C x y
D
A E
F M G
O P N Q C x y
D
A E
F M G
x A y
OC
B D P Q 谢谢观赏
谢谢观赏 ∴所求抛物线的解析式为y＝－ 1 3 x 2＋ 1 3 x＋4
（2）连接DQ，依题意知AP＝t
∵抛物线y＝－ 1 3 x 2＋ 1 3 x＋4与y轴交于点C
∴C（0，4）
又A（－3，0，B（4，0）
可得AC＝5，BC＝42，AB＝7
∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－42
∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP
∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB
∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC
∴△ADQ∽△ABC，∴ AD
AB ＝ DQ
BC
∴ AD
AB ＝ DP
BC ，∴ 7－42
7 ＝ DP
42
解得DP＝42－ 32 7 ，∴AP＝AD＋DP＝ 17 7
∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 17
7
（3）设抛物线y＝－ 1 3 x 2＋ 1 3 x＋4的对称轴x＝ 1 2 与x轴交于点E
由于点A、B关于对称轴x＝ 1 2 对称，连接BQ交对称轴于点M
则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ
当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO
∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝ 3 4
∴ ME
BE ＝ 3
4 ，即 ME
4－ 1 2 ＝ 3
4 ，解得ME＝ 21 8
∴M（1 2 ，21 8 ）
∴在抛物线的对称轴上存在一点M（1 2 ，21 8 ），使得MQ＋MA的值最小
4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒 4 3 个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合；
（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′ 落在x A y
OC
B E Q M x＝ 1 2 谢谢观赏
谢谢观赏 EF上，点F的对应点为F′ ，当EF′⊥AB时，求t的值；
（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；
（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．
解：（1）3；4.5
提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB＝ 6 2＋8 2 ＝10，∴sinB＝ AC
AB ＝ 3 5 ，cosB＝ BC
AB ＝ 4 5 ，tanB＝ AC
BC ＝ 3 4
当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE
∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位
∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4( t－2 )
∵CE＝ 4 3 t，∴4( t－2 )＝ 4 3 t，解得t＝3
当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF
∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位
∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5( t－4 )
∵CE＝ 4 3 t，∴BE＝8－ 4 3 t
在Rt△BEF中， BE
BF ＝cosB
∴ 8－ 4 3 t
5( t－4 ) ＝ 4 5 ，解得t＝4.5
（2）由题意，∠PEF＝∠MEN
∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF
∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN
∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tanB
∵tan∠CPE＝ CE
CP ，tanB＝ AC
BC ＝ 3 4
∴ CE
CP ＝ 3 4 ，∴CP＝ 4 3 CE
∵AP＝3t（0＜t ＜2），CE＝ 4 3 t，∴CP＝6－3t
∴6－3t＝ 4 3 ×4 3 t，解得t＝ 54 43
（3）连接PQ交EF于O B C
A P l
F E
B C
A
备用图
E
B M C
A P l
F
N B C
A l
F E (P)
B C
A l
F E
(P)
