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近似数与精确数的比较数学中，我们经常会遇到两种不同的数：近似数和精确数。
近似数是通过对一个数的估计或者约束得到的一个大致数值，而精确数则是经过精确计算得到的无限位小数。
在实际应用中，我们常常需要比较这两种数，以确定其适用性和精确度。
本文将探讨近似数和精确数的特点，并对它们进行比较，以帮助我们更好地理解这两种数字的概念和应用。
一、近似数的特点近似数是通过对一个数进行估计或者约束得到的一个大致数值。
它们通常用有限的数位表示，以方便计算和使用。
近似数只能提供一个大致的数值，不能完全准确地表示原数的所有特征。
尽管如此，近似数在日常生活中的应用非常广泛。
比如，在度量、统计、估计和近似计算中，我们常常需要使用近似数来简化问题和加速计算。
二、精确数的特点精确数是经过精确计算得到的无限位小数。
它们能够准确地表示一个数的所有特征，包括无限的小数位。
由于精确数的表示涉及无限位数，所以在实际应用中通常无法完全表示。
然而，在理论研究和精确计算中，精确数是非常重要的。
比如，在几何学、解析学和科学研究中，我们常常使用精确数来进行精确计算和理论推导。
三、比较近似数和精确数近似数和精确数在性质上有一些共同点，但也存在一些显著的不同之处。
首先，近似数是通过估计或约束得到的，因此它们通常比精确数更简洁和易于理解。
然而，这种简洁性的代价是失去了一些精确度，因此在涉及到高精度计算和准确度要求较高的问题时，近似数可能不适用。
其次，精确数是通过精确计算得到的，可以准确地表示一个数的所有特征。
由于精确数涉及无限位数的表示，因此它们在理论研究和精确计算中非常重要。
然而，在实际应用中，由于计算和存储资源的限制，我们常常需要使用近似数来简化问题和加速计算。
在这种情况下，我们需要根据实际需求来选择近似数的精度和准确度。
最后，近似数和精确数在计算和比较中需要注意一些问题。
由于近似数只提供了一个大致的数值，所以在进行计算和比较时需要注意误差的累积和传递。
近似数与精确数的区分数学中的近似数与精确数的区分在数学中，我们常常需要对数字进行运算、比较和描述。
而在处理数字时，我们会遇到两种不同的数：近似数和精确数。
本文将就近似数与精确数的区别进行探讨，并给出一些常见的例子。
一、近似数的定义和特点近似数是一种对原有数字进行近似描述的数。
在实际应用中，很难精确得到某个数的值，因此我们需要使用近似数来逼近真实数的值。
近似数通常会忽略掉某些小数位或整数位的精确值，而取其近似值。
近似数有以下几个主要特点：1. 常常使用小数形式：近似数通常以小数形式表示，比如2.14、3.857等。
2. 精确度有限：近似数只能提供有限的精确度，无法达到绝对精确。
3. 舍入误差：在进行近似时，常常需要舍入操作，这可能会引入一定的误差。
二、精确数的定义和特点精确数是指一个数值的严格准确表达。
精确数可以是整数、分数或无限小数等形式。
精确数不会舍入或近似，其大小和值都是准确无误的。
精确数有以下几个主要特点：1. 完全准确：精确数可以提供精确的数值和精确的计算结果。
2. 无限精确位：精确数可以使用无限的精确位来表达，精确到任意小数位或整数位。
3. 精确运算：对精确数进行运算时，可以得到精确的结果。
三、近似数与精确数的比较近似数和精确数在表达方式和计算方式上存在明显的差异。
下面通过几个例子来进行比较：1. π的近似数和精确数：- 近似数：3.14- 精确数：π近似数3.14是对π的一个近似描述，而π本身是一个无限不循环小数，其精确值无法被有限小数准确表达。
2. 分数和小数的区别：- 近似数：0.3333- 精确数：1/3近似数0.3333是对1/3的一种近似，而1/3作为一个分数，其精确值是无限循环的小数0.333...。
3. 计算结果的近似和精确：- 近似数：0.6667- 精确数：2/3近似数0.6667是对2/3的近似结果，而2/3本身是一个精确的分数。
四、近似数和精确数的应用近似数和精确数在数学和实际应用中都有各自的用途。
准确数与近似数准确数是与实际完全符合的数，如班级的人数，一个单位的车辆数等等.近似数是与实际非常接近的数，如我国有12亿人口，地球半径为6.37×106m 等等.精确度：描述一个近似数的近似程度的量.一般地，一个数四舍五入到了哪一位，就说这个数精确到了哪一位.例2 用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值.（1）0.90149（精确到千分位）；（2）0.4030（精确到百分位）；（3）0.02866（精确到0.0001）；（4）3.5486（精确到十分位）.析解：精确到某一位时，应看它的下一位数字，若不小于5，则进一，否则舍去；另外最后一位是0的近似数不要将0去掉，否则精确度就变了.（1）0.90149≈0.901；（2）0.4030≈0.40；（3）0.02866≈0.0287；（4）3.5486≈3.5.例3 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？（1）2.4万；（2）400万.析解：对于带有“文字单位”的近似数，在求精确度时，需要将这个数还原成具体数.（1）因为2.4万=24000，其中“4”处于千位，因此精确到千位；（2）因为400万=4000000，其中400万中的末位数字“0”处于万位，因此400万精确到万位.近似数的有效数字四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫这个数的有效数字. 第一个非0数字前面的“0”都不是有效数字，夹在非零数学中的“0”和后面的“0”都是有效数字.例4 下列由四舍五入得到的数，各精确到哪一位？它们有哪几个有效数字？（1）0.035；（2）5.780万；（3）4.50万；析解：有效数字的算法与精确度正好相反，有效数字是从最左边，而精确度是从最右边.（1）0.035精确到千分位，有效数字是3，5；（2）5.780精确到千分位，有效数字是5，7，8，0；（3）4.50万精确到百位，有效数字是4，5，0；用科学记数法表示的数的精确度和有效数字对于一个用科学记数法N=a×10n(1≤a＜10，n为正整数)所表示的数N，其有效数字和数a的有效数字相同，精确度由n和a的小数的位数确定.例5 下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?。
解读近似数的精确度近似数的精确度表示近似数与准确数的接近程度。
精确度有两种表示形式：一是用精确到哪一位（精确位）表示，一是用保留几个有效数字（有效数字）表示。
精确度的两种表示形式的实际意义及取值要求是不一样的，在学习时要加以区别。
一、解读“精确到哪一位”⑴对一个数取近似数，要求精确到某一个数位，我们就将所要求精确到的数位后一位数字“四舍五入”得到近似数。
该近似数最后一位数是由“四舍五入”得到的数，最后一位数所在的数位即是精确到的数位。
如：近似数3.52，最后一位数字2是由“四舍五入”得到的数，2所在的数位为百分位，即近似数3.52精确到百分位。
又如：9989.653（精确到个位）的近似数，将个位后的十分位上的6“四舍五入”，近似数为9990。
1.35835（精确到0.001）的近似数，将千分位后的万分位上的3“四舍五入”，近似数为1.358。
⑵精确到哪一位表示的实际意义：主要用于表示近似数与准确数之间误差绝对值的大小。
例如，在测量长度时，精确到0.1米，说明结果与实际相差不大于0.05米。
⑶确定用科学记数法表示的近似数、带数量级单位的近似数精确到哪一位时，要先将该数还原成原来的数，再看它最后一个数字所在的数位即精确到哪一位。
如近似数 1.230×106，还原成原数为1230000，最后一位数字0所在的数位为千位，因此近似数1.230×106精确到千位（而不是千分位！）。
近似数5.04万，还原成原数为50400，最后一个数字4所在的数位为百位，因此近似数5.04万精确到百位（而不是百分位！）。
⑷近似数的最后一位数字是由“四舍五入”得到的数，根据近似数可以确定准确数的取值范围。
一般地，近似数m所表示的准确数a 的范围是：m－精确位后一位的5个单位≤a＜m+精确位后一位的5个单位。
如近似数8.40所表示的准确数a的范围是8.40－0.005≤a＜8.40+0.005，即8.395≤a＜8.405。
2.14近似数与有效数字知识要点：1、准确数：与实际完全相同的数，叫准确数。
2、近似数的意义：与非常接近的，可用来估计的数，叫近似数。
3、近似数的精确度：近似数的，就是精确度。
4、有效数字的意义：近似数从左边第一个不是的数字起，到止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。
5、反映近似数的精确度的量：（1）精确到某一位；（2）保留几个有效数字。
6、一般地，一个近似数，四舍五入到某一位，我们就说这个近似数精确到那一位。
7、求一个数的近似值常用“四舍五入”法，有时还常用“去尾法”、“进一法”。
练习：一、选择题：1、①小刚买了3本书，②东东的身高为1.69米，③我们国家的国土面积是960万平方公里，④七年级二班有45名学生，⑤一双没有洗的手带有细菌80000万个，⑥一本书有243页，⑦一年有12个月，⑧我们拥有1个地球，⑨第一节火箭上有36251个零件。
以上各数中，近似数，准确数；2、1.996精确到0.01的近似数是（）A 2B 2.0C 1.99D 2.003、0.01020的有效数字是（）A 1,2B 1,0，2C 0,1,0,2,0D 1,0,2,04、“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，将25.8万平方米用科学计数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为（）A 26×104平方米B 2.6×104平方米C 2.6×105平方米D 2.6×106平方米5、下列说法中的数是准确数的是（）A 初一、二班有31名男生B 月球离地面距离约为38万千米C 小勇同学的体重是48kgD 晓东妈妈买了4斤苹果6、有理数0.0030400中的有效数字有（）A 3个B 4个C 5个D 6个7、下列说法正确的是（）A 近似数24.00与24.0的精确度一样B 近似数100万的有效数字是1,0,0,0,0,0,0，C 近似数5.29×103与5290的精确度一样D 近似数529和0.529都有三个有效数字8、今年简阳市参加中考的学生人数约为6.01×104人，对于这个近似数，说法正确的是（）A 精确到百分位，有3个有效数字B 精确到百位，有3个有效数字C 精确到十位，有3个有效数字 D精确到十位，有2个有效数字9、小华量得自己的身高约1.6米，小李量得自己的身高约1.60米，下列说法正确的是（）A 小华和小李一样高B 小华比小李高C 小华比小李矮D 无法确定谁高10、近似数2.40是由a四舍五入得到，则（）A 2.35＜a＜2.45B 2.35≤a＜2.45C 2.395≤a≤2.405D 2.395≤a＜2.40511、下列结果不能用四舍五入法的有（）①每4人一组，9人可分几组，② 20米布，做一套服装3.99米，可做几套服装，③一车可装货物10吨，有11吨货物需几车，④ 300本本子分给110人，每人应分几本A 1个B 2个C 3个D 4个12、近似数2.70所表示的准确数m的范围是（）A 2.695≤m＜2.705B 2.65≤m＜2.75C 2.695＜m≤2.705D 2.65＜m≤2.7513、数208031精确到万位的近似数是（ ）A 2×105B 2.1×105C 21×104D 2.08万14、已知13.5亿是四舍五入取得的近似数，它精确到（ ）A 十分位B 千万位C 亿位D 十亿位15、已知地球表面积约等于5.1亿平方千米，其中，水面面积约等于陆地面积的2971，则地球上陆地面积约等于（ ）（精确到0.1亿平方千米）A 1.5亿平方千米B 2.1亿平方千米C 3.6亿平方千米D 12.5亿平方千米16、如果a 是b 的近似值，那么我们把b 叫做a 的真值，若近似值是85，那么下列各数不可能是其真值的是（ ）A 85.01B 84.51C 84.99D 84.49二、填空题：1、近似数0.0020，它精确到 ；有 个有效数字，分别是 ；2、3.6万精确到 位，有 个有效数字，分别是 ；3、某市去年实现地区生产总值1583.45亿元，将这个数用科学计数法表示 元，（保留3个有效数字）4、1.90精确到 位，3.04×104精确到 位。
2.7 近似数[知识梳理]1、准确数与近似数精确度（1）准确数：与实际____________的数为准确数 （2）近似数：与实际____________的数为近似数（3）精确度：近似数与准确数的___________叫做该数的精确度 2、近似数的取法精确到哪一位：一个近似数____________到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位，如：近似数0.576精确到千分位或精确到0.001,那么千分之一（0.001）就是0.576的精确度。
3、有效数字从左边起第一个不为0的数字起到末位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字[基础题型]知识点1 近似数与准确数例1 下列叙述的各数，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）小明的身高是1.65米（2）据统计，中央电视台的收视率是60％； （3）一枝铅笔有20厘米长； （4）我校有1024名学生；（5）我国陆地面积有960万平方千米。
1、下列哪些数是准确数？哪些是近似数？ （1）我市有9家合资企业 （2）数学课本约有0.43千克 （3）1米等于100厘米 （4）现在气温是2℃；（5）小李家的写字台长120厘米。
知识点2 求近似数、有效数字例2下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？各有几位有效数字？（1）36.8 （2）11亿 （3）58.0 （4）58 （5）1.20万 （6）3.5410⨯ （7）5.60610⨯例3 用四舍五入法，按括号内的要求，求下列各数的近似数 （1）0.28999；（精确到十分位） （2）70.395（精确到0.01) （3）0.130496(精确到千分位）（4）84960（精确到百位，并用科学记数法表示）2、用四舍五入把0.7096精确到千分位，则正确的是（ ）A 、0.700B 、0.71C 、0.710D 、0.71003、用四舍五入法，取下列各数的近似数 （1）3.7024（精确到千分位）（2）5109500（精确到万位，并用科学记数法表示） （2）3.045（精确到0.01）4、下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？有几位有效数字？分别是什么？ （1）478.00 （2）8.9510⨯ （3)3.9万 （4）0.50万[综合创新]例3 如果一个三位数a 的近似数是3.25,则a 的取值范围是（ ） A 、3.32.3<<a B 、26.324.3<<a C 、255.3245.3≤≤a D 、255.3245.3<≤a例4甲、乙两学生的身高都是1.7米，但甲说他比乙高9厘米，有这种可能吗？5下列各数不能由四舍五入得到近似数35的是（）A、34.49B、34.51C、34.99D、35.016、A、B两个县的适龄儿童入学率都为98%，但A县的负责人称他们的适龄儿童入学率比B县的入学率高出9‰,请你判断是否有这种可能？7、一个数x取近似数为5.0，则x的取值范围是( )A、4.5＜x＜5.4B、4.95≤x≤5.05C、4.95≤x 5.05D、4.95＜x＜5.05[当堂反馈]1、一个由四舍五入得到的近似数是4.7万，它精确到（）A、万位B、千位C、十分位D、千分位2、（2011 内蒙古呼和浩特）用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）A、0.1（精确到0.1）B、0.05（精确到百分位）C、0.05（精确到千分位）D、0.050（精确到0.001）3、一个四位数x的近似数是为8.786，这个数x的取值范围是________________4、下列实际问题中出现的数，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）我班有54名同学（2）月球离地球距离约38万千米 （3）北京市约有1300万人口5、下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？有几位有效数字？分别是什么？ （1）5730.00 （2）8.340510 （3)3.9万 （4）0.50万 （5）9436、按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数 （1）0.65179（精确到千分位） （2）25.9（精确到个位） （3）1.39722（精确到0.01） （4）0.020055（精确到万分位） （5）16800000（精确到千位）7、1公顷生长茂盛的树林每天大约吸收二氧化碳0.85吨，每人每小时平均呼出二氧化碳38克，要吸收掉一万人每天呼出的二氧化碳需要多少公顷的树林？（精确到0.01）第1、2章自测一、选择题1、下列叙述正确的是（）A．有理数中有最大的数B．零是整数中最小的数C．有理数中有绝对值最小的数D．若一个数的平方与立方结果相等，则这个数是02、下列判断错误的是（）A．任何数的绝对值一定是正数B．一个负数的绝对值一定是正数C．一个正数的绝对值一定是正数D．任何数的绝对值都不是负数3、下列各组数中，不相等的一组是（）A．（-2）3和-23 B．（-2）2和-22 C．（-2）和-2 D．|-2|3和|2|34、已知两数相乘大于0，两数相加小于0，则这两数的符号为（）A、同正B、同负C、一正一负D、无法确定5、已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（）A、|a|＜|b|＜|c|B、|a|＞|b|＞|c|C、|a|＞|c|＞|b|D、|c|＞|a|＞|b|6、若-2减去一个有理数的差是-5，则-2乘这个有理数的积是（）A、10B、-10C、6D、-67、因燃油涨价，某航空公司把从城市A到城市B的机票价格上涨了10%，三个月后又因燃油价格的回落而重新下调10%，则下调后的票价与上涨前比，下列说法正确的是（）A、不变B、贵了C、便宜了D、不确定8、某人以3千米每小时的速度在400米的环形跑道上行走，他从A处出发，按顺时针方向走了1分钟，再按逆时针方向走3分钟，然后又按顺时针方向走7分钟，这时他想回到出发地A处，至少需要的时间是（）分钟．A、5B、3C、2D、1二、填空题9、据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为_______万元．10、高度每增加1公里，气温大约降低4℃．现在地面气温是12℃，那么离地面4公里高空的温度是______.11、绝对值不大于5的整数的积是___________12、某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件_____________（填“合格”或“不合格”）．13、若在数轴上到点A 距离为2的点所表示的数为4，则点A 所表示的数为___________.14、某一电子昆虫落在数轴上的某点K 0，从K 0点开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到K 1，第2次由K 1向右跳2个单位长度到K 2，第3次由K 2向左跳3个单位长度到K 3，第4次由K 3向右跳4个单位长度到K 4…依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，电子昆虫在数轴上的落点K 100表示的数恰好是2010，则电子昆虫的初始位置K 0所表示的数是________16、计算：（1）（-12）-5+（-14）-（-39）（2）（6183-32+）×48 （3）（-18）÷94412⨯÷（-16）（4）-36×（-61）2-7218、现定义一种运算：a*b=b a-a+b．试计算：（1）2*3（2）4*（-3）问：这20袋大米共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？20、一只小虫从某点O出发在一条直线上爬行．规定向右爬行为正，向左为负．小虫共爬行5次，小虫爬行的路程依次为：（单位：厘米）-5，-3，+10，-4，+8（1）小虫最后离出发点多少厘米？（2）若小虫爬行速度保持不变，共用了6分钟，请问小虫爬行速度是多少？21、问题：你能比较20092010和20102009的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（n为正整数），我们从n=1，n=2，n=3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论．（1）通过计算，比较下列各组数字大小①12 __________21 ②23 _________32 ③34 _________43④45 __________54 ⑤54 _________65 ⑥67 _________76（2）把第（1）题的结果经过归纳，你能得出什么结论？（3）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小：20092010____________20102009（填“＞”、“＜”或“=”）。
本讲教育信息】一.教学内容：准确数和近似数及计算器的使用二.重点、难点：1.了解近似数与有效数字的概念，会根据预定精确度取近似数值。
2.会用计算器进行混合运算。
3.利用计算器探索规律，以及解决简单的实际问题。
三.教学过程：（一）知识要点1.近似数与准确数；与实际接近的数称为近似数；与实际情况完全符合的数叫做准确数。
2.一个近似数，由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
3.有效数字：一个近似数从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
［重要提示］1.取某数的近似数常见的有两种办法：（1）精确到某位或精确到小数点后某位；（2）保留几个有效数字。
2.注意：近似数中后面的0不能省略不写，如3.78与3.780是不同的，它们的精确度不同。
对一个数取不同的近似数，有效数字个数越多，精确度越高。
3.确定有效数字，一般要分两步：第一步，从左边第一个不是0的数字数起；第二步，一直数到这个近似数的末位为止，所有的数字都是这个数的有效数字：即左边的0不是有效数字，中间和右边的0都是有效数字，如：0.0010100有5个有效数字。
4.对较大的数取近似值时，结果一般要用科学记数法来表示。
［典型例题］例1.已知圆周率π＝3.14159265………（1）求π精确到千分位的近似数，并指出这个近似数的有效数字；（2）早在南北朝时期，我国著名的数学家祖冲之就得到了圆周率的约率是，密度是，它们分别精确到小数点后第几位？有几个有效数字？分析：本题是考察对有效数字的概念的掌握情况，（2）中应把和化成小数，与π值进行比较后才能知道具体精确的位数。
解：（1）π 3.142，它有4个有效数字，是3，1，4，2；（2）＝3.1428……，与π＝3.14159265………相比可知，精确到小数点后第2位，有3个有效数字。
＝3.14159292……，与π＝3.14159265………相比可知，精确到小数点后第6位，有7个有效数字。
准确数和近似数及计算器的使用近似数是指一个数的数值是根据一定的规则或算法进行估算得到的。
近似数可以通过舍入、截断或使用精确数进行计算得到。
近似数通常使用有限位的小数表示。
例如，3.14是圆周率π的近似数。
计算器是一种方便快捷地进行数学计算的工具。
计算器有多种类型，例如普通计算器、科学计算器和图形计算器等。
计算器可以通过输入数字、运算符和函数等，进行各种数学运算，并给出结果。
1.表示方式：准确数可以使用无限位的小数表示出来，而近似数通常使用有限位的小数表示。
2.精度：准确数是精确的数值，不会有误差；而近似数是通过估算得到的，可能会包含误差。
3.运算：准确数进行运算时，结果也是准确数；而近似数进行运算时，结果可能会引入额外的误差。
4.使用场景：准确数适用于需要精确计算的场景，如金融、科学研究等；近似数适用于一些实际应用中，可以快速估算结果的场景，如日常生活中的计算。
计算器的使用方法和注意事项：1.输入数字：在计算器上的数字键盘上输入数字，可以通过点击或按下相应的按键来完成。
2.输入运算符：计算器上的运算符一般有加减乘除等，可以通过点击或按下相应的按键来输入运算符。
3.输入函数：计算器上的一些函数，如平方根、正弦、余弦等，可以通过点击或按下相应的按键来输入函数。
4.进行运算：输入完数字、运算符和函数后，可以点击等号键或按下相应的运算符键来进行计算，计算器将给出结果。
5.注意精度：计算器中的近似数可能会有一定的误差，所以在进行一些对精度要求较高的计算时，应使用准确数进行计算。
6.注意舍入误差：由于计算器使用有限位小数表示数值，所以在进行连续运算时，可能会产生舍入误差，导致结果不精确。
7.使用括号：在复杂的计算中，可以使用括号来改变计算的优先级，提高计算的准确性。
总结起来，准确数和近似数及计算器的使用在数学计算中有着重要的地位。
准确数能够提供精确的数值，适用于需要高精度计算的场景；近似数能够快速估算结果，适用于一些实际应用中。
准确数和近似数的例子准确数和近似数是数学中非常重要的概念，在日常生活中也是经常被使用的。
准确数是指精确的数字，可以被无限精确地表示。
而近似数则是指由于计算精度或其他原因而不能被无限精确表示的数字。
在本文中，将会介绍一些准确数和近似数的例子，以帮助读者更好地理解这两个概念。
一、准确数的例子1、圆周率π（Pi）圆周率π是一个十分著名的准确数，它表示圆的周长与直径之比。
π的值可以被无限精确地计算，通常表示为3.1415926……。
π在数学中有着十分重要的地位，它被广泛地应用于几何学、物理学、天文学等领域。
2、自然对数e（Euler's number）自然对数e是一个非常有用的准确数，它是一个无限不循环小数，通常表示为2.718281828……。
e在数学中被广泛应用于微积分、概率论、统计学、金融等领域。
3、黄金比例φ（Golden Ratio）黄金比例φ是一个十分神奇的准确数，它是一个无限不循环小数，通常表示为1.618033988……。
黄金比例在自然界和艺术中都有着广泛的应用，许多古代建筑、艺术品、音乐作品都采用了黄金比例。
4、整数整数是数学中最简单的准确数，它们可以被无限精确地表示。
整数在数学中有着重要的地位，它们被广泛地应用于代数、数论、离散数学等领域。
二、近似数的例子1、无理数无理数是指不能被表达为有理数的数字。
无理数通常是一个无限不循环小数，例如√2、π、e等。
由于无理数不能被无限精确地表示，所以它们通常是近似数。
2、浮点数浮点数是用计算机表示实数的一种方法，它们通常是近似数。
由于计算机只能存储有限位数的数字，所以计算机表示的浮点数与真实的实数存在着一定的误差。
3、近似运算在进行数学运算时，由于计算精度的限制，通常会产生一定的误差。
例如在计算π的近似值时，可以使用牛顿法、皮亚诺法等方法来计算，但无论使用哪种方法，都只能得到π的近似值，而不能得到准确的π的值。
4、实际测量值在进行实验或测量时，由于测量仪器的精度有限，所得的实际值通常是近似值。
近似数与准确度
一、近似数
1、定义：一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这一个数称之为近似数，在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。
2、近似数的分类：
（1）具体近似数（如30.2、58.0 …）（2）带单位近似数（如2.4万…）
（3）科学记数法（如3.2×10…）
3、求近似数的方法一般有3种：近似数的取法有四舍五入法，进一法和去尾法三种，最常用的是四舍五入法。
具体采用哪一种方法，应根据实际情况决定。
（1）四舍五入法四舍五入法是：①如果去掉部分的首位数字大于或等于5，就在保留部分的最后一位数上加1（称“五入”），得过剩近似值（即比准确值大）。
②如果去掉部分的首位数字小于5，则保留部分不变（称“四舍”），得不足近似值（即比准确值小）。
要特别注意的是：用四舍五入法截取数的近似值时，是“入”还是“舍”，只取决于去掉部分的首位数字是大于5、等于5、还是小于5，而与其后的各位数字无关。
例1 用四舍五入法将7.352元和85.666元各保留两位小数
解：7.352元≈7.35元
85.666元≈85.67元
由于人民币中最小的单位是分，因此在进行以元为单位的货币计算时，一般只保留两位小数。
（2）进一法
进一法是去掉多余部分的数字后，在保留部分的最后一个数字上加1。
这样得到的近似值为过剩近似值（即比准确值大）。
例如，一条麻袋能装小麦200斤，现有880斤小麦，需要几条麻袋才能装完？用200去除880，商为4，余数为80，即使用4条麻袋不可能装完，因此必须采用进一法用5条麻袋才能装完。
（3）去尾法
去尾法是去掉多余部分的数字，而保留部分不变。
这样得到的近似数为不足近似数（即比准确值小）。
例如，7尺布可做一件衣服，20尺可做这样的衣服几件?显然只能做两件，余下的6尺不够做一件，只好舍去。
二、准确度
1．精确度(精确到哪一位数)的意义
大家都会用四舍五入法求一个准确数的近似值．例如，46.3172精确到0.01的近似值是46.32，这里精确度是事先规定的．又如用刻度尺测量书本的长度，得20.3cm，这个数量也是近似数，它精确到0.1cm．这个精确度是根据度量工具的限制(常用的刻度尺只标明“毫米”)由四舍五入的法则规定的．可以推断，书本长度的准确值在20.25cm到20.35cm之间，即近似数与准确数误差都不超过0.05cm，所以用四舍五入截取一个准确数的近似数后，可以根据近似数和精确度推断出准确数的范围，这就是精确度的意义．
2、有效数字：对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有数字都叫这个近似数的有效数字。
3．近似数1.6与1.60的区别
(1)有效数字不同：1.6只有两个有效数字，而1.60有三个有效数字．
(2)精确度不同：1.6精确到十分位，与准确数的误差不超过0.05，它所代表的准确值在1.55到1.65之间，即小于1.65而大于或等于1.55；1.60精确到百分位，它与准确数误差不超过0.005，它所代表的准确值在1.595到1.605之间，即小于1.605而大于或等于1.595．由此可见，1.60比1.6的精确度高，故必须注意：近似数末尾的“0”不能随便去掉！
例1 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？
(1)10亿；(2)2.4万；(3)1.060×105．
解
(1)精确到亿位，有两个有效数字1，0；
(2)精确到千位，有两个有效数字2，4；
(3)精确到百位，有四个有效数字1，0，6，0．
说明有些同学认为，(1)精确到个位；(2)精确到十分位；(3)精确到千分位，其实错了．在(1)中，它是四舍五入到亿位(这里的0是亿位，而不是个位)；在(2)中，它是四舍五入到千位(这里的4是千位而不是十分位)；在(3)中，它四舍五入到百位(这里的0是百位而不是千分位)．此外，对于用科学记数法表示的数a×10n(1≤|a|＜10，n是正整数)，有效数字由a的有效数字确定，精确度要将它化为原数来确定．如1.060×105=106000，易知它精确到百位．例2 用四舍五入法，按下列要求对原数按括号中的要求取近似值：
(1)37024(精确到千位)；(2)3045(保留两个有效数字)．
解：(1)37024=3.7024×104≈3.7×104；
(2)3045=3.045×103≈3.0×103．
三、根据记数形式，确定近似数精确度
1、下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
（1）36.7 （2）0.035607 （3）10.5万 （4）10.8亿 （5）5
3.14010⨯ （6）3
3.14010-⨯ 解析：
（1）36.7中的最后一个数字7在十分位上，共有三个数字，所以36.7精确到十分位（既精确到0.1）有三个有效数字3，6，7.
（2）0.035607中的最后一个数字7在百万分位上，从左边起第一个不是0数字3起到最后一个数字7止，共有5个数字，所以0.035607精确到百万分位（既精确到0.000001），有五个有效数字3，5，6，0，7.
（3）10.5万是带单位的数，因为10.5万=105000，在数105000中数字5在千位上，而10.5万中的数10.5有三个数字，所以10.5万，精确到千位有三个有效数字1，0，5.
（4）、10.8亿=1080000000，在数1080000000中数字8在千万位上，所以10.8亿精确到千万位有三个有效数字1，0，8.
（5）这是一个用科学计数法表示的数，判断用科学计数法表示的数的精确度，要先把数还原成314000，看数字4后面的第一个数字0在百位上，而用科学计数法表示的数
53.14010⨯的有效数字则由数3.140确定，所以精确到百位有四个有效数字3，1，4，0.
（6）因为33
.14010-⨯=0.003140，在数3
3.14010-⨯中，数3.140有四个有效数字，所以33.14010-⨯精确到百万分位，有四个有效数字3，1，4，0. 2、用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值
（1）15.36 （精确到十分位）
（2）32.4549 （精确到0.01）
（3）35.97 （保留三个有效数字）
（4）1234560（保留四个有效数字）
解析：
把15.36精确到十分位，应看它的下一位百分位，因百分位上的数字是6，应向十分位进1，因此15.36≈15.4
把32.4549精确到0.01，既精确到百分位，应看它得下一位千分位是否满5，以决定取舍，与万分位上的9无关，因此32.4549≈32.45
按要求35.97≈36.0，这里的0不能随便丢掉
1234560的整数数位有7位，比要求保留的有效数字的个数多，应先把它写成科学计
数法的形式10n a ⨯，再对a 取近似值，因此612345601.23456010=⨯≈6
1.23510⨯ 注意：（1）：“四舍五入”是对要求数位的下一位而言的，与其它数位无关
（2）由“四舍五入”得到的近似数的末位数位上的0，不能不写
（3）对整数位数多于要取的有效个数的数N 取近似值，应先把N 用科学记数法表示为
10n N a =⨯，再对a 取近似值，a =a '，即10n N a =⨯≈10n a '⨯
4、甲乙两个学生身高都约为2
106.1⨯厘米，但甲说他比乙高9厘米，问有这种可能吗？若有可能，请举例说明。
解：可能，如果甲身高为21064.1⨯厘米，乙身高为21055.1⨯厘米时，91055.11064.122=⨯-⨯（厘米）
5、小明认为6
107.2⨯与270万是相等的,你同意他的观点吗?如同意,请说明理由;如不同意,请举例说明.
解：不同意，当二者为准确值时,它们相等；当二者只有一个是准确值时,另一个是近似
值时，则不相等；当两者都是近似值时,则6107.2⨯精确到十万位，而270万精确到万位，其精确度不同。
6、据国家统计局公布，2004年1～7月份，社会消费品零售总额为29 458.4亿元．小明认为这个数据精确到0.1亿元，而小亮认为精确到1 000万元，你认为谁的说法对？为什么？
解：他们说的都有道理
7、求近似数1.76所代表的准确值在哪两个数之间。
8、甲乙两个学生身高都约为2106.1⨯厘米，但甲说他比乙高9厘米，问有这种可能吗？若有可能，
请举例说明。
可能，如果甲身高为21064.1⨯厘米，乙身高为21055.1⨯厘米时，91055.11064.12
2=⨯-⨯（厘米）。
