一元二次方程根的定义在解题中的应用

布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。

说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。

一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。

定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。

判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。

说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。

两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

在实数平面上表示为两个不相交的直线。

030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。

两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。

图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。

两根不等且虚根两个虚根的实部为0。

实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。

虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。

图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。

虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。

一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。

难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。

知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。

即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。

2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。

（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。

若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。

知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。

（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。

本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。

一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。

1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。

这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。

2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。

一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。

1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。

解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。

所以方程的根为x1=3，x2=2。

2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。

解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。

所以方程的根为x1=3/2，x2=2。

拓展学习：巧用一元二次方程根的定义解题巧用一元二次方程根的定义，在解题过程中能够快速找到解题途径，会收到事半功倍的效果，举例说明如下：一.求方程中字母的值例1 （08山东青岛）关于x 的一元二次方程2x 2-3x-a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1B ．．解析：本题考查了根据一元二次方程根的定义求方程中字母的值.根据一元二次方程根的定义，把x=2代入方程2x 2-3x-a 2+1=0中，得8-6-a 2+1=0，解得a=故应选D.例2 （08哈尔滨）若x ＝1是一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0的一个解，则c 2＝ ．解析:把x ＝1代入一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0得c=-2,所以 c 2=4.评注:此类试题解答时运用一元二次方程的定义,即把根代入原方程后方程成立,这样就把原方程转化为关于待定字母的方程,从而可求得待定字母的值.二.求方程另一根例3 （08湖北省仙桃潜江江汉油田）关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 .解析:把x=1代入原方程022=+-m mx x ,得m=-1,于是原方程为,022=-+x x (x-2)(x+1)=0,∴1,221=-=x x ,所以两一根为-2.例4 (08内蒙古赤峰)如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根．解析:1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.∴它的另一根是3．评注: 已知含字母一元二次方程的一根求另一根,解决时主要依靠方程根的定义来解决.把已知方程的根代入方程,求得字母的值,解方程求出另一根,如上述解法.三.求代数式的值例5 (08安顺改编)m 是方程012=-+x x 的根，则式子20072++m m 的值为( )A.2007B.2008C.2009D.2010解析:由于要求的代数式中的字母与一元二次方程的根有关,所以只要对一元二次方程经过必要的变形,使之贴近已经化简的代数式,整体代入即可求解. 因为m 是方程12-+x x 的根,所以有12-+m m =0,即,12=+m m所以.20082007120072=+=++m m评注:求解与一元二次方程有关的代数式的值时,应认真观察分析题目的结构特点,及时地化简代数式,巧妙地运用一元二次方程根的定义和必要的变形，以降低求解的难度.。

一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。

并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。

其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。

对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。

反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。

3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。

4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。

② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。

③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。

（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。

② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。

④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba-<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：①若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根．④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。

一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______．【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程.类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得．但二次项的系数，即，所以．【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．类型三巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为________．【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x =．【答案】x =【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．类型四 判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一的范围是（A ．B ．C ．D ．【解析】由表格中的数据发现：当x =6.18时，代数式的值为－0.01；当x =6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x 的值应处于6.18到6.19之间．【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．类型五 与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________．【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．【答案】答案不唯一，如：即等．二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用类型一增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．【解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．（2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2=401400（元）．∵396900＜401400，∴选方案①更优惠．【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有．【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得．解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．类型三几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．【分析】设小路宽度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程．【解】（1）不符合．设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m．【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．类型四市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80－x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－(200+10x)；（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．【解】（1）80－x，200+10x，800－200－(200+10x)；（2）根据题意，得80×200+(80－x)(200+10x)+40[800－200－(200+10x)] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．答：第二个月的单价应是70元．【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．【解】设每件童装应降价x元，则，解得．因为要尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【分析】y＝x2－2x－3＝ (x2－2x+1)－4＝(x－1)2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．验证：（－1，－1）（1，－4）．∴y＝x2+bx+c可化为y＝(x+1)2－1．即y＝x2+2x．∴b＝2，c＝0．【答案】B类型二抛物线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2(x－3)2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2－2，即y＝－2x2+12x－20．【答案】D类型三抛物线的对称性（重点）【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．2【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．【答案】A类型四函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.【答案】B类型五根据条件确定最大值和最小值【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．【分析】y＝x2－2x+3＝(x－1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．【答案】11；2类型六利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数y＝x+(x＞0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”．【解】（1）y＝x+(x＞0)＝＝+2．当＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．（2）y＝2(x+)(x＞0)＝＝当＝，即x＝时，y有最小值，其最小值为4．∴当x＝时，矩形的周长y最小，最小值为4．四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a(x－x1) (x－x2)．【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a(x－x1) (x－x2)．【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：y＝a(x+2) (x－6)．由x＝0时，y＝－4，得－4＝a×2×（－6），∴a＝∴该抛物线的解析式为：y＝(x+2) (x－6)，即y＝x2－x－4．【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．【例 2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果O B＝OC＝OA，那么b的值是（）A．2 B．－1 C． D．－【分析】设OB＝OC＝OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．故可设抛物线的解析式为y＝a(x+2c) (x－c)，即y＝ax2+acx－2ac2．又∵OC＝c，∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－（∵c≠0）．∴b＝ac＝－．【答案】D类型二根据图象观察方程的解通过二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．【例3】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个异号实根C．有两个相等实根D．没有实根【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；②当k＝8时，方程有两个相等的实根；③当k＞8时，方程没有实根．类型三根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．【答案】－3＜x＜1【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；y1＜y2时，取中间．【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．【答案】C【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【分析】先把+x2+1＜0化为＜－x2－1，再讨论函数y1＝的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即＜－x2－1，+x2+1＜0．【答案】D类型四根据图象确定代数式的取值范围根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（）①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确③令x＝－2，则y＝(－2)2a+(－2)b+c＝4a－2b+c.又∵－＝1，∴b＝－2a．∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．∴8a+c＞0．正确④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确综上所述正确结论的个数为4．【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0；（2）a的取值范围是.【分析】（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为y＝a1(x－1)2+3，令x＝－1，y＝0，得a1＝－；以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为y＝a2(x－3)2+2，令x＝－2，y＝0，得a2＝－，∴a的取值范围是－≤a≤－．【答案】（1）＜；（2）－≤a≤－。

b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。

一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的数学问题，其解法是学习数学和编程的重要基础。

在本文中，我将使用C++语言来探讨求解一元二次方程的根的方法，并对其进行详细的阐述和讨论。

二、一元二次方程的定义一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a不等于0。

解一元二次方程的关键在于求解方程的根，也就是求出方程中x的取值。

三、求解一元二次方程的根在C++语言中，可以通过公式法、因式分解法和图像法等多种方式来求解一元二次方程的根。

下面我将逐一进行详细介绍和示例说明。

3.1 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式来求解：\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]在C++语言中，可以通过以下代码来实现一元二次方程的根的求解：```cpp#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;int main() {double a, b, c, x1, x2, discriminant;cout << "Enter the value of a, b, and c: ";cin >> a >> b >> c;discriminant = b * b - 4 * a * c;if (discriminant > 0) {x1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2 * a);x2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2 * a);cout << "The roots are real and different. They are: " << x1 << " and " << x2;} else if (discriminant == 0) {x1 = x2 = -b / (2 * a);cout << "The roots are real and same. They are: " << x1; } else {double realPart = -b / (2 * a);double imaginaryPart = sqrt(-discriminant) / (2 * a);cout << "The roots areplex and different. They are: " << realPart << " + " << imaginaryPart << "i and " << realPart << " - " << imaginaryPart << "i";}return 0;}```3.2 因式分解法一元二次方程的根也可以通过因式分解法来求解。

浅析”“∆在解几何问题中的应用江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212）通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用0≥∆或∆＞0去探讨某些几何问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果.举例说明如下：一、在三角形问题中的应用例1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值.解：设直角三角形的两条直角边长分别为b a 、，斜边为c ，周长为l .则l c b a =++，c l b a -=+ （1）.所以22)()(c l b a -=+，即222222c cl l b ab a +-=++.又222c b a =+，所以222cl l ab -= （2）.由（1）、（2）知b a 、是方程022)(22=-+--cl l x l c x 的两个实数根.所以0224)]([22≥-⨯---=∆cll l c .整理，得0222≥--c cl l ,求得c l ）（21+≤，所以周长l 的最大值是c ）（21+.点评：上述解法中，通过设三角形的边长和周长，再巧妙变换，并利用韦达定理构造一元二次方程，为应用根的判别式“∆”做好了准备.例2.三角形有一个内角为060，此角所对的边长为1，求证其余两边的和不大于2.证明：如图1，ABC ∆中，060=∠B ,1=AC .过A 作BC AD ⊥于D ，设x BD =，通过ADC Rt ABD Rt ∆∆和,得x AB 2=，x AD 3=，231x DC -=.令2312x x x BC AB y -++=+=，整理，得关于x 的一元二次方程0161222=-+-y xy x .由)1(1243622-⨯-=∆y y 0≥，得048122≥+-y ，所以，22≤≤-y ，y 的最大值为2，即其余两边的和不大于2.点评：在此解法中，适时地引入变量y x 、，并将他们的关系用一个等式表达出来，为构造一元二次方程明确了目标，为应用”“∆埋下了伏笔.例3.如图2，已知ABC ∆的面积为S ,作一条直线l ∥BC ,且与AC AB 、分别交于E D 、两点。

一元二次方程根的两边一元二次方程是数学中的重要内容，它的解即为方程的根。

在解一元二次方程时，我们需要找到方程的根，并将其分别写在方程的两边。

本文将围绕这一主题展开，详细介绍一元二次方程及其根的含义和求解方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

方程的根即为使方程成立的数值解，也可以理解为方程与x轴的交点。

我们可以通过求解一元二次方程来确定它的根，并将根的值分别写在方程两边。

我们来看一元二次方程根的定义。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果存在实数r1和r2，使得当x等于r1或r2时，方程成立，那么r1和r2就是方程的根，即方程的解。

我们可以将r1和r2分别写在方程的两边，得到以下形式：(x - r1)(x - r2) = 0这种表示方式将根的概念转化为方程的因式分解形式，有助于我们进一步研究方程的性质和求解方法。

接下来，我们将详细介绍一元二次方程的求解方法。

求解一元二次方程的常用方法有配方法、因式分解法和求根公式法。

这些方法都可以帮助我们找到方程的根，并将根的值分别写在方程两边。

首先是配方法。

通过合理的变换，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程的根。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其变形为(x + 3)^2 = 0，然后解得x = -3。

将根-3分别写在方程的两边，得到以下形式：(x + 3)(x + 3) = 0其次是因式分解法。

通过因式分解，将一元二次方程表示为两个一次因式的乘积，然后求解方程的根。

例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，我们可以将其分解为(x - 5)(x + 1) = 0，然后解得x = 5和x = -1。

将根5和-1分别写在方程的两边，得到以下形式：(x - 5)(x + 1) = 0最后是求根公式法。

根据一元二次方程的求根公式，我们可以直接计算出方程的根。

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

元二次方程及根的定义S1.已知关于的方程—- . L + M的一个根为 2 ,求另一个根及J的值.⅛思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解程，解方程求出另一个根即可•解：将第=2代入原方程，得^" 1/的值，再代回原方解方程，得-当『1二二-时，原方程都可化为X2 -6x+S = O解方程，得'二二：所以方程的另一个根为 4 ,丁」或-1.总结升华：以方程的根为载点•综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住根”的概念，并以此为突破口•举一反三：【变式1】已知一元二次方程m .-:的一个根是「：，求代数式-2004口 +2005思路点拨：抓住」为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题；-的值.解：因为」是方程「「的一个根，所以；'：-.∣L√∣1 H,-200⅛ +所以2005 L r ..=-l + tι +2005 2005Λ…丨.总结升华：方程”即是一个等式”在等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验类型二、一元二次方程的解法⅛2.用直接开平方法解下列方程:2 2(1) 3-27x =O ；(2)4(1-x) -9=0.2解: (1)27x=3丄92(2)4(1-x) =93.用配方法解下列方程：馬⑴_- : ；(2)「「—八u.解：⑴由'-ι:'.'.'''，得H-U1匸—厂，所以 --二, 故•「二一.二二 .⑵由■ ■ ■ ■- ^11得「，「I-jx 3+272x+(√2)2 = (√2)a +4,(X +7∑)1 = 6,所以-VCP 4.用公式法解下列方程：⅛解：⑴这里r — ■-并且- ■-⅛±√⅛a -4αc1±√5X U ------------------------- = ------------ 所以 J.. -(2) 将原方程变形为=^∣2r b 二 2工=-∙7∑护—4 他二 2'-4χj∑χ(√∑)二 12, -⅛±√⅛2-⅛c-2±λ∕12 -1±√3-√2±√6所以；■--■ -∣∙2 ；•_ J 炳 _ √2 √6码二一—+—» ¾ --—-—所以J - - -.(3) 将原方程展开并整理得一二 .■--.，故"1⑵匚.“^..∙. - -.^所以这里 < -- ,I ,并且「一 .一「一：- ■_ 1√33_ 1 √33Xi = _ + ------ J阳=_ — --------所以 二 二 '--.总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点, 我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材5. 用因式分解法解下列方程：嗚⑴J :匚L:⑶解：(1)将原方程变形为，提取公因式，得，因为一 ■ 11，所以、；打」所以；—1〕或 - I.-' 故 < -Z W 二 L(2) 直接提取公因式，得 (x-⅛-3) + x]=0所以「 H 或：；-，(即」」：：=•；29可二3吗=-故-.(3) 直接用平方差公式因式分解得[(盂 + a) + 2a ] [(X+a) - ⅛] = 0 即匚二.二工所以.∙. T \；-"或.1 乂 .. 故，二込乙X .所以-肿-4“ _1±更2a4要求熟练掌握,它对举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程.(1)2(x+3) 2=χ(χ+3) ;(2)χ2-2 t ∙l x+2=0 ; 2 2⑶X -8x=0 ;(4)x +12x+32=0.2解: (1)2(x+3) =x(x+3)22(x+3) -x(x+3)=0 (x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0 x ι=-3 , x 2=-6 .b-4ac=(-2)2-4 × >2=12>0j±肿-4血 2击±価X=丄】 = -(3) x(x-8)=0x ι=0 , x 2=8. (4) 配方，得2X +12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2 或 x+6=-2 X ι=-4， x 2=-8 .点评：要根据方程的特点灵活选用方法解方程6. 若 ■■■ - - ∣'- 二，求一；J 的值• 思路点拨：观察，把握关键：换元，即把 一J 看成一个 整体解：由二，得C?+fiV-4(?+i a )+4 = 16,[(/+沪)-2卜16,所以- 士」,X 2= J 」-IJ -I2(2)x -2 tj -'x+2=0这里 a=1, b=-2c=2故八丨：一或打丨：一 L （舍去）, 所以I : 一 r .'.总结升华：把某一式子”看成一个整体”用换元的思想转化为方程求解，这种转化与 化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用⅛7. （武汉）一元二次方程4X 2+3X -2=0的根的情况是（济A.有两个相等的实数根； B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根；D.没有实数根解析：因为△ =3 -4 ××-2） >0,所以该方程有两个不相等的实数根 答案:B.08.（重庆）若关于X 的一元二次方程χ2+χ-3m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）忌i思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足2解：由题意，得△ =1-4 × ×-3m) > 0,解得m > -. 答案:C.举一反三：【变式1】当m 为什么值时，关于 X 的方程.灯一 严■■ J：；亠-二 ' 有实根.思路点拨： 题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 ：：•- .1和；-」I 两种情形讨论.解：当-- I 即：—-时，; ,方程为一元一次方程，总有实根；当-'1 / :即二；龙时，方程有根的条件是：∆ = [2(ffi+1)]2-4P-4) = 8^+20≥0丄c•••当 -且 时，方程有实根.m > —综上所述：当［时，方程有实根_ 2丄B. m V __丄C. m >- ]_【变式2】若关于X 的一兀二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3 > 0的解集 (用含a 的式子表示).思路点拨：要求ax+3 > 0的解集，就是求 ax > -3的解集，那么就转化为要判定a 的值._I 2 2是正、负或0•因为一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)-4(a-2)(a+1) V 0就 可求出a 的取值范围.解：T 关于X 的一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根.∕∙ (-2a^-4(a-2)(a+1)=4a 2-4^+4a+8 V 0一满足「1 — _ ■.■/ax+3 > 0 即 ax > -33a3X C —•所求不等式的解集为.类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值S9.(河北)若x ι, X 2是一兀二次方程 2χl3χ+仁0的两个根，则 x^+x^的值是()屈59 ∏A.B.C. :D.7思路点拨：本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入 X 12+X 22,求得其值•但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有X 计X 2和X 1X 2的代数式，再整体代入.31 3 £ 5解：由根与系数关系可得 X l +X 2= - , X l X 2=J , X 12+X 22 = (X 1+X 2)2-2X 1 X 2=( - )2-2 ×='.答案:A.总结升华：公式之间的恒等变换要熟练掌握.类型五、一元二次方程的应用S考点讲解：1. 构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通 过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.2. 注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简 洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.C 10.（陕西）在一幅长80cm ,宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图•如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2,设金色纸边的宽为 XCm ，那么X 满足的方程是（）l .^^'A 2 2A.x +130x-1400=0B.x +65x-350=0C.x -130x-1400=0D.x -64x-1350=0解析：在矩形挂图的四周镶一条宽为 XCm 的金边，那么挂图的长为（80+2X ）Cm ，?宽为2（50+2X）Cm ,由题意，可得（80+2x）（50+2x）=5400 ,整理得X +65x-350=0. 答案:B.C11.（海口）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？⅛解：设每千克水果应涨价X元，依题意，得（500-20x）（10+x）=6000 .2整理，得X -15x + 50=0 .解这个方程，X1=5, X2=10 .要使顾客得到实惠，应取x=5 .答：每千克应涨价5元.总结升华：应抓住要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.12.（深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽.⅛解：设与墙垂直的两边长都为：米，则另一边长米，依题意得、工2z1 33x+130 = O X l= 10, ¾ =—1 2 2又∙.∙当;R--时，… ∙l .l - j 113当一丄时，「「：」13X二i—•••-不合题意，舍去.•••答：花圃的长为13米，宽为10米.。

一元二次方程及其根的性质一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，它是关于未知数的二次方程。

在本文中，我们将探讨一元二次方程的定义以及其根的性质。

一、一元二次方程的定义一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数系数，且a ≠ 0。

其中，x代表未知数，a、b、c分别代表方程中二次、一次和常数项的系数。

二、一元二次方程的根一元二次方程的解即为方程的根。

一元二次方程的根可能存在以下情况：1. 两个不同的实数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不同的实数根。

此时，方程的解可通过求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a来得到。

2. 两个相等的实数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根。

此时，方程的解可通过求根公式x = -b / (2a)来得到。

3. 两个共轭复数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac < 0时，方程的解为两个共轭复数根。

此时，方程的解可通过求根公式x = (-b ±i√(4ac - b^2)) / 2a来得到，其中i代表虚数单位。

三、一元二次方程根的性质一元二次方程的根有一些重要的性质，下面我们将逐一讨论：1. 和与积的关系：设一元二次方程的两个根分别为x1和x2，根据求根公式可知，x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。

也就是说，一元二次方程根的和等于系数b的相反数除以系数a，根的积等于常数项c除以系数a。

2. 根的判断：一元二次方程的判别式b^2 - 4ac可用来判断方程根的情况。

a. 当判别式大于0时，方程有两个不同的实数根。

b. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根。

c. 当判别式小于0时，方程有两个共轭复数根。

3. 顶点坐标：一元二次方程对应的抛物线的顶点坐标可通过计算公式x = -b / (2a)得到。

2019中考数学专题攻略-专题3一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2旳整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。

在系数a≠0旳情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等旳实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等旳实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。

反之，若方程有2个不相等旳实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等旳实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。

因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根旳判别式。

根旳判别式b2-4ac旳使用条件，是在一元二次方程中，而非别旳方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。

使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c旳值。

一元二次方程根旳判别式在初中数学中有着广泛旳应用，也是中考必考内容，并占有一定旳份量。

锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根旳情况、②根据方程根旳情况，确定待定系数旳取值范围、③限制一元二次方程旳根与系数关系旳应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时旳待定系数、⑤判断双曲线与直线旳公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）旳公共点个数。

下面通过近年全国各地中考旳实例探讨其应用。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根旳情况：典型例题：例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x2x20++=旳根旳情况是【】A．有两个相等旳实数根 B．有两个不相等旳实数根C．只有一个实数根 D．无实数根【答案】D。

【考点】一元二次方程根旳判别式。

【分析】∵2x2x20++=中，a=1，b=2，c=2，∴△22=--⨯⨯-。

<b4ac=2412=40∴2x2x20++=无实数根。

故选D。

例2：（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确旳是【】A ．方程1x+=2x -有两个不相等旳实数根B ．方程1x+=1x有两个不相等旳实数根 C ．方程1x+=2x有两个不相等旳实数根 D ．方程1x+=a x （其中a 为常数，且a 2>）有两个不相等旳实数根 【答案】D 。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。

初中数学什么是一元二次方程的虚根一元二次方程是数学中的一个重要概念，它可以用来解决许多实际问题。

在这里，我将给出关于一元二次方程的虚根的详细解释，并提供一些应用和解题技巧。

希望这能帮助你更好地理解和应用一元二次方程。

首先，让我们回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，且a不等于0。

方程的解可以分为三种情况：实根、重根和虚根。

实根是指方程的解是实数，重根是指方程有且仅有一个解，而虚根是指方程没有实数解。

一元二次方程的虚根发生在以下情况下：当判别式D=b^2-4ac小于零时，方程没有实数解，即方程的根是虚数。

现在，让我们详细讨论一下如何计算一元二次方程的虚根。

步骤1：计算判别式D=b^2-4ac的值。

判别式D的值可以帮助我们确定方程的解的性质。

如果D小于零，方程没有实数解，即方程的根是虚数。

步骤2：计算虚根。

当判别式D小于零时，我们可以使用虚数单位i来表示方程的根。

虚数单位i定义为i^2=-1。

方程的虚根可以表示为x = (-b ± √(-D))/(2a)。

例如，考虑方程x^2 + 2x + 5 = 0。

首先，我们计算判别式D = 2^2 - 4(1)(5) = -16。

由于D小于零，方程没有实数解。

我们可以使用虚数单位i来表示方程的虚根。

根据公式，我们可以计算虚根为x = (-2 ± √(-(-16)))/(2(1)) = (-2 ± 4i)/(2) = -1 ± 2i。

在解方程时，我们可以使用加减法的原则来计算虚根的值。

这意味着我们可以分别计算两个虚根，一个是加号前面的x = -1 + 2i，另一个是减号前面的x = -1 - 2i。

在实际应用中，一元二次方程的虚根可以用来解决一些几何问题，例如计算抛物线的焦点和顶点的坐标。

此外，它们还可以应用于电路分析、物理学等领域中。

总结起来，一元二次方程的虚根是指方程没有实数解，而是用虚数单位i来表示。

原题: 求解一元二次方程的根。

原题：求解一元二次方程的根一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的根可以使用以下方法：1.公式法：一元二次方程的根可以通过求解以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个不同的解，√ 表示平方根。

2.因式分解法：如果一元二次方程可以进行因式分解，则可以通过因式分解的办法求解方程的根。

例如，对于方程 x^2 + 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，从而得到两个根 x = -2 和 x = -3。

3.配方法：一些特殊的一元二次方程可以通过配方法得到其根。

例如，对于方程 x^2 - 6x + 9 = 0，可以进行配方法得到 (x - 3)^2 = 0，从而得到一个重根 x = 3。

4.求解顶点法：一元二次方程的图像是一个抛物线，其顶点坐标可以通过求解以下公式得到：x = -b / 2ay = f(x) = (-b^2 + 4ac) / 4a其中，x、y 分别表示顶点的横纵坐标。

需要注意的是，解一元二次方程时，首先需要判断方程是否有解。

当判别式Δ = b^2 - 4ac 大于等于 0 时，方程有实数根；当判别式Δ 小于 0 时，方程无实数根。

另外，如果一元二次方程的系数a、b、c 不是实数，而是复数，则可以将方程的求解转化为求解复数根的问题。

通过以上方法，可以求解出一元二次方程的根，进而解决与根相关的实际问题或数学推导。