解密数学认识相交线与垂线的关系

相交线,垂线(基础)知识讲解撰稿:孙景艳审稿: 赵炜【学习目标】1、了解两直线相交所成的角的位置与大小关系,理解邻补角与对顶角概念,掌握对顶角的性质;2、理解垂直作为两条直线相交的特殊情形,掌握垂直的定义及性质;3、理解点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离;4、能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质,进行简单的计算、【要点梳理】要点一、邻补角与对顶角1.邻补角:如果两个角有一条公共边,并且它们的另一边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释:(1)邻补角的定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:“邻”指的就是位置相邻,“补”指的就是两个角的与为180°.(2)邻补角就是成对出现的,而且就是“互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件:①有公共顶点;②有一条公共边,另一边互为反向延长线、2、对顶角及性质:(1)定义:由两条直线相交构成的四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角.(2)性质:对顶角相等.要点诠释:(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件:①相等的两个角;②有公共顶点且一角的两边就是另一角两边的反向延长线、3角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角;②有一个公共顶点;③没有公共边、对顶角相等、①都就是两条直线相交而成的角;②都有一个公共顶点;③都就是成对出现的、①有无公共边;②两直线相交时,对顶角只有2对;邻补角有4对、邻补角①两条直线相交而成;②有一个公共顶点;③有一条公共边、邻补角互补、【高清课堂:相交线两条直线垂直】要点二、垂线1.垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.要点诠释:(1)记法:直线a 与b 垂直,记作:a b ⊥;直线AB 与CD 垂直于点O,记作:AB⊥CD 于点O 、(2) 垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:90AOC ∠=°垐垐?噲垐?判定性质CD ⊥AB. 2.垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法就是使直角三角板的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点诠释:(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的就是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上.(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短. 要点诠释:(1)性质(1)成立的前提就是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性与唯一性.(2)性质(2)就是“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点与直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离:定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.要点诠释:（1） 点到直线的距离就是垂线段的长度,就是一个数量,不能说垂线段就是距离;(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1.如图所示,M、N就是直线AB上两点,∠1＝∠2,问∠1与∠2,∠3与∠4就是对顶角不? ∠1与∠5,∠3与∠6就是邻补角不？【答案与解析】解:∠1与∠2,∠3与∠4都不就是对顶角.∠1与∠5,∠3与∠6也都不就是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角.举一反三:【变式】判断正误:(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角就是对顶角、 ( )(2)如果两个角相等,那么这两个角就是对顶角、( )(3)有一条公共边的两个角就是邻补角、 ( )(4)如果两个角就是邻补角,那么它们一定互补、 ( )(5)有一条公共边与公共顶点,且互为补角的两个角就是邻补角、( )【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×,反例:∠AOC为120°,射线OB为∠AOC的角平分线,∠AOB与∠AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O,但它们不就是邻补角、2、如图所示,直线AB、CD相交于点O,∠1＝65°,求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解:∵∠1就是∠2的邻补角,∠1＝65°,∴∠2＝180°－65°＝115°.又∵∠1与∠3就是对顶角,∠2与∠4就是对顶角∴∠3＝∠1＝65°, ∠4＝∠2＝115°.【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中,只要已知其中一个角,就可以求出另外三角;(2)求出∠2后用“对顶角相等”,求∠3与∠4.举一反三:【变式】如图所示,两直线相交,已知∠l与∠2的度数之比为3:2,求∠1与∠2的度数.【答案】解:设∠1与∠2的度数分别为3x与2x.根据题意,得3x+2x＝180°.解这个方程得x＝36°,所以3x＝108°,2x＝72°.答:这两个角的度数分别就是108°,72°.3、任意画两条相交的直线,在形成的四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解:如图,任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们的位置关系有两种:①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;②有公共顶点,角的两边互为反向延长线.这6对角为∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4,∠3与∠4,其中∠1＝∠3,∠2＝∠4,∠1+∠2＝180°,∠3+∠4＝180°,∠1+∠4＝180°,∠2+∠3＝180°.在位置上∠1与∠3,∠2与∠4就是对顶角,∠1与∠2,∠3与∠4,∠l与∠4,∠2与∠3就是邻补角.【总结升华】两条相交的直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有:4对邻补角,2对对顶角类型二、垂线4.下列语句中,正确的有()①一条直线的垂线只有一条;②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两直线相交,则交点叫垂足;④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都就是直角.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】正确的就是:②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质、举一反三:【变式1】直线l外有一点P,则点P到直线l的距离就是( )、A.点P到直线l的垂线的长度、B.点P到直线l的垂线段、C.点P到直线l的垂线段的长度、D.点P到直线l的垂线、【答案】C5、 (山东济宁)如图所示,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠C OE＝55°.则∠BOD的度数为()、A.40°B.45°C.30°D.35°【答案】D【解析】要求∠BOD,只要求出其对顶角∠AOC的度数即可.为此要寻找∠AOC与∠COE的数量关系.因为EO⊥AB,所以∠AOE＝90°,所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°,所以∠BOD＝AOC＝35°.【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质、【高清课堂:相交线403101经典例题3】举一反三:【变式】如图, 直线AB与CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______、【答案】130°.6、如图所示,要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因.【答案与解析】解:过点C作CD⊥AB,垂足为D.所以在点D沿CD开沟,才能使沟最短,原因就是从直线外一点到直线上所有各点的连线中,垂线段最短.【总结升华】“如何开沟、使沟最短”,实质上就是如何过C点向AB引线段,使线段最短,这就就是最熟悉的垂线的性质的应用.举一反三:【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条? 【答案】解:(1)能画无数条;(2)能画一条;(3)能画一条.。

相交线和垂线—初中数学教案分析
一、教学目标
1.了解两条直线互相垂直的概念.
2.知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
3.培养学生的观察、理解能力，几何语言能力，画图能力，抽象思维能力以及运用知识解决实际问题能力.
4.培养学生辩证唯物主义思想及勇于探索的精神.
5.通过创设情境，利用变式训练和多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会，给学生营造可持续发展的机会.
二、教学重点
两直线互相垂直的有关性质.
三、教学难点
过直线上(外)一点作已知直线的垂线.
四、教学用具
多媒体、投影仪、自制的可旋转的两根木条等.
五、教学过程
〔一)背景
1.(生活背景)红十字会标志.
2.(知识背景)两条直线相交，产生两对对顶角，且对顶角相等.
(二)师生互究
1.创设问题情境：
师：这是两幅草坪的图案.在绿色的草坪上，画着两条交叉的道路.你觉得图(甲)和图(乙)哪幅更漂亮、更匀称.这是什么原因?(教师用多媒体或投影仪展示)。

相交线,垂线(基础)知识讲解【学习目标】1、了解两直线相交所成得角得位置与大小关系,理解邻补角与对顶角概念,掌握对顶角得性质;2、理解垂直作为两条直线相交得特殊情形,掌握垂直得定义及性质;3、理解点到直线得距离得概念,并会度量点到直线得距离;4、能依据对顶角、邻补角及垂直得概念与性质,进行简单得计算、【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1.邻补角:如果两个角有一条公共边,并且它们得另一边互为反向延长线,那么具有这种关系得两个角叫做互为邻补角.要点诠释:(1)邻补角得定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:“邻”指得就是位置相邻,“补”指得就是两个角得与为180°.(2)邻补角就是成对出现得,而且就是“互为”邻补角.(3)互为邻补角得两个角一定互补,但互补得两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足得条件:①有公共顶点;②有一条公共边,另一边互为反向延长线、2、对顶角及性质:(1)定义:由两条直线相交构成得四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)得两个角,互为对顶角.(2)性质:对顶角相等.要点诠释:(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角.(2)对顶角满足得条件:①相等得两个角;②有公共顶点且一角得两边就是另一角两边得反向延长线、3、邻补角与对顶角对比:【高清课堂:相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1.垂线得定义:两条直线相交所成得四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线得垂线,它们得交点叫垂足.要点诠释:⊥;(1)记法:直线a与b垂直,记作:a b直线AB与CD垂直于点O,记作:AB⊥CD于点O、(2) 垂直得定义具有二重性,既可以作垂直得判定,又可以作垂直得性质,即有:∠=°判定90AOCCD⊥AB.性质2.垂线得画法:过一点画已知直线得垂线,可通过直角三角板来画,具体方法就是使直角三角板得一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线得垂线(如图所示).要点诠释:(1)如果过一点画已知射线或线段得垂线时,指得就是它所在直线得垂线,垂足可能在射线得反向延长线上,也可能在线段得延长线上.(2)过直线外一点作已知直线得垂线,这点与垂足间得线段为垂线段.3.垂线得性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.要点诠释:(1)性质(1)成立得前提就是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线得存在性与唯一性.(2)性质(2)就是“连接直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点与直线上各点得线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线得距离:定义:直线外一点到这条直线得垂线段得长度,叫做点到直线得距离.要点诠释:（1）点到直线得距离就是垂线段得长度,就是一个数量,不能说垂线段就是距离;(2)求点到直线得距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段得长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1.如图所示,M、N就是直线AB上两点,∠1＝∠2,问∠1与∠2,∠3与∠4就是对顶角吗? ∠1与∠5,∠3与∠6就是邻补角吗？【答案与解析】解:∠1与∠2,∠3与∠4都不就是对顶角.∠1与∠5,∠3与∠6也都不就是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角.举一反三:【变式】判断正误:(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角就是对顶角、 ( )(2)如果两个角相等,那么这两个角就是对顶角、( )(3)有一条公共边得两个角就是邻补角、 ( )(4)如果两个角就是邻补角,那么它们一定互补、 ( )(5)有一条公共边与公共顶点,且互为补角得两个角就是邻补角、( )【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×,反例:∠AOC为120°,射线OB为∠AOC得角平分线,∠AOB与∠AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O,但它们不就是邻补角、2、如图所示,直线AB、CD相交于点O,∠1＝65°,求∠2、∠3、∠4得度数【答案与解析】解:∵∠1就是∠2得邻补角,∠1＝65°,∴∠2＝180°－65°＝115°.又∵∠1与∠3就是对顶角,∠2与∠4就是对顶角∴∠3＝∠1＝65°, ∠4＝∠2＝115°.【总结升华】 (1)两条直线相交所成得四个角中,只要已知其中一个角,就可以求出另外三角;(2)求出∠2后用“对顶角相等”,求∠3与∠4.举一反三:【变式】(2015•梧州)如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON得度数为度.【答案】145.解:∵∠BOC=110°,∴∠BOD=70°,∵ON为∠BOD平分线,∴∠BON=∠DON=35°,∵∠BOC=∠AOD=110°,∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°、3、任意画两条相交得直线,在形成得四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样得位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解:如图,任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们得位置关系有两种:①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;②有公共顶点,角得两边互为反向延长线.这6对角为∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4,∠3与∠4,其中∠1＝∠3,∠2＝∠4,∠1+∠2＝180°,∠3+∠4＝180°,∠1+∠4＝180°,∠2+∠3＝180°.在位置上∠1与∠3,∠2与∠4就是对顶角,∠1与∠2,∠3与∠4,∠l与∠4,∠2与∠3就是邻补角.【总结升华】两条相交得直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有:4对邻补角,2对对顶角类型二、垂线4.下列语句中,正确得有 ( )①一条直线得垂线只有一条;②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两直线相交,则交点叫垂足;④互相垂直得两条直线形成得四个角一定都就是直角.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】正确得就是:②④【总结升华】充分理解垂直得定义与性质、举一反三:【变式1】直线l外有一点P,则点P到直线l得距离就是( )、A.点P到直线l得垂线得长度、B.点P到直线l得垂线段、C.点P到直线l得垂线段得长度、D.点P到直线l得垂线、【答案】C5、 (2015•河北模拟)如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3得度数为( )A.35°B. 45°C. 55°D. 65°【答案】C.【解析】解:∵∠1=145°,∴∠2=180°﹣145°=35°,∵CO⊥DO,∴∠COD=90°,∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°、【总结升华】本题考查了垂线与邻补角得定义;弄清两个角之间得互补与互余关系就是解题得关键.【高清课堂:相交线403101经典例题3】举一反三:【变式】如图, 直线AB与CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40°,则∠EOF=_______、【答案】130°.6、如图所示,要把水渠中得水引到水池C,在渠岸AB得什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因.【答案与解析】解:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.所以在点D沿CD开沟,才能使沟最短,原因就是从直线外一点到直线上所有各点得连线中,垂线段最短.【总结升华】“如何开沟、使沟最短”,实质上就是如何过C点向AB引线段,使线段最短,这就就是最熟悉得垂线得性质得应用.举一反三:【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l得垂线,这样得垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l得垂线,这样得垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l得垂线,这样得垂线能画出几条?【答案】解:(1)能画无数条;(2)能画一条;(3)能画一条.。