相交线、垂线习题及解析

5.1.2垂线基础闯关全练1．如图,直线AB、CD、EF相交于点O,且AB⊥CD,若∠BOE=35°,则∠DOF=( )A．65° B．45° C．35° D．55°2．如图,点O在直线AB上且OC⊥OD,若∠COA= 36°,则∠DOB的大小为( )A.36°B.54°C.55°D.44°3．下列选项中,过点P画AB的垂线CD,三角板放法正确的是( )A B C D4．在下图所示的各图中用三角板分别过点C画线段AB的垂线．（1）（2）（3）（4）5．如图,在立定跳远中,体育老师是这样测量运动员的成绩的,用一块直角三角板的一边附在起跳线上,另一边与拉直的皮尺重合,这样做的理由是( )A．两点之间,线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线6．如图．想在河堤两岸搭建一座桥,图中四种搭建方式PA,PB,PC,PD中,最短的是_______. 7．下列图形中,线段PQ的长为点P到直线MN的距离的是( )A B C D8．如图．立定跳远比赛时,小明从点A起跳落在沙坑内B处,这次小明的跳远成绩是4.6米,则小明从起跳点到落脚点之间的距离( )A．大于4.6米 B．等于4.6米 C．小于4.6米 D．不能确定能力提升全练1．如图,∠ACB= 90°．CD⊥AB,垂足为点D,则下面的结论中,正确的有( )①BC与AC互相垂直②AC与CD互相垂直③点A到BC的垂线段是线段BC④点C到AB的垂线段是线段CD⑤线段BC是点B到AC的距离⑥线段AC的长度是点A到BC的距离A.2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图,已知直线CD、EF相交于点O．OA⊥OB,且OE平分∠AOC,若∠EOC= 60°,则∠BOF=______．3．如图,直线AB,CD相交于点O,∠DOE=∠BOD．OF平分∠AOE.(1)判断OF与OD的位置关系；(2)若∠AOC:∠AOD=1:5．求∠EOF的度数．三年模拟全练一、选择题1．如图所示,直线AB⊥CD于点D,直线EF经过点O．若∠1=26°,则∠2的度数是( )A．26° B．64° C.54° D．以上答案都不对2．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,∠AOE= 52°,则∠BOD等于( )A.24°B.26° C．36° D．38°二、填空题3．如图,已知AC⊥BC,CD⊥ AB．AC=3,BC=4,CD= 2.4,则点C到直线AB的距离等于______. 4．如图,当∠1与∠2满足_________条件时,OA⊥OB．三、解答题5．如图,直线AB与CD相交于点D,OP是∠BOC的平分线,OE ⊥AB,OF⊥ CD.(1)图中除直角外,写出三对相等的角:(2)已知∠EOC= 50°,求∠POF的度数,五年中考全练选择题.1．如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是( ) A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD= 180°2．如图,经过直线l外一点A画l的垂线,能画出( )A.1条B.2条C.3条D.4条3．如图所示,点P到直线l的距离是( )A．线段PA的长度 B．线段PB的长度C．线段PC的长度 D．线段PD的长度核心素养全练如图,随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M'O’N’,画出∠MON的平分线OP和∠M'O’N'的平分线O’P’．(1)在OP上任取一点A,画AB⊥OM,AC⊥ON,垂足分别为B,C；(2)在O'P’上任取一点A’,画A'B'⊥O'M’,A'C'⊥O'N',垂足分别是B’,C’；(3)通过度量线段AB,AC,A'B’,A'C'的长度,发现AB____AC,A'B'____ A'C’；（填“=”或“≠”）(4)通过上面的画图和度量,和同学们交流一下,有什么猜想？请用一句话表述出来．5.1.2垂线1.D∵AB⊥CD,∠BOE=35°,∴∠AOF=35°,∠AOD=∠BOC=90°,∴∠DOF= 90°-35°=55°．故选D．2.B∵OC⊥OD,∴∠COD= 90°,又∵∠AOC+∠COD+∠DOB= 180°．∴∠DOB= 180°-36°-90°= 54°．故选B. 3．C根据垂线的作法,将直角三角板的一条直角边与直线AB重合,另一条直角边过点P后沿该直角边画直线即可．4．解析5．C根据垂线段的性质:垂线段最短,故选C．6．答案PC解析根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”与PC⊥AD．知PC最短．7．A对于选项A,PQ⊥MN,Q是垂足,故线段PQ的长为点P到直线MN的距离．8．A 跳远的成绩是点B 到起跳线的距离,即垂线段的长度为4.6米,结合题图知AB 的长大于4.6米．1.B ．∵∠ACB=90°,∴AC ⊥BC,故①正确；AC 与DC 相交不垂直,故②错误；点A 到BC 的垂线段是线段AC ．故③错误；点C 到AB 的垂线段是线段CD,故④正确；线段BC 的长度是点B 到AC 的距离,故⑤错误；线段AC 的长度是点A 到BC 的距离,故⑥正确．故选B ． 2．答案30°解析∵OE 平分∠AOC,∠EOC=60°,∴∠AOE=∠COE= 60°,∠DOE= 180°-∠COE= 120°, ∴∠DOA= 60°,∵OA ⊥OB,∴∠DOA+∠BOD= 90°．∴∠DOB=30°, ∵∠DOF=∠EOC=60°,∴∠BOF=30°. 3．解析(1)因为OF 平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=21∠AOE ． 又因为∠DOE=∠BOD=21∠BOE,所以∠DOE+∠EOF=21(∠BOE+∠AOE)=21×180°=90°,即∠FOD=90°,所以OF ⊥OD.(2)设∠AOC=x ．因为∠AOC:∠AOD=1:5, 所以∠AOD=5x,因为∠AOC+∠AOD= 180°, 所以x+5x= 180°,x=30°. 所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°.又因为∠FOD= 90°．所以∠EOF= 90°-30°= 60°. 一、选择题1.B ∵∠1=26°,∠DOF 与∠1是对顶角, ∴∠DOF=∠1=26°,又∵AB ⊥CD.∴∠DOF+∠2=90°,∴∠2=90°-∠ DOF=90°-26°=64°．故选B.2.D 因为OE ⊥CD, ∠AOE =52°,所以∠AOC= 38°,则∠BOD=∠AOC= 38°,故选D ． 二、填空题 3．答案2.4解析由题意得点C 到直线AB 的距离等于CD 的长,即点C 到直线AB 的距离等于2.4． 4．答案∠1+∠2= 90°解析当∠1+∠2= 90°时,∠AOB= 90°,根据垂直的定义得OA ⊥OB. 三、解答题5．解析(1)①∠AOD= ∠BOC,②∠COP= ∠BOP,③∠COE=∠ BOF 等． (2)∵OE ⊥AB,∴ ∠EOB=90°.∵∠ EOC= 50°,∴∠COB= ∠EOB- ∠EOC= 40°.∵OP 是∠BOC 的平分线,∴∠COP=21∠BOC=20°.∵OF ⊥CD, ∴∠COF=90°,∴∠POF= ∠COF-∠COP=70°. 选择题1．C 由对顶角相等知∠AOD=∠BOC,选项A 中说法正确；由对顶角相等知∠BOD=∠AOC ．由EO ⊥CD 知∠AOE+∠AOC=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,选项B 中说法正确；由邻补角概念知∠AOD+∠BOD= 180°,选项D 中说法是正确的．只有选项C 中说法是错误的．2．A 同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 3．B 点P 到直线l 的距离就是点P 到直线l 的垂线段PB 的长度。

七年级下册相交线与垂直线练习题及答案第一部分相交线与垂直线的基础知识
1. 请为以下图形标出所有的垂线和水平线。

2. 以下哪条直线是垂直线？
A. 直线AB
B. 直线CD
C. 直线EF
D. 直线GH
3. 若线段AB ⊥线段BC，且角ABC = 78°，则角ABD 等于多少度？
第二部分题目练
1. 见以下图形，若线段AB ⊥线段CD，EF 与 GH 垂直，且角AED = 58°，则角FHB 等于多少度？
2. 见以下图形，线段AB ⊥线段CD，EF 垂直 BC 于点G，且角AED = 46°，则角ABF 等于多少度？
3. 见以下图形，若线段AB ⊥线段CD，角ABC = 50°，角EFG = 68°，则角EDF 等于多少度？
第三部分答案
第一部分
1. 垂线：AD, BC, FE 水平线：BE, DG
2. 直线CD 是垂直线
3. 角ABD = 12°
第二部分
1. 角FHB = 32°
2. 角ABF = 34°
3. 角EDF = 62°
希望以上内容能帮助您顺利完成七年级下册相交线与垂直线部分的练习题。

第五章相交线与平行线垂线一．选择题（共8小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B． C．D．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（）A．54°B．46°C．36°D．26°4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（）A．56°B．59°C．60°D．62°5．如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，其最小旋转角为（）A．60°B．50°C．40°D．30°6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 B．3 C．4 D．57．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于_________ 度．10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为_________ °．11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为_________ ．12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是_________ 度．13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________ ．14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是_________ ，点B到点A的距离是_________ ．三．解答题（共8小题）15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？为什么？20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．第五章相交线与平行线垂线参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC 得出答案．解答：解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故选：C．点评：本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B． C．D．考点：垂线．分析：根据题意画出图形即可．解答：解：根据题意可得图形，故选：C．点评：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（）A．54°B．46°C．36°D．26°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：根据余角的定义、对顶角相等推知∠AOC=∠BOD=90°﹣∠BOE．解答：解：如图，∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°．又∵∠BOE=54°，∴∠BOD=90°﹣∠BOE=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°．故选C．点评：本题考查了垂线，对顶角、邻补角．解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件：由垂直得直角．4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（）A．56°B．59°C．60°D．62°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：首先根据垂线定义可得∠AOD=90°，再根据∠AOF的度数，进而算出∠AOE的度数，再利用角平分线性质可得答案．解答：解：∵AB⊥CD，∴∠AOD=90°，∵∠FOD=28°，∴∠AOF=90°﹣28°=62°，∴∠AOE=180°﹣62°=118°，∵OG平分∠AOE，∴∠AOG=118°÷2=59°，故选：B．点评：此题主要考查了垂线，以及角平分线性质，余角、补角，关键是理清角之间的关系．5．如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，其最小旋转角为（）A．60°B．50°C．40°D．30°考点：垂线．分析：当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，算出∠1的度数，再根据平角定义计算出∠2的度数即可．解答：解：如图所示：当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，∠1=180°﹣60°﹣90°=30°，则∠2=180°﹣30°﹣100°=50°，故选：B．点评：此题主要考查了垂线，关键是掌握两直线垂直时，夹角为90°．6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 B．3 C．4 D．5考点：垂线段最短．分析：利用垂线段最短分析．解答：解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选：A．点评：本题主要考查了垂线段最短的性质．7．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线考点：垂线段最短．专题：应用题．分析：此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．解答：解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．点评：此题考查知识点垂线段最短．8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（）A．B．C．D．考点：点到直线的距离．分析：利用点到直线的距离的定义分析可知．解答：解：利用点到直线的距离的定义可知：线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A图．故选：A．点评：本题考查了点到到直线的距离的定义．二．填空题（共6小题）9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于70 度．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．解答：解：∵∠BOD=20°，∴∠AOC=∠BOD=20°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠COE=90°﹣20°=70°，故答案为：70．点评：本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为45 °．考点：垂线；角平分线的定义．分析：根据垂线的定义可知，∠ABD的度数是90°，根据角平分线的定义，可求∠DBE的度数，再根据对顶角相等可求∠CBF的度数．解答：解：∵AB⊥CD，∴∠ABD=90°，∵EF平分∠ABD，∴∠DBE=45°，∴∠CBF=45°．故答案为：45．点评：考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质．11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为149°．考点：垂线．专题：计算题．分析：先根据垂直的定义求出∠ACE的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵EF⊥AB于E，∠CEF=59°，∴∠ACE=90°﹣∠CEF=90°﹣59°=31°，∴∠AED=180°﹣∠ACE=180°﹣31°=149°．故答案为：149°．点评：本题考查了垂线的定义，求出∠ACE的度数是解题的关键．12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是38 度．考点：垂线；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：先根据垂线的定义得出∠MON=90°，再根据α=52°得出∠NOF的度数，最后根据对顶角的定义即可求出β的度数．解答：解：∵OM⊥l1，∴∠MON=90°，∵∠α=52°，∴∠NOF=∠MON﹣∠α=90°﹣52°=38°，∵∠NOF与∠β是对顶角，∴∠NOF=∠β=38°．点评：本题考查的是垂线的定义及对顶角的性质，比较简单．13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．考点：垂线段最短．专题：应用题．分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．点评：本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是12 ，点B到点A的距离是13 ．考点：点到直线的距离；两点间的距离．专题：计算题．分析：点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．解答：解：点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是12；点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是13．故填12，13．点评：本题考查了点到直线的距离的定义以及两点间的距离的定义，注意点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段．三．解答题（共8小题）15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：根据垂直的性质以及对顶角性质得出∠3+∠2=90°，进而求出∠1的度数．解答：解：∵∠4=40°，∴∠4=∠5=40°，∵AB⊥CD，∴∠BOC=90°，∴∠2+∠5=90°，∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠5=∠3=40°．点评：此题主要考查了垂线以及对顶角性质，得出∠1=∠5=∠3是解题关键．16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：先求出∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，再根据对顶角相等得出∠DOE=∠AOC=62°，然后根据邻补角定义求出∠AOD．解答：解：∵∠AOB=90°，∠BOC=28°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，∴∠DOE=∠AOC=62°，∴∠AOD=180°﹣∠DOE=118°．点评：本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：利用垂线的定义，以及∠BOE=2∠AOE，得出∠AOE=30°，再利用角平分线的性质得出答案．解答：解：∵∠AOB=90°，∠BOE=2∠AOE，∴∠AOE=30°，∴∠AOF=150°，∵OD平分∠AOF，∴∠AOD=75°，∴∠EOD=105°．点评：此题主要考查了垂线的定义以及邻补角定义，得出∠AOE的度数是解题关键．18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？考点：垂线；角平分线的定义．分析：首先根据角平分线的性质可得∠BOD=∠AOD，再根据平角的定义可得∠EOC+∠AOD=90°，进而可得∠COE=∠EOB，进而可得OE是∠BOC的平分线．解答：解：∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=∠AOD=∠AOB，∵OE⊥OD，∴∠DOE=90°，∴∠EOB+∠BOD=90°，∵∠AOC=180°，∴∠EOC+∠AOD=90°，∴∠COE=∠EOB，∴OE是∠BOC的平分线．点评：此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？为什么？考点：垂线；角平分线的定义．分析：OE是∠BOC的平分线．由于∠AOB是平角，OD是∠AOC的平分线，∠DOE=90°，易求∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．解答：解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD，∴∠AOD=∠COD，∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．∴OE是∠BOC的平分线．点评：本题考查了角的计算．解题的关键是理解角平分线的定义．20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．考点：垂线段最短．专题：应用题；作图题．分析：利用两点之间线段最短和垂线段最短即可解决问题．解答：解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．点评：本题考查数学原理在生活中的应用，利用线段及垂线段的性质即可解决问题．21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？考点：垂线；角平分线的定义．分析：根据垂线的定义，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COE、∠COF的度数，根据角的和差，可得答案．解答：解：由AO⊥BO，得∠AOB=90°，由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，得∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．点评：本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差．22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．考点：垂线．分析：根据垂线的定义，可得∠AOC、∠BOD的度数，根据角的和差，可得∠COD的度数，根据角的和差，可得答案．解答：解：由OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，得∠AOC=∠BOD=90°．由角的和差，得∠COD=∠AOD﹣∠AOC=138°﹣90°=48°，∠BOC=∠BOD﹣∠COD=90°﹣48°=42°．点评：本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角的和差．。

相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定AOC90CD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。

5.1相交线垂线习题精选一．解答题（共10小题）1．有一张地图，有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的东南方向，（1）试确定C地的位置；（2）画射线CA；（3）画出点C到AB的垂线段CD．2．如图，已知直线AB，OC⊥AB，OD⊥OE，若∠COE=∠BOD，则求∠COE，∠BOD，∠AOE的度数．3．如图，AO⊥OB，直线CD过点O，且∠BOD=130°，求∠AOD的大小．4．如图：AB，CD，EF相交于O点，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=30°，求∠BOE及∠AOG的度数．5．如图，AB、CD相交于O点，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，猜想射线OE与直线AB的位置关系，并求证．6．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF=2∠BOE．请你求∠DOB的度数．7．如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O．（1）若∠1=∠2，求∠NOD；（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD．8．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4：5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF 的度数．9．如图，小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起，若保持△BCD不动，将△ACE绕直角顶点C旋转．（1）如图1，如果CD平分∠ACE，那么CE是否平分∠BCD？答：_________（填写“是”或“否”）；（2）如图1，若∠DCE=35°，则∠ACB=_________°；若∠ACB=140°，则∠DCE=_________°；（3）当△ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为_________；当△ACE 绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，上述关系是否依然成立，请说明理由；（4）在图1中，若∠BCE=∠D，请你猜想CE与BD的位置关系，并说明理由．10．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）（1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；（3分）（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；（2分）（3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．（3分）5.1相交线垂线习题精选参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．有一张地图，有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的东南方向，（1）试确定C地的位置；（2）画射线CA；（3）画出点C到AB的垂线段CD．考点：方向角；垂线．分析：（1）先分别以A、B两点为原点画出坐标系，再画射线BC、AC，两条射线的交点即为C点；（2）以C为端点，做射线CA即可；（3）过点C作AB的垂线段CD即可求出答案．解答：解：（1）如图所示，线段BC与AC的交点即为C点；（2）由（1）确定出C点的位置，再做射线CA；（3）过点C作AB的垂线段CD．点评：本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的表示方法并能画出图形是解答此题的关键．2．如图，已知直线AB，OC⊥AB，OD⊥OE，若∠COE=∠BOD，则求∠COE，∠BOD，∠AOE的度数．考点：角的计算；垂线．专题：计算题．分析：先根据同角的余角相等求出∠COE=∠AOD，再根据∠AOD与∠BOD是邻补角且∠COE=∠BOD求出∠BOD；∠AOE等于∠AOC与∠COE的和．解答：解：∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠DOE=∠AOC=90°，∵∠COE+∠DOC=∠DOE=90°，∠AOD+∠DOC=∠AOC=90°，∴∠COE=∠AOD，∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∵∠COE=∠BOD，∴∠COE=30°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣∠COE=180°﹣30°=150°；∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+30°=120°．点评：利用同角的余角相等求出∠COE=∠AOD是解题的关键．3．如图，AO⊥OB，直线CD过点O，且∠BOD=130°，求∠AOD的大小．考点：角的计算；垂线．分析：首先根据邻补角的关系求得∠BOC，再根据余角的关系求得∠AOC．最后根据邻补角的概念，进一步求得∠AOD．解答：解：∵∠BOD=130°，∴∠BOC=180°﹣130°=50°，又∵AO⊥OB，∴∠AOC=40°，∴∠AOD=180°﹣40°=140°．点评：根据图形结合已知条件找到互补的角和互余的角，结合角的运算求得结果．4．如图：AB，CD，EF相交于O点，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=30°，求∠BOE及∠AOG的度数．考点：角的计算；对顶角、邻补角；垂线．专题：计算题．分析：分析图形可得，∠COE与∠FOD是对顶角，又有∠BOC=90°，OG平分∠AOE，计算可得答案．解答：解：∵∠FOD=30°，∠COE与∠FOD是对顶角，∴∠EOC=30°；∵AB⊥CD，∴∠BOC=90°，∵∠AOE=90°+∠EOC=120°，且OG平分∠AOE，∴∠AOG=60°．点评：本题考查角的运算，注意角与角之间的倍数与垂直关系即可．5．如图，AB、CD相交于O点，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，猜想射线OE与直线AB的位置关系，并求证．考点：垂线；对顶角、邻补角．专题：探究型．分析：观察图形，可猜想OE⊥AB，根据已知条件，证明∠AOE是直角即可．解答：解：OE⊥AB．理由如下：∵∠BOC=130°（已知），∴∠AOD=∠BOC=130°（对顶角相等），∴∠AOE=∠AOD﹣∠EOD=130°﹣40°=90°．∴OE⊥AB．点评：本题考查了垂线对顶角、邻补角．利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．6．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF=2∠BOE．请你求∠DOB的度数．考点：垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由已知条件和观察图形，根据垂直的定义、角平分线的定义和对顶角相等，利用这些关系可解此题．解答：解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∵∠BOF=2∠BOE，∴3∠BOE=90°，∴∠BOE=30°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=150°，又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠AOE=75°，∴∠DOB=∠AOC=75°．点评：本题利用垂直的定义，角平分线的定义以及对顶角相等的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．7．如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O．（1）若∠1=∠2，求∠NOD；（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD．考点：垂线；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：（1）由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOC互余，再根据平角的定义求解；（2）利用已知的∠BOC=4∠1，结合图形以及对顶角的性质求∠AOC与∠MOD．解答：解：（1）因为OM⊥AB，所以∠1+∠AOC=90°．又∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=90°，所以∠NOD=180°﹣（∠2+∠AOC）=180°﹣90°=90°．（2）由已知∠BOC=4∠1，即90°+∠1=4∠1，可得∠1=30°，所以∠AOC=90°﹣30°=60°，所以由对顶角相等得∠BOD=60°，故∠MOD=90°+∠BOD=150°．点评：本题利用垂直的定义，对顶角的性质和平角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．8．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4：5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF 的度数．考点：垂线；角的计算；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：设∠AOC=4x，则∠AOD=5x，根据邻补角的定义得到∠AOC+∠AOD=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，则∠AOC=4x=80°，利用对顶角相等得∠BOD=80°，由OE⊥AB得到∠BOE=90°，则∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=10°，再根据角平分线的定义得到∠DOF=∠BOD=40°，利用∠EOF=∠EOD+∠DOF即可得到∠EOF的度数．解答：解：设∠AOC=4x，则∠AOD=5x，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠AOC=4x=80°，∴∠BOD=80°，∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=10°，又∵OF平分∠DOB，∴∠DOF=∠BOD=40°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=10°+40°=50°．点评：本题考查了垂线的性质：两直线垂直，则它们相交所成的角为90°．也考查了对顶角相等以及邻补角的定义．9．如图，小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起，若保持△BCD不动，将△ACE绕直角顶点C旋转．（1）如图1，如果CD平分∠ACE，那么CE是否平分∠BCD？答：是（填写“是”或“否”）；（2）如图1，若∠DCE=35°，则∠ACB=145°；若∠ACB=140°，则∠DCE=40°；（3）当△ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为∠ACB+∠DCE=180°；当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，上述关系是否依然成立，请说明理由；（4）在图1中，若∠BCE=∠D，请你猜想CE与BD的位置关系，并说明理由．考点：角的计算；角平分线的定义；余角和补角；垂线．专题：综合题．分析：（1）CD平分∠ACE，那么可得∠DCE=45°，进而求得∠BCF是45°，那么CE平分∠BCD；（2）由∠DCE=35°可先求出∠ACD=55°，再结合∠ACB=∠DCB+∠ACD，∠BCD=90°即可求解；同理，由∠ACB=140°，可先求出∠ACD从而求出∠DCE．（3）四个角组成一个周角，有2个角是90°，和为180°，那么，∠ACB+∠DCE=180°；（4）易知∠D和∠B互余，∠BCE=∠D那么∠DCE和∠D互余，CE与BD垂直．解答：解：（1）是；（2）145，40；∵∠DCE=35°，∴∠ACD=55°，∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=90°+55°=145°；同理，∠ACB=140°，∠ACD=∠ACB﹣∠DCB=50°，∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=40°；（3）∠ACB+∠DCE=180°；成立；∵∠ACE+∠DCB=180°，∴∠ACB+∠DCE=360°﹣（∠ACE+∠DCB）=180°；（4）CE⊥BD．∵∠BCE=∠D，∠BCE+∠ECD=90°，∴∠D+∠ECD=90°，∴∠CFD=90°，∴CE⊥BD．点评：注意直角三角形中直角的应用，以及隐含条件周角的度数为360°．10．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）（1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；（3分）（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；（2分）（3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．（3分）考点：平行线的性质．专题：推理填空题．分析：（1）过点P向左作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，相加即可得解；（2）过点P向右作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得∠APQ+∠PAC=180°，∠BPQ+∠PBD=180°，两式相加即可得解；（3）分点P在直线AB的左侧与右侧两种情况，分别过点P向右作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后结合图形整理即可得解．解答：解：（1）如图，过点P向左作PQ∥AC，则∠APQ=∠PAC，∵AC∥BD，∴PQ∥BD，∴∠BPQ=∠PBD，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）不成立．∠APB+∠PAC+∠PBD=360°．理由如下：如图，过点P向右作PQ∥AC，则∠APQ+∠PAC=180°，∵AC∥BD，∴PQ∥BD，∴∠BPQ+∠PBD=180°，∴∠APQ+∠PAC+∠BPQ+∠PBD=180°×2=360°，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；（3）①若点P在直线AB左侧，过点P向右作PQ∥AC，则∠APQ=180°﹣∠PAC，∵AC∥BD，∴PQ∥BD，∴∠BPQ=180°﹣∠PBD，∵∠APB=∠BPQ﹣∠APQ=（180°﹣∠PBD）﹣（180°﹣∠PAC）=∠PAC﹣∠PBD，∴∠PAC=∠APB+∠PBD；②若点P在直线AB右侧，过点P向右作PQ∥AC，则∠APQ=180°﹣∠PAC，∵AC∥BD，∴PQ∥BD，∴∠BPQ=180°﹣∠PBD，∵∠APB=∠APQ﹣∠BPQ=（180°﹣∠PAC）﹣（180°﹣∠PBD）=∠PBD﹣∠PAC，∴∠PBD=∠APB+∠PAC．点评：本题考查了平行线的性质，读懂题目信息，过点P作出平行线，构造出内错角或同旁内角是解题的关键，（3）注意要分点P在直线AB的左、右两侧两种情况讨论求解．。

【相交线，垂线】之专题—能力提升训练与解析【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD ⊥AB ．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点诠释： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角例1．如图所示，AB 和CD 相交于点O ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，试说明OM 和ON 成一条直线。

新人教版数学七年级下册第五章第一节相交线课时练习一、填空题（共15小题）1.下面说法中错误的是（）A.两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直B.若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直C.两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直D.两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直答案：C知识点：垂线对顶角邻补角解析：解答：垂线的概念是：当两条直线相交，有一个角是直角时，即两条直线互相平行．依据此概念，我们可以判断，选项A正确．选项B中，两对顶角之和为180°，则说明两对顶角均为90°，选项B 也正确．在选项D中，两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，根据对顶角的性质，说明四个角都相等，又因为四个角的度数和为360°，则说明四个角都是90°，选项D也正确．因为两条直线相交，形成两对对顶角，对顶角是相等的，但是不能说明该角一定是90°，所以选项C错误．分析：掌握相交线形成的对顶角知识，以及垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．2.如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（）A．2个B．3个C．4个D．1个答案：B知识点：垂线解析：解答：两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，AB⊥CD，则∠ADC和∠BDC都是直角；同时，AC⊥BC，所以∠ACB也是直角．为此，图形中一共有3个直角．分析：掌握垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．3.如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°答案：C知识点：垂线角平分线解析：解答：两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，EO⊥CD，则∠EOD和∠EOC都是直角；又因为AB平分∠EOD，所以∠AOD为45°．∠AOD与∠COB是对顶角，所以∠COB也是45°．因为∠COB与∠BOD互补，所以∠BOD＝180°－45°＝135°.分析：掌握垂线的概念，以及角平分线和对顶角的性质，就能轻松解答本题．本题考查垂线．4.点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm答案：D知识点：点到直线的距离垂线段最短解析：解答：点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段．在题干中，已知的最短距离为2cm，则选项A和选项B都是不正确的．又因为题干中没有明确告诉PC是否垂直于直线，当两线垂直时，则点P到直线的距离为2cm；若两直线不垂直，则点P到直线的距离为小于2cm．所以，只能选D．分析：点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段，是解答本题的关键．本题考查点垂线段最短．5.如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（）①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案：C知识点：垂线解析：解答：由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．分析：在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（•）．A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对答案：B知识点：垂线对顶角解析：解答：由题意可知，AB⊥CD于点O，所以∠BOC＝∠AOD＝90°，同时，∠1与∠DOF是对顶角，∠1＝26°，所以∠DOF＝26°．∠AOD＝∠AOF＋∠DOF，所以∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°－26°＝64°．所以选B．分析：在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．7．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线;B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段就是点到直线的距离答案：D知识点：垂线解析：解答：概念理解型题．垂直于一条直线的垂线有无数条，所以选项A错误．两点之间才只有一条直线，过一点的直线有无数条，所以选项B错误．选项C是最容易出现混淆的地方．在概念中，同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条；但是，在该选项中，没有注明同一平面，所以选项C错．点到直线的距离就是垂线段，所以选项D正确．分析：概念理解型题，在解答时要注意对概念的正确理解，尤其是像选项C这种属于特别容易混淆的题目．本题考查垂线．8．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）．①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.A．2个B．4个C．7个D．0个答案：B知识点：垂线点到直线的距离解析：解答：根据题意，∠BAC＝90，所以AB⊥AC，①正确．AD⊥BC于D，所以AD与AC不垂直，②不正确．点到直线的距离为垂线段，所以点C到AB的垂线段是线段AB，③正确．点D到BC 的距离应为过D点垂直于AC的垂线段，AD与AC不垂直，所以④错误．因为AB⊥AC，点B到AC的距离为AB，所以⑤⑥正确．AD与BD的具体长度无法推断，所以不能确定二者的大小关系，⑦错误．分析：概念理解型题，掌握垂直和点到直线的具体的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON 的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°答案：C知识点：垂线对顶角邻补角解析：解答：由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON ﹣∠MOC得出答案．解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故选：C．分析：本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C•为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（）．A．3个B．4个C．5个D．6个答案：B知识点：垂线解析：解答：已知每个小方格的边长为1，所以每个小方格的面积为1个平方单位．要使点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C•为顶点的三角形的面积为1个平方单位，需要从两个方面来思考：一是以A为三角形的顶点，则A到BC是距离为1，BC的距离为2时才能使面积为1个平方单位，于是，这样的点有2个．同理，若以B为三角形的顶点，这样的点也同样有2个．所以，选B．分析：从点到直线的距离，以及三角形的面积计算方法入手，就能轻松解答．本题考查垂线．11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．答案：A知识点：垂线；平行线解析：解答：根据题意画出图形即可．故选：C．分析：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．12.下列语句正确的是（）A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直答案：C知识点：垂线解析：解答：概念理解型题．两条直线相交，其中有一个夹角是直角，说明这两条直线互相垂直．同时，两条直线相交，形成四个角，分为两对对顶角，对顶角是相等的．但是，两条直线垂直必须相交，两条直线相交未必垂直，所以，可以推断出选项A、选项B都错误．在选项D中，两条直线任意相交，都能满足有两个角互补，所以D错误．在选项C中，有三个角相等，可以推导出这四个角都相等，并且都是直角，所以选项C正确．分析：概念理解型题，掌握垂直的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．13.过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（）A．线段上B．线段的端点上C．线段的延长线上D．以上情况都有可能答案：D知识点：垂线解析：解答：由于线段有两个端点，所线段的长度是固定的．由于点的位置不确定，所以过线段外一点画这条线段的垂线，垂足有可能在线段上、线段的端点上和线段的延长线上．这个知识点可以从三角形的高的画法上得到验证．所以，选D．分析：概念理解型题，掌握垂直的作法，是解答本题的关键．本题考查垂线．14.如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（）A.线段AC的长B.线段AD的长C.线段BC的长D.线段BD的长答案：D知识点：点到直线的距离解析：解答：点到直线的距离为垂线段，因为直线AD⊥BD，垂足为D，所以点B到线段AC的距离是线段BD的长，所以选D．分析：概念理解型题，掌握到直线的距离为垂线段，是解答本题的关键．本题考查点到直线的距离．15.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（）A.两点确定一条直线B.经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C.过一点只能作一条垂线D.垂线段最短答案：B知识点：垂线解析：解答：概念理解型题．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为OM⊥NP，ON⊥NP，两条经过O点的直线都垂直于NP，所以选B．分析：概念理解型题，掌握经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是解答本题的关键．本题考查垂线．二、填空题（共5小题）1.当两条直线相交所成的四个角中_________，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫_________，它们的交点叫_________．答案：有一个直角另一条直线的垂线垂足知识点：垂线解析：解答：概念理解型题．两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为直角，说明这两条直线互相垂直．相互垂直的两条直线，其中一条直线叫另一条直线的垂线．两条直线互相垂直，它们的交点叫垂足．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．2.过直线上或直线外一点，_________与已知直线垂直．答案：有且只有一条直线知识点：垂线解析：解答：概念理解型题．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．3.如图所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD＝_______；若∠BOD＝90°，则AB____CD．答案：90°⊥知识点：垂线解析：解答：概念理解型题．两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．如果两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．4.如图所示，已知AO⊥BC于O，那么∠1与∠2________．答案：互余知识点：垂线；余角解析：解答：概念理解型题．两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．因为AO⊥BC于O，所以∠AOC＝90°．因为∠1＋∠2＝∠AOC．所以，∠1与∠2互余．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．5.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为__________________________________．答案：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知识点：垂线解析：解答：概念理解型题．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为CD⊥AB于D，所以自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合．分析：概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．三、解答题（共5小题）1.如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD 与∠DOE之间有怎样的关系?说明理由.答案：相等理由：∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．知识点：垂线解析：解答：由题意可知，∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．分析：掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．2.如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．答案：∠2＝60°，∠3＝30°知识点：垂线解析：解答：因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1＝∠3，因为∠1＝30°，所以∠3＝30°．因为AB⊥CD，所以∠BOD＝90°，因为∠2＋∠3＝∠BOD，所以∠2＝90°－∠3＝60°．分析：掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．3.如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，(1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①____________；②____________．(2)如果∠AOD＝40°，则①∠BOC＝_______；②OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝______度；③求∠BOF的度数．答案：（1）∠AOD＝∠BOC ∠BOP＝∠COP（2）①40°②20°③50°知识点：垂线；相交线解析：解答：由题意可知，∠AOD与∠BOC是对顶角，所以二者相等．因为OP是∠BOC的角平分线，所以∠BOP＝∠COP．由第一问得到的答案，)如果∠AOD＝40°，所以∠BOC＝40°．OP是∠BOC 的平分线，所以∠COP＝20°．因为OF⊥CD，所以∠COF＝90°，所以∠BOF＝90°－40°＝50°.分析：掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．4.如图，已知∠AOB，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.（1）若∠AOB是直角，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数；（2）猜想∠EOF与∠AOB的数量关系；（3）若∠AOB＋∠EOF＝156°，则∠EOF是多少度？答案：（1）∠EOF ＝45°（2）∠EOF ＝∠AOB（3）∠EOF ＝52°知识点：垂线解析：解答：（1）∵∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∴∠AOC ＝90°＋60°＝150°.∵OE 平分∠AOC ，∴∠EOC ＝150°÷2＝75°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝60°÷2＝30°.∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠COF,∴∠EOF ＝75°－30°＝45°. （2）∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ．∴∠COE ＝∠AOC ，∠COF ＝∠BOC ∵∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ∴∠EOF ＝∠COE －∠COF ＝∠AOC －∠BOC ＝（∠AOC －∠BOC ）＝∠AOB （3）∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠COE ＝∠AOC ，∠COF ＝∠BOC ， ∴∠EOF ＝∠AOC －∠BOC ＝（∠AOC －∠BOC ）＝∠AOB ．又∵∠AOB ＋∠EOF ＝156°， ∴∠EOF ＝52°．分析：此题难度较大，要通过角度转换．本题考查相交线所形成的角度．5.直线AB 、CD 相交于点O.(1)OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线.画出这个图形.(2)射线OE 、OF 在同一条直线上吗?(直接写出结论)(3)画∠AOD 的平分线OG .OE 与OG 有什么位置关系?并说明理由.答案：（1）如图中红线所示（2）射线OE 、OF 在同一条直线上EFD O BCA G（3）OE⊥OG 理由：∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG 平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°，∴∠DOF＋∠DOG ＝180°÷2＝90°，∴OE⊥OG．知识点：垂线；角平分线解析：解答：（1）直接画图即可．（2）因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以两角的角平分线是在同一直线上．（3）∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°，∴∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，∴OE⊥OG．分析：此题掌握了角平分的性质是解题的关键．本题考查垂线和角平分线．。

六年级相交线与平行线-垂线（难度系数0.64）一、单选题（共22题；共44分）1.下图中由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】平行线的判定2.如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（）①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】C【考点】垂线3.在下列语句中，正确的是（）．A. 在平面上，一条直线只有一条垂线;B. 过直线上一点的直线只有一条;C. 过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D. 垂线段就是点到直线的距离【答案】D【考点】垂线4.如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是( )A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 过一点可以作无数条直线D. 两点确定一条直线【答案】B【考点】垂线段最短5.如图，已知AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，且∠1=60°，则∠2=（）A. 70°B. 30°C. 40°D. 120°【答案】B【考点】垂线6.如图所示，把河水引向水池M，要向水池M点向河岸AB画垂线，垂足为N，再沿垂线MN开一条渠道才能使渠道最短．其依据是（）A. 垂线段最短B. 过一点确定一条直线与已知直线垂直C. 两点之间线段最短D. 以上说法都不对【答案】A【考点】垂线段最短7.如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇.已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A. B. C. D.【答案】C【考点】垂线段最短8.如图，在△ABC 中，AE 是和AF 分别是BC 边上的中线和高线，AD 是∠BAC 的平分线.则下列线段中最短的是（）A. AEB. ADC. AFD. AC【答案】C【考点】垂线段最短9.如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A. 两点确定一条直线B. 垂直线段最短C. 两点之间线段最短D. 三角形两边之和大于第三边【答案】B【考点】垂线段最短10.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（）A. 2.5B. 3.5C. 4D. 5【答案】A【考点】垂线段最短11.在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【考点】垂线12.如图，直线AB和CD相交于O，OE⊥AB，那么图中∠DOE与∠COA的关系是（）A. 对顶角B. 相等C. 互余D. 互补【答案】C【考点】垂线13.下列语句正确的是（）A. 两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B. 两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直C. 两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直D. 两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直【答案】C【考点】垂线14.过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（）A. 线段上B. 线段的端点上C. 线段的延长线上D. 以上情况都有可能【答案】D【考点】垂线15.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C•为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（）．A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】 D【考点】垂线16.已知OA⊥OB，∠AOB：∠AOC=3：4，则∠BOC的度数为（）A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 不同于以上答案【答案】C【考点】垂线17.已知直线AB ，CB ，l在同一平面内，若AB⊥l ，垂足为B ，CB⊥l ，垂足也为B ，则符合题意的图形可以是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】垂线18.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（）A. 两点确定一条直线B. 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C. 过一点只能作一条垂线D. 垂线段最短【答案】B【考点】垂线19.如图，已知AB⊥CD垂足为O，EF经过点O．如果∠1=30°，则∠2等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【考点】垂线20.同学们，你一定练过跳远吧！在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线（）A. 平行B. 垂直C. 成45°D. 以上都不对【答案】B【考点】垂线21.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【答案】C【考点】垂线22.下列说法中，正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，垂线最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【考点】垂线段最短二、填空题（共13题；共30分）23.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°.将求∠AGD的过程填写完整.∵EF∥AD，（________）∴∠2=________.（两直线平行，同位角相等；）又∵∠1=∠2，（________）∴∠1=∠3.（________）∴AB∥DG.（________）∴∠BAC+________=180°（________）又∵∠BAC=70°，（________）∴∠AGD=________.【答案】已知；∠3；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；已知；110°.【考点】平行线的判定与性质24.如图，补充一个适当的条件________，使AE∥BC.(填一个即可)【答案】∠B=∠DAE或(∠C=∠CAE)【考点】平行线的判定25.如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O 按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第________秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．【答案】5.5或11.5 （七年级，三角形外角等于和它不相邻的两内角的和）【考点】垂线26.如图,要从小河引水到村庄A,最短路线是过A作垂直于河岸的垂线段AD(不考虑其他因素),理由是:________.【答案】在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短【考点】垂线段最短27.如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，为了使该村人乘火车方便(即距离最短)，请你在铁路旁选一点来建火车站(位置已选好)，说明理由：________．【答案】垂线段最短【考点】垂线段最短28.如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是________，理由________．【答案】PN；垂线段最短【考点】垂线段最短29.如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是________．【答案】垂线段最短【考点】垂线段最短30.在数学课上，老师提出如下问题：如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小军同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．老师说：小军同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是________．【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短【考点】垂线段最短31.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由________．【答案】垂线段最短【考点】垂线段最短32.如图，AB与CD交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，若∠EOD=2∠BOD，求∠EOF的度数．解：∵OE⊥AB，∴∠EOB=________，∴∠EOD+________=________，又∵∠EOD=2∠BOD，∴∠BOD=________，∠EOD=________，∵OF⊥CD，∴∠FOD=________，∴∠EOF=________﹣________ =________．【答案】90°；∠BOD；90°；30°；60°；90°；90°；60°；30°【考点】垂线33.如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车距离最近，请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由：________．【答案】垂线段最短【考点】垂线段最短34.已知∠ABC的两边分别与∠DEF的两边垂直，且∠ABC=35°，则∠DEF的度数为________．【答案】35°或145°【考点】垂线35.已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC=2：3．则∠BOC的度数为________．【答案】30°或150°【考点】垂线三、解答题（共9题；共45分）36.如图，已知直线AB与CD相交于点O ，OE平分∠AOC ，射线OF⊥CD于点O ，且∠BOF=32°，求∠COE的度数．【答案】解：∵∠COF是直角，∠BOF=32°，∴∠COB=90°﹣32°=58°，∴∠AOC=180°﹣58°=122°又∵OE平分∠AOC ，∴∠AOE=∠COE=61°【考点】垂线37.如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系?说明理由.－com【答案】相等，理由：∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB 平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．【考点】垂线38.如图所示，已知AO⊥BC于O，DO⊥OE，∠1=65°，求∠2的度数．【答案】解：∵AO⊥BC于O，∴∠AOC=90°，又∠1=65°，∴∠AOE=90°﹣65°=25°．∵DO⊥OE，∴∠DOE=90°，∴∠2=∠DOE﹣∠AOE=90°﹣25°=65°【考点】垂线39.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，∠BOC﹣∠AOD=40°，求∠BOC与∠AOD的大小．【答案】解：∠AOD+∠BOC=360°﹣（∠BOC﹣∠AOD）=360°﹣90°﹣90°=180°，又∵∠BOC﹣∠AOD=40°，∴∠BOC=110°，∠AOD=70°【考点】垂线40.如图所示，射线OM与直线交于点O，OM平分∠AOB，求∠AOM度数，并用符号表示OM与AB的位置关系．【答案】解：∵∠AOB=180°，OM平分∠AOB，∴∠AOM= ∠AOB= ×180°=90°，∴OM⊥AB．【考点】垂线41.如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么？（保留作图痕迹，不写作法和证明）理由是：▲.【答案】解：垂线段最短。

垂线课后练习一、选择题1.如图所示，下列说法不正确的是( )A. 线段BD是点B到AD的垂线段B. 线段AD是点D到BC的垂线段C. 点C到AB的垂线段是线段ACD. 点B到AC的垂线段是线段AB2.如图，把河AB中的水引到C，拟修水渠中最短的是( )A. CMB. CNC. CPD. CQ3.如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF.则∠GEB=( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°4.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )A. ∠AOD=∠BOCB. ∠AOE+∠BOD=90°C. ∠AOC=∠AOED. ∠AOD+∠BOD=180°5.点P为直线l外一点，点A，B在直线l上，若PA=5 cm，PB=7 cm，则点P到直线l的距离( )A. 等于5 cmB. 小于5 cmC. 不大于5 cmD. 等于6 cm6.如下图，在平面内过点P作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条7.如图，∠1=15°，AO⊥OC，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为()A. 75°B. 15°C. 105°D. 165°8.点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=6 cm，则点P到直线m的距离()A. 等于5 cmB. 等于4 cmC. 小于4 cmD. 不大于4 cm9.如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是()A. 35°B. 40°C. 45°D. 60°10.下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是()A. B.C. D.11.如图，射线OC⊥直线AB于点O，∠1=∠2，则图中互为余角的共有( )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对12.如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是( )A. 线段CA的长B. 线段CD的长C. 线段AD的长D. 线段AB的长二、填空题13.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点O，∠COE：∠BOD=2：3，则∠AOD=______．14.如下图，∠AOE=30°，OB⊥OA，OE⊥直线CD于O点，∠BOD的度数为________，∠BOC的度数为________．15.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为．16.如图，A，B，C三点在一条直线上．若CD⊥CE，∠1=23°，则∠2的度数是．三、解答题17.如下图，直线AB与CD交于点O，OE在∠AOD内，∠AOE:∠COB=2:7，OD平分∠EOB．(1)求∠AOC的度数；(2)过点O作OF⊥OE，求∠BOF的度数．18.如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11．(1)求∠COE的度数；(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．19.如下图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC:∠AOD=1:5，求∠EOF的度数．答案和解析1.【答案】B【解答】解：A 、线段BD 是点B 到AD 的垂线段，故A 正确；B 、线段AD 是点A 到BC 的垂线段，故B 错误；C 、点C 到AB 的垂线段是线段AC ，故C 正确；D 、点B 到AC 的垂线段是线段AB ，故D 正确；2.【答案】C【解析】解：如图，CP ⊥AB ，垂足为P ，在P 处开水渠，则水渠最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．3.【答案】B【解析】解：∵∠FEA =40°，GE ⊥EF ，∴∠CEF =180°−∠FEA =180°−40°=140°，∠CEG =180°−∠AEF−∠GEF =180°−40°−90°=50°，∵射线EB 平分∠CEF ，∴∠CEB =12∠CEF =12×140°=70°，∴∠GEB =∠CEB−∠CEG =70°−50°=20°，4.【答案】C【解答】解：A 、∠AOD 与∠BOC 是对顶角，所以∠AOD =∠BOC ，此选项正确；B 、由EO ⊥CD 知∠DOE =90°，所以∠AOE +∠BOD =90°，此选项正确；C 、由已知条件，不能得到∠AOC 与∠AOE 相等，此选项错误；D 、∠AOD 与∠BOD 是邻补角，所以∠AOD +∠BOD =180°，此选项正确．5.【答案】C【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∵PA <PB ，∴点P 到直线l 的距离≤PA ，即点P 到直线l 的距离不大于5cm ．6.【答案】B【解答】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1．故选B．7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】A【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，即∠2+∠1=90°，又∠1=55°，∴∠2=35°，10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】126°【解析】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∴∠COE+∠BOD=90°，∵∠COE：∠BOD=2：3，∴∠BOD=54°，∴∠AOD=126°．14.【答案】30°；150°【解析】解：由OB⊥OA，OE⊥CD得：∠AOE+∠BDE=90°，∠BOD+∠BOE=90°，∴∠BOD=∠AOE=30°；∵CD是直线，即∠COD=180°，∴∠BOC=180°−∠BOD，即∠BOC=180°−30°=150°15.【答案】50°16.【答案】67°【解答】解：∵CD⊥CE，∴∠ECD=90°，∵∠ACB=180°，∴∠2+∠1=90°，∵∠1=23°，∴∠2=90°−23°=67°，故答案为67°．17.【答案】解：(1)设∠AOE=2x，则∠AOD=∠BOC=7x，∴∠DOE=5x．∵OD平分∠EOB，∴∠DOB=∠DOE=5x，∠AOB=2x+5x+5x=180°，∴x=15°，∴∠AOC=∠DOB=5x=75°；(2)当OF在直线OE的下方时，如图所示：∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，∵∠AOE=2x=30°，∴∠AOF=∠EOF−∠AOE=90°−30°=60°，∠BOF=180°−∠AOF=120°；当OF在直线OE的上方时，如图所示：∵OF ⊥OE ，∴∠EOF =90°，∵∠EOB =10x =150°，∴∠BOF =∠EOB−∠EOF =150°−90°=60°．故∠BOF =120°或60°．18.【答案】解：(1)∵∠AOC ：∠AOD =7：11，∠AOC +∠AOD =180°，∴∠AOC =718×180°=70°，∴∠DOB =∠AOC =70°，又∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOE =12∠DOB =12×70°=35°，∴∠COE =180°−∠DOE =180°−35°=145°，(2)∵OF ⊥OE ，∴∠EOF =90°，∴∠FOD =90°−∠DOE =90°−35°=55°，∴∠COF =180°−∠FOD =180°−55°=125°．19.【答案】解：(1)OF 与OD 的位置关系：互相垂直；理由：∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOF =∠FOE ，∵∠DOE =∠BOD ，∴∠AOF +∠BOD =∠FOE +∠DOE =12×180°=90°，∴OF 与OD 的位置关系：互相垂直；(2)∵∠AOC ：∠AOD =1：5，∴∠AOC =16×180°=30°，∴∠EOD =∠BOD =∠AOC =30°，∴∠AOE =120°，∴∠EOF =12∠AOE =60°．。

绝密★启用前一、单选题1．如图，能表示点到直线的距离的线段共有()A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】D【解析】根据点到直线的距离定义，可判断：AB表示点A到直线BC的距离；AD表示点A到直线BD的距离；BD表示点B到直线AC的距离；CB表示点C到直线AB的距离；CD表示点C到直线BD的距离．共5条．故选D．2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是()A．垂直的定义B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【解析】【分析】根据垂线段最短的性质解答．【详解】老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，是基础题．3．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．70°【答案】C【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选C．考点：1．余角和补角；2．垂线．4．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35°B．40°C．45°D．60°【答案】A【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°.∵∠1=55°，∴∠2=35°.故选A．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用.5．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【分析】根据垂线段最短即可得．【详解】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，掌握体育常识和垂线段公理是解题关键．6．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】B【分析】由垂线段最短可解．【详解】由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．7．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】A【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．【详解】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选A ．【点睛】考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．8．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB ，∠BOD ＝45°，则∠COE 的度数是( )A ．125°B ．135°C ．145°D ．155° 【答案】B【解析】试题解析：,OE AB ⊥90,AOE ∴∠=又45,BOD ∠=︒45,AOC ∠=︒∴4590135.COE AOC AOE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故选B.9．如图，要把河中的水引到水池A 中，应在河岸B 处（AB ⊥CD ）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）A ．两点之间线段最短B ．点到直线的距离C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短【答案】D【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【详解】 要把河中的水引到水池A 中,应在河岸B 处(AB ⊥CD )开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，故选D.【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短.10．如图，直线AD，BE 相交于点O，CO⊥AD 于点O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°【答案】A【分析】由CO⊥AD 于点O，得∠AOC=90︒，由已知∠AOB=32︒可求出∠BOC的度数，利用OF 平分∠BOC可得∠BOF=1BOC2∠，即可得∠AOF 的度数.【详解】∵CO⊥AD 于点O，∴∠AOC=90︒，∵∠AOB=32︒，∴∠BOC=122︒，∵OF 平分∠BOC，∴∠BOF=1BOC612∠=︒，∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=61︒-3229︒=︒.故选A.【点睛】本题考查垂线，角平分线的定义.11．如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC 长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（）A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】【分析】根据方位角的定义，结合平行线，可得∠ABG＝48°再结合∠CBE＝42°，可得∠ABC＝90°；再根据点到直线的距离，可以得到线段AB的长度就是点A到BC的距离，由此可以确定选项.【详解】由分析可得∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°∴A到BC的距离就是线段AB的长度.∴AB＝8千米【点睛】本题主要考查方位角的知识和平行线的性质以及点到直线的距离，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE＝36°，则∠BOD＝（）A．36°B．44°C．50°D．54°【答案】D【解析】试题分析：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，又∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠AOE=36°，∴∠BOD=54°，故选D．考点：垂线．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是( )A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．15．在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据垂线段最短得出结论．【详解】根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3．故选C．本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．16．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )A．30°B．34°C．45°D．56°【答案】B【解析】试题分析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．考点：垂线．17．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=30°，则∠BOC=（）A．150°B．140°C．130°D．120°【答案】D【分析】运用垂线，邻补角的定义计算。