高中数学第二章变化率与导数22导数的几何意义学案北师大版2-2.

第2章 变化率与导数导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝( )A ．2f ′(x )B ．12f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )C [lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．]导数的几何意义的应用3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)∵点P (1,1)在y ＝1x上，∴k ＝y ′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数(1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x－2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx .思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y ＝(1＋x 2)cos x ， ∴y ′＝2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x ) ＝2x cos x －sin x －x 2sin x . (2)∵y ＝ln x x－2x ，∴y ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x2－2x ln 2． (3)y ＝e u ，u ＝－ax 2＋bx .y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－ax 2＋bx )′＝e u·(－2ax ＋b )＝(－2ax ＋b )e －ax 2＋bx .运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x； (3)y ＝1＋ln 2x .[解] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝3(x 32)′－x ′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x . y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v ·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x ·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f (x )＝ax ＋x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f (x )的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，则依题意f ′(2)＝0，f (2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1， 即切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x，由题意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P (1,1)．。

2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝()A.4B.－4C.－2D.2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D.【答案】D2.(2016·衡水高二检测)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则() A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)＝0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在【解析】 切线的斜率为k ＝－2，由导数的几何意义知f ′(x 0)＝－2<0，故选C.【答案】C3.已知曲线f (x )＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( )A.(1，1)B.(－1，1)C.(1，1)或(－1，－1)D.(2，8)或(－2，－8) 【解析】 因为f (x )＝x 3，所以Δy Δx ＝（x ＋Δx ）3－x3Δx ＝[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1.故点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1).【答案】C4.(2016·银川高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l的方程为() A.4x －y －4＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0 【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵ΔyΔx ＝（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】A5.曲线f (x )＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( ) A.2 B.－4 C.3D.14 【解析】 因为Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x2＋x·Δx ＝－1x2， 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为 k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4. 【答案】B 二、填空题6.(2016·太原高二检测)若f ′(x 0)＝1，则f （x0－k ）－f （x0）2k＝__________. 【解析】f （x0－k ）－f （x0）2k＝－12f （x0－k ）－f （x0）－k ＝－12f ′(x 0)＝－12. 【答案】 －12 7.曲线f (x )＝x 2－2x ＋3在点A (－1，6)处的切线方程是__________. 【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为A (－1，6)，所以斜率k ＝f ′(－1)＝（－1＋Δx ）2－2（－1＋Δx ）＋3－（1＋2＋3）Δx ＝(Δx －4)＝－4， 所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝0 8.若曲线f (x )＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________.【解析】 设P (x 0，y 0)，则 f ′(x 0)＝（x0＋Δx ）2＋2（x0＋Δx ）－x20－2x 0Δx ＝(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.＝(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.。

导数的几何意义★ 学习目标1．通过函数的图像直观理解导数的几何意义。

2．拓展曲线在一点的切线的概念的理解。

3．会求简单函数在某点的切线方程。

★ 学法指导经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。

★ 知识点归纳1．函数()x f y =在0x 处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；2．函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为： ； ★ 重难点剖析重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方法；难点：理解导数的几何意义；剖析：函数()x f y =在0x 处的导数的几何意义，就是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k =()0x f '，函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=- 。

函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。

★ 典例分析 例1 已知曲线331)(x x f y ==上一点)38,2(P ； 求（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程；分析：求点P 处的切线的斜率，也即求函数在2=x 处的导数值。

变式练习1求曲线x x x f y 32)(2-==在点)0,0(A 处的切线方程。

例2 在曲线2)(x x f y ==上过哪一点的切线（１）平行于直线54-=x y ；（２）垂直于直线0562=+-y x ；分析：过点),(00y x P 的切线的斜率为)(0x f k '=，利用斜率和导数的关系建立相应的关系式。

变式练习2直线)0(≠+=a a x y l ：和曲线C ：1)(23+-==x x x f y 相切．求切点的坐标及a 的值；★ 基础训练1．已知曲线3313-==x x f y )(上一点)25,1(-P ，则过点的切线的倾斜角为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο135 D ．ο1652．已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（ ）A ．4B ．16C ． 8D ． 23．曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（ ）A ．47+=x yB ．27+=x yC ．2-=x yD ．4-=x y4．已知曲线3x y =上过点)8,2(P 的切线方程为01612=--ay x ，则实数a 的值（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，则曲线与切线相切的切点的坐标为（ ）A ．()8,1-B ．()8,1- 或()12,1--C ．()12,1--D ．()12,1- 或()8,1--6．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线★ 能力提高1．已知点()1,0-M 、()1,0F ,过点M 的直线l 与曲线44313+-=x x y 在2=x 处的切线平行。