第十章 含有耦合电感的电路重点：1． 互感的概念及意义2． 具有耦合电感的正弦交流电路计算 3． 理想变压器的变量关系10.1 互感10.1.1 有关物理知识的复习1．电感与楞次定理对于单个无限长（磁通均匀）密绕（各匝均与相同磁通交链）线圈来说，线圈的磁通仅与其本身交链，与电流的方向关系满足右手螺旋定则。
如果线圈周围的媒质为非铁磁物质，磁链（= 线圈匝数⨯磁通）与电流的大小关系为线性关系，在理想情况下（线圈无损耗R 、无电场C 作用时），可以将这种线圈用电感元件模型来描述：Li =ψ。
此时的L 也称为“自感”。
2．楞次定理当电感中的电流随着时间变化时，在电感两端会产生感应电压。
自感电压的参考方向选定为与电流方向关联，因此，其方向也就与磁通方向满足右手螺旋定则，其大小为：dt di Ldtd u =ψ=10.1.2 互感的引入互感的物理意义1111i L =ψ11ψ变化时dtdi L dtd u 111111=ψ=1111i L =ψ（111Φ=N ） 222222222i L N =Φ=ψ2i 变化时dtdi L dt d u 222222=ψ=（212Φ=N ） 12Φ21212112i M N =Φ=ψΦψ12121i M =ψ 2i 变化时dt di M dt d u 2121212=ψ= 1变化时dtdi Mdtd u 1212121==当线圈2形成闭合回路ΦΦΦ图10-1 密绕线圈的磁通与电流dt di M dtd u dt di Mdt d u 21212121212121=ψ==ψ=10.1.3 互感1．定义由线圈一中的电流1i 在线圈二中引起的磁链21ψ之间的关系呈线性时，它们之间的比值为常数，定义它为互感12121i Mψ=；同理由线圈二中的电流2i 在线圈一中引起的磁链12ψ之间的关系呈线性时，它们之间的比值为常数，定义它为互感21212i M ψ=。
2．符号及单位符号—M ，单位—亨利H 。
由于互感具有互易性质，即1221M M =，当只有两个线圈耦合时，略去下标，统一使用M 。
3．同名端1）由于施感电流与互感电压具有一定的一一对应的方向关系，因此在工程上用同名端（“∆”或“∙”）标注上述对应关系。
如下图（a ）中，1、2为同名端，图（b ）中，1、2’为同名端。
(a) (b) (a)(b)2）实验判定用增大的施感电流注入线圈，则与之耦合的线圈上电位升高的一端为其同名端。
4．互感符号的判定根据同名端即两个电感电流的参考方向来判定。
原则判断是当两个电感元件的电流参考方向均由互感的同名端流入（或流出）时，0>M ；当两个电感元件的电流参考方向一个由同名端流入，另一个由同名端流出时，0<M 。
如下图中，01>M ，02<M ，03<M ，04>M4．耦合系数k工程上定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义两个线圈的互感磁通链与自感磁通量比值的几何平均值为耦合系数，记为k ：1||||2122111222211112≤=⋅=ψψ⋅ψψ=L L M i L Mi i L Mi k10.2 具有耦合电感的电路计算10.2.1 方法一 ——直接列写方程22’2+ _1 U 23U2121II U 11 M j L j ω+ω= 3132121I II U 11 M j M j L j ω+ω+ω= 121222I I U M j L j ω+ω=323121222I I I U M j M j L j ω+ω+ω=332231333I I I U M j M j L j ω-ω-ω-=其中：1221M M=1221>=M M ，3113<=M M ，03223<=M M10.2.2 方法二 ——互感消去法如图所示的电路部分可以用相应的消去了互感的电路来取代。
－|－|L 1 L 210.2.3 例题1．互感元件串联后，其等效电感值与两线圈的连接方式有关。
下图(a)所示的情况为顺接串联，图(b)为反接串联，分别求其等效电感。
+顺接时I I I I I I U )2()2()()(212121M L L j M j L j L j M j L j M j L j ++ω=⋅ω+ω+ω=ω+ω+ω+ω=，所以等效电感为：M L L L 221++=反接时I I I I I I U )2()2()()(212121M L L j M j L j L j M j L j M j L j -+ω=⋅ω-ω+ω=-ω+ω+-ω+ω=，所以等效电感为：M L L L221-+=因为0≥L ，所以0221≥±+M L L ，即：)(2121L L M +≤2．互感元件并联后，其等效电感值也与两线圈的连接方式有关。
分别求下图的等效电感。
(a)(b)(a)中，⎪⎩⎪⎨⎧=+ω+ω=ω+ω=I I I I I I I U 21122211M j L j M j L j ，所以：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-ω-=-ω-=)()()()(2121221221L L M M L j L L M M L j U I U I ，这样：U I )()2(21221L L M M L L j -ω-+=，M L L M L L j M L L j L L M Z 2)2()(2122121212-+-ω=-+-ω==I U ，等效电感为：M L L ML L L 221221-+-=(b)中，⎪⎩⎪⎨⎧=+ω-ω=ω-ω=I I I I I I I U 21122211M j L j M j L j ，所以：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-ω+=-ω+=)()()()(2121221221L L M M L j L L M M L j U I U I，这样：U I )()2(21221L L M M L L j -ω++=，M L L M L L j M L L j L L M Z 2)2()(2122121212++-ω=++-ω==I U ，等效电感为：M L L ML L L 221221++-=因为0≥L ，而0221≥±+M L L ，所以0221≥-M L L ，即：21L L M ≤。
3．已知：电路如图所示，tV u ω=cos 230122’2求：（1）付边开路时的电压（2）付边短路时的电流解：（1）付边开路，2I 为零，⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅+⋅=⋅=⋅+⋅=102010301030222jjjjjj11111IIIUIIIU，即：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=︒∠103302jj11IUI，所以：⎪⎩⎪⎨⎧=-=102UI1j即tVuω=cos2102（2）付边短路，2U 为零，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+⋅=︒∠=⋅+⋅=2010301030222jjjjIIUIIU111，所以⎪⎩⎪⎨⎧︒∠==-=906.06.02.12jjII1即Ati)90cos(26.02︒+ω=4．已知：电路如图所示，其中电源Vtu os）301000sin(20+=求：L1I ，2LIi10Ω20m HΩ-j方法一方法二解：方法一：直接列写方程23LL1III+=)(2211LL1L1L1L1IIIIIU-+++=RjXjXRMLS)(22222LL1LLIIII-=+RjXjXML即：o2302020)3030(∠=-+LL1IIj1220)2020(LLII=+j解得：o24.28404.0-∠=L1I ，o237.81404.0-∠=LI方法二：去耦法去耦电路如图所示。
所以可以直接得出结论：)(24.28404.0121630103020)1020//(203010ooA jj j j j S-∠=+++∠=-++=U I L1)(37.81404.0422624.28404.020********oo12A jjj j -∠=+-∠=+--⨯=L L I I10.3 空心变压器和理想变压器10.3.1空心变压器空心变压器即为能够用自感与互感模型抽象的一种实际器件。
其模型为2+ _2’2UR L j X L在理解原边、副边、原边回路阻抗、副边回路阻抗，反映（引入）阻抗，原副边等效电路等基本概念的基础上，用前面有关互感的计算方法来解决其分析。
本节着重介绍有关理想变压器的知识。
10.3.2理想变压器一、理想变压器的符号定义变压器的原副线圈的匝数比为变比：21/N N n =二、理想变压器的条件理想变压器是空心变压器在一定理想条件下的抽象。
从理论上来说条件有三： 1．变压器无损耗2．全耦合——耦合系数121==L L M k3．1L 、2L 、M 为无穷大，但是21/L L 为常数且等于变比，即n L L =21/ 从实际上讲，采用高导磁率的铁磁材料作为铁心，尽量增加线圈匝数，且线圈尽量紧密耦合的变压器可以使用理想变压器模型。
三、理想变压器的变量关系1．电压关系：nu u =212．电流关系n i i 121-=+ +u u 2_n ：3．阻抗关系221||||n ZZ=四、理想变压器的应用1．应用变压关系——供配电系统中的变压器：如三相变压器，调压器（实验中，实际上是一种自耦变压器）2．应用变流关系——测量中常常用到的电流互感器（测大电流，保证安全）和测流钳（不必断开电路，且可以不必固定在一处）。
3．应用变阻抗关系——电子技术中常用它进行阻抗匹配。
uZnZ⋅=2'在前面讲到最大功率传输的时候，我们曾经提到只改变负载的大小不改变负载的性质时获得的最大功率传输，就是用理想变压器来实现的。
