多岛屿曲面的刀具轨迹规划算法研究_李万军

基于Voronoi图的复杂曲面加工刀具轨迹规划王军;郭保苏;何志新【摘要】刀具轨迹规划算法是数控加工的核心技术,是多轴联动机床数控加工的重要基础.本文针对复杂曲面直接偏置法生成环形刀轨时经常出现轮廓局部自交与全局自交问题,将Voronoi图理论应用于平面多连通域环切刀具轨迹规划中.首先,分析了平面多连通域特点,提出了一种适合于多连通域Voronoi图的分治波阵面传播算法,该算法首先将多连通域看成若干单连通域的组合,采用波阵面传播算法构造各单连通域,即构建外轮廓和孤岛Voronoi图,然后将这些Voronoi图进行缝合,缝合线包括内外轮廓Voronoi图的缝合以及内轮廓相互之间Voronoi图的缝合.之后,基于构建的Voronoi图进行加工区域划分,然后在各小区域即区内保持偏置量一致的条件下依次对各边界轮廓作偏置来生成环形刀具轨迹,为使刀具轨迹满足实际加工的需要,对环间最优切削行距进行了分析和规划.最后,以核电站水室封头零件的外表面粗加工为例,验证了算法的有效性.本研究不仅为具有多连通域特点的复杂零件加工提供刀具轨迹规划算法,同时也为进一步开发数控软件提供技术支持.【期刊名称】《燕山大学学报》【年(卷),期】2018(042)006【总页数】8页(P479-485,500)【关键词】Voronoi图;刀具轨迹;平面多连通域【作者】王军;郭保苏;何志新【作者单位】燕山大学机械工程学院,河北秦皇岛066004;燕山大学机械工程学院,河北秦皇岛066004;燕山大学机械工程学院,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TH1640 引言数控加工刀具轨迹规划是CAM软件的核心技术，也是数控加工领域的研究重点。

根据加工阶段，数控加工刀具路径可以划分为粗加工路径和精加工路径。

粗加工路径规划的主要任务是最大限度地去除毛坯的多余材料，其目标是提高生产效率。

目前，大多数复杂曲面零件包括型腔零件的粗加工均采用层切法[1- 4]，即刀具按照分层铣削的方式将多余材料从毛坯上去除的过程，在层切平面上，刀具轨迹的走刀形式主要有行切法、环切法、螺旋线法以及摆线法[5-8]。

摘要零文鬟要骚究了球蠹数据隧罄缀数核馕诗泼及多维密爱黼羧筵诗露多缝嚣整函数估计问题．当统计数据只包含有方向，它可以表示为欧氏空间中单位球面上的点，这种数据舔之舞方肉数蕹域球瑟数器。

炭菰孛鬻毒邃撵翡壤影，黧凌瓣鬣察刭豹数据是以方向的形式或者以向量的形式缩出但却其有朱知的度量单位，因而只知道它们的方向，这时我们观察到的就是球面数据．通常这样的数据在生物学，地质学，医药学，气象学，生态学寝其谴许多镁域孛都会遇妥．鸟在敷飞点静飞费努费，地层断裂面的走向，动物在受到刺激时产生的寇向运动反应。

风向和洋流的方向以及生物带律等都是烬型的例子．Ｗａｔｓｏｎ曾指出，在从她瑷闻题直到动物行为研究的广泛领蠛孛，入｛『ｊ在科研翻察黢孛，经常会遇裂这释数据．磊魏辩溶霹数据的研究鼹有很强的察际意义．对予壤瑟数据，零文系统遮讨论了球萄数掇薅癌菌数接靛诗超题，§≯设诗变量取值于单位球面上的回蜉估计问题。

这种涉及变量之间褪蕊关系的回归估计问题具有辩匿要的实际意义．霹予多维密整爨数蘩诗菇及多终嚣整垂数接诗，本文蓄次疆裹了囊蘧一缝棱函数构造多维密度茵数～个新估计以及利用一维核函数构造多维回归函数一个新估计的方法．主要思想是首先利用球极投影变换将取值于Ｒｄ缀间上，具有概率密废函数／（ｘ）秘疆撬稳麓Ｘ变换爨驭篷于擎经球溪％÷ｉ＝｛ｙ：Ｙ∈∥¨，｛ＩＹｌ｜＿ｌ≥上，具有概率密度函数ｇ（ｙ）的随机向量Ｙ．其次建立多维密度函数ｆ（ｘ）与球面数据密度灞数９（ｙ）的关系．最后利用球面数据密度函数核估计（一维核函数）构造了多缝密度函数ｆ（ｘ）一个薪鹩嵇诗，穗之蠹球搬投影交换孩密度蘩诗。

穗疲豹，利用一缎核函数构造了多维回归函数ｍ（ｘ）一个新的估计，称之为球极投影变换核回归依诗．关于这两个耨构造的传计，我们也获得了它们的若干极限性餍．北京工业大学理学博士学位论文巽体鹣说，本论文共凑五部努缓戎＋第１牵是绪论，麓瑟淹遴了论文碜｝究赞景，研究内容以及有关的概念。

利用ABF﹢﹢保角参数化的网格曲面刀轨规划I. 前言A. 刀具轨迹规划的重要性B. ABF++保角参数化的优势C. 论文主旨和组织结构II. 网格曲面和保角参数化A. 网格曲面的定义和特点B. 保角参数化的原理和方法C. ABF++保角参数化的改进和应用III. 刀具轨迹规划模型A. 刀具轨迹规划的数学模型B. ABF++保角参数化在刀具轨迹规划中的应用C. 刀具轨迹规划的算法实现IV. 实验结果分析A. 实验环境和数据集B. ABF++保角参数化在刀具轨迹规划中的性能比较C. 实验结果的分析和解释V. 结论和展望A. 实验结果的总结和归纳B. ABF++保角参数化的应用前景和挑战C. 下一步研究的方向和计划注：ABF++是一种参数化方法，用于将计算机图形中的三角网格参数化为可展开的、均匀的平面状网格，并保持较大的角度误差。

I. 前言A. 刀具轨迹规划的重要性在数控加工领域中，刀具轨迹规划是非常重要的任务。

刀具通过预先设计好的轨迹在零件表面上进行加工，将原始材料转化为精密加工的部件。

刀具轨迹规划不仅关系到加工的精度和效率，也关系到加工的成本和质量。

因此，研究有效而高效的刀具轨迹规划方法对于优化制造流程，提高生产效率和降低成本至关重要。

B. ABF++保角参数化的优势在刀具轨迹规划中，保角参数化是一种常用的方法之一。

保角参数化是将计算机图形中的三角网格参数化为可展开的、均匀的平面状网格，并保持较大的角度误差。

在保角参数化中，ABF++是一种非常有效的保角参数化方法。

它可以在参数化过程中保持曲面的拓扑结构和尽可能保持曲面的形状，从而减少计算误差和减少扭曲程度。

因此，ABF++保角参数化在刀具轨迹规划中具有很多优势，可以提高刀具轨迹规划的精度和效率。

C. 论文主旨和组织结构本文主要研究利用ABF++保角参数化的网格曲面刀轨规划的方法和应用。

本文的主要工作是规划刀具的加工路径，以便在曲面上实现高质量的精度。

第三讲 §5.3 平面自治系统的基本概念(6课时)一、教学目的：理解相平面、相轨线和相图的概念；掌握掌握平面自治系统的三个基本性质及应用；理解常点、奇点与闭轨的有关概念。

二、教学要求：理解相平面、相轨线和相图的概念；掌握掌握平面自治系统的三个基本性质；理解常点、奇点与闭轨的有关概念。

三、教学重点：平面自治系统的三个基本性质及应用。

四、教学难点：相平面、相轨线和相图等概念。

五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

七、教学过程：5.3 平面自治系统的基本概念本节考虑平面自治系统(,)(,)x P x y y Q x y =⎧⎨=⎩（5.18） 以下总假定函数P (x,y ),Q (x,y )在区域:,()D x H y HH <<≤+∞上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.5.3.1 相平面、相轨线与相图我们把xOy 平面称为(5.18)的相平面，而把(5.18)的解 x = x (t )，y = y (t )在xOy 平面上的轨迹称为(5.18)的轨线或相轨线. 轨线族在相平面上的图象称为(5.18)的相图. 易于看出，解x = x (t )，y = y (t )在相平面上的轨线，正是这个解在(t ,x ,y )三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.我们以后会看到，用轨线来研究(5.18)的解通常要比用积分曲线方便得多.下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系.例1xy y x =-⎧⎨=⎩很明显，方程组有特解cos ,sin x t y t ==.它在(t , x , y )三维空间中的积分曲线是一条螺旋线(如图5-3(a ))，它经过点(0，1，0).当t 增加时，螺旋线向上方盘旋.上述解在xOy 平面上的轨线是圆221x y +=，它恰为上述积分曲线在xOy 平面上的投影.当t 增加时，轨线的方向如图5-3(b )所示.另外，易知对于任意常数α，函数cos(),sin()x t y t αα=+=+也是方程组的解.它们的积分曲线是经过点(-α,1,0)的螺旋线. 但是，它们与解cos ,sin x t y t ==有同一条轨线图5-3同时，我们可以看出，cos(),sin()x t y t αα=+=+的积分曲线可以由cos ,sin x t y t ==的积分曲线沿t 轴向下平移距离a 而得到.由于a 的任意性，可知轨线221x y +=对应看无穷多条积分曲线.为了画出方程组在相平面上的相图，我们求出方程组通解.cos()sin()x A t y A t αα=+⎧⎨=+⎩ 其中A ，a 为任意常数.于是，方程组的轨线就是圆族(图5-3（b ）)， 特别，x = 0, y = 0是方程的解，它的轨线是原点(0,0).O 5.3.2 平面自治系统的三个基本性质 性质1. 积分曲线的平移不变性设x = x (t )，y = y (t )是自治系统(5.18)的一个解，则对于任意常数τ，函数x = x (t +τ), y = y (t +τ)也是(5.18)的一个解. 事实上，我们有恒等式()()((),())()()()((),())()dx t dx t P x t y t dt d t dy t dy t Q x t y t dtd t ττττττττττ++≡≡+++++≡≡+++由这个事实可以推出：将(5.18)的积分曲线沿t 轴作任意平移后，仍然是(5.18)的积分性质2. 轨线的唯一性如果P (x, y )，Q (x ,y )满足初值解的存在与唯一性定理条件，则过相平面上的区域D 的任一点000(,)P x y =，(5.18)存在一条且唯一条轨线.事实上，假设在相平面的P 0点附近有两条不同的轨线段l 1和l 2都通过0P 点．则在(t,x, y )空间中至少存在两条不同的积分曲线段1Γ和2Γ (它们有可能属于同一条积分曲线)，使得它们在相空间中的投影分别是l 1和l 2 (见图5-4)，这时不妨设t 1< t 2．现在把1Γ所在的积分曲线沿t 轴向右平移21t t -，则由性质1知道，平移后得到的 Γ仍是系统(5.18)的积分曲线，并且它与2Γ至少有一个公共点．因此，利用解的唯一性， Γ和2Γ应完全重合，从而它们在相空间中有相同的投影．另一方面，1Γ与在 Γ相空间显然也有相同的投影，这蕴含1Γ和2Γ在相平面中的0P 点附近有相同的投影，而这与上面的假设矛盾.性质1和性质2说明，相平面上每条轨线都是沿t 轴可平移重合的一族积分曲线的投影，而且只是这族积分曲线的投影.此外，由性质1同样还可知道，系统(5.18)的解0000(,,),(,,)x t t x y t t x 的一个平移000000(,0,,),(,0,,)x t t x y y t t x y --仍是(5.18)的解，并且它们满足同样的初始条件，从而由解的唯一性知000000(,0,,)(,,,)x t t x y x t t x y -=，000000(,0,,)(,,,)y t t x y y t t x y -=因此，在(5.18)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻00t =的解，并简记为00000000(,,)(,0,,),(,,)(,0,,)x t x y x t x y y t x y y t x y == 5.3.3 常点、奇点与闭轨现在考虑自治系统(5.18)的轨线类型.显然，(5.18)的一个解x = x (t ),y = y (t )所对应的轨线可分为自身不相交和自身相交的两种情形.其中轨线自身相交是指，存在不同时刻12,t t ，使得1212()(),()()x t x t y t y t ==．这样的轨线又有以下两种可能形状：(1) 若对一切(.)t ∈-∞+∞有0000(),(),(,)x t x y t y x y D ≡≡∈，则称0x x =，0y y =为(5.18)的一个定常解.它所对应的积分曲线是(t, x, y )空间中平行于t 轴的直线0x x =，0y y =. 对应此解的轨线是相平面中一个点00(,)x y . 我们称00(,)x y 为奇点 (或称平衡点).显然00(,)x y 是(5.18)的一个奇点的充分必要条件是0000(,)(,)0P x y Q x y ==不是奇点的相点称为常点．(2) 若存在T ＞0，使得对一切t 有 ()(),()()x t T x t y t T y t +=+=,则称(),()x x t y y t ==为(5.18)的一个周期解，T 为周期.它所对应的轨线显然是相平面中的一条闭曲线，称为闭轨.由以上讨论和(5.18)轨线的唯一性，我们有如下结论：自治系统(5.18)的一条轨线只可能是下列三种类型之一：(1)奇点， (2)闭轨， (3)自不相交的非闭轨线.平面定性理论的研究目标就是：在不求解的情况下，仅从(5.18)右端函数的性质出发，在相平面上描绘出其轨线的分布图，称为相图.如何完成这一任务呢?现在我们从运动的观点给出(5.18)另一种几何解释：如果把(5.18)看成描述平面上一个运动质点的运动方程，那么(5.18)在相平面上每一点(x , y )确定了一个速度向量()()(,)(,,,)Vx y P x y Q x y =因而，(5.18)在相平面上定义了一个速度场或称向量场. 而(5.18)的轨线就是相平面上一条与向量场(5.20)相吻合的光滑曲线.这样积分曲线与轨线的显著区别是：积分曲线可以不考虑方向，而轨线是一条有向曲线，通常用箭头在轨线上标明对应于时间t 增大时的运动方向.进一步，在方程(5.18)中消去t ，得到方程(,)(,)dy Q x y dxP x y（5.21）由(5.21)易见，经过相平面上每一个常点只有唯一轨线，而且可以证明：常点附近的轨线拓扑等价于平行直线.这样，只有在奇点处，向量场的方向不确定.因此，为了弄清(5.18)的相图，首先要从奇点入手，弄清楚奇点附近的轨线分布情况.其次，还要弄清(5.18)是否存在闭轨，因为一条闭轨线可以把平面分成其内部和外部，再由轨线的唯一性，对应内部的轨线不能走到外部，同样对应外部的轨线也不能进入内部.最后，如果(5.18)在全平面上有定义，还要分析(5.18)在平面的无穷远处是否存在奇点.通过以上三个步骤，我们就可以定性地描绘出(5.18)在全平面上的相图了，通常称为(5.18)的全局结构.。

基于最小有向距离算法的刀具轨迹计算赵萍;何丽辉;赵波【摘要】This article aiming at the problem that the tool path calculation and interference detection are complicated in complex surface machining, the algorithm of minimal orientation-distance is applied to complex surface machining. Based on the principle analysis of curved surface machining, the problem of obtain the cutter contact is converted into mathematical programming problem. Experiments prove this method is adaptive to a wide range of surface and the calculation is fast, so it can be used in complex surface machining.%本文针对复杂曲面加工中存在的刀具轨迹计算和干涉判断复杂的问题，将最小有向距离算法应用于复杂曲面的加工中。

通过对曲面加工原理分析，将求刀触点的问题转化为数学规划问题。

实验证明该方法有对曲面适应范围广，计算量小、计算速度快等特点，适用于复杂曲面的加工。

【期刊名称】《辽宁省交通高等专科学校学报》【年(卷),期】2012(014)002【总页数】2页(P15-16)【关键词】曲面加工;最小有向距离算法;刀具轨迹计算【作者】赵萍;何丽辉;赵波【作者单位】辽宁省交通高等专科学校,辽宁沈阳110122;辽宁省交通高等专科学校,辽宁沈阳110122;辽宁省交通高等专科学校,辽宁沈阳110122【正文语种】中文【中图分类】TP391.73随着制造业的不断发展，具有复杂曲面的机械零件得到了越来越广泛的应用，如汽车车身、飞机机身、叶片、模具等。