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哈夫曼树定义
哈夫曼树是一种二叉树，它用来表示一组符号权值的最优编码。
它应用于编码论，通常用来代表数据权值的树。
哈夫曼树是指一种最短带宽传输时能够有效工作的最优编码树。
哈夫曼树是每个节点都包含一个权值的二叉树。
它的定义如下：每一个权值所构成的数据集合，其最优树形式是每一个数据项的权值都比它的子节点的权值大，最终形成一个哈夫曼树。
哈夫曼树的构建一般是以权值的大小为基础进行的，权值越大，在哈夫曼树上就越靠近根节点，在结点之间的路径越短，这样便可以减少树的总长度，可以加快数据的传输速度。
此外，哈夫曼树还可以用于实现多种额外的功能。
哈夫曼树的构建有一种特别的方法，叫做“哈夫曼编码”，它采用“编码”和“解码”的方法来把一个数据集分成不同的组，这些组就是哈夫曼树的节点。
每组的数据都含有一个权值，当这些组被组合到一起时，它们就构成了一棵哈夫曼树。
哈夫曼树的建立是低耗时的，最优建立方式是将权值数组排序，然后依次添加，添加过程为：先将最小的两个数字添加到根节点，再将它们的和也添加到根节点，重复此过程，直到所有数字都被添加完为止。
哈夫曼树在编码的时候，如果一个字符出现的次数越多，它的权值就越大，它就越接近根节点。
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码权值一、引言在计算机领域，数据结构是非常重要的一部分，而哈夫曼树和哈夫曼编码是数据结构中非常经典的部分之一。
本文将对哈夫曼树和哈夫曼编码的权值进行全面评估，并探讨其深度和广度。
通过逐步分析和讨论，以期让读者更深入地理解哈夫曼树和哈夫曼编码的权值。
二、哈夫曼树和哈夫曼编码的基本概念1. 哈夫曼树哈夫曼树，又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。
它的概念来源于一种数据压缩算法，可以有效地减少数据的存储空间和传输时间。
哈夫曼树的构建过程是基于给定的权值序列，通过反复选择两个最小权值的节点构建出来。
在构建过程中，需要不断地重排权值序列，直到构建出一个满足条件的哈夫曼树。
2. 哈夫曼编码哈夫曼编码是一种变长编码方式，它利用了哈夫曼树的特点，对不同的字符赋予不同长度的编码。
通过构建哈夫曼树，可以得到一套满足最优存储空间的编码规则。
在实际应用中，哈夫曼编码经常用于数据压缩和加密传输，能够有效地提高数据的传输效率和安全性。
三、哈夫曼树和哈夫曼编码的权值评估1. 深度评估哈夫曼树和哈夫曼编码的权值深度值得我们深入探究。
从构建哈夫曼树的角度来看，权值决定了节点在树中的位置和层次。
权值越大的节点往往位于树的底层，而权值较小的节点则位于树的高层。
这种特性使得哈夫曼树在数据搜索和遍历过程中能够更快地找到目标节点，提高了数据的处理效率。
而从哈夫曼编码的角度来看，权值的大小直接决定了编码的长度。
权值越大的字符被赋予的编码越短，可以有效地减少数据传输的长度，提高了数据的压缩率。
2. 广度评估另哈夫曼树和哈夫曼编码的权值也需要进行广度评估。
在构建哈夫曼树的过程中，权值的大小直接影响了树的结构和形状。
当权值序列较为分散时，哈夫曼树的结构会更加平衡，节点的深度差异较小。
然而，当权值序列的差异较大时，哈夫曼树的结构也会更不平衡，而且可能出现退化现象。
这会导致数据的处理效率降低，需要进行额外的平衡调整。
简述哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种重要的二叉树，它有着广泛的应用，是许多计算机系统中常用的数据结构。
哈夫曼树是一种完全二叉树，其中任意一个结点都有左右子树，叶子结点只有左子树或者右子树。
它是根据“最优化原则”建立的，目的是使总代价最低。
它是一种最高效率、最具有利用价值的数据结构，因此深受广大科学家和技术工作者的喜爱。
简而言之，哈夫曼树是一种带权路径长度最小的二叉树，即它的任一非叶子结点的权值之和等于所有叶子结点的权值之和。
它的定义如下：将n个权值不同的叶子结点组成的n棵二叉树，它们的带权路径长度之和最小称为哈夫曼树。
哈夫曼树的带权路径长度指的是从根节点到叶子节点的路径上结点权值的乘积之和，它是求解最优二叉树的重要参数。
哈夫曼树可分为正哈夫曼树和负哈夫曼树，它们的不同之处在于哈夫曼树的根节点权值是正数或者负数，而负哈夫曼树的根节点权值总是负数。
哈夫曼树的构造方法是从叶子结点开始，依次将权值较小的两棵二叉树合并，然后将这两棵子树的权值之和作为新的父母亲结点，新的子树的根节点的权值就是这两个结点的权值之和。
构造方法至将所有的n个结点合并为一棵树，最后得到的哈夫曼树即为最优二叉树。
哈夫曼树是最优二叉树，在许多需要使用最优二叉树的算法中均可运用，如字符编码算法、矩阵乘法算法、最短路径算法等，它的应用非常广泛。
哈夫曼树的设计既可以给出解决问题的最佳答案，又能将数据结构设计得非常有效。
哈夫曼树可以帮助计算机系统显著提高性能，在网络通信、数据压缩、资源分配等方面均有用处。
总而言之，哈夫曼树是一种完全二叉树，其中每一个结点都有左右子树，根据“最优化原则”建立，其带权路径长度最小，广泛应用于计算机系统中。
它可以有效地解决许多计算机系统中的性能瓶颈问题，无论是在数据组织方面还是在计算机系统性能提升方面都有重要的意义。
哈夫曼树及其应用一、基本术语1．路径和路径长度在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。
通路中分支的数目称为路径长度。
若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
2．结点的权及带权路径长度若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。
结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
3．树的带权路径长度树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：也称为树的代价，定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为：其中：n表示叶子结点的数目wi和li分别表示叶结点ki的权值和根到结点ki之间的路径长度。
二、哈夫曼树构造1．哈夫曼树的定义在权为w l，w2，…，w n的n个叶子所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。
【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。
构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
2．哈夫曼树的构造假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。
n 个权值分别设为w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为：(1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为我们所求得的哈夫曼树。
下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如下图所示。
6.3哈夫曼树6.3.1基本术语1.路径和路径长度若在一棵中存在着一个结点序列k1 ,k2,…,kj，使得ki是k1+i 的双亲(1ji<≤)，则称此结点序列是从k1～kj的路径，因树中每个结点只有一个双亲结点，所以它也是这两个结点之间k 1～kj所经过的分支数称为这两点之间的路径长度，它等于路径上的结点数减1(实际就是边数)。
如在图5-19(a)所示的二叉树中，从树根结点L到叶子结点P的路径为结点序列L、M、S、P，路径长度为3。
(a) (b)(c) (d)图5-19 二叉排序树的删除2.结点的权和带权路径长度在许多应用中，常常将树中的结点赋上一个有着某种意义的实数，我们称此实数为该结点的权。
结点的带权路径长度规定为从树根结点到该结点之间的路径长度与该结点上权的乘积3.树的带权路径长度树的带权路径长度定义为树中所有叶子结点的带权路径长度这和，通常记为：2 WPL = ∑=n i i i lw 1其中n 表示叶子结点的数目，i w 和i l 分别表示叶子结点i k 的权值和根到i k 之间的路径长度 。
4.哈夫曼树哈夫曼(Huffman)树又称最优二叉树。
它是n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中，带权路径长度 WPL 最小的二叉树。
因为构造这种树的算法是最早由哈夫曼于1952年提出的，所以被称之为哈夫曼树。
例如，有四个叶子结点a 、b 、c 、d ，分别带权为9、4、5、2，由它们构成的三棵不同的二叉树（当然还有其它许多种）分别如图5-20(a)到图5-20(c)所示。
b ac a b cd d c a b d(a) (b) (c)图5-20 由四个叶子结点构成的三棵不同的带权二叉树 每一棵二叉树的带权路径长度WPL 分别为：(a) WPL = 9×2 + 4×2 + 5×2 + 2×2 = 40(b) WPL = 4×1 + 2×2 + 5×3 + 9×3 = 50(c) WPL = 9×1 + 5×2 + 4×3 + 2×3 = 37其中图5-20(c)树的WPL 最小，稍后便知，此树就是哈夫曼树。
哈夫曼树的定义
哈夫曼树的定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树。
扩展资料：
哈夫曼树也可以是k叉的，只是在构造k叉哈夫曼树时需要先进行一些调整。
构造哈夫曼树的思想是每次选k个权重最小的元素来合成一个新的元素，该元素权重为k个元素权重之和。
但是当k大于2时，按照这个步骤做下去可能到最后剩下的元素少于k个。
解决这个问题的办法是假设已经有了一棵哈夫曼树（且为一棵满k叉树），则可以计算出其叶节点数目为（k-1）nk+1，式子中的nk表示子节点数目为k的节点数目。
于是对给定的n个权值构造k叉哈夫曼树时，可以先考虑增加一些权值为0的叶子节点，使得叶子节点总数为（k-1）nk+1这种形式，然后再按照哈夫曼树的方法进行构造即可。
名词解释哈夫曼树哈夫曼树是最早的陆地植物之一，它能很快适应各种不同的生活环境，还能改变自己。
由于陆地变化快，各种动物如食草类、肉食类等，都被迫来到了陆地上，为了适应这些环境，有一些动物就发生了很大的变化，如熊从熊变成了能走路的猿，就是因为长期没在水中生活，他的后腿已经完全退化了；长臂猿的前肢已经退化了；海龟和海豹能爬到陆地上，就是因为生活环境发生了改变。
人们可以用种子繁殖也可以进行无性繁殖。
种子有翅膀的属于子叶植物，像杨、柳、榆树，它们的种子都是靠风力来传播的，因此它们是不需要嫁接的。
种子外面都包着果皮，而且种子外面还有一层厚厚的果肉。
吃过苹果的人都知道，苹果的表皮就像小刀一样会刮得手很疼。
这就是种子的作用。
种子的里面还有胚芽，胚芽才是种子的主体，它决定了种子以后是长出幼苗还是发育成一棵树。
有些植物的种子没有胚芽，有些植物的种子有胚芽。
像竹子的种子就没有胚芽。
而松树的种子有胚芽。
在野外的时候，可以见到许多树木的种子，如松树、红豆杉等。
它们看起来好像没有什么区别，其实它们是有区别的，你仔细观察一下就会发现，松树种子外面有一层薄薄的膜，把种子紧紧的裹住，红豆杉的种子也是用一层薄薄的膜包着的，而竹子的种子没有这层膜。
竹子的种子是要在水中才能发芽的，所以在竹林里你几乎看不到竹笋，但有一些植物的种子可以在干燥的土壤里也可以发芽，例如玉米的种子。
玉米的种子虽然在干燥的土壤里也能发芽，但它要经过一个漫长的过程。
这个过程叫做“吐丝”，种子在慢慢长大的过程中，要不断的吸收营养物质来壮大自己。
哈夫曼树不仅仅分布在北美洲，在世界各地都有。
其中松柏类的常青树比较多，如松树、柏树等，它们的树冠特别庞大，覆盖面积也很广。
其次是阔叶林，有很多乔木树种，如桉树、樟树等，它们的叶子非常茂盛。
再次是针叶林，有很多常绿的针叶树，如山茶、油茶、梧桐等。
灌木、藤本和草本植物更是数不胜数。
还有些落叶林，常绿树种比较少，以竹类居多。
但每种树都有自己的特点，就像人的特点各有不同一样，这样才能构成了这美丽的大千世界！其中松、柏、杉都是我国比较常见的乔木树种。
实验四：哈夫曼编码问题题目：编制一个哈夫曼编码的程序班级：网络2班姓名：学号：完成日期：2012/12/7一.需求分析1.问题描述：利用哈夫曼编码进行通信可以大大提高信道利用率，缩短信息传输时间，降低传输成本。
但是，这要求在发送端通过一个编码系统对待传数据预先编码，在接收端将传来的数据进行译码（复原）。
对于双工信道（即可以双向传输信息的信道），每端都需要一个完整的编／译码系统。
2.基本要求：一个完整的系统应具有以下功能：(1):初始化（Initialization）。
从终端读入字符集大小n,以及n个字符和n个权值，建立哈夫曼树，并将它存于文件hfmTree中。
(2):编码（Encoding）。
利用以建好的哈夫曼树（如不在内存，则从文件hfmTree中读入），对文件ToBeTran中的正文进行编码，然后将结果存入文件CodeFile中。
(3):译码（Decoding）。
利用已建好的哈夫曼树将文件CodeFile中的代码进行译码。
3.测试数据：见上机指导书Ｐ149测试数据。
4.实现提示：(1):文件CodeFile的基类型可以设为子界型bit=0‥1。
(2):用户界面可以设计为“菜单”方式：显示上述功能符号，再加上“Ｑ”，表示退出运行Quit。
请用户键入一个选择功能符。
此功能执行完毕后再显示此菜单，直至某次用户选择了“Ｑ”为止。
(3):在程序的一次执行过程中，第一次执行I,D或Ｃ命令之后，哈夫曼树已经在内存了，不必读入。
每次执行中不一定执行Ｉ命令，因为文件hfmTree可能早已建好。
二.概要设计1.为实现上述功能，需要有一个树的抽象数据类型。
该抽象数据类型的定义为：ADT Tree{数据对象：D=D是具有相同特性的数据元素的集合。
数据关系：若D为空集，则称为空树；若D仅含一个数据元素，则R为空集，否则R={H}，H是如下二元关系；(1).在R中存在唯一的称为根的数据元素root,它在关系H下无前驱；(2).若D-(root) ≠∅, 则存在D-(root)的一个划分D1,D2,~~,Dm(m>0),对任意j≠k(1<=j,k<=m)有Dj∩Dk=∅,且对任意的i(1<=i<=m),唯一存在数据元素Xi∈Di,有<root,Xi>∈H.(3). 对应于D-{root}的划分，H-{<root,Xi>,~~,<root,Xm>}有唯一的一个划分H1，H2，~~，Hm(m>0),对任意的j≠k(1<=j,k<=m)有Hj∩Hk= ,且对任意i(1<=i<=m),Hi是Di上的二元关系，（Di,{Hi}）是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。
基本操作：void select(HuffmanTree &HT,int n,int &s1,int &s2);//寻找权值最小的下标初始条件：权值已输入操作结果：寻找权值最小的下标void CreatHuffman(HuffmanTree &HT,int *w,char *d,int n);//构造哈夫曼树初始条件：结点，权值已存在操作结果：构造一棵哈夫曼树void HuffmanCodes(HuffmanTree &HT,HuffmanCode &HC,int n);//哈夫曼编码初始条件：哈夫曼树已存在操作结果：依次输出经哈夫曼编码后的每个字符对应的哈夫曼编码}2.此抽象数据类型中的一些常量如下：#include "stdafx.h"#include<iostream>using namespace std;3.单向循环链表中节点的定义如下所示：typedef char **HuffmanCode;typedef struct{int weight;int parent,lchild,rchild;char data;}HTNode,*HuffmanTree;4.本程序包含三个模块1).主程序模块void main( ){初始化；接受命令；函数实现；}2)哈夫曼树模块——实现树的抽象数据类型3)哈夫曼模块——实现哈夫曼编码各模块之间的调用关系如下：主程序模块哈夫曼树模块哈夫曼树编码的实现三.详细设计#include "stdafx.h"#include<iostream>using namespace std;typedef char **HuffmanCode;typedef struct{int weight;int parent,lchild,rchild;char data;}HTNode,*HuffmanTree;int i,j,n,m;void select(HuffmanTree &HT,int n,int &s1,int &s2) //找权值最小的下标{s1=0;s2=0;int n1=1000,n2=1000;for(int i=1;i<=n;i++){if(HT[i].parent==0){if(HT[i].weight<n1){n2=n1;n1=HT[i].weight;s2=s1;s1=i;}elseif(HT[i].weight<n2){n2=HT[i].weight;s2=i;}}}}void CreatHuffman(HuffmanTree &HT,int *w,char *d,int n){int m,i,s1,s2;m=n*2-1;HT=new HTNode[m+1];for(i=1;i<=n;i++){//哈夫曼树初始化HT[i].weight=w[i];HT[i].parent=0;HT[i].lchild=0;HT[i].rchild=0;HT[i].data=d[i];}for(i=n+1;i<=m;i++){HT[i].weight=0;HT[i].parent=0;HT[i].lchild=0;HT[i].rchild=0;HT[i].data=' ';}for(i=n+1;i<=m;i++){//构造哈夫曼树select(HT,i-1,s1,s2);HT[s1].parent=i;HT[s2].parent=i;HT[i].lchild=s1;HT[i].rchild=s2;HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;}}void HuffmanCodes(HuffmanTree &HT,HuffmanCode &HC,int n) {HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char *));char *cd;cd=new char[n+1];int i,start,c,f;cd[n-1]='\0';for(i=1;i<=n;i++){start=n-1;for(c=i,f=HT[i].parent; f!=0; c=f,f=HT[f].parent)if(HT[f].lchild==c)cd[--start]='0';else cd[--start]='1';HC[i]=new char[n-start];strcpy(HC[i],&cd[start]);}cout<<"每个字符对应的哈夫曼编码为: "<<endl;for(i=1;i<=n;i++){cout<<HT[i].data<<" "<<HC[i]<<endl;}delete (cd);}int main(int argc, char* argv[]){HuffmanTree h;HuffmanCode c;int w[100];char d[100];cout<<"请输入结点数n: ";cin>>n;cout<<"请输入哈夫曼树的"<<n<<"个权值: ";for(i=1;i<=n;i++){cin>>w[i];}cout<<"请输入"<<n<<"个字符: ";for(i=1;i<=n;i++){cin>>d[i];}CreatHuffman(h,w,d,n);HuffmanCodes(h,c,n);//译码的实现；system("PAUSE");return 0;}四.调试分析1.执行输入树的节点数时，输入0后程序显示继续并没有终止运行，所以再重新设计时加入了对空节点的处理，使得当树节点为空时，提示出错，终止程序的运行。
2.对结点的权值范围取得过小，是权值范围加大。
3.输入结点的代表元素，可以是数字也可以是字母。
五.用户手册1．本程序的运行环境为Win7 操作系统，执行文件为：Debug/哈夫曼树的实现.exe 2．进入演示程序后，即现实文本方式的用户界面：六.测试结果1.初始界面：依次输入数据2.当输入结点树为0时：3.带入数据验证：。
