哈夫曼树及其应用
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哈夫曼树与树的应用31页PPT
财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
哈夫曼树与树的应用
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
哈夫曼树与树的应用
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
哈夫曼树 字符等长编码 压缩比
哈夫曼树字符等长编码压缩比《深度解析哈夫曼树：字符等长编码与压缩比》一、引言近年来，随着信息技术的不断发展，数据量的增长已成为一种趋势。
数据的存储和传输效率变得尤为重要。
在信息论领域中，压缩算法被广泛用于减小数据的存储空间和传输带宽。
而哈夫曼树作为一种重要的压缩算法，其字符等长编码能够显著提高数据压缩比，成为了信息处理中不可或缺的一环。
二、哈夫曼树原理解析哈夫曼树是由美国数学家大卫·哈夫曼发明的，其本质是一种二叉树结构，在树的叶子节点上存储了待压缩数据的字符和频率。
通过构建哈夫曼树，可以实现对字符进行等长编码，从而提高压缩效率。
具体来说，哈夫曼树通过根据字符出现的频率来构建不等长编码，使得高频字符被赋予短编码，低频字符被赋予长编码，从而最大限度地减小了编码的长度。
这样的编码方式，使得在数据传输和存储时，所需的位数大大减少，进而提高了压缩效率。
对于语言文字等频率差异很大的数据，哈夫曼编码能够取得很好的效果。
三、字符等长编码实践分析在实际应用中，了解哈夫曼树的构建过程和字符等长编码的方法十分重要。
在国际通用的UTF-8编码中，就运用了一定程度上的哈夫曼编码思想，使得常用字符的编码长度较短，从而实现了对英文等常用语言的高效压缩。
而在工程领域，字符等长编码也被广泛用于数据传输和存储中，以减小数据量。
通过哈夫曼编码，我们可以将字符转化为二进制串，实现数据的高效压缩。
通过实际案例的分析，我们可以更好地理解哈夫曼树在字符等长编码中的应用。
四、压缩比评估与应用展望考虑到压缩比在信息处理中的重要性，对于哈夫曼树的压缩比进行全面评估显得至关重要。
对于不同类型的数据，如文本、图片、音频等，压缩比的表现可能有所不同。
在实际应用中，我们需要根据不同场景数据的特点，灵活选择合适的压缩算法。
而基于字符等长编码的哈夫曼树，其压缩效果在文本数据中表现较优，但在其他类型数据中可能存在一定挑战。
从工程实践来看，我们也可以通过改进算法和优化数据结构，进一步提高哈夫曼树在不同类型数据的表现，从而更好地应用于现实生活和工程领域。
哈夫曼树
哈夫曼树及其应用一、基本术语1．路径和路径长度在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。
通路中分支的数目称为路径长度。
若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
2．结点的权及带权路径长度若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。
结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
3．树的带权路径长度树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：也称为树的代价，定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为：其中：n表示叶子结点的数目wi和li分别表示叶结点ki的权值和根到结点ki之间的路径长度。
二、哈夫曼树构造1．哈夫曼树的定义在权为w l，w2，…，w n的n个叶子所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。
【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。
构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
2．哈夫曼树的构造假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。
n 个权值分别设为w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为：(1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为我们所求得的哈夫曼树。
下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如下图所示。
哈夫曼树.ppt
n
w i pi
最小，其中
i 1
Wi是第i个字符的使用频度，而Pi是第i个字符的编码长度， 这正是度量报文的平均长度的式子。
2020/3/5
21
例2：要传输的电文是{CAS；CAT；SAT；AT}
要传输的字符集是 D={C，A，S，T， ；}
每个字符出现的频率是W={ 2，4， 2，3， 3 }
PL=0+1+1+2+2=6
2020/3/5
9
问题2：什么样的带权树路径长度最小？
例如：给定一个权值序列{2,3,4,7}，可构造的多种 二叉树的形态。
2
3
4
7
2 34 7
(a) WPL=2×2＋2×3+2×4+2×7=32 (b) WPL=1×2＋2×3+3×4+3×7=41
2020/3/5
7
4
3
2
(c) WPL=1×7＋2×4+3×3+3×2=30
10
哈夫曼树的构造
例：给定权值{7，5，2，4}，构造哈夫曼树。
6
方法： 75 2 4
75
（1）a 初始b化：由c 原始d数据生成森林a ； b c
d
（次2小）的找二最叉小(树a树) 作：为在左森右林子中树选构取造两一棵棵根新结的点二权叉值树最(，小b)其的根和
A）先序遍历
B）中序遍历
C）后序遍历
D）从根开始进行层次遍历
2、某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉
树一定是（ B ）的二叉树。
A）空或只有一个结点
B）高度等于其结点数
C）任一结点无左孩子
D）任一结点无右孩子
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树（Huffman Tree）是一种重要的数据结构，它在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用。
1. 数据压缩：哈夫曼树是一种无损压缩的方法，能够有效地减小数据的存储空间。
在进行数据压缩时，可以使用哈夫曼树构建字符编码表，将出现频率较高的字符用较短的编码表示，而出现频率较低的字符用较长的编码表示，从而减小数据的存储空间。
2. 文件压缩：在文件压缩领域，哈夫曼树被广泛应用于压缩算法中。
通过构建哈夫曼树，可以根据字符出现的频率来生成不同长度的编码，从而减小文件的大小。
常见的文件压缩格式如ZIP、GZIP等都使用了哈夫曼树。
3. 图像压缩：在图像处理中，哈夫曼树被用于图像压缩算法中。
通过将图像中的像素值映射为不同长度的编码，可以减小图像的存储空间，提高图像传输和存储的效率。
常见的图像压缩格式如JPEG、PNG等都使用了哈夫曼树。
4. 文件传输：在数据传输中，哈夫曼树被用于数据压缩和传输。
通过对数据进行压缩，可以减小数据的传输时间和带宽占用。
在传输过程中，接收方可以通过哈夫曼树解码接收到的数据。
5. 数据加密：在数据加密中，哈夫曼树可以用于生成密钥，从而实现数据的加密和解密。
通过将字符映射为不同长度的编码，可以实
现对数据的加密和解密操作。
哈夫曼树在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用，能够有效地减小数据的存储空间、提高数据传输效率、实现数据加密等功能。
哈夫曼树_实验报告
一、实验目的1. 理解哈夫曼树的概念及其在数据结构中的应用。
2. 掌握哈夫曼树的构建方法。
3. 学习哈夫曼编码的原理及其在数据压缩中的应用。
4. 提高编程能力，实现哈夫曼树和哈夫曼编码的相关功能。
二、实验原理哈夫曼树（Huffman Tree）是一种带权路径长度最短的二叉树，又称为最优二叉树。
其构建方法如下：1. 将所有待编码的字符按照其出现的频率排序，频率低的排在前面。
2. 选择两个频率最低的字符，构造一棵新的二叉树，这两个字符分别作为左右子节点。
3. 计算新二叉树的频率，将新二叉树插入到排序后的字符列表中。
4. 重复步骤2和3，直到只剩下一个节点，这个节点即为哈夫曼树的根节点。
哈夫曼编码是一种基于哈夫曼树的编码方法，其原理如下：1. 从哈夫曼树的根节点开始，向左子树走表示0，向右子树走表示1。
2. 每个叶子节点对应一个字符，记录从根节点到叶子节点的路径，即为该字符的哈夫曼编码。
三、实验内容1. 实现哈夫曼树的构建。
2. 实现哈夫曼编码和译码功能。
3. 测试实验结果。
四、实验步骤1. 创建一个字符数组，包含待编码的字符。
2. 创建一个数组，用于存储每个字符的频率。
3. 对字符和频率进行排序。
4. 构建哈夫曼树，根据排序后的字符和频率，按照哈夫曼树的构建方法，将字符和频率插入到哈夫曼树中。
5. 实现哈夫曼编码功能，遍历哈夫曼树，记录从根节点到叶子节点的路径，即为每个字符的哈夫曼编码。
6. 实现哈夫曼译码功能，根据哈夫曼编码，从根节点开始，按照0和1的路径，找到对应的叶子节点，即为解码后的字符。
7. 测试实验结果，验证哈夫曼编码和译码的正确性。
五、实验结果与分析1. 构建哈夫曼树根据实验数据，构建的哈夫曼树如下：```A/ \B C/ \ / \D E F G```其中，A、B、C、D、E、F、G分别代表待编码的字符。
2. 哈夫曼编码根据哈夫曼树，得到以下字符的哈夫曼编码：- A: 00- B: 01- C: 10- D: 11- E: 100- F: 101- G: 1103. 哈夫曼译码根据哈夫曼编码，对以下编码进行译码：- 00101110111译码结果为：BACGACG4. 实验结果分析通过实验，验证了哈夫曼树和哈夫曼编码的正确性。
哈夫曼树
32
F
K
11110
111111 110
F 24
0
Z 2
1
K 7
L
U
Z
100
111110
哈夫曼编码的效率。
我们定义该编码方案的平均编码长度为： B(T)=(c1p1+ c2p2 +…+ cnpn)/pt 其中： ci和pi是字符集中第i个字符的代码长度及 其相对频率，pt是字符集的总频率。对本例计算平 均编码长度≈2.565 若采用固定长度编码，每个字母需log28=3位， 而哈夫曼编码只需2.565位，节省空间约12%。 哈夫曼编码对于典型的文本文件将比ASCII编 码节省约40%的空间。
用途：用于通信和数据传送中字符的二进制编码，可以 使文件编码总长度最短。 例字符集： C D E F K L U Z 频 率：32 42 120 24 7 42 37 2
306
0
1 186
C D E
1110 101 0
E 79 0 1 120 0 U D 37 42
1 107 1 65 0 1 L 0 33 42 C 0 1 9
哈夫曼树及其应用
1.问题的提出
在程序设计中，常用一个代码来表示一个 元素，标准ASCII码就是一个例子。它用log2128 即7位提供了128个不同的代码来表示ASCII表中 的128个字符。假设所有代码都等长，则表示n 个不同的代码需要log2n位，称为固定长度编码 （如ASCII码）。如果每个字符的使用频率相等， 则固定长度编码的空间效率最高。但事实上，每 个字符的使用频率并非一样。
if (socre<60) printf(“bad”); else if (socre<70) printf(“pass”); else if (score<80) printf(“general”); else if (score<90) printf(“good”); esle printf(“very good”);
F
K
11110
111111 110
F 24
0
Z 2
1
K 7
L
U
Z
100
111110
哈夫曼编码的效率。
我们定义该编码方案的平均编码长度为： B(T)=(c1p1+ c2p2 +…+ cnpn)/pt 其中： ci和pi是字符集中第i个字符的代码长度及 其相对频率，pt是字符集的总频率。对本例计算平 均编码长度≈2.565 若采用固定长度编码，每个字母需log28=3位， 而哈夫曼编码只需2.565位，节省空间约12%。 哈夫曼编码对于典型的文本文件将比ASCII编 码节省约40%的空间。
用途：用于通信和数据传送中字符的二进制编码，可以 使文件编码总长度最短。 例字符集： C D E F K L U Z 频 率：32 42 120 24 7 42 37 2
306
0
1 186
C D E
1110 101 0
E 79 0 1 120 0 U D 37 42
1 107 1 65 0 1 L 0 33 42 C 0 1 9
哈夫曼树及其应用
1.问题的提出
在程序设计中，常用一个代码来表示一个 元素，标准ASCII码就是一个例子。它用log2128 即7位提供了128个不同的代码来表示ASCII表中 的128个字符。假设所有代码都等长，则表示n 个不同的代码需要log2n位，称为固定长度编码 （如ASCII码）。如果每个字符的使用频率相等， 则固定长度编码的空间效率最高。但事实上，每 个字符的使用频率并非一样。
if (socre<60) printf(“bad”); else if (socre<70) printf(“pass”); else if (score<80) printf(“general”); else if (score<90) printf(“good”); esle printf(“very good”);
哈夫曼树经典例题
哈夫曼树经典例题哈夫曼树是一种经典的缩小数据存储空间的算法。
它是由David Huffman在1952年提出的，被广泛应用于数据压缩、编码和解码等领域。
本文将介绍哈夫曼树的定义、构建算法和常见的应用示例。
一、哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它的构建基于一组给定的权值集合。
每个权值都与二叉树中的一个叶子节点相关联。
哈夫曼树的特点是权值较大的节点越接近于根节点，权值较小的节点越接近于叶子节点。
这种结构使得较高频率的字符具有较短的编码，而较低频率的字符具有较长的编码，从而达到压缩数据的目的。
二、哈夫曼树的构建算法哈夫曼树的构建算法主要分为以下几个步骤：1. 创建一个权值表，记录每个字符的权值。
2. 将权值表按照权值从小到大进行排序。
3. 选择权值最小的两个字符，创建一个新的内部节点，将这两个字符作为其子节点，并将其权值设为这两个字符的权值之和。
4. 将新创建的节点插入到排序后的权值表中，并删除原先两个节点。
5. 重复步骤3和步骤4，直到只剩下一个节点，即根节点为止。
三、哈夫曼树的应用示例：数据压缩数据压缩是哈夫曼树最常见的应用之一。
在压缩数据时，哈夫曼树根据字符出现的频率进行构建，将频率较高的字符用较短的编码表示，而频率较低的字符用较长的编码表示，从而达到压缩数据的目的。
举个例子，假设我们要压缩一个文本文件，其中包含6个不同的字符：A: 2次B: 3次C: 4次D: 4次E: 5次F: 6次首先，我们根据字符频率构建哈夫曼树。
按照步骤2，我们将字符按照频率从小到大排序，得到以下顺序：A, B, C, D, E, F然后，按照步骤3和步骤4，我们构建哈夫曼树的过程如下：1. 构造A和B的新节点AB，权值为2+3=5，得到新权值表：AB, C, D, E, F2. 构造AB和C的新节点ABC，权值为5+4=9，得到新权值表：ABC, D, E, F3. 构造D和E的新节点DE，权值为4+5=9，得到新权值表：ABC, DE, F4. 构造ABC和DE的新节点ABCDE，权值为9+9=18，得到新权值表：ABCDE, F5. 构造ABCDE和F的新节点全集，权值为18+6=24，得到最终的哈夫曼树。
数据结构-哈夫曼树及其应用
15
40 a
30 b
5
c
10 d
15 e
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
30
40 a
30 b
15
15 e
5
c
10 d
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优
i=1 n
二叉树”或称为“哈夫曼树”。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的值为{w1,w2,...wn}，构 造一棵最优二叉树。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ②方法：
步骤1:构造一个具有n棵二叉树的森林F={T1,T2,......,Tn}， 其中Ti是只有一个根结点且根结点的权值为wi的二叉树。 步骤2:在F中选取两棵其根结点的权值最小的二叉树，从F 中删除这两棵树，并以这两棵二叉树为左右子树构造一棵 新的二叉树添加到F中，该新的二叉树的根结点的权值为 其左右孩子二叉树的根结点的权值之和。 步骤3:判断F中是否只有唯一的一棵二叉树。若是，则求 解过程结束；否则，转步骤2。
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ②压缩编码：
例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 下不等长编码方案进行编码： A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一：
二、哈夫曼树及其应用
哈夫曼树构造例题
哈夫曼树构造例题【原创版】目录1.哈夫曼树的概念和基本性质2.哈夫曼树的构造方法3.哈夫曼树的应用实例正文哈夫曼树（Huffman Tree）是一种带权路径长度最短的二叉树，它是由美国计算机科学家 David A.Huffman 在 1952 年提出的。
哈夫曼树的主要应用是在数据压缩和编码领域，通过将原始数据转换成对应的哈夫曼编码，可以大大减少数据的存储空间和传输时间。
一、哈夫曼树的概念和基本性质哈夫曼树是一棵满二叉树，它的构造方法是将权值最小的两个节点合并为一个新节点，新节点的权值为两个节点权值的和。
重复这个过程，直到所有的节点都被合并为一个根节点。
哈夫曼树的基本性质包括：1.哈夫曼树是一棵满二叉树，即除了最后一层外，其他层的节点数都是满的。
2.哈夫曼树的叶节点（即最后一层的节点）对应于原始数据中的每个字符，且权值最小的叶节点在最左边。
3.哈夫曼树的每个父节点的权值等于其左右子节点权值之和。
二、哈夫曼树的构造方法构造哈夫曼树的方法可以分为两个步骤：1.根据原始数据中的字符出现频率构建一个哈夫曼树。
首先将原始数据中的每个字符作为叶子节点，权值为该字符出现的频率。
然后在这些节点中选择权值最小的两个节点合并为一个新节点，新节点的权值为两个节点权值的和。
重复这个过程，直到所有的节点都被合并为一个根节点。
2.对哈夫曼树进行编码。
从根节点到每个叶节点的路径代表一个字符的编码，其中左子节点的边表示 0，右子节点的边表示 1。
例如，如果某个字符的叶节点位于路径“001”，那么该字符的编码就是“001”。
三、哈夫曼树的应用实例哈夫曼树在数据压缩和编码领域有着广泛的应用，以下是一个简单的实例：假设有如下一段原始数据：“aaabbbccc”，对应的哈夫曼树如下：```10/a c/ /a b b c```根据哈夫曼树，我们可以得到该数据集的哈夫曼编码为：“101 102 103 11 10”。
其中，“101”代表字符“a”，“102”代表字符“b”，“103”代表字符“c”。
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树在实际中有许多应用，以下是一些例子：
1. 数据压缩：哈夫曼树常用于数据压缩算法，如哈夫曼编码。
哈夫曼编码是一种前缀编码，它可以将数据中的字符编码为二进制字符串，使得平均编码长度最短，从而达到数据压缩的效果。
2. 文件存储：在文件存储中，哈夫曼树可以用于数据存储和检索。
例如，可以使用哈夫曼树来存储文件索引，以便快速找到文件。
3. 图像处理：在图像处理中，哈夫曼树可以用于图像压缩和编码。
例如，可以使用哈夫曼树来编码图像中的像素值，从而减小图像文件的大小。
4. 通信网络：在通信网络中，哈夫曼树可以用于数据传输和调度。
例如，可以使用哈夫曼树来优化数据的传输路径和顺序，以提高网络传输的效率和可靠性。
5. 数据库优化：在数据库优化中，哈夫曼树可以用于索引和查询处理。
例如，可以使用哈夫曼树来构建索引，以便快速检索数据库中的数据。
总的来说，哈夫曼树在许多领域中都有广泛的应用，特别是在需要数据压缩、文件存储、图像处理、通信网络和数据库优化的领域中。
哈夫曼树应用例题
哈夫曼树应用例题
2. 接下来，我们根据字符的频率构建哈夫曼树。我们从频率最低的字符开始，将它们作为 叶子节点，然后将它们合并为新的节点，新节点的权重为两个子节点的权重之和。重复这个 过程，直到所有的节点都合并为一棵树。
3. 在这个例子中，我们可以按照以下步骤构建哈夫曼树： a. 构建叶子节点：'A'、'B'、'C'、'D'、'E'。 b. 合并最小的两个节点：'A'和'B'，合并后的节点权重为3。 c. 继续合并最小的两个节点：合并后的节点权重为6。 d. 继续合并最小的两个节点：合并后的点权重为9。 e. 最后，合并最后的两个节点：合并后的节点权重为15。 构建完成后，我们得到了一棵哈夫曼树。
哈夫曼树应用例题
当谈到哈夫曼树的应用时，最常见的应用之一是数据压缩。哈夫曼树可以用于构建有效的 压缩算法，通过将频率较高的字符用较短的编码表示，而将频率较低的字符用较长的编码表 示，从而实现数据的高效压缩。
以下是一个哈夫曼树的应用例题： 假设有一个字符串 "ABBCCCDDDDEEEEE"，我们希望通过哈夫曼树来对该字符串进行压 缩。 1. 首先，我们需要统计字符串中每个字符的频率。在这个例子中，字符 'A' 出现了1次， 字符 'B' 出现了2次，字符 'C' 出现了3次，字符 'D' 出现了4次，字符 'E' 出现了5次。
哈夫曼树应用例题
4. 接下来，我们为每个字符分配哈夫曼编码。在哈夫曼树中，左边的路径表示编码为0， 右边的路径表示编码为1。从根节点开始，沿着路径向下，直到达到叶子节点。在这个例子中 ，我们可以得到以下编码：
哈夫曼树和哈夫曼编码的原理和应用领域
哈夫曼树和哈夫曼编码的原理和应用领域哈夫曼树（Huffman Tree）和哈夫曼编码（Huffman Coding）是数据压缩领域中常用的算法。
哈夫曼编码通过对出现频率较高的字符使用较短的编码，对出现频率较低的字符使用较长的编码，从而实现对数据进行高效压缩。
本文将介绍哈夫曼树和哈夫曼编码的原理以及它们在通信和存储领域的应用。
一、哈夫曼树的原理哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它的构建基于贪心算法。
首先，根据字符出现的频率构建一组叶子节点，每个叶子节点代表一个字符，并且带有该字符出现的频率。
接着，从这组叶子节点中选择出现频率最低的两个节点，将它们合并成一个新的节点，并将这个新节点的频率设置为两个节点频率之和。
新节点成为新的叶子节点，参与下一次的合并。
重复这个过程，直到最终只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
二、哈夫曼编码的原理在哈夫曼树构建完成后，我们根据哈夫曼树的结构来为每个字符生成对应的编码。
对于每个字符，从根节点出发，向左子树走表示添加编码的0，向右子树走表示添加编码的1，直到到达叶子节点。
将每个字符的编码保存起来，就得到了哈夫曼编码。
由于哈夫曼树的构建过程保证了频率较高的字符拥有较短的编码，而频率较低的字符拥有较长的编码，所以哈夫曼编码具有前缀码的特性。
即任何一个字符的编码都不是其他字符编码的前缀，这样在进行解码的时候就不会出现歧义。
三、哈夫曼编码的应用领域1. 数据压缩：哈夫曼编码常被用于数据的无损压缩，通过将频率较高的字符用较短的编码表示，可以大大减小数据的存储空间。
2. 文件传输：在文件传输过程中，为了减小文件的大小，常常会使用哈夫曼编码对文件进行压缩，减少网络传输的时间和带宽占用。
3. 图像压缩：哈夫曼编码在图像压缩中也有广泛的应用。
通过对图像像素点进行编码，可以显著减小图像文件的体积，提高图像在传输和存储中的效率。
4. 视频压缩：在视频压缩中，哈夫曼编码被用于对视频帧中的运动矢量、亮度和色度信息进行编码，从而减小视频文件的大小。
给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度
给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度随着信息技术的发展和应用的广泛，数据压缩技术也得到了广泛的应用。
在数据压缩技术中，哈夫曼树作为一种重要的数据结构，被广泛应用在数据压缩和编码中。
构造哈夫曼树的带权路径长度是衡量哈夫曼树效率和性能的重要指标。
本文将就给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度进行深入探讨。
一、哈夫曼树及其应用1.1 哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种带权路径长度最小的二叉树，它是由N个带权叶子节点构成的。
在哈夫曼树中，树的带权路径长度最小，即权值较大的叶子节点离根节点的距离较短。
1.2 哈夫曼树的构造构造哈夫曼树的步骤如下：（1）将权值从小到大进行排序。
（2）选取权值最小的两个节点作为左右孩子，构造一棵新的二叉树。
（3）将新的二叉树的根节点的权值设为左右孩子节点的权值之和。
（4）重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被构造为一棵哈夫曼树。
1.3 哈夫曼树的应用哈夫曼树被广泛应用在数据压缩和编码中，通过构造哈夫曼树，可以进行数据的高效压缩和解压缩。
在通信、图像处理、音频处理等领域都得到了广泛的应用。
二、给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度2.1 带权路径长度的定义带权路径长度是指哈夫曼树中所有叶子节点的带权路径之和。
即对于一个哈夫曼树，带权路径长度为每个叶子节点的权值乘以叶子节点到根节点的距离之和。
2.2 给定权值构造哈夫曼树的带权路径长度计算方法构造哈夫曼树的带权路径长度计算方法如下：（1）将带有权值的N个节点进行排序。
（2）选取权值最小的两个节点作为左右孩子节点，构造新的二叉树。
（3）将新的二叉树的根节点的权值设为左右孩子节点的权值之和。
（4）重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被构造为一棵哈夫曼树。
（5）计算所有叶子节点的带权路径长度之和，即为哈夫曼树的带权路径长度。
2.3 举例说明假设有一组权值为{1,2,3,4,5}的节点需要构造成哈夫曼树，按照上述步骤进行构造，得到的带权路径长度为：带权路径长度 = 1*5 + 2*4 + 3*3 + 4*2 + 5*1 = 5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35。
哈夫曼树算法用途
哈夫曼树算法用途哈夫曼树是一种常用的数据压缩算法，广泛应用于文件压缩、图像压缩、音频压缩等领域。
它可以根据数据的频率分布构建一颗最优的二叉树，从而实现数据的高效压缩和解压缩。
下面将从哈夫曼树的原理、构建方法和应用领域等方面进行详细阐述。
首先，我们来了解一下哈夫曼树的原理。
哈夫曼树是一颗带权路径长度最短的二叉树，其带权路径长度是指所有叶子结点的权值乘以其到根结点的路径长度之和。
对于一组给定的权值集合，构建哈夫曼树的过程是这样的：首先将权值按照从小到大的顺序排序，然后取权值最小的两个结点作为叶子结点，构建一个新的父节点，其权值为两个叶子结点的权值之和。
将这个新的父节点插入到原来的集合中，重复上述步骤直到只剩下一个根结点为止。
最终构建出的二叉树就是一颗哈夫曼树。
接下来，我们来介绍一下哈夫曼树的构建方法。
构建哈夫曼树的核心思想是贪心算法，即每次都选择权值最小的两个结点进行合并。
具体的构建步骤如下：1. 将待构建哈夫曼树的结点按照权值从小到大排序。
2. 创建一个空的哈夫曼树，将权值最小的两个结点作为叶子结点插入到树中，并创建一个新的父节点，其权值为这两个结点的权值之和。
3. 将这个新的父节点插入到原来的结点集合中，并将原来的两个结点从集合中删除。
4. 重复上述步骤，直到只剩下一个根结点为止，构建出的二叉树就是一颗哈夫曼树。
构建哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为叶子结点的个数。
由于每次都需要排序，所以效率较低。
为了提高效率，可以使用最小堆这种数据结构来快速选择权值最小的结点。
哈夫曼树的应用领域非常广泛。
其中最为重要的应用之一就是数据压缩。
在计算机存储和传输过程中，数据通常需要经过压缩以减小存储空间和传输带宽。
哈夫曼树作为一种高效的数据压缩算法，可以根据数据的频率分布来构建一个最优的编码表，将频率高的字符用较短的编码表示，而将频率低的字符用较长的编码表示，从而实现数据的高效压缩。
在文件压缩中，哈夫曼树可以根据不同字符的出现频率来构建一个相对最优的编码表，然后将文件中的字符按照这个编码表进行替换。
哈夫曼树hufferman构成原理应用及其数学证明
哈夫曼树hufferman构成原理应用及其数学证明哈夫曼树（Huffman Tree），又称最优树，它是一种常用的编码技术，它是一种十分高效的字符编码技术， 它主要是通过对字符按照出现频率高低进行分组，从而构成一颗树；每个字符的编码由树的层次顺序确定，字符越靠近根节点，编码越短，且编码长度与概率成正比，最后得出最优（最短）编码。
哈夫曼树构成原理：哈夫曼树构成原理是通过将信源字符重新按照概率顺序构成一棵有序树来实现的，即带有权值的叶子节点的树。
例如，某信源由四种字符A，B，C，D组成，出现的概率分别为p1，p2，p3，p4。
则可以构成一棵哈夫曼树。
首先，将四个字符依据概率从大到小重新排列，得到ABCD，依据概率大小选择A和B两个字符，以他们为叶子节点构成根节点，这样就分出了两颗子树。
接着将C和D两个字符以此作为叶子节点构成另外两棵子树，将他们与上面的根节点联接在一起，当初始树建立完毕，就得到了一棵哈夫曼树。
哈夫曼树数学证明：证明哈夫曼树是最优树：假设一棵信源树的叶子节点有n个，则此树的权重之和为：w1+w2+…+wn，其中wi是叶子节点i的权重，建立该信源树的目标是将其权重之和最小化，而在没有违反信源编码原理的前提下，树的最小权重之和也就是最优树的权重之和。
假设w1～wn分别为叶子节点1～n的权重，从大到小排列为w1，w2，…，wn，一棵以w1，w2，…，wn为叶子节点的最优树的权重之和为：T（w1，w2，…，wn）=w1+w2+…+wn+2（w1+w2）+2（w1+w2+w3）+……+2（w1+w2+…+wn-1）＝2（w1+w2+…+wn-1）+wn ＝2T（w1，w2，…，wn-1）+wn由上式可知，最优树的权重之和T（w1，w2，…，wn）是由T （w1，w2，…，wn-1）和wn组成的，也就是说，每次取出w1，w2，…，wn中的最大者wn作为树的一个节点，其余的作为树的另一个节点，而每一次节点的选取都是满足最优化条件的，因此一棵满足最优树条件的树就是哈夫曼树，而此树的权重之和也就是最优树的权重之和．从上述可以看出，哈夫曼树构成原理和哈夫曼树数学证明都支持哈夫曼树是最优树的观点，因此哈夫曼树是一种有效的编码技术。
哈夫曼树 加权平均长度 全称 缩写
哈夫曼树加权平均长度全称缩写哈夫曼树（Huffman Tree）是一种经典的树形数据结构，常用于编码和解码过程中的最优算法。
它是由一系列权重不同的叶子节点构建而成的，以此来实现对数据进行有效压缩和解压。
在信息论和通信领域，哈夫曼树被广泛应用于数据压缩算法中，通过构建一棵最优的哈夫曼树来实现数据的高效编码和解码。
在哈夫曼树中，每个叶子节点都代表一个字符，并且具有一个权重值，该权重值通常是该字符在待压缩数据中出现的频率。
通过构建哈夫曼树，并以不同的路径编码每个字符，使得出现频率高的字符拥有较短的编码，从而实现对数据的高效压缩。
哈夫曼树的构建过程也可以用于实现最优的前缀编码，从而避免编码歧义，提高了数据的传输效率。
在实际应用中，哈夫曼树的加权平均长度（Weighted Average Length）是评估数据压缩效果的重要指标之一。
通过计算每个字符的编码长度与其出现概率的乘积，并将所有字符的乘积之和作为数据的平均编码长度，可以评估哈夫曼编码的效率。
在理想情况下，哈夫曼树的加权平均长度应该尽可能接近信息熵，以达到最优的压缩效果。
哈夫曼树是一种重要且高效的数据结构，它在数据压缩和编码领域发挥着重要作用。
通过构建最优的哈夫曼树，并实现对数据的高效编码和解码，可以有效地提高数据的传输效率和存储空间利用率。
加权平均长度作为评估数据压缩效果的指标，对于优化哈夫曼编码方案具有重要意义。
在个人观点上，我认为哈夫曼树的应用不仅局限于数据压缩领域，还可以在其他领域发挥重要作用。
在网络通信中，通过使用哈夫曼编码来优化数据传输过程，可以提高网络传输效率，减少数据传输的时间和成本。
在大数据分析和存储领域，哈夫曼编码也可以用于优化数据的存储和处理，从而实现对数据的高效管理和利用。
总结而言，哈夫曼树作为一种重要的数据结构，在信息论和通信领域发挥着重要作用。
通过构建最优的哈夫曼树，并实现数据的高效编码和解码，可以实现对数据的高效压缩和传输。
哈夫曼Huffman树及应用
8 11 11 0 0
9 8 11 1 7
10 15 12 3 4
哈夫曼树
11 19 13 8 9 12 29 14 5 10
哈夫曼树对应的静态三叉链表13 58 15 6 11
14 100 0 13 14
w,p,lch,rch 是 weight,parent, lchild,rchild
的缩写
哈夫曼算法
如何得到使二进制 串总长最短编码
应用中每个字符的使用频率是不一样的。显然，为使传输 的二进制串尽可能的短，使用频率高的字符用较短编码，使用 频率低的字符用较长编码,电文总长= 原文中字符总数（字符x 使用频率 字符x编码长度）
为设计电文总长最短编码，可通过构造以字符使用频率作 为权值的哈夫曼树实现。
例 某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为 0.05,0.29,0.07,0.08, 0.14,0.23, 0.03,0.11。构造以字符使用频率作为权值的哈夫曼 树。，将权值取为整数w=(5,29,7,8,14,23,3,11)，按哈夫曼算法构造的一棵哈夫曼 树如下：
Y
a<70 N C
a<80
N a<90 Y
N
B
A
4 哈夫曼编码
哈夫曼树除了能求解最优判定问题解，还用于其他一些最优问题的
求解。这里介绍用哈夫曼树求解数据的二进制编码。
在进行数据通讯时，涉及数据编码问题。所谓数据编码就是数据与
二进制字符串的转换。例如：邮局发电报，发送方将原文转换成二进制
字符串，接收方将二进制字符串还原成原文。
1）构造以 a、b、c、d、e、f、g、h为叶子结点的二叉树； 2）将该二叉树所有左分枝标记 0，所有右分枝标记1；
哈夫曼树构造例题
哈夫曼树构造例题摘要：1.哈夫曼树的定义和应用2.哈夫曼树的构造方法3.哈夫曼树构造例题解析正文：哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于数据压缩的树形结构，它可以将原始数据转换为对应的编码，从而实现压缩。
构造哈夫曼树的过程实质上是对数据进行贪心编码的过程。
构造哈夫曼树的步骤如下：1.将输入数据按照出现频率作为权值构建一颗二叉树。
2.在这棵树上进行多次操作，每次选择权值最小的两个节点进行合并，形成一个新的父节点，并将新父节点的权值设为两个子节点权值之和。
3.重复步骤2，直到只剩下一个节点，这个节点就是哈夫曼树的根节点。
哈夫曼树构造例题解析：假设我们有以下5 个字符及其出现频率：- "a"：5 次- "b"：9 次- "c"：12 次- "d"：13 次- "e"：16 次我们需要构造一棵哈夫曼树，并求出每个字符对应的编码。
1.首先，将这5 个字符及其出现频率作为权值构建二叉树。
```16//5 13/ /a b d c```2.然后，从树的最底层开始，每次选择权值最小的两个节点合并。
这里我们选择权值为5 和13 的两个节点合并，形成一个新的节点，权值为18。
```16//5 13/ /a b d c/e 18```3.重复步骤2，选择权值最小的两个节点合并。
这里我们选择权值为9 和18 的两个节点合并，形成一个新的节点，权值为27。
```16//5 13/ /a b d c/e 27```4.再次重复步骤2，选择权值最小的两个节点合并。
这里我们选择权值为12 和27 的两个节点合并，形成一个新的节点，权值为49。
```16//5 13/ /a b d c/e 49```5.重复步骤2，选择权值最小的两个节点合并。
这里我们选择权值为49 和16 的两个节点合并，形成一个新的节点，权值为65。
```16//5 13/ /a b d c/e 65```经过多次合并操作，我们得到了一棵哈夫曼树。
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专业基础实践报告题目哈夫曼树及应用起讫日期2008年6月30日至2008年7月11日所在院系软件学院学生姓名专业计算机班级学号指导教师职称所在单位软件学院2008年7 月11 日目录一、任务及要求 (1)二、总体设计 (3)三、运行效果 (16)四、总结 (22)五、附录 (23)参考文献1.唐策善•《数据结构---用C语言描述》•高等教育出版社•1995 •p50~p1202.谭浩强•《C程序设计》•清华大学出版社• 2005 • p330！p348一、任务及要求在本专业基础实践中，综合C语言程序设计、离散数学、数据结构等学过的专业基础课程中的基本概念、基础知识和基本理论，进行软件设计的思想、方法和过程的训练，提高综合素质和动手能力，达到加强专业基础知识理解程度和熟练程度的目的。
具体任务及要求如下：1、任务（1）给定一个包含10个以上字符的字符串，长度不少于100个字符，统计各个字符的概率，存放在数组中。
（2）根据上面统计的结果建立哈夫曼树。
（3）实现哈夫曼编码。
（4）实现哈夫曼译码。
（5）自己选做1～2个附加的任务。
2、要求（1）算法中处理的数据要存放在文件中，实现文件的读写操作。
（2）设计程序中的各个C函数、画出模块图。
（3）程序的代码要规范、有详细的注释。
（4）按照指导教师给出的模板进行专业基础实践报告书写。
二、工作量在2周（10个工作日）时间里，完成15-20个C函数，150-200行代码。
并提交专业实践报告一份，字数不少于5000字（包括英文字符）。
三、计划安排第1个工作日－第2个工作日：查找相关资料、书籍；确定逻辑结构并进行运算的定义；选择存储结构并进行算法设计。
第3个工作日－第7个工作日：完成程序的编码，并且自己调试、测试。
穿插进行实践报告的撰写。
第8个工作日－第9个工作日：整理并完成专业基础实践报告，提交指导教师。
第10个工作日：由教师检查软件测试效果、审阅实践报告，评定成绩。
指导教师签字：2008年6月26日一．总体设计1．功能模块设计本C语言程序共包括12个C函数，函数名及其功能如表1所示2．函数之间的调用关系函数之间调用的功能模块图如图1所示。
二、详细设计1．数据的逻辑结构本程序主要讨论哈夫曼树的逻辑结构，而简化之即时讨论一般二叉树的逻辑结构。
假设有A ，B ，C，D，E，F，G ，H ,I节点，树形结构如下：设B=(K,R),r∈R。
K={A,B,C,D,E,F,G,H,I}r={(A,B),(A,C),(B,D),(D,G),(D,H),(E,E),(C,F),(F,I)}2.数据的存储结构同样主要讨论哈夫曼树的存储结构：哈夫曼树采用链型性结构。
定义：detypef constrct{float weight;int lchild,rchild,parent;}hufmantree;hufmantree tree[m]；由定义知，tree[]可看做是链型存储的结构体数组，weight是其权值，lchild为另一节点即左孩子的序号，同理rchild为另一节点即右孩子的序号，而parent为该节点的父节点的序号。
树形存储结构如下：A上图中，A节点为跟点，无父节点p=0，D和H和I无左右孩子节点i=0，r=0其中节点的权weight（w)为其子女的的和，也是结构体数组的序号。
3.数据的运算（1）HUFMAN函数的IPO图如下：OPENFILE(): 输入：以存在在文件名处理：存入数组，调用输出：无CREATFILE(): 输入：新文件名处理：存入数组，准备调用输出：无READ()：输入：无处理：调用文件名数组，打开，读取，统计总数输出：总数iEACHREAD()：输入：无处理：存入文件名数组，依次读取，分别统计每个字符数目输出：无PRABABL Y()：输入：无处理：每个字符数目除以总数，得到概率，存入树组输出：无HUAMANTREE()输入：无处理：以概率为权建立哈夫曼树tree[]输出：无HUFMANCODE():输入：无处理：调用tree[],对每个字符进行初始化编码输出：无CHCODE()：输入：无处理：调用原始字符树组和code[]，把所有字符存入与其相对应的code[i].ch输出：无OUTPUTCODES():输入：无处理：依次输出code[i].ch=code[i].bits输出：所有字符及对应的编码DECODES(): 输入：二进制编码处理：调用tree[]得到与code[].ch输出：字符TANSFER(): 输入：26个字母和5个常用符号中的任意串处理：与code[].ch比较，得到code[i].bits输出：二进制编码MAIN()：输入：无处理：调用子程序输出：无（2(3) C函数模块及注释①全局定义，本程序一共涉及到31个字符，即26个英文字母和六个常用符号#define n 31 /*涉及到的字符种类个数*/#define m 2*n-1 /*哈夫曼树结点个数*/#define maxval 65536.00typedef int datatype;typedef struct{float weight; /*权*/int lchild,rchild,parent;}hufmantree; /*定义哈夫曼树结点类型*/typedef struct{char bits[n]; /*位串*/int start; /*编码在位串中的开始位置*/char ch;}codetype; /*定义编码类型*/②把已存在的字符文件名保存在filename中以备调用void OPENFILEFILE(char filename[]) /*输入要读取的已存在的文件名*/ {FILE * fp;printf("the name of file you open:\n");scanf("%s",filename);return;}③新建文件并输入字符保存，把文件名存入filename以备调用void CREATFILE(char filename[]) /*新建文件并存入数据*/{FILE * fp; /*定义文件指针*/char ch;printf("the name of file you creat:\n");scanf("%s",filename); /*输入新建文件名*/printf("the file's name is %s\n\n",filename);printf("input your words to the file:\n");if((fp=fopen(filename,"w"))==NULL) /*以写入方式新建并打开文件*/ {printf("cannot open the file\n");exit(0); /*空则退出*/}ch=getchar(); /*读取回车*/ch=getchar();while(ch!='#'){fputc(ch,fp);ch=getchar(); /*向文件写入字符以#结束*/}putchar(10); /*换行*/printf("successful!!\n\n");fclose(fp); /*关闭文件*/return;}④打开文件并依次读取，统计所有字符的总数i，其实i比实际数目大1 float READ(char filename[]) /*统计文件字符总数i*/{FILE *fp;char ch;float i=0;if((fp=fopen(filename,"r"))==NULL) /*读取方式打开文件*/{printf("cannot open the file\n");exit(0); /*文件为空则退出*/}while(!feof(fp)){ch=fgetc(fp); /*读取字符数i直到读取完毕*/i++;}fclose(fp);return(i);}⑤打开文件，依次读取，并分别统计初始化的31个字符中每个在文件中出现的次数，对应地存入数组No[n]中void EACHREAD(char filename[],char word[],float No[]) /*分别读取文件中每个字符总数*/{FILE *fp;char ch;int i;if((fp=fopen(filename,"r"))==NULL){printf("cannot open the file\n");exit(0);}while(!feof(fp)){ch=fgetc(fp); /*依次读取每个字符*/for(i=0;i<=30;i++){if(word[i]==ch)No[i]=No[i]+1;} /*与word字符数组中字符分别比较，把数目存入对应的No数组*/}printf("the No of each word is:\n");for(i=0;i<=31;i++){printf("%c=%.0f ",word[i],No[i]); /*分别输出字符数*/if(i%5==0&&i!=0)printf("\n");}fclose(fp);return;}⑥计算每个字符咋爱文件中出现的概率，存入数组，即gailv[i]=No[i]/totalvoid PROBABL Y(float No[],float gailv[],float total) /*统计每个字符概率*/{int i;printf("\n\n");printf("the probably of each No is:\n");for(i=0;i<n;i++){gailv[i]=No[i]/total; /*每个字符数除以总数得概率存入数组gailv*/printf("%f ",gailv[i]);if(i%5==0&&i!=0)printf("\n");}printf("\n");return;}⑦通过概率数组gailv[n]，以概率大小为权建立哈夫曼树，并把树保存在结构体数组TREE[2n-1]中。
HUFMANTREE(hufmantree tree[],float gailv[]) /*以概率为权建立哈夫曼树*/{int i,j,k,p1,p2;float small1,small2,f;for(i=0;i<m;i++) /*初始化*/{tree[i].parent=0;tree[i].lchild=0;tree[i].rchild=0;tree[i].weight=0.0;}for(i=0;i<n;i++) /*读入前n个接点的权*/tree[i].weight=gailv[i];}for(i=n;i<m;i++) /*进行n-1次合并，产生n-1个新节点*/{p1=0; p2=0;small1=maxval; small2=maxval;for(j=0;j<=i-1;j++) /*选出两个权最小的节点*/if(tree[j].parent==0)if(tree[j].weight<small1){small2=small1; /*改变最小权，次小权及相应的位置*/small1=tree[j].weight;p2=p1;p1=j;}elseif(tree[j].weight<small2){small2=tree[j].weight; /*改变次小全及位置*/p2=j;}tree[p1].parent=i+1;tree[p2].parent=i+1;tree[i].lchild=p1+1;tree[i].rchild=p2+1; /*次小权跟接点是新接点的右孩子*/tree[i].weight=tree[p1].weight+tree[p2].weight;}printf("the quan of each word is:\n");for(i=0;i<m;i++)printf("%f ",tree[i].weight);}⑧通过建立的哈夫曼树对每个概率（对应字符）进行二进制编码，并保存在结构体数组code[n].bits中。