2016高中数学人教B版必修四1.3.1《正弦函数的图像与性质(一)》word学案

1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 同步练习1．对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A ．向左、右无限延展B ．与y ＝－sin x 的图象形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.y ＝sin x 是奇函数，图象关于原点对称．2．用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，32π，2πB ．0，π4，π2，34π，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，23π解析：选B.令2x ＝0，π2，π，3π2，2π得x ＝0，π4，π2，3π4，π.3．下列命题中正确的个数为( )①y ＝sin x 的递增区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )②y ＝sin x 在第一象限是增函数③y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 解析：选A.由y ＝sin x 的单调性知①②错，③正确．4．函数y ＝sin 2x －6sin x ＋10的最大值是________，最小值是________． 解析：令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]， 则t 2－6t ＋10＝(t －3)2＋1， ∴最大值为17，最小值为5. 答案：17 5一、选择题1．函数y ＝sin|x |的图象是( )解析：选B.y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，(x ≥0)－sin x ，(x <0)，作出y ＝sin|x |的简图知选B. 2．设函数f (x )＝|sin(x ＋π3)|(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间[2π3，7π6]上是增函数B ．在区间[－π，－π2]上是减函数C ．在区间[π3，π4]上是增函数D ．在区间[π3，5π6]上是减函数解析：选A.f (x )的增区间为k π≤x ＋π3≤k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．当k ＝1，则为2π3≤x ≤7π6，故在其子区间[2π3，7π6]上为增函数．3．(2010年高考江西卷)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]解析：选C.令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1＝(t ＋12)2－54，∵t ∈[－1,1]，∴y ∈[－54，1]．4．(2011年济宁高一检测)已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 解析：选A.定义域为R .∴f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |. ∴|a |＝0，∴a ＝0.5．(2011年汕头模拟)函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的最大值和最小值之和为( )A.4π3B ．2πC ．4π D.3π2解析：选B.画出图象可知，b －a 的最大值为4π3，最小值为2π3，∴最大值和最小值的和为4π3＋2π3＝2π 6．下列函数中，奇函数的个数是( )①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.①∵x ∈R 定义域关于原点对称，且f (－x )＝(－x )2·sin(－x )＝－x 2·sin x ＝－f (x )，是奇函数．②∵x ∈[0,2π]定义域不关于原点对称，∴它是非奇非偶函数．③∵x ∈[－π，π]，∴定义域关于原点对称，且f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )，是奇函数．④∵x ∈R 关于原点对称且f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )，是奇函数．综上应选C. 二、填空题7．(2011年聊城高一检测)方程sin x ＝1100x 2有________个正实根．解析：由图象看出在y 轴右侧两个函数y ＝sin x ，y ＝1100x 2有3个交点． 故方程sin x ＝1100x 2有3个正实根．答案：38．函数y ＝(12)sin x 的单调递增区间为________．解析：设u ＝sin x ，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u ＝sin x 的单调递减区间，结合u ＝sin x 的图象知：2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z .答案：[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )9．(2011年烟台模拟)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |(x ∈[0,2π])的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的范围是________．解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]－sin x ，x ∈[π，2π]分别画出f (x )及y ＝k 的图象(图略)，由图象可知1<k <3.答案：(1,3) 三、解答题10．对于函数y ＝|sin x |和y ＝sin|x |. (1)分别作出它们的图象；(2)分别求出其定义域、值域，单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性． 解：(1)y ＝|sin x |的图象如图①所示．y ＝sin|x |图象如图②所示．(2)y ＝|sin x |，定义域：R ；值域：[0,1]；单调递增区间：[k π，k π＋π2](k ∈Z )，偶函数，周期为π.y ＝sin|x |，定义域：R ；值域：[－1,1]；单调递增区间：[2k π－32π，2k π－π2](k 为非正整数)，[0，π2]，[2k π＋3π2，2k π＋5π2](k 为非负整数)；偶函数；非周期函数．11．若函数y ＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，试求函数y ＝－4a sin bx 的最值及周期．解：设t ＝sin x ∈[－1,1]，①当b >0时，a －b ≤a －bt ≤a ＋b .∴⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴所求函数为y ＝－2sin x . ②当b <0时，同理可得⎩⎨⎧a －b ＝32a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1.∴所求函数为y ＝－2sin(－x )＝2sin x .∴综合①②得，所求函数为y ＝±2sin x ，其最小值为－2，最大值为2，周期为2π.12．已知函数f (x )＝2a sin(x －π4)＋a ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)当a <0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin(x －π4)＋1＋b .∵y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，∴当2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间是[2k π＋3π4，2k π＋7π4](k ∈Z )．(2)f (x )＝2a sin(x －π4)＋a ＋b ，∵x ∈[0，π]，∴－π4≤x －π4≤3π4，∴－22≤sin(x －π4)≤1.又∵a <0，∴2a ≤2a sin(x －π4)≤－a .∴2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b . ∵f (x )的值域是[2,3]， ∴2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3， 解得a ＝1－2，b ＝3.。

１．３．２余弦函数、正切函数的图象与性质（１）一、 教学目标1、 知识与技能目标：理解余弦函数的性质，能正确使用“五点法”“几何法”“图象变换法”画出余弦函数的图象。

2、 过程与方法目标：通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。

3、 情感、态度与价值观目标：通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

二、 教学重点、难点：本小结的教学重点是余弦函数的性质与图象，用“五点法”作函数()ϕω+=x A y cos 的图象，并求这个函数的最大值、最小值、周期及单调区间。

难点是余弦函数的图象与正弦函数的图象之间的关系以及()ϕω+=x A y cos 的图象画法。

三、 教学方法：本节教学方法选用类比法，通过与正弦函数的图象与性质的类比得出余弦函数的性质，从而达到温故知新的教学效果。

四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图巩固例１求下列函数的最大值或最小值：（１）1cos3+-=xy在教师的启发下，尽量由学生完成，最后给出正确的解题步骤。

让学生感知，如何用学的概念形成由上得出xy cos=的图象。

性质：１、定义域：Rx∈２、值域：[]1,1-∈y y的最大值为１，最小值为1-３、周期：π2４、奇偶性：偶函数，图象关于y轴对称５、单调性：单调减区间：()[]ππ12,2+kk；单调增区间：()()[]ππ12,12++kk让同学观察图象，通过与函数xy sin=类比的方法得出xy cos=的性质。

由学生独立完成，教师完善通过类比法，学生会轻松得出余弦函数的性质，从而会增加学生学习的自信心，激发学习的兴趣。

1.3.1正弦函数的图象与性质(三) 学习目标1.掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间.知识点一正弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线.正弦曲线：可得如下性质：由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R ，值域是________.对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝________________时，取得最大值1；当且仅当x ＝________________时，取得最小值－1.知识点二正弦函数的单调性观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]的图象.思考1正弦函数在[－π2，3π2]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？思考2正弦函数的单调区间是什么？梳理正弦函数y ＝sin x 的图象与性质类型一求正弦函数的单调区间例1求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间.反思与感悟用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为________________.类型二正弦函数单调性的应用命题角度1利用正弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin196°与cos156°；(2)cos875°与sin980°.反思与感悟用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6与sin ⎝⎛⎭⎫49π3； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5与sin ⎝⎛⎭⎫－17π4.命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围.反思与感悟此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是() A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12D.(0,2]类型三正弦函数的值域或最值例4求使下列函数取得最大值和最小值的x 的取值范围，并说出最大值和最小值是什么.(1)y ＝sin2x ；(2)y ＝sin x ＋2；(3)y ＝(sin x －1)2＋2.反思与感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域).(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设sin x ＝t ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y ＝a sin x 的函数的最值还要注意对a 的讨论.跟踪训练4求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域.1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个单调递减区间是() A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23πD.⎣⎡⎦⎤π2，23π 2.下列不等式中成立的是()A.sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B.sin3>sin2C.sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D.sin2>cos13.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是() A.⎣⎡⎦⎤－32，12B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1 4.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.5.求函数y ＝2sin(π6－2x )，x ∈(0，π)的单调递增区间.1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法 把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x 为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.答案精析问题导学知识点一[－1,1]π2＋2k π，k ∈Z －π2＋2k π，k ∈Z 知识点二思考1观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 梳理⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z π2＋2k π，k ∈Z －π2＋2k π，k ∈Z 题型探究例1解y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z . 因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 跟踪训练1⎣⎡⎦⎤－π3，－2π9，⎣⎡⎦⎤π9，π3 例2解(1)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°.∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数，∴sin16°<sin66°，从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.(2)cos875°＝cos(720°＋155°)＝cos155°＝cos(90°＋65°)＝－sin65°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°，∵sin65°＜sin80°，∴－sin65°＞－sin80°，∴cos875°＞sin980°.跟踪训练2(1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3(2)sin(－17π4)＞sin(－23π5) 例3解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z )， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 跟踪训练3A例4解(1)当2x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )时，函数y ＝sin2x 取得最大值，最大值为1；当2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，函数y ＝sin2x 取得最小值，最小值为－1. (2)由于函数y ＝sin x 与函数y ＝sin x ＋2同时取得最大值或同时取得最小值．因此，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin x ＋2取得最大值，最大值为3；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin x ＋2取得最小值，最小值为1.(3)设t ＝sin x ，则有y ＝(t －1)2＋2，且t ∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了．在闭区间[－1,1]上，当t ＝－1时，|t －1|最大，函数y ＝(t －1)2＋2，取得最大值(－1－1)2＋2＝6.由t ＝sin x ＝－1，得x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最大值6.在闭区间[－1,1]上，当t ＝1时，|t －1|最小，函数y ＝(t －1)2＋2取得最小值，最小值为2.由t ＝sin x ＝1，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝(sin x －1)2＋2取得最小值2.跟踪训练4⎣⎡⎦⎤34，3当堂训练1．D2.D3.D4．解∵－1≤sin 12x ≤1， ∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2， k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．5．解∵函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z . ∵x ∈(0，π)，∴由k ＝0，得π3≤x ≤5π6. ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.。

1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数y＝sin x是周期函数.思考2证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝________(k ∈Z )知，y ＝sin x 是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是______函数，正弦曲线关于______对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ).反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|sin2x |.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1－sin x ＋2sin 2x 1＋sin x.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝________.1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为()A.π2B.πC .2πD .4π 2.下列函数中，周期为π的偶函数是()A.y ＝sin xB.y ＝sin2xC.y ＝|sin2x |D.y ＝1－cos 2x3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是() A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．思考3周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期． 梳理(1)非零常数T 每一个xf (x ＋T )＝f (x )非零常数T (2)最小的正数知识点二思考1∵sin(x ＋2π)＝sin x ，∴y ＝sin x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 梳理sin x 周期2k π (k ∈Z 且k ≠0)2π知识点三思考1正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称．思考2正弦函数是R 上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，对一切x ∈R 恒成立． 梳理奇原点题型探究例1解(1)令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1解(1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 例2解(1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例3解∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3解因为f (x )是以π2为周期的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 例4解∵f (1)＝cos π3＝12， f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1， f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12， f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3 ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12) ＝－32. 跟踪训练40当堂训练1．D2.D3.B4.±π5.22。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)学习目标 1.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性.2.能熟练运用正弦函数的性质解一些简单问题.知识梳理知识点一正弦函数的性质函数正弦函数y＝sin x，x∈R图像定义域值域[－1,1]最值当__________(k∈Z)时，y max＝1；当____________(k∈Z)时，y max＝－1周期性是周期函数，周期为__________________，2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于________对称单调性在__________________(k∈Z)上是增函数；在__________________(k∈Z)上是减函数对称轴______________________，k∈Z 对称中心__________，k∈Z思考函数y＝sin x，x∈[－π6，5π6]的值域是[－12，12]吗？题型探究题型一 与正弦函数有关的值域问题例1 求下列函数的值域.(1)y ＝sin(2x －π3)，x ∈[0，π2]； (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2.跟踪训练1 求下列函数的值域.(1)y ＝2sin(2x ＋π3)，x ∈[－π6，π6]； (2)y ＝sin x －2sin x －1.题型二 利用正弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π，sin 493π.题型三 求正弦型复合函数的单调区间例3 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间.跟踪训练3 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间.题型四 正弦函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x.跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.求单调区间时忽视x 前系数正负致误例5 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递减区间. 错解 设v ＝－12x ＋π3. ∵y ＝sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π，k ∈Z .∴2k π＋π2≤－12x ＋π3≤2k π＋32π，k ∈Z ， ∴－4k π－73π≤x ≤－4k π－π3，k ∈Z ， ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－4k π－73π，－4k π－π3，k ∈Z . 错因分析 在求单调区间时忽视了括号内x 系数中的负号，错将－12x ＋π3代入正弦函数减区间，正确解法应先将x 的系数利用诱导公式化为正数后，再代入相应单调区间求解.正解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 设v ＝12x －π3， ∵y ＝－sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤12x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴4k π－π3≤x ≤4k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－π3，4k π＋53π，k ∈Z . 点评 对于正弦函数的单调性问题，应该建立模型意识.一律先研究括号内x 系数是正数的情况，对于x 系数是负数的，先转化成x 系数为正数的情况.跟踪训练5 求y ＝sin(π6－x )的单调递减区间.当堂检测1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π2.下列函数中是奇函数的是( )A.y ＝－|sin x |B.y ＝sin(－|x |)C.y ＝sin |x |D.y ＝x sin |x |3.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－34.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.5.求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域.参考答案知识梳理知识点一R x ＝π2＋2k π x ＝－π2＋2k π 2k π(k ∈Z ，k ≠0) 原点 [－π2＋2k π，π2＋2k π] [π2＋2k π，3π2＋2k π] x ＝π2＋k π (k π，0) 思考 不是，值域应为[－12，1]，其原因在于函数的最大值并非在x ＝5π6处取得，实际上x ＝π2时，y max ＝1.因此在确定正弦函数值域时，要特别注意其定义域，并结合图像考察函数图像是否越过正弦曲线的波峰和波谷．题型探究例1 解 (1)∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，－π3≤2x －π3≤2π3，令2x －π3＝t ，则原式转化为y ＝sin t ，t ∈[－π3，2π3]． 由y ＝sin t 的图像知－32≤y ≤1， ∴原函数的值域为[－32，1]． (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋98. ∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]．跟踪训练1 解 (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴0≤2sin(2x ＋π3)≤2， ∴0≤y ≤2.∴函数的值域为[0,2]．(2)由y ＝sin x －2sin x －1，得sin x ＝y －2y －1. 又∵sin x ∈[－1,1)，∴y －2y －1∈[－1,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y －2y －1≥－1，y －2y －1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥32或y ＜1，y ＞1， ∴y ≥32.∴函数的值域为[32，＋∞)． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. 0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 跟踪训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°) ＝cos 150°＝－sin 60°，cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°＝－sin 80°， ∵sin 60°<sin 80°，∴－sin 60°>－sin 80°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3， 即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π. 例3 解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1.由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )． 解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π； 令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π； 令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π， ∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－4π，－52π，⎣⎡⎦⎤－π2，32π，⎣⎡⎦⎤72π，4π. 跟踪训练3 解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ， 即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z . 例4 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >01＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 跟踪训练4 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝ －sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2sin x ≥02sin x －1≥0，得sin x ＝12. ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，k ∈Z . ∵f (x )的定义域不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．跟踪训练5 解 y ＝sin(π6－x ) ＝－sin(x －π6)， 令z ＝x －π6，则y ＝－sin z ， 要求y ＝－sin z 的递减区间，只需求sin z 的递增区间，即2k π－π2≤z ≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z . 故函数y ＝sin(π6－x )的单调递减区间为[2k π－π3，2k π＋23π]，k ∈Z . 当堂检测1．D 2.D 3.A4．解 ∵－1≤sin 12 x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．5．解 设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)，g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2，开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内， g (t )在[－1,1]上是单调递减的，g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2,10]．所以y＝f(x)的值域为[2,10]．。

正弦函数的图像学案腔镜甲状腺手术体会作为一名医生，我有幸参与了腔镜甲状腺手术，这是一次难忘的经历。

在此，我想分享我的手术经验和体会，希望对大家有所帮助。

一、手术背景甲状腺疾病是一种常见的内分泌疾病，对于需要手术治疗的患者来说，传统的开放手术方式会留下明显的疤痕。

随着医学技术的发展，腔镜甲状腺手术逐渐被广泛应用，这种手术方式具有创伤小、恢复快、美观性高等优点。

二、手术过程在进行腔镜甲状腺手术前，我和我的团队进行了详细的术前评估和讨论。

患者被给予全身麻醉，并被放置在舒适的手术体位。

我们使用了先进的腔镜设备，通过几个小的皮肤切口将甲状腺暴露出来。

在这个过程中，我们使用了特殊的手术器械和能量设备，如超声刀和电凝器，以进行精细的手术操作。

三、手术体会在进行腔镜甲状腺手术时，我深刻体会到了以下几点：1、技能要求高：腔镜手术需要医生具备丰富的开放手术经验和精湛的内镜操作技能。

在手术过程中，要保持稳定的操作姿势，灵活运用各种手术器械，做到准确无误。

2、团队合作重要：腔镜甲状腺手术需要一支专业的团队密切配合。

麻醉师、护士和医生之间需要建立良好的沟通，确保手术顺利进行。

3、细节：在手术过程中，我深感细节的重要性。

如术前评估、体位摆放、切口选择、器械使用等细节都会影响到手术效果和患者恢复。

4、患者关怀：作为医生，我们不仅要手术本身，还要患者的身心需求。

在手术过程中，要时刻患者的生命体征和感受，给予适当的安慰和关怀。

四、总结通过这次腔镜甲状腺手术，我深刻体会到了现代医学技术的进步和发展。

作为一名医生，我们要不断学习和掌握新技术，提高自己的医疗水平。

我们要始终患者的需求和感受，给予他们全面的关怀和治疗。

我相信，在医生和患者的共同努力下，我们可以战胜各种疾病，创造更美好的未来。

正弦函数的图像和性质课件一、引言正弦函数是数学中基本且重要的一类函数，其在三角学、信号处理、物理和工程等领域都有广泛的应用。

理解正弦函数的图像和性质不仅有助于深化我们对数学概念的理解，也有助于我们在实际应用中更好地使用和操作。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.3.1第1课时 正弦函数的图象与性质课时作业 新人教B 版必修4一、选择题1．函数y ＝sin ax (a ≠0)的最小正周期为π，则a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．12[答案] C[解析] 由题意，得2π|a |＝π，∴a ＝±2.2．用五点法作y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0、π2、π、3π2、2πB ．0、π4、π2、3π4、πC ．0、π、2π、3π、4πD ．0、π4、π3、π2、2π3[答案] B[解析] 由2x ＝0、π2、π、3π2、2π，得x ＝0、π4、π2、3π4、π，故选B ．3．y ＝2sin x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0] D ．R[答案] A[解析] ∵x 2≥0，∴sin x 2∈[－1,1]，∴y ＝2sin x 2∈[－2,2]． 4．设函数f (x )＝sin(x2＋π)，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为4π的奇函数 D ．最小正周期为4π的偶函数[答案] C[解析] f (x )＝sin(x 2＋π)＝－sin x2.f (－x )＝－sin(－x 2)＝sin x2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又最小正周期T ＝2π12＝4π.5．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为：s ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s[答案] D[解析] ∵函数s ＝6 sin(2πt ＋π6)的最小周期T ＝2π2π＝1，∴单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 6．函数y ＝sin2x 的单调减区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )C ．[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) [答案] B[解析] 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z 得y ＝sin2x 的单调减区间是[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )． 二、填空题7．f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x <0时，f (x )＝________.[答案] －x 2－sin x [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x ， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－sin x .8．函数y ＝sin(12x －π3)的对称轴方程为________，对称中心坐标为________．[答案] x ＝2k π＋5π3，k ∈Z (2k π＋2π3，0)，k ∈Z[解析] 由12x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝2k π＋5π3，k ∈Z .由12x －π3＝k π，k ∈Z ，得 x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . ∴函数y ＝sin(12x －π3)的对称轴方程为x ＝2k π＋5π3，k ∈Z ；对称中心坐标为(2k π＋2π3，0)k ∈Z .三、解答题9．不通过求值，你能判断下列每组中两个三角函数值的大小吗？ (1)sin(－3)与sin(－2)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π7与cos 37π14. [解析] 应用函数y ＝sin x 的单调性求解． (1)y ＝sin x 在[－3π2，－π2]上是减函数，∵－3π2<－3<－2<－π2，∴sin(－3)>sin(－2)．(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，且－π2<－π8<π8<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8<sin π8，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π7＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋11π7＝sin 11π7 ＝－sin 4π7，cos 37π14＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋9π14＝cos 9π14＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－6π7＝－sin 6π7，∵π2<4π7<6π7<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数，∴sin 4π7>sin 6π7，∴－sin4π7<－sin 6π7，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π7<cos 37π14. 10. 求函数y ＝7－6sin x －2cos 2x 的最值． [解析] y ＝7－6sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －6sin x ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋12. 由于二次函数y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋12的二次项系数为2>0，所以抛物线开口向上，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.又sin x ∈[－1,1]，故当x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即sin x ＝－1时，y 有最大值13；当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即sin x ＝1时，y 有最小值1.一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2[答案] B[解析] f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2.f (－a )＝－a 3－sin a ＋1＝－f (a )＋2＝0.2．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,0][答案] D[解析] 当sin x ≥0即2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z 时，y ＝0；当sin x <0，即2k π＋π<x <2k π＋2π，k ∈Z 时，y ＝2sin x ， ∴－2≤y <0.综上，y ∈[－2,0]．3．函数f (x )＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )[答案] B[解析] 当x ＝0时，f (0)＝1－sin0＝1，排除C 、D ；当x ＝π2时，f (π2)＝1－sin π2＝1－1＝0，排除A ，故选B ．4．若A 、B 是钝角△ABC 的两个锐角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵A 、B 是钝角△ABC 的两个锐角，∴A ＋B <π2，0<A <π2－B <π2，0<B <π2－A <π2.∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A <sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ，sin B <sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ， ∴sin A <cos B ，sin B <cos A ，∴点P 在第四象限． 二、填空题5．函数y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值为－12，则a ＝________，b ＝________.[答案] 12±1[解析] 当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1.6．若函数f (x )＝2sin x ＋2a －b 是定义在[－b,2b －1]上的奇函数，则b a的值为________． [答案] 2[解析] 由题意，得－b ＋2b －1＝0，∴b ＝1.又∵函数f (x )＝2sin x ＋2a －1是奇函数， ∴2a －1＝0，∴a ＝12.∴b a ＝112＝2. 三、解答题7．用五点法画出函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3在一个周期内的图象．[解析] 列表如下：x －π3 2π3 5π3 8π3 11π3 x 2＋π6π2π3π22πy3 6 3 0 3描点连线：8．(1)若sin x ＝a ＋1a －2，求实数a 的取值范围； (2)求函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2的值域． [解析] (1)∵|sin x |≤1，∴－1≤a ＋1a －2≤1， 由a ＋1a －2≤1得a <2， 由a ＋1a －2≥－1得a ≤12或a >2，∴a ≤12. (2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1 ＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[－4,0]．∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2的值域为[－4,0]． 9. 已知函数f (x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x .(1)求f (x )的定义域、值域和单调区间； (2)判断f (x )的奇偶性．[解析] (1)要使函数有意义，须sin2x >0， ∴2k π<2x <2k π＋π， ∴k π<x <k π＋π2(k ∈Z )，∴f (x )定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . ∵0<sin2x ≤1，∴0<12sin2x ≤12，∴log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x ≥1，即值域为[1，＋∞)．令y ＝sin2x ，则函数y ＝sin2x 的增区间即为函数f (x )的减区间，函数y ＝sin2x 的减区间即为函数f (x )的增区间．∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π4(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )．(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数．。

学案24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）【问题探讨】一．旧知回顾1.描点作图法2.三角函数线：正弦线、余弦线、正切线二．新知探讨研读教材第30-45页，回答以下问题：1.如何作正弦函数sin y x =,x R ∈的图象？余弦函数cos y x =，x R ∈的图象呢?2.用五点作图法作函数sin y x =,[0,2]x π∈的图象时，依次是哪五个点？函数cos y x =，[0,2]x π∈的图象呢?3.观察正弦函数sin y x =,x R ∈的图象和余弦函数cos y x =,x R ∈的图象，你能得到以下相关性质吗？sin y x = cos y x =①定义域：②值 域：③单调性：④奇偶性：⑤周期性：4.正切函数tan ,{|,}2y x x x x k k Z ππ=∈≠+∈的性质和图像 ①定义域：②值 域：③单调性：④奇偶性：⑤周期性：【典型例题】例1．用五点作图法画出下列函数的简图(1) 1sin y x =+，[0,2]x π∈ (2) 1cos y x =-+，[0,2]x π∈变式提高：1． 方程sin 10x x =的根的个数为 A.7 B.8 C.9 D.10例2．下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.(1) 1cos y x =-+， x R ∈ (2) 23sin 2y x =-， x R ∈.变式练习：1. 函数sin ()y a b x x R =-∈的最大值为23，最小值为21-，则=a ， =b ；2. 已知36ππ<≤-x ，11cos +-=m m x ，则m 的取值范围是 ； 3. 函数1sin 23sin 4-+=x x y 的值域是例3．求函数()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域.例4.已知函数21()cos sin 42a f x x a x =+--的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为2，求实数a 的值.例5．求下列函数的定义域和值域(1) 2log sin y x = ；(2) y =； （3）1tan(2)4y x π=-变式练习：1．已知函数()y f x =的定义域是1[0,]4，求下列函数的定义域(1) 2(cos )f x (2) 21(sin )2f x - 分析：几种方法？。