1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
即BC2＝BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
返回
[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
返回
证明：∵BE⊥AC，
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
即BC2＝BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积 割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定 理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
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知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
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图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
返回
[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
返回
[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
返回
证明：∵BE⊥AC，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
1.4-直角三角形的射影定理-教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 在△ABC 中，设 AC 为 x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1， 根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC.
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 射影的概念 【例1】 如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些 点或线段的端点，作BC边的垂线．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上 的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E； AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射 影是DE，FG在BC上的射影是点E. 反思感悟 求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂 足间的线段就是所求射影．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛 1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的
高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量， 还可研究相似问题、比例式等问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项， 那么这个三角形是直角三角形． 符 号 表 示 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， CD⊥AB 于 D ， 若 CD2 ＝ AD·BD，则△ABC为直角三角形． 证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝ AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD ＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋ ∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
∴DF2＝FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考 查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
返回
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
返1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
返回
[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
∴DF2＝FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考 查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查
高二年级数学PPT之数学人教A版选修4_1课件_1.4直角三角形的射影定理
,
通过中间变量即可得证.
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M 四 直角三角形的射影定理
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
由射影定理,知
AC2=CD·BC,即
������������ ������������
=
������������������������.
∵BE 平分∠ABC,EA⊥AB,EF⊥BC,
∴AE=EF.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,
∴EF∥AD.∴
������������ ������������
=
������������������������,
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M 四 直角三角形的射影定理
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型二 与射影定理有关的证明问题
【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分
∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.
分析:先由射影定理得
AC2=CD·BC,即
������������ ������������
=
������������ ������������
.
又由EF∥
AD,得
������������ ������������
=
������������ ������������
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
返回
∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
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[例2]
如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、 G分别为垂足．
求证：AF· AC＝BG· BE.
[思路点拨]
先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再
Hale Waihona Puke 在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
2．已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两 直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
解：(1)∵AC2＝AD· AB， BC2＝BD· AB， AD· AB AC2 ∴ ＝ . BD· AB BC2 AD AC 2 3 2 9 ∴BD＝(BC) ＝( ) ＝ . 4 16 (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， 9 ∴AD＝ ×25＝9(cm)， 9＋16 16 BD＝ ×25＝16(cm)． 9＋16 ∴CD＝ AD· BD＝ 9×16＝12(cm).
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
3．Rt△ABC中有正方形DEFG， 点D、G分别在AB、 AC上，
E、F在斜边BC上．
求证：EF2＝BE· FC.
证明：过点 A 作 AH⊥BC 于 H. 则 DE∥AH∥GF. DE BE GF FC ∴AH＝BH，AH＝CH. DE· GF BE· FC ∴ ＝ . AH2 BH· CH 又∵AH2＝BH· CH， ∴DE· GF＝BE· FC. 而 DE＝GF＝EF， ∴EF2＝BE· FC.
(2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， BD 则有CD2＝ AD· ， AB AC2＝ AD· ， AB BC2＝ BD· .
[例1]
如图，在Rt△ABC中，CD为
斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm， 求CD，AC，BC的长． [思路点拨] 在直角三角形内求线段
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 垂足 ，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线 上的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影． 2．射影定理
(1)文字语言：
直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 斜边 上射影与 斜边 中项；两直角边分别是它们在 的比例中项．
的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
[解]
∵CD2＝AD· DB＝2×6＝12，
∴CD＝ 12＝2 3(cm)． ∵AC2＝AD· AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝ 16＝4(cm)． ∵BC2＝BD· AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝ 48＝4 3(cm)． 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF· AC＝BG· BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角
形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目 的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从 所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA· CD＝BC· AD. 证明：由射影定理知：
CD2＝AD· BD， CA2＝AD· AB， BC2＝BD· AB. ∴CA· CD＝ AD2· AB＝AD· BD· BD· AB， BC· AD＝AD· AB· BD. 即 CA· CD＝BC· AD.