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乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是⑵1=+y x ，则222121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b22+=____________，a b =_________⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a-=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bdac ，求))((2222d c b a ++例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2(2)ab例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x yx ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 ba ba -+的值为 ⑷已知20042005+=x a，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（四）步步为营例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1()()()()()224488a b a b a ba bab-++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫⎝⎛-2201011（五）分类配方 例题：已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
乘法分配律思维拓展题乘法分配律可是个超有趣的数学知识点呢！咱们来好好聊聊关于它的思维拓展题吧。
先来说说什么是乘法分配律，就是a×(b + c)=a×b + a×c，就好像把a这个东西分给b和c，那总共分出去的量就等于分别分给b和c的量加起来。
不过思维拓展题可不会这么简单地让你用这个公式就完事儿了。
比如说，有这样一道题：34×99+34，猛一看可能有点懵，但如果我们把它转化一下，就变成34×99+34×1，这时候就可以用乘法分配律啦，那就是34×(99 + 1)=34×100 = 3400。
是不是很巧妙呢？还有像25×(40 + 8)这样的题，直接按照乘法分配律来算，就是25×40+25×8，25×40 = 1000，25×8 = 200，加起来就是1200。
再看一道有点难度的，98×12=(100 - 2)×12，这里把98变成100 - 2，然后根据乘法分配律就是100×12 - 2×12，1200 - 24 = 1176。
又比如17×23+17×76+17，这时候可以把17提出来，变成17×(23 + 76+1)，23+76+1 = 100，17×100 = 1700。
有时候，乘法分配律还会和其他运算律混合起来考呢。
就像125×88，我们可以把88拆成8×11，那就是125×8×11，先算125×8 = 1000，再乘以11就是11000。
这其中也用到了乘法分配律的变形思想哦。
再想一道题，45×101 - 45，这就等于45×(101 - 1)=45×100 = 4500。
做乘法分配律的思维拓展题啊，关键就是要会灵活变形，看到一个式子要能想到怎么把它转化成可以用乘法分配律的形式。
小学数学乘法口诀系列扩展练习乘法口诀是小学数学中非常基础和重要的一部分。
掌握好乘法口诀，可以帮助学生进行快速计算，提高计算能力和数学思维能力。
为了进一步巩固学生对乘法口诀的掌握，下面为大家介绍一些乘法口诀的扩展练习。
一、口诀扩展之数字加减变换1.加法变换当两个乘数中有一个为10的倍数时，我们可以利用加法变换来简化计算。
例如，计算9×5时，我们可以将9转换为10-1，即(10-1)×5=10×5-1×5=50-5=45。
2.减法变换如果乘数差异较大，可以通过减法进行变换。
例如，计算8×23时，我们可以将23拆成20+3，即8×20+8×3。
这样，我们可以先计算8×20=160，再计算8×3=24，最后将两个结果相加：160+24=184。
二、口诀扩展之小数的乘法1.整数与小数的乘法当整数与小数相乘时，我们可以通过移动小数的小数点来进行计算。
例如，计算4.5×6时，我们可以将4.5移动一位，得到45，然后再将结果除以10，即45÷10=4.5。
2.小数与小数的乘法当两个小数相乘时，我们可以按照正常的乘法步骤进行计算，然后根据原始小数位数的和来确定小数点的位置。
例如，计算2.3×1.6时，我们得到结果3.68。
由于2.3有1位小数，1.6有1位小数，所以最终结果应该有2位小数，即3.68。
三、口诀扩展之特殊乘法公式1.平方公式平方公式可以用来计算一个数的平方。
例如，计算7的平方，我们可以利用平方公式：7²=49。
2.立方公式立方公式可以用来计算一个数的立方。
例如，计算5的立方，我们可以利用立方公式：5³=125。
四、口诀扩展之乘数特征1.乘数为奇偶数当一个乘数为奇数时，我们可以将其拆分为一个偶数与1的和。
例如，计算6×7时，我们可以将7拆成6+1，即6×6+6×1=36+6=42。
乘法公式的拓展及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．基本考点例1：已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2：化简与计算221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。
练习： 1、（a+b －1）（a －b+1）= 。
2．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－53、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.4、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
5、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。
6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
7、2200720092008⨯-（运用乘法公式）考点连接题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+- 题型二：应用完全平方公式求值设m+n=10，mn=24，求()222m n m n +-和的值。
乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，?x ?y ???y ?x ??x 2?y 2② 符号变化，??x ?y ???x ?y ????x ?2?y 2? x 2?y 2③ 指数变化，?x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4④ 系数变化，?2a ?b ??2a ?b ??4a 2?b 2⑤ 换式变化，?xy ??z ?m ???xy ??z ?m ????xy ?2??z ?m ?2?x 2y 2??z ?m ??z ?m ??x 2y 2??z 2?zm ?zm ?m 2??x 2y 2?z 2?2zm ?m 2⑥ 增项变化，?x ?y ?z ??x ?y ?z ???x ?y ?2?z 2??x ?y ??x ?y ??z 2?x 2?xy ?xy ?y 2?z 2?x 2?2xy ?y 2?z 2⑦ 连用公式变化，?x ?y ??x ?y ??x 2?y 2???x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4⑧ 逆用公式变化，?x ?y ?z ?2??x ?y ?z ?2???x ?y ?z ???x ?y ?z ????x ?y ?z ???x ?y ?z ???2x ??2y ?2z ???4xy ?4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
专题1.3 乘法公式【九大题型】【北师大版】【题型1 乘法公式的基本运算】 (1)【题型2 利用完全平方式确定系数】 (3)【题型3 乘法公式的运算】 (4)【题型4 利用乘法公式求值】 (6)【题型5 利用面积法验证乘法公式】 (7)【题型6 乘法公式的应用】 (9)【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】 (12)【题型8 整式乘法中的新定义问题】 (17)【题型9 整式乘法中的规律探究】 (20)【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2022春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误；B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误；C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确；D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误．故选：C ．【变式1-1】（2022春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）A ．（﹣x +2y ）（x ﹣2y ）B ．（3x ﹣5y ）（﹣3x ﹣5y ）C ．（1﹣5m ）（5m ﹣1）D ．（a +b ）（b +a ）【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；B 、﹣5y 是相同的项，互为相反项是3x 与﹣3x ，符合平方差公式的要求；C 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；D 、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；故选：B ．【变式1-2】（2022春•巴中期末）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【解答】解：A 、结果是y 2﹣x 2，故本选项不符合题意；B 、结果是x 2﹣2xy +y 2，故本选项不符合题意；C 、结果是x 2+2xy +y 2，故本选项不符合题意；D 、结果是x 2﹣y 2，故本选项符合题意.【变式1-3】（2022秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．（a ﹣b ）（﹣b ﹣a ）B ．（﹣n 2﹣m 2）（m 2+n 2）C ．(−12p +q)(q +12p)D ．（2x ﹣3y ）（2x +3y ）【分析】A 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；B 、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；C 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；D 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意．【解答】解：A 、原式＝b 2﹣a 2，本选项不合题意；B 、原式＝﹣（m 2+n 2）2，本选项符合题意；C、原式＝q2−1p2，本选项不合题意；4D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．【题型2 利用完全平方式确定系数】【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A．1个B．2个C．3个D．5个【分析】本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4分别是x和2的平方，可当作首尾两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x和2的乘积的2倍，即±4x，同时还应看到x2+4加上﹣4或﹣x2或x4后也可分别构成完全平方式，所以可加的单项式共有5个．16等5个．【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或x416故选：D．【变式2-1】（2022•南通模拟）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可．【解答】解：∵2x＝2×1•x，∴k＝12＝1，故选A．【变式2-2】（2022秋•青县期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（ ）A．0B．﹣5或7C．7D．9【分析】根据完全平方式的定义解决此题．【解答】解：9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2﹣（K﹣1）x+12．∵9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，∴9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2±2•3x•1+12＝（3x）2±6x+12．∴﹣（K﹣1）＝±6．当﹣（K﹣1）＝6时，K＝﹣5．当﹣（K﹣1）＝﹣6时，K＝7．综上：K＝﹣5或7．故选：B ．【变式2-3】（2022秋•崇川区校级月考）（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成（ ）A ．a ＜b ＜cB ．（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2＝0C ．c ＜a ＜bD ．a ＝b ≠c【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝（a +b +c ）]2，化简有ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，那么就有（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a ＝b ＝c ．故选答案B ．【解答】解：原式＝3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ），∵（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，∴3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝+a +b +c ）]2，∴ab +bc +ac =13（a +b +c ）2=13（a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ），∴ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，∴2（ab +bc +ac ）＝2（a 2+b 2+c 2），即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，∴a ﹣b ＝0，b ﹣c ＝0，c ﹣a ＝0，∴a ＝b ＝c ．故选：B ．【题型3 乘法公式的运算】【例3】（2022春•龙胜县期中）计算：（1−152）×（1−162）×（1−172）×…×（1−1992）×（1−11002）的结果是（ ）A ．101200B ．101125C ．101100D ．1100【分析】根据a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，从而得出答案．【解答】解：原式＝（1−15）×（1+15）×（1−16）×（1+16）×（1−17）×（1+17）×…×（1−199）×（1+199）×（1−1100）×（1+1100）=45×65×56×76×67×87×⋯×9899×10099×99100×101100=45×101100=101125．故选：B．【变式3-1】（2022秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x ＝1，y＝2．【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2），＝4x2﹣y2﹣4y2+x2，＝5x2﹣5y2，当x＝1，y＝2时，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15．【变式3-2】（2022春•乳山市期末）用乘法公式进行计算：（1）20192﹣2018×2020；（2）112+13×66+392．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【解答】解：（1）20192﹣2018×2020＝20192﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20192﹣（20222﹣1）＝1；（2）112+13×66+392＝112+13×2×3×11+392＝112+2×11×39+392＝（11+39）2＝502＝2500．【变式3-3】（2022春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（24﹣1）（24+1）…（264+1）＝…＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1．【题型4 利用乘法公式求值】【例4】（2022秋•九龙坡区校级期中）若a 2﹣b 2＝16，（a +b ）2＝8，则ab 的值为（ ）A ．−32B ．32C ．﹣6D ．6【分析】根据a 2﹣b 2＝16得到（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，再由（a +b ）2＝8，求出（a ﹣b ）2＝32，最后根据ab 【解答】解：∵a 2﹣b 2＝16，∴（a +b ）（a ﹣b ）＝16，∴（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，∵（a +b ）2＝8，∴（a ﹣b ）2＝32，∴ab ==8−324=−6，故选：C ．【变式4-1】（2022春•姜堰区校级月考）已知4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，求（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2的值．【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，∴（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2＝[（m +2n ）+（3m ﹣n ）][（m +2n ）﹣（3m ﹣n ）]＝（4m +n ）（3n ﹣2m ）＝﹣900．【变式4-2】（2022春•双峰县期中）若x 、y 满足x 2+y 2=54，xy =−12，求下列各式的值．（1）（x +y ）2（2）x 4+y 4．【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝x 2+y 2+2xy =54−1=14；（2）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝（x 2+y 2）2﹣2x 2y 2=2516−12=1716．【变式4-3】（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝2021，那么（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2的值为（ ）A ．4046B ．2023C ．4042D ．4043【分析】利用完全平方公式变形即可．【解答】解：∵（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，∴a 2+b 2＝（a ﹣b ）2+2ab ．∴（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2＝[（2022﹣m ）﹣（2022﹣m ）]2+2×（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝4+2×2021＝4046．故选：A ．【题型5 利用面积法验证乘法公式】【例5】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可．【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【变式5-1】（2022春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案．【解答】解：大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，四个部分的面积分别为a2、ab、ab、b2，由面积之间的关系得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选：C．【变式5-2】（2022春•锦州期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故选：D．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a）B．x2+2ax＝x（x+2a）C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可．【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2，第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），故选：A．【题型6 乘法公式的应用】【例6】（2022春•榆次区期中）如图1，从边长为（a+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm 的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ）A．9cm2B．（6a﹣9）cm2C．（6a+9）cm2D．（6a+21）cm2【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案．【解答】解：根据题意，长方形的面积为[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，故选：D．【变式6-1】（2022秋•西峰区期末）如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．【分析】设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．【解答】解：）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．【变式6-2】（2022春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）A．16B．14C．12D．10【分析】设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及已知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100，得出x2与y2的数量关系，然后解得y2即可．【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长为（x+y），宽为（x﹣y），∵每个小长方形③的面积均为16，∴（x+y）（x﹣y）＝16，∴x2﹣y2＝16，∴x2＝16+y2∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，∴大长方形的长为：[（x+y）+x]＝2x+y，宽为：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，∵大长方形的面积为100，∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，∴4x2﹣y2＝100，∴4（16+y2）﹣y2＝100，∴y2＝12，即标号为②的正方形的面积为y2＝12．故选：C．【变式6-3】（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？【分析】（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；（2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、求差即可．【解答】解：（1）八年3班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；八年4班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米．【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相应的字母．【分析】（1）此题只需将大正方形的边长表示为a，小正方形的边长表示为b即可，（2）此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可；（3）此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立．【解答】解：（1）．（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）（2）根据两图形求得两图形的面积分别为：S1＝a2﹣b2；S2=12（3）拼成的图形如下图所示：【变式7-1】（2022春•西城区校级期中）阅读学习：数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ．（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式： （2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2 ．（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．【分析】（1）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系即可；（2）根据面积的两种表达方式得到图4所表示的代数恒等式；（3）由已知的恒等式，画出相应的图形即可．【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（2）图4所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（3）如图所示：故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．【变式7-2】（2022春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy=11，求（x﹣y）2的值；[知识迁移]类似地，2用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（3）根据图③，写出一个代数恒等式： （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ；（4）已知a+b＝3，ab＝1【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，=14．∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×112（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），把a+b＝3，ab＝1代入得：a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．9．【变式7-3】（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 证明上述速算方法的正确性．【分析】（1）利用面积法即可解决问题；（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；拓展应用：模仿例题计算57×53即可；探究规律，利用规律解决问题即可；【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；【题型8 整式乘法中的新定义问题】【例8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式A，B，C，若A+B+C可以写成（a+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式x2，4和m是完全搭配项，则m可能是 4x或﹣4x或116x 4 ．（写出所有情况）【分析】分为三种情况：①m 为第二项时，②当m 为第一项时，根据完全平方式求出m 即可．【解答】解：①x 2±4x +4，此时m ＝±4x ，②（14x 2）2+x 2+4，此时m ＝（14x 2）2=116x 4，故答案为：4x 或﹣4x 或116x 4．【变式8-1】（2022春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）是，理由如下：∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022，∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k +2）2﹣（2k ）2＝（2k +2+2k ）（2k +2﹣2k ）＝2（4k +2）＝4（2k +1），∴“神秘数”是4的倍数；（3）设两个连续的奇数为：2k +1，2k ﹣1，则（2k +1）2﹣（2k ﹣1）2＝8k ，而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【变式8-2】（2022春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”．（1）写出两个奇异数（8，16，24除外）；（2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？【分析】（1）根据奇异数的定义判断即可；（2）偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判断即可．【解答】解：（1）奇异数可以为32，40；（2）不是奇异数，理由为：假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差，可设（n+2）2﹣n2＝6050，分解因式得：2（2n+2）＝6050，解得：n＝1511.5，可得n不是奇数，不符合题意，则偶数6050不是奇异数．【变式8-3】（2022•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．因此3，5，8，…，都是“智慧数”；而1，2，4，…，都是“非智慧数”．对于“智慧数”，有如下结论：①设k为正整数（k≥2），则k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；②设k为正整数（k≥3），则k2﹣（k﹣2）2＝ 4（k﹣1） ．∴都是“智慧数”．（1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．【分析】（1）由平方差公式即可得出答案，根据①②的结论除去奇数及4的正整数倍数，即可得所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）根据①②可判断出在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3；k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数“．从而根据循环规律判断出结果．【解答】解：（1）k2﹣（k﹣2）2＝（k+k﹣2）（k﹣k+2）＝2（2k﹣2）＝4（k﹣1）；智慧数是除4以外，所有4的正整数倍数．根据①，除去奇数：7，9，11，13，15，17，19；根据②，除去4的正整数倍数：8，12，16．则所有大于5而小于20的“非智慧数”有：6，10，14，18．（2）在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3．当k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数”．∴在从1开始的正整数中前4个正整数只有3为“智慧数”，此后每连续4个数中有3个“智慧数”．∵100＝1+3×33，∴4×（33+1）＝136．又∵136后面的3个“智慧数”为137，139，140，∴从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”是140．【题型9 整式乘法中的规律探究】【例9】（2022春•江阴市期中）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根据规律计算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值为（ ）DA．22019﹣1B．﹣22019﹣1C．22019−13【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2019﹣1，然后再计算所给式子．【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1=故选：D．【变式9-1】（2022•丰顺县校级开学）解答下列问题．（1）观察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8× 3 ；②92﹣ 7 2＝8×4；③ 112 ﹣92＝8×5；④132﹣ 11 2＝8× 6 ；…（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；（3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？【分析】（1）观察算式，补全空白即可；（2）观察算式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用平方差公式证明即可．【解答】解：（1）观察下列算式：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×3；②92﹣72＝8×4；③112﹣92＝8×5；④132﹣112＝8×6；…故答案为：3，7，112，11，6；（1）通过观察归纳，猜想第n个式子为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）证明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n•2＝8n，所以（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n得证．【变式9-2】（2022秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+n=n(n1)，关于这个公式的推导方法，有很多，2比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1，变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子：22﹣12＝2×1+1；32﹣22＝2×2+1；42﹣32＝2×3+1；…（n+1）2﹣n2＝2×n+1；观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，．把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n1)2用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的值．【分析】根据已知等式得到n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推导出12+22+32+42+…+n2的公式．【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：13﹣03＝3﹣3+1，23﹣13＝3×22﹣3×2+1，33﹣23＝3×32﹣3×3+1，…，n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，n（n+1）（2n+1）．即12+22+32+42+…+n2==16【变式9-3】（2022春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1 （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，∴a6＝1．。
乘法公式的拓展及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．基本考点例1：已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2：化简与计算 221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。
练习：1、（a+b －1）（a －b+1）= 。
2．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－53、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.4、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
5、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。
6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
7、2200720092008⨯-（运用乘法公式）考点连接题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+-题型二：应用完全平方公式求值设m+n=10，mn=24，求()222m n m n +-和的值。
小学生乘法题型的拓展与应用乘法是数学中基础且重要的运算之一，对于小学生来说，掌握乘法的题型拓展和应用能够提高他们的数学能力，在解决实际问题时也能更加灵活运用。
本文将探讨小学生乘法题型的拓展与应用。
一、乘法的基本概念乘法是一种将两个数相乘得到积的运算。
在小学阶段，乘法的学习主要集中在乘法口诀表的记忆和基本的乘法计算上，例如：2 × 3 = 6。
二、乘法题型的拓展1. 乘法分配律：对于小学生来说，理解乘法分配律是很重要的。
乘法分配律规定了连加和连乘运算的相互关系。
例如：3 × (2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4)。
2. 多位数的乘法运算：在小学阶段，乘法的运算一般限定在两位数以内的数相乘。
但是对于掌握了乘法基本概念的小学生来说，可以逐步引导他们进行多位数的乘法运算。
例如：34 × 12 = 408。
3. 乘法的交换律：乘法的交换律是指两个数相乘的结果不受数的位置顺序的影响。
例如：2 × 3 = 3 × 2。
4. 乘法的逆运算——除法：除法是乘法的逆运算，通过除法可以反推出乘法的运算结果。
例如：12 ÷ 4 = 3，可以得出 3 × 4 = 12。
三、乘法题型的应用1. 数组和矩阵：乘法在数组和矩阵中有重要的应用。
例如，可以通过矩阵相乘来表示线性变换、图像处理等问题。
2. 小学奥数题：小学生参加数学竞赛时，乘法题型的拓展和运用非常常见。
例如，有关面积、长度、容积等方面的问题，可以用乘法进行求解。
3. 实际生活中的应用：乘法在日常生活中的应用也十分广泛。
例如，购物时计算商品的总价、计算时间和速度等，都需要用到乘法。
结语：通过对小学生乘法题型的拓展与应用的探讨，可以看出乘法是一个重要的数学概念，对于小学生的数学学习和日常生活都有着重要的影响。
因此，在教学过程中应该注意培养小学生解决问题的能力和运用数学知识的能力，使他们能够灵活运用乘法进行计算和解决实际问题。
乘法公式的拓展及常见题型整理2 >2例题：已知 a + b=4,求"一；二+ “。
⑴如果a-b = 3,(t-c = l.那么("一b)2+(b-c)2+(c-a)2的值是__________________________⑵x + y = 1,则一x2 +xy + -y2 = _________________________ (3)已知x(x-l)-(x2-y) = 一2，则"• 一xy = __________________________2 2 2⑴若则cr -+^r = __________ , cb= ___________⑵设(5a+3b) 2= (5a-3b) 2+A,则A= __________________ ⑶若则a 为 __________⑷如果(X-y)2 +M =(x + y)\那么M等于___________________ ⑸已知(a+b)'m・ (a-b)2=n>则ab等于________________⑹若G 一3疔=(2a + 3b)2 + N ,则N的代数式是__________________ ⑺已知(a + b)2 = 7,(a-b)2 = 3,求a2+b2 + ab的值为_。
⑻已知实数a,b,c,d满足ac+bd = 3, ad —be = 5.求(a2 +b2)(c2 + J2)例题：已知(a+b)—7, 求值：⑴齐F (2)ab例2：已叫-x+20. b—x+.9,计+21,求屮—ac的值⑴若x-3y = 7,x2 -9y2 =49 ,则x + 3y = ______________________(2)_____________________________________ 若a+b = 2,则a2-Z?2+4Z?= _______________________ 若a + 5b = 6・则+5oZ? + 30Z?= ______________________________________⑶已知a'+bJGab且a>b>0・求匕二2的值为________________a -b⑷已知a = 2005x + 2004, b = 2005x4-2006 , c = 2OO5x + 200& 则代数式/ +b2 +c2 -ab-be-ca的值是.(四)步步为营例题：3X (22 +1) x (24 +1) x (2”和)x ( 2,6+1)6X (7 + 1) X(7 2 +1) X (74+1)X (78+1)+1 (a-/?)(a + Z?)(a，+b‘)(十+//)(“' + b")(2 +1) x (22 +1)X(24+1)X(28+1)X (216 +l)x (232 +1) + 12012? JOllSOlO 2-2009?+……+22-!2 （冷加扛冷）…卜縞（五）分类配方例题：已知一6〃? + 10〃 + 34 = 0,求〃7 +n 的值。
乘法公式的拓展及常见题型整理乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bdac ，求))((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab例2：已知a=201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=xc ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（四）步步为营例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+-ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011（五）分类配方例题：已知03410622=++-+n m n m，求n m +的值。
001整式乘法‑公式专项‑拓展题1．平方差公式（1）两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差，(a+b)(a−b)=a2−b2.（2）变化形式：➀系数变化：(2x+3y)(2x−3y)=4x2−9y2；➁符号变化：(−a+b)(−a−b)=a2−b2；➂位置变化：(b+a)(−b+a)=a2−b2；➃指数变化：(m3+n2)(m3−n2)=m6−n4；➄增项变化：(a+b+c)(a−b−c)=a2−(b+c)2．2.完全平方公式（1）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(−a−b)2=a2+2ab+b2(−a+b)2=a2−2ab+b2（2）完全平方式如果一个多项式A可以表示为另一个多项式B的平方的形式，那么这个多项式A就是完全平方式.（3）利用完全平方公式知二推二已知任意两个代数式的值，可以求出另外两个代数式的值：➀a+b；➁a−b；➂ab；➃a2+b2.0021.计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是（）A.1024B.28+1C.216+1D.2162.如果ax2+2x+a8=(2x+12)2+m，则a，m的值分别是（）A.2，0B.2，14C.4，14D.14，43.计算：20222−2024×2020=．4.已知(a+b)2=49，a2+b2=25，则ab=（）A.24B.48C.12D.2√65.发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如(2+1)2+(2−1)2=10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．0036.如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图➁那样拼成一个正方形（中间是空的）．（1）图2中画有阴影的小正方形的边长为 （用含m，n的式子表示）；（2）观察图2，写出代数式(m+n)2，(m−n)2与mn之间的等量关系；（3）解决下面的问题：➀若m+n=7，mn=5，求(m−n)2的值；➁若a+1a=3，求a2+1a2的值．004答案解析1.解题思路：原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24−1)(24+1)(28+1)+1=(28−1)(28+1)+1=216−1+1=216，故选：D．本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即(a+b)(a−b)=a2−b2．正确答案：D2.解题思路：解：∵ax2+2x+a8=4x2+2x+14+m，∴⎧{{⎨{{⎩a=4a8=14+m，解得⎧{{⎨{{⎩a=4m=14．故选：C．正确答案：C3.解题思路：原式=20222−(2022+2)(2022−2)=20222−(20222−22)=20222−20222+4=4．故答案为：4．正确答案：44.解题思路：(a+b)2=a2+2ab+b2，将a2+b2=25，(a+b)2=49代入，可得0052ab+25=49，则2ab=24，所以ab=12，故选：C．正确答案：C5.解题思路：写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解．正确答案：10的一半为5，5=1+4=12+22，两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：(m+n)2+(m−n)2=m2+2mn+n2+m2−2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2)，故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．6.解题思路：（1）观察图形即可．（2）通过面积找到三者间的关系．（3）利用（2）中关系计算即可．正确答案：（1）图2中画有阴影的小正方形的边长(m−n)；故答案为：m−n．（2）图2中画有阴影的小正方形的边长(m−n)，面积为：(m−n)2，（图2中画有阴影的小正方形的面积还可以表示为：(m+n)2−4mn．∴(m−n)2=(m+n)2−4mn．（3）➀(m−n)2=(m+n)2−4mn=49−20=29．➁a2+1a2=(a+1a)2−2=9−2=7．。
小学数学乘法口诀扩展应用练习数学是一门基础学科，而乘法是数学中的一个重要概念。
小学生学习乘法时，通常首先学习乘法口诀，即从1乘到9的乘法表。
然而，乘法口诀并不仅仅只有乘法表这一种应用方式，还可以通过扩展应用来提高学生对乘法口诀的理解和运用能力。
本文将介绍一些乘法口诀的扩展应用练习，帮助小学生提高对乘法的掌握。
1. 乘法推理乘法推理是通过乘法口诀的特点来推导和解决一些数学问题。
例如，求解“98乘以25”的结果，我们可以利用乘法口诀中“9乘以2，结果是18”的特点，将乘法题分解为“90乘以20加8乘以20再加8乘以5”的运算。
这样，我们可以通过两个简单的乘法题来解决原来的复杂乘法。
2. 乘法拓展乘法口诀只涵盖了1乘以1到9的乘法表，但实际上乘法可以应用到更大的数值。
通过乘法口诀的延伸和拓展，我们可以进行更大数值的乘法计算。
例如，计算“153乘以67”的结果，我们可以利用乘法口诀的经验和策略，将乘法拆解为“100乘以60加50乘以60再加3乘以60再加3乘以7”的运算。
通过这种方式，我们可以更容易地计算出结果。
3. 乘法因式分解乘法因式分解是将一个较大的乘法题分解为若干个较小的乘法题的过程。
通过将乘法题拆解为乘法因子的乘积，我们可以更简单地计算乘法的结果。
例如，对于“24乘以37”，我们可以将其分解为“20乘以30再加4乘以30再加20乘以7再加4乘以7”的运算。
通过乘法因式分解，我们可以通过多次较小乘法的结果来得到最终的乘法结果。
4. 乘法的交换律和结合律乘法的交换律和结合律是乘法运算中的重要规律。
通过这两个规律，我们可以更自由地改变乘法的先后次序和组合方式。
例如，计算“68乘以25”的结果，我们可以先计算“60乘以20再加60乘以5”，也可以先计算“70乘以20再减2乘以20再加5乘以8”。
通过运用交换律和结合律，我们可以更加灵活地运用乘法口诀进行计算。
5. 乘法和几何乘法在几何学中也有重要的应用。
乘法公式的基础与拓展应用乘法公式是数学中常用的计算工具，它包含了一系列基础与拓展应用。
基础乘法公式常用于计算两个数之间的乘积。
它们包括：1.乘法交换律：a×b=b×a。
这意味着两个数的乘积与它们的顺序无关。
2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
这意味着无论是先将前两个数相乘然后与第三个数再相乘，还是先将后两个数相乘然后与第一个数再相乘，得到的结果都是相同的。
3.分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。
这意味着将一个数与两个数的和相乘，等于将这个数分别与两个数相乘得到的结果再相加。
基础乘法公式还可以进行简化，例如：1. 平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这意味着一个数的平方可以通过将该数与自身相乘得到。
2. 立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
这意味着一个数的立方可以通过将该数与自身的平方相乘得到。
乘法公式还可以应用于解决实际问题，例如：1.面积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的面积。
例如，长方形的面积可以通过将长与宽相乘得到；圆的面积可以通过将π与半径的平方相乘得到。
2.体积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的体积。
例如，长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘得到；圆柱体的体积可以通过将π、半径的平方和高相乘得到。
拓展应用方面，乘法公式也可以用于解决一些更复杂的问题。
例如：1.组合问题：组合问题是指从一个集合中选取若干个元素组成一个子集的问题。
乘法公式可以应用于计算组合问题的总数。
如果一些集合有n个元素，需要选取r个元素组成子集，那么组合问题的总数可以通过计算n!/(r!(n-r)!）得到，其中"!"表示阶乘。
2.概率问题：概率问题是指计算一些事件发生的可能性的问题。
乘法分配律拓展公式一、乘法分配律基本公式。
对于两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，得数不变。
即(a + b)×c=a×c + b×c。
1. 两个数的差与一个数相乘。
- 公式：(a - b)×c=a×c - b×c- 推导：假设a比b大，我们可以把(a - b)看作一个整体。
例如(5-3)×4，按照基本运算顺序先算括号里得2×4 = 8；如果用拓展公式，5×4-3×4 = 20 - 12 = 8，结果相同。
2. 多个数的和与一个数相乘。
- 公式：(a + b + c)×d=a×d + b×d + c×d- 推导：例如(2 + 3+5)×4，先算括号里2 + 3+5 = 10，10×4 = 40；用拓展公式2×4+3×4 + 5×4=8 + 12+20 = 40。
3. 多个数的差与一个数相乘。
- 公式：(a - b - c)×d=a×d - b×d - c×d- 推导：比如(10 - 3 - 2)×5，先算括号里10 - 3 - 2 = 5，5×5 = 25；用拓展公式10×5-3×5 - 2×5 = 50 - 15 - 10 = 25。
4. 一个数乘两个数的和（差）再乘一个数。
- 公式：d×(a + b)×e=(d×a + d×b)×e=d×a×e + d×b×e（对于差同理d×(a -b)×e=(d×a - d×b)×e=d×a×e - d×b×e）- 推导：例如2×(3 + 4)×5，先算括号里3 + 4 = 7，2×7×5 = 70；用拓展公式(2×3+2×4)×5=(6 + 8)×5 = 14×5 = 70。
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。
解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。
观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。
解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=24096=161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。
例7．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982 解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2⨯200⨯2+22 =40000-800+4 =39204例8．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2 （2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4例9．解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。
（4）已知13x x -=，求441x x+的值。
分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。
解：（1）∵a 2+b 2=13，ab =6∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2=a 2+b 2-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2=7，(a -b )2=4∴ a 2+2ab +b 2=7 ① a 2-2ab +b 2=4 ② ①+②得 2(a 2+b 2)=11，即22112a b += ①-②得 4ab =3，即34ab =（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22112222a b =-=⨯-=（4）由13x x -=，得19x x 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即22129x x +-= 22111x x ∴+= 221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++= 441119x x +=例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 分析：由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=522⨯3⨯4⨯5+1=121=112 3⨯4⨯5⨯6+1=361=192…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。
解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2+3n )2+2(n 2+3n )+1=(n 2+3n )(n 2+3n +2)+1 =(n 2+3n +1)2∵n 是整数，∴ n 2，3n 都是整数 ∴ n 2+3n +1一定是整数∴(n 2+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
例11．计算 （1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2 解：（1）(x 2-x +1)2=(x 2)2+(-x )2+12+2⋅ x 2⋅(-x )+2⋅x 2⋅1+2⋅(-x )⋅1=x 4+x 2+1-2x 3+2x 2-2x=x 4-2x 3+3x 2-2x +1（2）(3m +n -p )2=(3m )2+n 2+(-p )2+2⋅3m ⋅n +2⋅3m ⋅(-p )+2⋅n ⋅(-p )=9m 2+n 2+p 2+6mn -6mp -2np 分析：两数和的平方的推广(a +b +c )2 =[(a +b )+c ]2 =(a +b )2+2(a +b )⋅c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2 =a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算：()()53532222x y x y+- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y (二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a 解：原式()()()=-++111224a a a()()=-+=-111448a a a例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+-- 解：原式()()[]()()[]=-++--+25312531y z x y z x()()=--+=-+---25314925206122222y z x y x z y z x 三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4. 计算：()()57857822ab c ab c +---+ 解：原式()()[]()()[]=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c ()=-=-101416140160a b c a b a c四、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：()()x y z x y z +-++26 解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424 ()()=++-=+-+++x y z z x y z x y x z y z241224422222五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a ba b a b ab+-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
解：()a b a b a b 2222242526+=-+=+⨯=例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 22()()[]=++-=++++-2222244222222bc ad a b c d b c a d例8. 已知实数x 、y 、z 满足xy z x yy +==+-592，，那么x y z ++=23（ ）解：由两个完全平方公式得：()()[]ab a b a b =+--1422 从而 ()[]z x y y 2221459=--+- ()()()=--+-=-+-=--+=--25414529696932222y y y y y y y ()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22300322322308+-====++=+⨯+=三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5) 分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例2 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2-(y -z )2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例4 计算(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2 =[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2=(a 9-1)2=a 18-2a 9+1例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆运用例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了。
