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第二章力力矩力偶

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第二章22 力矩与力偶

第二章22 力矩与力偶

2.2 力矩与力偶
解析法求力对轴之矩：
用解析方法表示，可得如下公式(图2-26):
m Z(F )m oF xy m oF xm oF y
xYyX
F对x和y轴之矩也可类似地求出，也可按坐标x (X), y (Y) ,z (Z)
轮换的方法直接写出: mz (F ) xY yX
mx (F )
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力对点之矩（力矩） 力对物体的作用效果
移动 转动
力的大小、方向 力矩的大小、方向
力矩:度量力使物体转动效果的物理量
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
2.2 力矩与力偶
了解：空间力系中力对点之矩
B
力矩的大小:
z
mo(F) F1
F
mo(F) =2OAB面积=Fh
A
力矩的方向：右手螺旋法则
h
y
O
x
mo(F1)
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;
力矩在力矩平面内的转向.
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
力和力偶是组成力系的两个基本物理量。
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力偶的性质：
(2) 力偶对其作用平面内任一点的矩都等于其力偶矩本
身的大小；
F
x
h
o
F’
m O F ,F F ( h x ) F F x m h
(3)只要不改变力偶的转向和力偶矩的大小, 力偶可在其 作用平面内（包括在其平行平面内）任意移动和转动,而 且也可任意改变其力和力偶臂的大小。

理论力学B第二章力偶

理论力学B第二章力偶
若：作用在刚体上 作用在刚体上
{F , F2 ,⋯, Fn} 1
{FR}
则： n MO (FR ) = ∑MO (F ) i
i=1
A C B E D
§2-1
力矩 (moment of a force)
二.力对轴之矩(moment of a force about an axis) 力对轴之矩
z Fz F o d F Fxy Fxy
（B）
N
1、研究OA杆 、研究 杆
2、研究AB杆 、研究 杆
例:已知 AB=2a BD=a,不计摩擦。求：当θ=π/2， BD=a,不计摩擦 不计摩擦。 /2， /3时 系统平衡力偶M 应满足的关系。 π/3时，系统平衡力偶M1 、M2 应满足的关系。
M2
B C D B D C
θ
A
M1
A
θ=π/2时： M1 = 5M2 /2时
方向
§2-3、力偶系作用下刚体的平衡
(Equilibrium of Rigid Bodies Applied by a System of Couples)
平衡的充分必要条件
{ M 1 , M 2 ,⋯ , M n } = { M
R
} = {0}
x y z
即：MR = ∑Mi = 0
i=1
n
∑M ∑M ∑M
{F , F ' } ≠ {FR }
性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到 力偶可在其作用面内任意移动（
另一平行平面),而不改变对刚体的作用 另一平行平面),而不改变对刚体的作用 ),
⇔
⇔
§2-2
2、力偶的性质
力偶 (Couples)
三、力偶的等效条件和性质

力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶

力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶

定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N

第二章 力 力矩 力偶

第二章 力 力矩 力偶

G
1.画出AC、CG、CD、DE、结点D、C的受力图
本章重点：
熟练画受力图
C A
1.画出AC、BC的受力图 2.BC为二力体，AC不是二力体
B
本章重点：
熟练画受力图
小结

熟记4类支座 熟记3类结点 作用力与反作用力 二力体与二力杆 绳索、皮带 光滑接触面 已知荷载不能漏
本章重点：
本章重点：
熟练画受力图
第二章 力 力矩 力偶
§2.1 力的性质
1、力的三要素：大小、方向、作用点 力为矢量，其表示方法：书上用 黑体 字表示， 手写可用

F
本章重点：
熟练画受力图
§2.1 力的性质
对于刚体力的三要素：大小、方向、作用线
刚体：力具有可传性 （沿力的作用线） 变形体：力不具有可传性 同一物体在不同的场合有时看做刚体，有时为变形体
2）所谓代数和是指带正负号的。
3）该定理重在会应用。
2.2力矩
4.力矩的平衡 所有力对同一点矩的代数和等于0
M
A
0
已知宽度为4m，混凝土密度为2600kg/m3,砖密度为1900kg/m3,在雨 篷边缘有一施工荷载1kN
3000
350 70
A
240
1000
2.3力偶
1.力偶的定义：
大小相等、方向相反、作用线不同、 作用在同一的物体上 一对平行力
D A E
4.当DE为一绳索和为一杆时有啥区别
B
本章重点：
熟练画受力图
理想光滑接触面约束
本章重点：
熟练画受力图
C
B
D
1.画出AB、BC、BD、DE的受力图
G

2力、力矩、力偶-2

2力、力矩、力偶-2

力臂
顺时针转向为负。
矩心 h
力矩的单位 N.m, kN.m
O
F
注意：同一个力对不同点之矩是不同的， 计算力矩时一定要指明矩心。
力F 对A点之矩 ,为 力F 对B点之矩 ,为 力F 对C点之矩 ,为
MA(F )=FhA MB(F )= –FhB MC(F )=0
A hA C
F
hB B
力的作用线通过 矩心时，力对该点 之矩等于零。
W3 2gV3 19009.8 (240103 3 4) 53625 N
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
3000 350
ρ1=2600kg/m3
W3
F=1kN
W2
70
A
W1
ρ2=1900kg/m3
240 1000
计算倾覆力矩
W3
2.力矩的矢量表示 用右手螺旋法则将力矩表示为矢量 拇指表示力矩矢量的方向
MO (F)
n MO(F )
O
平面内，力对O点之矩实际上是力使物体绕着 过O点垂直于该平面的轴转动的物理量。
力对轴的矩
n F
Oh
n MO(F )
O
O
F
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
平衡？分别是多少？
1.1m
M A(W1) W1 1.1 82.5kN.m M A(W2) W2 2 240kN.m M A(F) F 1.6 144kN.m
F
W1
W2
1.6m
A
1m
3m
作业
P.27: 2-9
= –4 kN.m

项目二 平面力系 任务二 力矩与力偶

项目二 平面力系 任务二 力矩与力偶
• 设在一物体的同一平面内有两个力偶，(Fl， F'1)和(F2，F'2)，力偶臂分别为d1和d2，力偶 矩分别为M1和M2，如图2-15a所示。于是有
• M1=F1d1，M2=F2 d2
• 现求其合成结果。在力偶作用面内任取一线段AB=d， 根据力偶的等效性推论，在不改变力偶矩M1和M2的条 件下，将它们的力偶臂都改为d，于是得到与原力偶等 效的两个力偶。(Fpl，F'p1)和(Fp2，F'p2)，FP1和 FP2的大小可由下列等式算出：
• 所以 F= M/2AC= 2.5/0.3kN= 8.33kN
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。 F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素
力。偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
图2-15
• 通常把O点称为矩心，把h称为力臂，把力的大小与 力臂的乘积称为力对矩心的矩，简称力矩，用它来衡 量力F使物体绕矩心转动的效应。力矩用符号mO(F)表 示。
• 人为约定：使物体产生逆时针转动(或转动趋势)的力 矩为正(图2-17(a))；使物体产生顺时针转动(或转动趋 势)的力矩为负(图2-17(b))。在平面问题中力对点的 矩可表示为
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
§2–6 力偶及其性质
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。

2--力、力矩、力偶

2--力、力矩、力偶
第2章 力、力矩、力偶
2021/3/10
1
牛顿三定律：指牛顿运动定律Newton's laws of motion， 牛顿第一运动定律即惯性定律、牛顿第二运动定律和牛顿 第三运动定律三大经典力学基本运动定律的总称。
牛顿第一定律
牛顿第二定律
牛顿第三定律
第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的
原因；第二定律指出了力的作用效果：力使物体获得加速
2021/3/10
15
定律2.2 力的平行四边形法则
图2-4(P.10图2-1)，作用于物体上同一点上的两个力， 其合力也作用在该点上，至于合力的大小和方向则由以这 两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，如图24a 所示，而原来的两个力称为这个合力的分力。
2021/3/10
图2-4
16
图示平行四边形法则( 三角形法则)
2021/3/10
22
原理2.2 力的可传性原理：作用于刚体上的力， 可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用外效 应。例如，图2-9中在车后A点加一水平力推车，如在 车前B点加一水平力拉车，对于车的运动效应而言， 其效果是一样的。
图2-9
2021/3/10
23
例题 2-1
求如图所示平面共点力系的合力。 其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点， 这三个因素称为力的三要素。
力的三要素可以用一个有向的线段即矢量表示。
2021/3/10
11
1)力是矢量。力是一个既有大小又有方向的量，力的 合成与分解需要运用矢量的运算法则，因此它是矢量（或 称向量）。

第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶

第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶

即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22

机械基础第二章力矩和力偶教案02

机械基础第二章力矩和力偶教案02

课堂教学实施方案点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD，注意：负号必须标注，正号可标也可不标。

一般不标注。

平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对本题有两种解法。

按力矩的定义计算由图中几何关系有：=(AB-DB)sinα=(AB- BCctgα)sinαα)sinα-bcosα在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。

（图a）司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力；（图b）工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力；（图c）以及用两个手指拧动水龙头所加的力等等。

▪力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶。

▪用符号( F ,F′) 表示。

▪两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂。

▪两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。

偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。

在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米力和力偶是静力学中两个基本要素。

力偶与力具有不同的性质：）力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。

因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。

）无合力，故不能与一个力等效；结论：只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动或转动，其对刚体的作用效果四力的平移定理力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。

力的平移定理只适用于刚体力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；反过来，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。

第二章 力、力矩、力偶

第二章 力、力矩、力偶

P*4Sin30° P*4Sin30°=2*4*1/2 =4 (KN·M) Py*4= P*Sin30º* 4=2*1/2*4=4(KN·M) Py*4=
第二节 力矩 ★力矩的平衡: 作用在物体上同一平面的 力矩的平衡: 各力, 各力,对支点或转轴之矩的代数和为零。
第三节 力偶 ★力偶的定义:作用在同一物体上的一对等 力偶的定义: 值、反向、不共线的平行力。 例如:拧笔帽, 例如:拧笔帽,握方向盘。
第二章 力、力矩、力偶
第一节 力的性质 ★定义: ★定义: 力是物体之间相互的机械作用。 常用单位：牛（N）和千牛（KN） 常用单位：牛（N）和千牛（KN） ★力的三要素: 大小、方向、作用点。 力的三要素:
F F/2 F F
第一节 力的性质 ★力的可传性 a.对刚体作用效果相同 a.对刚体作用效果相同
第二节 力矩 ★定义： F对矩心0点的矩 对矩心0 ★表达式：M= Fh( ★表达式：M= ±Fh(力×力臂) 力臂)
方向: 逆时针为正; 方向: 逆时针为正;顺时针为负。 矢量的方向: 矢量的方向:由右手螺旋法则确定。
第二节 力矩 ★合力矩定理: 平面内合力对某一点之矩 合力矩定理: 等于其分力对同一点之矩的代数和. 等于其分力对同一点之矩的代数和.
b.对变形体力一般不可移动 b.对变形体力一般不可移动
第一节 力的性质 ★作用力与反作用力定律: 作用力与反作用力定律: 大小相等,方向相反, 大小相等,方向相反,作用线相同，作用在两 个物体上. 个物体上. （见书中图2 （见书中图2-3） ★力的合成与分解 力的合成：图解法
第一节 力的性质 数解法： 余弦定理： 正弦定理： 力的分解: 力的分解: 如有一合力,可有任意组解, 如有一合力,可有任意组解,为便于力的分析 和计算,所以一般规定两分力必须垂直, 和计算,所以一般规定两分力必须垂直,即在 座标中的投影. 座标中的投影.

建筑力学2-力的概念

建筑力学2-力的概念

图2.10

如图2.11(a)所示，力F既可以分解为力F1和F2，也可
以分解为F3和F4等等。 推论 三力平衡汇交定理

当刚体受到共面而又互不平行的三个力作用而平衡 时，则此三个力的作用线必汇交于一点。

证明：设有共面而又互不平行的三个力F1、F2、F3
分别作用在一刚体上的A1、A2、A3三点而成平衡，如图 2.12(a)所示。
图2.23


④ 在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩 大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。 这一性质称为力偶的等效性。 力偶的等效性可以直接由经验证实，例如，司机 使汽车转弯时用双手转动方向盘(图2.24)，不管施加的 力偶是（F1，F1′）或是(F2，F2′),只要力的大小不变， 它们的力偶矩就相等，因而转动方向盘的效应就相同。 又如攻螺纹时，双手施加在扳手上的力偶不论是如图 2.25(a)还是如图2.25(b) 。

(1) 力偶和力偶矩 在实践中，我们有时可见到两个大小相等、方向 相反、作用线平行而不重合的力作用于物体的情形。 例如，钳工用丝锥攻螺纹（图2.19）就是这样加力的。 力学中，将这种大小相等、方向相反、作用线平 行而不重合的两个力组成的力系，称为力偶，用符号 （F，F′）表示。力偶中两力作用线间的垂直距离d （图2.20），称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作 用面。
图2.14
图2.15




力F对O点之矩通常用符号mO(F)表示，即 mO(F)=±Fd 由图2.16可见，力F对O点之矩的大小也可用以力F 为底边，矩心O为顶点所构成的三角形OAB面积的两 倍来表示，即 mO(F)=±2S△OAB 由力矩的定义可知： （1） 当力的大小等于0，或力的作用线通过矩心 (力臂d=0)时，力矩为0。 （2） 力对某一点之矩不因力沿其作用线任意移动 而改变。

2-第二章 力矩与力偶理论

2-第二章 力矩与力偶理论
连解方程组得
2)解析法：(适应于多力汇交平衡)
(1)简化
根据合力投影规律：
(2)平衡：
若力系为平面汇交力系，则：
例2： 如图2-4所示机构，不计轮重及轮的尺寸、大小，求AB、BC杆的内力。
解：不计轮的尺寸，则可看成B点的受力为汇交力，AB和BC杆件为二力杆，以轮B为研究对象，则B受力如图2-4c。
例3：两轮A和B，各重为 ， ，杆AB为L，连接两轮，可自由地在光滑面滚动，不计杆重，试求当物体系统处于平衡时，杆AB与水平线的夹角。
(2)力沿其作用线运动，力对轴之矩不变。
二、力对轴的矩与力对点的矩之间的关系定理：
定理：力对点的矩矢在通过该点的轴上投影，等于力对轴的矩，即：
证明：从2.2中得力FΒιβλιοθήκη Z轴的矩：∴同理有
结论：
分析：求力对轴之矩有两种方法：
(1)根据定义：将力F投影在与轴垂直的平面→ ，再求力 对汇交点O之矩，
(2)如果投影很困难，则：首先求出力F对轴上任意一点之矩 再对该轴进行投影，即 。
结论：空间力偶可以在平行平面内任意移动而不影响力偶对刚的效应。
所以：力偶矩矢是一个自由矢量(而力对点的矩是一个定位矢量)
(1)与矩的无关
(2)可在作用平面内任意转移
(3)其作用平面内可以任意平移。
注：力偶的可移动性，只适应于一个刚体内的移动.
三、合力偶矩定理：
合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和：
提示：合力投影定律：
以矩心为原点，建立直角坐标系OXYZ
设： F在x、y、z轴上投影为X、Y、Z
注意：在平面中力矩是代数量(因为方位确定)
规定：逆时钟转动为正，顺时钟转动为负。
二、合力矩定理：合力对某点的矩等于各力对同一点的矩的矢量和。

建筑力学 第2章 力力矩力偶

建筑力学 第2章 力力矩力偶

图（a)
图（b)
4、作用与反作用定律 两物体间相互作用的力（作用力与反作力） 同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。
这一定律就是牛顿第三定律，不论物体是 静止的或运动着的，这一定律都成立。
与二力平衡区别，作用于两个物体上。
FT FT
P
P
y
y
A
o
B
b1 Fy a1 A
b
x o
Fx

FB

Fy
I
E
D
出各构件的受力图。 P
例 题 1-4
解：
1. 杆 AB 的受力图。
FAB
C
A
B FBA
2. 杆 BC 的受力图。
A
45

H B F
FBy
FCB
C
H
45

B F
FBx
I
E
D
FTH
FTF
B
FBC
P
3. 轮 B (B处为没 有销钉的孔）的受
力图。
例 题 1-4
5. 轮 D 的受力图。 4. 销钉 B 的受力图。
支座特点：允许结构绕A转动，但不能移动。 约束反力：通过铰A的中心，但指向和大小均未知。
5. 可动铰支座 在固定铰支座下面加几个辊轴支承于平面上，就构成可 动铰支座。 支座特点：限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作 相对转动，并可沿支座平面方向移动。 约束反力：作用点确定，即通过铰中心并与支承平面相 垂直，但指向未知。
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
图b 力在坐标轴上的投影
a
Fx
b
x
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 ，则力在x、y轴上的投影为 、

2.2 力矩和力偶

2.2 力矩和力偶

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
上述三组方程是平面一般力系平 衡方程的三种表达形式，实际计算时 应根据问题的具体条件来选择其中的 一组方程。但不论采用哪种形式，都 只有写出三个独立的平衡方程才可以 求解三个未知量。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
例1-8
已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力 解：
y
Fx
F

（二）合力矩定理
合力对平面内任意一点之矩， F 等于所有分力对同一点之矩的代数 和。
o
r
d
x
A
y

Fy
x
M O F M O F1 M O F2 M O Fn
即：
Mo (FR ) Mo (F )
利用合力矩定理可以简化力矩的计算
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
• 【例2.1】如图所示每1m长挡土墙
• 所受的压力的合力为F，它的大小为 • 160kN，方向如图所示。求土压力F
• 使墙倾覆的力矩。
• 【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆， • 故求F 对点A的力矩。 • 采用合力矩定理进行计算比较方便。 • MA(F) =MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
实践经验告诉我们：力F使物体绕某点O转动的效应，不仅与 力F的大小成正比，而且还与力F的作用线到O点的垂直距离d 成正比。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
l
d
A
o
将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上 正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即

力对点的矩,力偶

力对点的矩,力偶
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
§2.3.3 平面力偶系的合成与平衡条件 例题 2-6
例2-6 一简支梁AB=d，作用一力偶 M ，求二支座约束力。
解：
梁上作用力偶 M 外，还有约束力FA，FB。
M
因为力偶只能与力偶平衡，所以
A
d
B
FA = FB。
由
Mi 0
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d M2 F2d
Mn d
Fn
Mn Fnd
==
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
r
F
§2.3.1力对点的矩
2.力矩的性质 （1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
2.3.2汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FRLeabharlann MOFi平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
例2-1
已知: F=1400N, θ 20,
求:MO F.
解: 直接按定义
r 60mm
M F F h F r cosθ O 78.93N m
按合力矩定理

第二章-力-力矩-力偶

第二章-力-力矩-力偶

动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
d

Pn

D 2

cos
75.2 N m
②应用合力矩定理
MO (Pn ) MO (P ) MO (Pr )

Pn
cos

D 2

0
75.2 N m
§2-3-1 力偶（P25 §2-3 ）
一、 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 二、力偶的性质 1 性质1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
m 0 m1 m2 NA l cos 0
解得：
m2 m1 cos 2
§2-3-3 空间力对点之矩与空间力偶
一、力对点的矩 ⒈ 空间力对点之矩三要素
决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物 体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素：

力力矩力偶获奖课件

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内容以及要求： 学 时：4 §2–1 力旳性质
一、基本概念（掌握） 二、静力学公理（掌握） 三、力旳合成与分解（掌握） 四、物体受力分析、受力图（要点掌握） §2–2 力 矩 一、力矩基本概念（了解） 二、合力矩定理（掌握） 三、力矩旳平衡 （掌握） §2–3 力 偶 一、力偶与力偶矩（了解） 二、力偶旳性质（掌握） 三、平面力偶系旳简化与平衡条件（掌握）
P
G
D
A
。 60
FNA
P GA
E
。 60
B
FNB
E
D FT
F’T
B
FNA
F’Cx
F’Cy
FNB
F’Cx
F’Cy
例题2-7
一系统受力如图。梁AB上作用分布力q，
梁CD上作用一集中力F，A端为固定端，试作 出梁AB、CD旳受力图，自重不计。
q
A
F
B
C
E
D
q
【解】
BC为二力杆 A
q
MA
A
B
FAx FAy
有关力偶性质旳推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别变化力和力偶臂大小， 其作用效果不变。
以上推论仅合用于刚体。
对于变形体：
对比:力矩与力偶矩 相同处：（1）都是用来度量物体旳转动效应
（2）力矩与力偶矩旳量纲相同。
不同处：力矩旳大小与矩心位置有关。而力偶 矩与矩心位置无关，是常量。 联 系：力偶中旳两个力对任一点旳矩之和是 常量，等于力偶矩。
P1
P2
P1
P2
解：
取杆 CD ，
其为二力杆，
杆CD受力图
P1
P2

力矩力偶力偶矩滑轮差动轮

力矩力偶力偶矩滑轮差动轮

力矩力偶力偶矩滑轮差动轮【力矩】又叫转矩,是表示力对物体作用时,使物体发生转动或改变转动状态的物理量.力矩是矢量.力矩的大小等于力与从转轴到力的作用线的垂直距离之乘积.如果物体所受的力不在垂直于转轴O的平面内,就必须把力分解成两个分力:一个分力与转轴平行;另一个分力是在转动的平面内.只有转动平面内的分力才可能改变物体的转动状态.因此,在力矩等于力跟力臂乘积的计算中,应理解力是在它的作用点的转动平面内的分力.如这一点在力的作用线上,则力矩为零.如果若干个力同时作用在一个物体上,则合力矩是所有分力矩的代数和.一个处于平衡的物体,顺时针方向力矩的和等于逆时针方向力矩的和,在国际单位制中,力矩的单位是米.牛顿.其方向用右手螺旋法则决定.在中学阶段,因为只研究有固定转轴的物体的平衡,力矩就只有两种转向.规定物体逆时针转动的力矩为正,使物体顺时针转动的力矩为负.力矩愈大,使物体转动状态发生改变的效果就愈明显.用大小相同的力推门时,力的作用点离转轴愈远,且方向垂直于门,力臂愈大,则推门愈省力.【力偶】大小相等、方向相反,但作用线不在同一直线上的两个力叫作力偶.用双手攻螺纹或用手旋钥匙、水龙头时,所施加的作用常是力偶.它能使物体发生转动,或改变其转动状态.汽车驾驶员双手转动转向盘时所施加的一对力就是一个力偶.力偶的转动效果决定于力偶矩的大小.力偶矩等于其中任何一个力的大小和两力作用线之间的垂直距离(力偶臂)的乘积.如图1-24所示.如果作用力F的方向跟AB垂直,AB的长度等于d,那么这个力偶的力偶矩(M)为:M=/-Fd.式中Fd为力偶矩的大小,符号用来表示力偶的转向.规定力偶逆时针转向取,反之取-(也可规定,力偶顺时针转向取,那么力偶逆时针转向就取-).应注意:力偶中力的方向不跟AB垂直时,应像力矩那样分解成垂直分量,再进行计算.力偶的转矩(即力偶矩)和所绕着转动的点无关.由于力偶的合力为零,它不能使物体产生位移,只能使物体发生转动或改变物体的转动状态.【力偶矩】简称为力偶的力矩,亦称力偶的转矩.力偶是两个相等的平行力,它们的合力矩等于平行力中的一个力与平行力之间距离(称力偶臂)的乘积,称作力偶矩,力偶矩与转动轴的位置无关.力偶矩是矢量,其方向和组成力偶的两个力的方向间的关系,遵从右手螺旋法则.对于有固定轴的物体,在力偶的作用下,物体将绕固定轴转动;没有固定轴的物体,在力偶的作用下物体将绕通过质心的轴转动.【力偶臂】力偶之两个力之间的垂直距离.见力偶条图1-24所示.【轮轴】是固定在同一根轴上的两个半径不同的轮子构成的杠杆类简单机械.半径较大者是轮,半径较小的是轴.从形式上看是圆盘,但从实质上看起来只有它们的直径或半径起力学作用.用R表示轮半径,也就是动力臂;r表示轴半径,也就是阻力臂;O表示支点.当轮轴在作匀速转动时,动力t轮半径=阻力t轴半径,所以轮和轴的半径相差越大则越省力.上式动力用F表示,阻力用W表示,则可写成FR=Wr.即利用轮轴可以省力.若将重物挂在轮上则变成费力的轮轴,但它可省距离.轮轴的原理也可用机械功的原理来分析.轮轴每转一周,动力功等于Ft2pR,阻力功等于Wt2pr.在不计无用阻力时,机械的日常生活中常见的辘轳、绞盘、石磨、汽车的驾驶盘、手摇卷扬机等都是轮轴类机械.【滑轮】滑轮是属于杠杆变形的一种简单机械,是可以绕中心轴转动的,周围有槽的轮子.使用时,根据需要选择.滑轮可分为定滑轮、动滑轮、滑轮组、差动滑轮等.有的省力,有的可以改变作用力的方向,但是都不能省功.【定滑轮】滑轮的轴固定不动,它实质上是一个等臂杠杆.动力臂和阻力臂都是滑轮的半径r,根据杠杆原理Fr1=Wr2.它的机械利益为变了动力的方向,如要把物体提到高处,本应用向上的力,如利用定滑轮,就可以改用向下的力,优惠打折,因而便于工作.【动滑轮】滑轮的轴和重物一起移动的滑轮.它实质上是一个动力臂二倍于阻力臂的杠杆.根据杠杆平衡的原理Wr=F.2r,它的机械利改变用力的方向.其方向是与物体移动的方向一致.【滑轮组】动滑轮和定滑轮组合在一起叫滑轮组.因为动滑轮能够省力,定滑轮能改变力的方向,若将几个动滑轮和定滑轮搭配合并而成滑轮组,既可以改变力的大小,又能改变力的方向.普通的滑轮组是由数目相等的定滑轮和动滑轮组成的.而这些滑轮或者是上下相间地坐落在同一个轮架(或叫轮辕),优惠打折,或者是左右相邻地装在同一根轴心上.绳子的一端固定在上轮架上,即相当于系在一个固定的吊挂设备上,然后依次将绳子绕过每一个下面的动滑轮和上面的定滑轮.在绳子不受拘束的一端以F力拉之,被拉重物挂在活动的轮架上.对所有各段绳子可视为是互相平行的,当拉力与重物平衡时,则重物W必平均由每段绳子所承担.若有n个定滑轮和n个动滑轮时,且为匀速运动时,淘宝客,则所需之F力的大小仍和上面一样.因此,在提升重物时才能省力.其传动比乃为F∶W=1∶2n.注意,在使用滑轮组时,不能省功,只能省力,但省力是以多耗距离(即行程)为前题的.前边所分析的定滑轮、动滑轮以及滑轮组,都是在不计滑轮重力,滑轮与轴之间的摩擦阻力的情况下得出的结论.但在使用时,实际存在轮重和摩擦阻力,所以实际用的力要大些.【差动滑轮】即链式升降机,是一种用于起重的滑轮组.上面是由两个直径不同装在同一个轴上的圆盘A、B组成的定滑轮.下面是一个动滑轮,用铁索与上面的定滑轮联结起来而成滑轮组.若大轮A的半径是R,小轮B的半径是r,如图1-25所示.当动力F拉链条使大轮转一周,动力F拉链条向下移动了2pR,大轮卷起链条2pR,此时小轮也转动一周,并放下链条长2pr于是动滑轮和重物W上升的高度为由于2R大于(R-r),差动滑轮的机械利益大于1,若提高机械利益,可加大两轮的半径同时缩小两轮间的半径差.这种机械,亦称葫芦,有手动,也有用电来驱动的.链条是闭合的,为防止滑轮和链条间的滑动,滑轮上有齿牙与链条配合运动.。

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三、画受力图应注意的问题
⒈ 不要漏画力
除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受
力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，
接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此 ⒉ 不要多画力 对于受力体所受的每一个力，都应能明确地
指出它是哪一个施力体施加的。
二力杆
**公理2 加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用效应。 推论1：力的可传性原理。
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
对同一个刚体来说，力的该性质称为力的可传性，因此， 对同一个刚体，力是滑动矢量。
**公理3 力的平行四边形法则
力的作用线：沿力矢F的
A
K
直线称为力的作用线。
F
力的单位：国际单位制：牛顿(N),千牛顿(kN)
力系：是指作用在物体上的一群力。
平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，
我们称这个力系为平衡力系。
二.刚体
Q
W
AB
就是在力的作用下，大小和
DC
形状都不变的物体。
F
G
三.平衡
是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运
指向相反 F1 = –F2 作用线共线，
只用白体字 F 表示力的
大小，而不
作用于同一个物体上。 在其上加‘－’
或‘→’矢量
符号。
讨论：①对刚体来说，上面的条件是充要的 ②对变形体(或多体)来说，上面的条件只是必要条件
变形体 平衡
必要 充分
两力大小相 等指向相反
③二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
⒍ 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局 部或单个物体的受力图上要与之保持一致。
③画上主动力；④画出约束反力。 [例1]
[例2] 画出下列各构件的受力图
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
[例3] 画出下列各构件的受力图
说明：三力平衡必汇交 当三力平行时，在无限 远处汇交，它是一种特 殊情况。
[例4] 尖点问题
应去掉约束
应去掉约束
[例5] 画出下列各构件的受力图
公理5 告诉我们：处于 平衡状态的变形体，可用刚 体静力学的平衡理论去硏究。
§2-1-3 约束与约束反力（P4 §1-3 ）
一、概念 ⒈ 自由体：位移不受限制的物体叫自由体。
⒉ 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 ⒊ 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制 条件称为约束。 （这里，约束是名词，而不是动词的约束）
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力 物体是向点而来的力。
FR
滑槽与销钉
3.光滑圆柱铰链约束 ①圆柱铰链
销钉
A A
A
YA A XA
②固定铰支座
固定铰支座
RA 链杆约束
③活动铰支座（辊轴支座）
N
N的实际方向也 可以向下
活动铰支座（辊轴支座）
§2-1-4 物体的受力分析和受力图（P6 §1-4 ）
⒊ 不要画错力的方向 约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不 能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析 两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力 的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反， 不要把箭头方向画错。
⒋ 受力图上不能再带约束。 即受力图一定要画在分离体上。
⒌ 受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
[证] ∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系， ∴ R , F3 也为平衡力系。
又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3必汇交，且共面。
公理4 作用力和反作用力定律（P14 性质二）
等值、反向、共线、异体、且同时存在。 [例] 吊灯
＊＊公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚 体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
N1
G
G
N2
二、约束类型和确定约束反力方向的方法： 1.由柔软的绳索、链条或皮带构成的柔性体约束
T
S1 S'1
P
P
S2 S'2
柔性体约束只能承受拉力，所以它们的约束反力是作用在接 触点，方向沿柔性体轴线，背离被约束物体。是离点而去的 力。
2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计)
P P
N
N
NB NA
⒋ 主动力: 促使物体运动或使物体产生运动趋势的力称为 主动力（如重力、风力、切削力、物体压力、牵引力等）。
⒌ 约束反力：约束给被约束物体的力叫约束反力。（约束 的作用由力来表示，该力称为约束反力。）
⒌ 约束反力特点： ①大小常常是未知的； ②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
第二章 力、力矩、力偶
§2-1-1 力的性质
一、力的概念
1．定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改 变物体的运动状态或使物体发生形变。
2. 力的效应： ①运动效应(外效应)
FA
②变形效应(内
推论：力是矢量
印印刷刷体体用用黑黑体体
F字字或，，或手手F写写表表时时示示用用。。
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择
研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理 分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
作用在物体上的力有：一类是:主动力,如重力,风力,气体 压力等。 二类是：被动力，即约束反力。
二、受力图 画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；②取分离体；