最新人教版高中数学选修1-2《演绎推理》梳理探究2

2.1.2 演绎推理
课前导引
问题导入
在数学中,除了合情推理,我们更多使用的是一种由一般性的命题推演出特殊命题的推理方法,你能举几个例子吗?
答：所有金属都导电,铜是金属,所以铜能导电等.
知识预览
1.从____________________________________________________称为演绎推理.简言之,演绎推理是_________________的推理.
答案：一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法一般到特殊
2.“三段论法”包含三个判断,其中第一段称为____________________________,第二段称为
,可表示为
______________
答案：大前提小前提结论一般性原理特殊对象
揭示一般原理与特殊对象的内在联系
3.合情推理的结论______________,有待进一步证明,演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论______________.
答案：是猜想的是正确的。

2.1.2演绎推理一、教学目标1．核心素养通过对演绎推理的学习，在数学体验中培养学生的抽象能力和逻辑推理的能力．2．学习目标(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．(2)结合生活中的实例，创设民主的学习氛围和生动的学习情景，鼓励，引导学生通过思考，质疑等丰富多彩的认知过程来获取数学知识(3)发展学习数学的兴趣，让学生乐于探究数与形变化的奥秘，体验数学探究的艰辛和喜悦，感受数学世界的奇妙和谐．(4)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．3．学习重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理4．学习难点分析证明过程中包含的“三段论”形式．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P30—P33思考：什么是演绎推理？演绎推理的模式是什么？2．预习自测1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案：C2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（）A．一般的原理原则B．特定的命题C．一般的命题D．定理、公式答案：A3．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D（二）课堂设计1．知识回顾现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树．从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候．所以南极大陆曾经在温湿的热带．被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立．西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界．珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小．谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海．地质学家是怎么得出这个结论的呢？科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石．还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋．科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法．2．问题探究问题探究一什么是演绎推理●活动一1．什么是演绎推理？从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法．●活动二2．演绎推理的一般模式分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提喜马拉雅山曾经是海洋……结论三段论（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c 为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．先看下面的例子：把下列语句写成三段论的形式：（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C 时，水会沸腾；（3）一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除；（4）三角函数都是周期函数，αtan是周期函数；tan是三角函数，因此α（5）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°解答如下：（1）大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行小前提：冥王星是太阳系的大行星结论：冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行(2) 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100°C小前提：在一个标准大气压下把水加热到100°C时结论：水会沸腾（3）大前提：一切奇数都不能被2整除小前提：)12(100+是奇数结论：)12(100+不能被2整除（4）大前提：三角函数都是周期函数小前提：αtan是三角函数结论：αtan是周期函数（5）大前提：两条直线平行，同旁内角互补小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角结论：∠A+∠B=180°问题探究二三段论推理的可靠性●活动一三段论推理一定是可靠的吗？只有“大前提、小前提”都正确的前提下，“结论”才正确．看下面的例子：（1）有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”．这个推理是否正确？为什么？显然这个推理不正确，原因是大前提不正确．（2）两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同位角，那么∠A ＋∠B＝180°显然这个推理不正确，原因是小前提不正确．问题探究三合情推理与演绎推理的区别●活动一归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．问题探究四活学活用演绎推理●活动一把演绎推理写成三段论的形式把演绎推理写成三段论的形式必须弄清问题的大前提、小前提和结论．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°．(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．【知识点：演绎推理】详解：(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°．(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°．(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)－1通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)点拔：注意“三段论”的基本形式，即：“大前提、小前提和结论”．三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．●活动二三段论在几何中的应用例2 已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA．【知识点：演绎推理】 详解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提) ∴∠1＝∠2．(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角， (小前提) ∴∠1＝∠3．(结论) ∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD ．(结论)同理可证DB 平分∠CBA ．例3 已知A ，B ，C ，D 四点不共面，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证：MN ∥平面ACD ．【知识点：演绎推理，三角形的重心，线线平行，线面平行】详解：如图所示，连接BM ，BN 并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ ．因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心， (小前提) 所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点． (结论)又因为BM MP ＝BN NQ ，(小前提)所以MN ∥PQ ， (结论)又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，(小前提)所以MN∥平面ACD．(结论)点拔：(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．●活动三三段论在代数中的应用例4 已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明ba＜b＋ma＋m【知识点：演绎推理，不等式的性质】详解：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b＜a，m＞0，(小前提)所以，mb＜ma．(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb＜ma，(小前提)所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)所以，()()()()b a m a b ma a m a a m++<++，即b b ma a m+<+．(结论)点拔：使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．●活动四三段论在应用中的易错问题例5 (1)定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．【知识点：演绎推理，奇、偶函数】证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：___________________________．解析：通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．答案：若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数(2)所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．【知识点：演绎推理】①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④点拔：解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．3．课堂总结【知识梳理】比较：合情推理与演绎推理的区别与联系从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．【难点突破】（1）检验假设和理论：演绎法对假说作出推论,同时利用观察和实验来检验假设．（2）逻辑论证的工具：为科学知识的合理性提供逻辑证明．（3）作出科学预见的手段：把一个原理运用到具体场合,作出正确推理．演绎推理是一种必然性推理,推理的前提是一般,推出的结论是个别,一般中概括了个别．事物有共性,必然蕴藏着个别,所以“一般”中必然能够推演出“个别”,而推演出来的结论是否正确,取决于：大前提是否真确,推理是否合乎逻辑．演绎法也有其局限,推理结论的可靠性受前提（归纳的结论）的制约,而前提是否正确在演绎范围内是无法解决的．归纳法和演绎法在认识论中的辩证关系：归纳法是由认识个别到认识一般；演绎法是由认识一般进而认识个别．4．随堂检测1．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则（）A．m＝0B．m＝0，或n＝0C．n＝0D．m＝0，且n＝0解：D【知识点：演绎推理，奇、偶函数】2．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是（）A．－6B．8 3C．－8 3D．6解：∵a ∥b ，∴x 3＝42，∴x ＝6． 故答案为D ． 3．设n 是自然数，则18(n 2－1)的值（ ） A ．一定是零 B ．不一定是偶数 C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 答案：C解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)的值一定为偶数．答案为C4．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________． 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7． （三）课后作业 基础型 自主突破1．“所有的金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此类推理类型属于（ ） A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理 答案：A【知识点：演绎推理】“所有的金属都能导电”是大前提，“铁是金属”是小前提，“铁能导电”是结论．此类推理类型属于演绎推理，故选A ．2．“e 是无限不循环小数，所以e 是无理数．”该命题是演绎推理中的三段论推理，其中大前提是（ ）A ．无理数是无限不循环小数B ．有限小数或有限循环小数为有理数C ．无限不循环小数是无理数D．无限小数是无理数答案：C【知识点：演绎推理】解：大前提是无限不循环小数是无理数，选C．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段认推理（）A．正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D．不正确，两个“整数”概念不一致答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“凡是自然数都是整数”，正确；小前提“4是自然数”也正确；推理形式符合演绎推理，所以结论正确．4．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形．”中的小前提是（）A．①B．③C．①②D．②答案：D【知识点：演绎推理】解：，其理由为“大前提：矩形是平行四边形；小前提：三角形不是平行四边形；结论：三角形不是矩形．”5．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF//BC．这个命题的大前提为（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF//BC答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提是一个一般性的结论，故选A6．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤答案：C【知识点：演绎推理】解：归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤．故选C ．7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中细亚的地质结构类似，而中细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C ．由633,835,1037,1257,1477=+=+=+=+=+，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数之和D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（2n ≥），由此归纳出数列{}n a 的通项公式 答案：A【知识点：演绎推理】解：选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．能力型 师生共研1．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”．你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“任何实数的平方大于0”错误，应该是“任何实数的平方大于或等于0”．故选择A ．2．以下说法正确的个数是（ ）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理；②农“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的；③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用了类比推理；④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此，2 375是5的倍数，这是运用了演绎推理．A ．0B ．2C ．3D ．4答案：C【知识点：演绎推理】解：本题主要考查了几种推理与证明的判断．②③④都是正确的，对于①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是归纳推理，故选C ．3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）①函数cos ()y x x R =∈是三角函数；②三角函数是周期函数；③函数cos ()y x x R =∈是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①答案：B【知识点：演绎推理】解：∵“三段论”的结构是“若S 是P ，Q 是S ，则Q 是P”，故选择B ．4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价)(a b b >以及实数)10(<<x x 确定实际销售价格)(a b x a c -+=，这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于______．答案：215-【知识点：演绎推理，等比数列，等比中项】解：∵)(a b x a c -+=，即()c a x b a -=---，∴()()b c b a x b a -=---①∵)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，即2()()()b c b a c a --=-将①两边同乘以)(a b -，可得22()()()()b c b a b a x b a --=---，即222()()()c a b a x b a -=---②根据)(a b x a c -+=，可得()c a x b a -=-，则222()()c a x b a -=-③由②③可得，2222()()()x b a b a x b a -=---又b a >，∴210x x +-=，解得：x =，又01x <<，∴x = ∴最佳乐观系数x 的值等于215-． 探究型 多维突破1．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义)(''x f 是)(x f y =的导函数)('x f 的导函数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若三次函数12532131)(23-+-=x x x x f ，请你根据这一发现，求： （1）12532131)(23-+-=x x x x f 的对称中心为____________；（2）=++⋯+++)20192018()20192017()20193()20192()20191(f f f f f ____________． 答案：)1,21(；2018 【知识点：演绎推理，函数与导数】解：（1）2()3f x x x '=-+，()21f x x ''=-，令''()0f x =得，12x =，又1()12f =，故对称中心为)1,21(．（2）由（1）可得：()(1)2f x f x +-=，12320172018()()()()()201820192019201920192019f f f f f +++⋯++=． 2．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．答案：见解析解析：【知识点：演绎推理，棱锥的概念，锥体的体积，线线垂直，线面垂直，点到平面的距离】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC ．又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ．∵PC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PC ，即PC ⊥BC ．(2)连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°．从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1，由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13．∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，又PD ＝DC ＝1．∴PC ＝PD 2＋DC 2＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22，由V ＝13S △PBC ·h ＝13·22·h ＝13，得h ＝2．因此，点A 到平面PBC 的距离为2．（四）自助餐1．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解：A【知识点：演绎推理】2．在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．答案：大前提和推理过程【知识点：演绎推理】3．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值是lg2；④当－1<x <0，或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．答案：①③④【知识点：演绎推理,函数的性质】易知f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg x2＋1 |x|＝lg(x＋1x)．∵g(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确．答案为①③④4．因为中国的大学分布在全国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在全国各地．结论(1)上面的推理形式正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？【知识点：演绎推理】解：(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．5．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明∵|x|≤1时，|f(x)|≤1．x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1．证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1．6．如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，试用三段论的形式证明EF∥平面BCD．【知识点：演绎推理，三角形的中位线，线面平行的判定】证明：连接BD ． ∵三角形的中位线平行于第三边，大前提而EF 是△ABD 的中位线，小前提∴EF ∥BD ．结论∵如果不在平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，大前提而EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，且EF ∥BD ，小前提∴EF ∥平面BCD ．结论7．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n ，(n ＝1,2,3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎪⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n ．【知识点：演绎推理，数列的概念，等比数列】证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1(n ≥2)，则S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1． 故对任意的n ∈N *，有S n ＋1＝4a n ．数学视野类比推理虽然不能直接推动社会进步，但它在人们的认识中具有重要作用．它可以拓展人们的眼界，可以为人们改造和认识世界、推动社会进步提供一个有效的思维方法．1．类比推理是探索真理的重要逻辑形式类比推理是在已有知识的基础上进一步发展科学的一种有效的探索方法．在科学研究中具有开拓思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用，正如康德所说：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进．”科学史上很多著名的发现是借助于类比推理而获得的．据历史记载，西拉克斯的国王为庆功谢神，命金匠打造了一顶纯金皇冠，要献给不朽的神．完工后，国王怀疑皇冠不纯，但在不毁坏皇冠的情况下找不到解决的方法，便请教好友阿基米德．这就是著名的皇冠问题．阿基米德苦思一段时间，也无所得．一日，他到澡堂洗澡，当他的身体进入浴池时，他敏锐地察觉到水位上升，由此受到启迪，产生联想，于是把在自己进入浴池中水位上升与求皇冠质量进行类比，发现了浮力原理这一共同规律，并解决了“皇冠问题”．在这之后，浮力原理被广泛应用于科学研究与生产生活之中．2．类比推理可以帮助人们提出科学假说类比推理是形成科学假说的重要推理形式．在科学史上，许多重要的科学假说都是利用类比推理的思维方法建立起来的．19世纪中叶，奥地利首都维也纳有一位医生，名叫奥恩布鲁格．有一次，他给一位病人看病，没有检查出什么严重疾病，但病人很快就死了．经过解剖尸体查看，发现胸膛积满脓水．医生想，以后再碰到这样的病人怎么诊断？忽然想起他父亲在经营酒店时，常用手指关节敲木质酒桶，听到卜卜的叩击声，就能估量出木桶中还有多少酒．他思考：人们的胸膛不是很像酒桶吗？他通过反复探索胸部疾病和叩击声音之间变化的关系，终于写出《用叩诊人体胸部发现胸膛内部疾病的新方法》的医学论文，发明了“叩诊”这一医疗方法．在上例中，奥恩布鲁格就是运用类比推理把“酒桶和装酒量”与“人的胸膛和胸腔积水”作类比：同是封闭的物体，内藏液体，叩击时能发出声音等，从而根据叩桶知酒量而推出叩胸知病情的结论．此外，在科学发展史上，惠更斯提出的光的波动假说，卢瑟福及其学生提出的原子结构的行星模型假说，也都是运用类比推理建立了巨大的功绩．3．类比推理为现代科学技术经常应用的仿生学提供了理论基础自然界的动植物，它们的生长都极为巧妙，它们是孕育出新事物、新方法绝无仅有的好样板．人类还在蒙昧的幼年时期，为了生存繁衍，便开始模仿大自然，利用类比的方法，从自然界万事万物身上吸取有利于自己生存的优点，用来武装自己，改变命运．20世纪30年代出现的仿生学，就是专门研究生物系统的结构和功能，并将生物的某些特征应用到我们的创造发明之中，以创造先进技术装置的新学科．人类对自然的模仿，正是建立在类比推理的理。

2．1.2 演绎推理整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提 所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m .(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A 课堂小结 1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括 大前提——已知的一般原理； 小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB 平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．(设计者：李小青)。

新课导入（1）所有的金属都能够导电，观察铀是金属，所以铀能导电.（2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行. （3）一切奇数都不能被2整除,因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.（5）两条直线平行，同旁内角互补.如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°.（4）三角函数都是周期函数,α因为tan 三角函数, α 所以是tan周期函数. 观察 这些说法有什么共同点？探究思考都是以某些一般地判断为前提，得出一些个别的、具体的判断.你觉得这些说法正确吗?如果认为正确，那么这样的推论又是什么呢？这些说法的共同点是：教学目标【知识与能力】1.了解演绎推理的含义.2.能运用“三段论”进行简单的推理.【过程与方法】通过已学过的数学实例和生活中的实例，从中挖掘、提炼出演绎推理的含义和推理方法，使学生更好的掌握这种思维方法.【情感态度与价值观】使学生掌握这种思维方法，并能在今后的学习中有意识的使用它，以培养言之有理、论证有据的习惯.教学重难点重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单地推理.难点用“三段论”进行简单的推理.知识要点若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.现在可以知道，上面列举的例子都是演绎推理的例子且每个例子都有三段，称为“三段论”.所有的金属都能导电因为铜是金属,所以铜能够导电.大前提小前提结论（一般原理）（特殊情况）（所得结论）下面请同学们自己说出其余例子的“三段”. （2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行， 天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；大前提 小前提 结论（3）一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 大前提小前提所以(2100+1)不能被2整除.结论 （4）三角函数都是周期函数, α因为tan 三角函数, α所以是tan 周期函数. 大前提 小前提 结论（5）两条直线平行，同旁内角互补. 如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°. 大前提 小前提 结论“三段论”是演绎推理的一般模式，那现在大家想想它的内容是什么？（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”可以表示为大前提：M是P.小前提：S是M.结论： S是P.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S 是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.例题1 如图：在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.A DE C M B证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=900 大前提小前提所以△ABD 是直角三角形. 结论 同理△ABE 是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点,DM 是斜边上的中线， 小前提所以 DM= AB 12结论 同理 EM= AB 12所以 DM = EM.归纳由此可见，应用三段论解决问题时，首先应明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.自己试试看！如图：D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD= ∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF. 练一练A B D C EF (1)同位角相等,两直线平行, ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD= ∠A ,证明：所以, DF ∥EA. 大前提小前提 结论(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, DE ∥BA 且DF ∥EA, 所以,四边形AFDE 是平行四边形. (3)平行四边形的对边相等,ED 和AF 为平行四边形的对边, 所以,ED=AF. 大前提 小前提 结论大前提 小前提 结论 AB D CE F例题2分析证明函数f(x)= -x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果 y= ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增.f(x)证明：根据“三段论”得，函数f(x)=-x 2+2x 在（-∞,1）上是增函数.小前提是f(x)=-x 2+2x 的导数在区间(-∞,1）内满足 >0，这是证明本题的关键. 'f (x) =-2x+2.当x ∈(-∞，1)时，有1-x>0，所以=-2x+2=2（1-x ）>0.于是，f (x)'f (x)'还有其他的证明方法吗？ 证明函数f(x)=-x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.提示根据增函数的定义进行证明.继续解答……任取x1,x2 ∈(-∞,1]且x1<x2 , f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2)因为x1<x2所以 x2-x1>0因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)证明:满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.大前提小前提所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.结论在演绎推理中，应用三段论解决问题时，怎样才能保证结论是正确的呢？想一想注意演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.例题3 因为指数函数y=a x 是增函数,而y=a x 是指数函数,所以是增函数. 结论大前提 小前提 （1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？解：上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当0<a<1时，指数函数y=a x是减函数），所以所得的结论是错误的.记住反思通过本例的学习，使我们更深刻的理解了“在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确”.知识要点至此，我们学习了两种推理方式——合理推理与演绎推理.大家想想它们两者的区别与联系？自己总结归纳一下吧！区别：1.归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.2.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.联系：1.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.2. 从认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，演绎推理与合情推理又是紧密联系，相辅相成的.课堂小结1.演绎推理的概念：若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式，它的内容是：(1)大前提---已知的一般原理；(2)小前提---所研究的特殊情况；(3)结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.4.合情推理和演绎推理的联系与区别：总的来说，从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异，从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.随堂练习1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,大前提不正确.-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,(3) 凡金属都是导电的，水是导电的，所以，水是金属. 1(=0.333)3是无限小数, 是无理数.13大前提不正确,无理数是无限不循环小数. 小前提不正确,水不是金属.已知a,b,m均为正实数,b<a,求证: b b+m <.a a+m证:⎫⎬⎭b amb ma ab+mb ab+mam0<⇒<⇒<>⎫⎬⎭b(a+m)a(b+m)a(a+m)0b(a+m)a(b+m)a(a+m)a(a+m)b b+ma a+m⇒<>⇒<⇒<又2.习题答案 2.因为通项公式为 的数列{ }，若 其中p 是非零常数，则{ }是等比数列.‥‥‥‥大前提 又因为cq≠0,则q≠0,且 n a n+1n a =p a n+1n+1n n a cq ==q.a cq练习（第81页）1.答案课上已给出.n a n a ‥‥‥‥小前提3.由AD>BD ，得到∠ACD>∠BCD 的推理是错误的.因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD ”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 所以通项公式为 的数列{ }是等比数列.‥‥‥‥结论n n a =cq cq 0（） n a。

2.1.2 演绎推理问题导学一、演绎推理的基本形式活动与探究1把下列演绎推理写成三段论的形式：(1)指数函数y＝3x在R上是单调增函数；(2)∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝n的数列{a n}为等差数列．迁移与应用把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除；2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．运用三段论时的注意事项：用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．二、演绎推理的正误判断活动与探究2下列几个推理是否正确？为什么？(1)因为整数是自然数(大前提)，而3是整数(小前提)，所以3是自然数(结论)．(2)因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．(3)因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．迁移与应用1．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为()．A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理()．A．小前提错B．结论错C．正确D．大前提错判断演绎推理的结论是否正确的方法：(1)看推理形式是否是由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理．(2)看大前提是否正确．大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件．(3)看小前提是否正确．注意小前提必须在大前提范围之内．(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确．三、演绎推理的应用活动与探究3如图所示，在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA．迁移与应用如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)某个特殊情况下一般特殊(2)已知的一般原理所研究的特殊情况根据一般原理，对特殊情况做出的判断(3)S是P预习交流1(1)提示：①演绎推理的前提是一般性原理．演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．②在演绎推理中，前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必然是正确的．(2)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形△ABC的边长为3,4,5，且32＋42＝52△ABC是直角三角形2．部分整体个别一般特殊特殊一般特殊不一定正确一定正确预习交流2提示：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的前提为真时，结论必定为真．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：对命题进行分析，找出大前提、小前提、结论，再利用三段论的形式写出来．解：(1)因为指数函数y＝a x，在a＞1时是R上的单调增函数，……………………大前提函数y＝3x是指数函数且3＞1，………………………………小前提所以指数函数y＝3x在R上是单调增函数．……………………………………结论(2)因为等腰三角形两底角相等，………………………………大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，………………………………小前提所以∠A＝∠B．………………………………………………结论(3)因为数列{a n}中，当n≥2且n N*时，a n－a n－1＝d为常数，则数列{a n}是等差数列，大前提通项公式a n＝n，若n≥2且n N*时，a n－a n－1＝n－(n－1)＝1为常数，………………小前提所以通项公式为a n＝n的数列{a n}为等差数列．……………………………………结论迁移与应用解：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，………………大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，…………………………小前提水会沸腾．………………………………………………结论(2)一切奇数都不能被2整除，……………………………………大前提2100＋1是奇数，……………………………………小前提2100＋1不能被2整除，………………………………………………结论(3)三角函数都是周期函数，……………………………………大前提y＝tan α是三角函数，…………………………………………小前提y＝tan α是周期函数．………………………………………………结论活动与探究2思路分析：分析大前提、小前提和推理形式是否正确．解：(1)不正确．大前提错误，因为非负整数才是自然数．(2)不正确．小前提错误．因为若三点共线可确定无数个平面，只有不共线的三点才满足．(3)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．迁移与应用1．A解析：由演绎推理的三段论可知答案应为A．2．C解析：在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的．活动与探究3思路分析：理清图形中的线段关系，角度关系，由△ADC是等腰三角形，得∠1＝∠2，再利用等量代换求证．证明：①等腰三角形两底角相等，………………………………大前提△DAC是等腰三角形，DA，DC是两腰，……………………………………小前提∠1＝∠2．……………………………………结论②两条平行线被第三条直线所截，截得的内错角相等，…………………………大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，…………………………小前提∠1＝∠3．………………………………………………结论③等于同一个量的两个量相等，……………………………………大前提∠2和∠3都等于∠1，……………………………………小前提所以∠2＝∠3，………………………………………………结论即AC平分∠BCD．④同理BD平分∠CBA．迁移与应用证明：因为同位角相等，两条直线平行，…………………………大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，………………………………………小前提所以FD∥AE．………………………………………………………………………结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，…………………………………大前提DE∥BA，且FD∥AE，………………………………………………………………小前提所以四边形AFDE为平行四边形．…………………………………………………结论因为平行四边形的对边相等，………………………………………………………大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，…………………………………………小前提所以ED＝AF．…………………………………………………………………………结论当堂检测1．下面说法正确的有()．①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：①③④正确，故选C．2．“因为指数函数y＝a x是增函数(大前提)，而13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数(小前提)，所以1 3xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数(结论)”，上面推理的错误是()．A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错答案：A解析：指数函数y＝a x，在a＞1时是增函数，故大前提错误．3．下列推理是演绎推理的是()．A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a＞|MN|，得点P的轨迹是椭圆B．由a1＝1，a n＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案：A解析：B是归纳推理，C，D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．4．在求函数y=a≥0，________．答案：[4，＋∞)解析：log2x－2≥0，log2x≥2，∴x≥4．5．两条直线相交，对顶角相等，∠A和∠B是对顶角，则∠A＝∠B．该证明过程中大前提是__________，小前提是__________，结论是__________．答案：两条直线相交，对顶角相等∠A和∠B是对顶角∠A＝∠B解析：大前提：两条直线相交，对顶角相等．小前提：∠A和∠B是对顶角．结论：∠A＝∠B．。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

演绎推理【知识梳理】1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.【常考题型】题型一、把演绎推理写成三段论的形式【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n ＝3n ＋2，n ≥2时，a n －a n －1＝3n ＋2－[3(n －1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n ＝3n ＋2(n ≥2)的数列{a n }为等差数列．(结论)【类题通法】三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c .”其中，b ⇒c 为大前提，提供了已知的一般性原理；a ⇒b 为小前提，提供了一个特殊情况；a ⇒c 为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．【对点训练】把下列推断写成三段论的形式：(1)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等． 解：(1)三角函数是周期函数，………………大前提y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，………………小前提y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．………………结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，………………大前提∠1和∠2是对顶角，………………小前提∠1和∠2相等．………………结论题型二、三段论在证明几何问题中的应用【例2】 已知A ，B ，C ，D 四点不共面，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证：MN ∥平面ACD .[证明] 如图所示，连接BM ，BN 并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ .因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点．又因为BM MP ＝BN NQ，所以MN ∥PQ ，又MN ⊄平面ADC ，PQ ⊂平面ADC ，所以MN ∥平面ACD .【类题通法】三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．【对点训练】已知在梯形ABCD 中，如图，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提)∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，(小前提)∴∠1＝∠3.(结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提)∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD .(结论)同理可证DB 平分∠CBA .题型三、演绎推理在代数中的应用【例3】 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． [证明] 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵a ＞1，且x 1＜x 2，∴ax 1＜ax 2，x 1－x 2＜0.又∵x 1＞－1，x 2＞－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．【类题通法】使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．【对点训练】已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋m a ＋m. 证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以，mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mb ＜ma ，(小前提)所以，mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提)所以，b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论) 【练习反馈】1．“四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．等腰梯形的对角线相等D ．矩形的对边平行且相等解析：选B 得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理错误的原因是( ) A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数．3．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义，即a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论的形式可知，结论是log 2x －2≥0.答案：log 2x －2≥04．用三段论证明函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：①________________________________………………大前提②________________________________………………小前提③________________________________……………………结论答案：①如果函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )在给定区间内是增函数．②任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2，由于1＜x 1＜x 2，故x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，即x 1x 2－1＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)．③函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数． 5．将下列推理写成“三段论”的形式．(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数．解：(1)向量是既有大小又有方向的量．……………………大前提零向量是向量．……………………小前提零向量也有大小和方向．……………………结论(2)每一个矩形的对角线相等．……………………大前提正方形是矩形．……………………小前提正方形的对角线相等．……………………结论(3)所有的循环小数都是有理数．……………………大前提0．332·是循环小数．……………………小前提0．332·是有理数．……………………结论。

庖丁巧解牛知识·巧学一、合情推理1.推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.2.合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.合情推理中，当前提为真时，结论可能为真，也可能为假.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了.方法点拨合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向，其推理过程为3.归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，或者由个别事实概括出一半结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是从部分到整体，从个别到一般的推理.应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明的工具.归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.方法点拨归纳推理的前提与结论只具有或然性联系，其结论不一定正确.结论的正确性还需要理论证明或实践检验.其一般步骤为:通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.4.类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性和其中一类对象的某些已知特征，推测另一类事物具有与这些类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).类比推理是由特殊到特殊的推理.运用类比推理常常是先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象.方法点拨类比推理的一般步骤为:找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).二、演绎推理1.演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时，结论必然为真.演绎推理是由一般到特殊的推理.数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.常见的演绎推理包括:假言推理、三段论推理、关系推理、完全归纳推理等，演绎推理的一般形式是三段论推理.2.假言推理如果一个推理的规则能用符号表示为“如果p q，p真，则q真”，那么这种推理规则叫做假言推理.假言推理的本质是，通过判断结论的充分条件为真，判断结论为真.方法点拨假言推理的步骤可以概括为:确定命题p能够推出命题q；判断命题p是否为真，如果p为真，则q为真.3.三段论推理如果一个推理规则能用符号“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”,那么这种推理规则叫做三段论推理.三段论推理都是由三个命题组成的，两个前提，一个结论；第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象，这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论.如在民事审判中，以现行有效的法律规定作为大前提，以经过法庭审理查明的事实作为小前提，按照三段论的推理规则，最后得出判决结论的方法，是增强判决书说理性的好方法.任何一个三段论推理都有而且仅有三个词项,每个词项在三个命题中重复出现一次.三段论推理可以表示为,大前提:M是P；小前提:S是M；结论:S是P.在三段论推理中，尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.深化升华用集合的观点来分析，三段论的推理依据是:如果集合M中的每一个元素都具有属性P，且S是M的子集，那么集合S中的每一个元素都具有属性P.4.关系推理如果一个推理规则可以用符号表示为“如果a≥b，b≥c，则a≥c”,那么这种推理规则叫做关系推理.方法点拨关系推理的步骤:确定原式a和式子b存在关系a≥b；论证式子b和c存在关系b≥c，从而推出a≥c.5.完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.误区警示在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明. 三、合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式.从推理形式上看,合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳),或是由特殊到特殊的推理(类比);而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.方法点拨在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明.问题·探究问题1 如何理解归纳推理?导思:根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是从部分到整体，从个别到一般的推理.探究:归纳推理的基本形式是:∵A1具有性质F,A2具有性质F,…,A n具有性质F,(A1,A2,…,A n都属于A)∴A类事物都具有性质F.归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与错误是需要严格论证的.例如:f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)+2.∵f(1)=2,f(2)=2,…,f(100)=2.∴由此归纳猜想f(n)=2(n ∈N *).但这一结果是错误的,事实上f(101)≠2,可见不完全归纳推理得出的结论不可靠,还需要进一步作出判断.问题2 类比平面向量和空间向量,列出它们相似(相同)的性质.导思:从平面向量和空间向量的定义、运算法则、运算律、数量积、共线共面以及向量基本定理等几个方面,来进行类比. 探究:(1)从定义的角度考虑平面向量是平面内既有大小又有方向的向量;空间向量是空间内既有大小又有方向的向量. (2)从运算法则的角度考虑两个平面向量相加的三角形法则和平行四边形法则在空间中仍成立.始点相同的三个不共面的向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广. (3)从运算律、数量积的角度考虑 平面向量和空间向量是相同的.运算律:①a +b =b +a (加法交换律)；②(a +b )+c =a +(b +c )(加法结合律)；③λ(a +b )=λa +λb (数乘分配律).数量积的性质:①a ·e =|a |c os 〈a ,e 〉(e 是单位向量)；②a ⊥b a ·b =0；③|a |2=a ·a . 数量积的运算律:①(λa )·b =λ(a ·b )；②a ·b =b ·a (交换律)；③a ·(b +c )=a ·b +a ·c (分配律). (4)从向量共线,共面的角度考虑共线向量定理:向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b =λa .共面向量定理:如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=x a +y b .(5)从向量基本定理角度考虑平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a =λ1e 1+λ2e 2,其中e 1,e 2表示平面向量的一组基底.空间向量基本定理:如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=x a +y b +z c ,其中{a ,b ,c }叫做空间的一个基底,a ,b ,c 都叫基向量. 典题·热题例1已知数列｛a n ｝的第1项a 1=1,且a n+1=nna a +1(n=1,2,3, …),试归纳出这个数列的通项公式.思路解析：数列｛a n ｝的通项公式是第n 项a n 与序号n 之间的对应关系,我们可以先根据已知条件算出数列｛a n ｝的前几项,然后去归纳出一般性的公式.解：当n=1时,a 1=1;当n=2时,a 2=21111=+; 当n=3时,a 3=3121121=+;当n=4时,a 4=4131131=+;……通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出a n =n1. 方法归纳 归纳推理得出的一般性结论可能为真也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明，数列中的证明可以使用数学归纳法,也可以使用数列的基本通项公式及求和公式证明. 例2已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,a 1=32-且S n +nS 1+2=a n (n≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式.思路解析：先化简递推关系式:n≥2时a n =S n -S n-1, ∴S n +n S 1+2=S n -S n-1, nS 1+S n-1+2=0. 解：当n=1时,S 1=a 1=32-. 当n=2时,21S =-2-S 1=34-,∴S 2=43-.当n=3时,31S =-2-S 2=45-,∴S 3=54-.当n=4时,41S =-2-S 3=56-,∴S 4=65-.猜想:S n =21++-n n (n ∈N *). 方法规纳 在归纳推理中，所得的结论的正确性常常要用数学归纳法来加以严格证明.例3如图,点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥B 1B 交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N.(1)求证:CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos ∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.思路解析：考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，由已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面，选取三棱柱的直截面的三角形作类比对象. (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，∴BB 1⊥平面PMN. ∴BB 1⊥MN.又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN. (2)解：在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ∙-+=.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中，PM 2=PN 2+MN 2-2PN·MN·cos ∠MNP⇒PM 2·CC 12=PN 2·CC 12+MN 2·CC 12-2(PN·CC 1)·(MN·CC 1)·cos ∠MNP, 由于11B BCC S =PN·CC 1，11A ACC S =MN·CC 1，11A ABB S =MP·BB 1， ∴αcos 21111111111222A ACCB BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ∙-+=.例4（2005广东高考）设平面内有n 条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)= ______________；当n ＞4时，f(n)=______________.思路解析：通过观察不难发现每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数. 由f(2)=0，f(3)=2，f(4)=5，f(5)=9，…可得每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数. ∴f(3)-f(2)=2，f(4)-f(3)=3，f(5)-f(4)=4，…,f(n)-f(n-1)=n-1. 累加得f(n)=f(2)+2+3+4+…+n-1=212)]1(2)[2(=-+-n n (n+1)(n-2).答案：521(n+1)(n-2) 深化升华 本小题主要考查观察、分析、归纳推理、累加求通项公式等知识，是一个很灵活的题目，在解题的过程中要善于观察发现规律，通过规律来解决问题揭示本质. 例5用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提.如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足.求证:AB 的中点M 到D 、E 的距离相等.思路解析：解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提. 证明：(1)∵有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB=90°，(小前提) ∴△ABD 是直角三角形.(结论) 同理,△ABE 也是直角三角形.(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，(小前提)∴DM=21AB(结论). 同理,EM=21AB.∴DM=EM.方法归纳 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括:大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.例6求证函数y=1212+-x x 是奇函数,且在定义域上是增函数.思路解析：本题在证明过程中使用了三段论推理,假言推理等推理规则.证明：y=1221122)12(+-=+-+xx x . 所以f(x)的定义域为x ∈R . f(-x)+f(x)=(1-122+-x)+(1-122+x )=2-(122+x +122+-x )=2-(121+x +1222+∙x x) =2-12)12(2++xx =2-2=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. 任取x 1,x 2∈R ,且x 1＜x 2.则f(x 1)-f(x 2)=(1-1221+x )-(1-1222-x )=2(12112112+-+x x ) =2·)12)(12(221221++-x x x x . 由于x 1＜x 2,从而12x＜22x,12x-22x＜0, 所以f(x 1)＜f(x 2),故f(x)为增函数.例7(2005辽宁高考)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，Q 是椭圆外的动点，满足|F 1|=2a.点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足2TF ∙=0,|2TF |≠0. (1)设x 为点P 的横坐标，证明|F 1|=a+x ac； (2)求点T 的轨迹C 的方程.思路解析：本题主要考查平面向量、椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力，其中数形结合是解析几何解决问题的常用方法.(1)证明：设点P 的坐标为(x,y),由P(x,y)在椭圆上，得|F 1|=2222222)()(x ab bc x y c x -++=++=22222222222)(22x a c a a cx x a c c b cx x a b a +=++=+++-.由x≥-a ，知a+x a c ≥-c+a ＞0.所以|F 1|=a+x ac. (2)解：设点T 的坐标为(x,y),当|PT |=0时，点(a ，0)和点(-a ，0)在轨迹上. 当|PT |≠0且|2TF |≠0时， 由|PT |·|2TF |=0，得PT ⊥2TF .又||=|2PF |，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，||=21|F 1|=a ，所以有x 2+y 2=a 2. 综上所述，点T 的轨迹方程是x 2+y 2=a 2.方法归纳 求轨迹时可以从两个方面来解:设动点的坐标，利用题目给出的条件整理得出方程；观察曲线的几何特征，直接由曲线的定义得出.。