6、3为什么它们平行 ※2

中山市东升高中高一年级校本教材开发小组编印数学导学案2008～2009 学年第一学期模块：必修 ②章节： 第二章 点线面的位置关系 班级： 姓名：中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳1§2.1.1 平面学习目标1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它 们之间的关系. 学习过程一、课前准备（预习教材 P 40~ P 43，找出疑惑之处） 引入： 平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么 是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平 面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知 1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展 的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用 什么图形表示平面比较合适呢？ 新知 2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平 面可以用希腊字母 ,, a b g 来表示，也可以用平行四 边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的 端点字母表示.如平面a ,平面ABCD ,平面AC 等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等 于其邻边长的 2 倍； ②两个平面相交时， 画出交线， 被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和 直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢? 新知 3：⑴点A 在平面a 内，记作 A a Î ；点 A 在 平面a 外，记作 A a Ï .⑵点 P 在直线l 上，记作 P l Î ，点P 在直线外，记作P l Ï .⑶直线l 上所有 点都在平面a 内,则直线l 在平面a 内(平面a 经过 直线l ),记作l aÌ ；否则直线就在平面外，记作 l a Ë .探究 2：平面的性质问题：直线l 与平面a 有一个公共点P ,直线l 是否 在平面a 内?有两个公共点呢?新知 4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为： ,, A l B l ÎÎ 且 , A B l a a aÎÎÞÌ 问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？ 任意三点能确定一个平面吗？新知 5：公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只 有一个平面.如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所 在平面与桌面所在平面是否只相交于点 B ?为什 么?新知 6：公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下 图所示：平面a 与平面b 相交于直线l ，记作 l a b = I .公理3 用集合符号表示为, P a Î 且Pb Î Þ l a b = I ,且P l Î ※ 典型例题例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系.2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系2例 2 如图在正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 中，判断下列 命题是否正确，并说明理由： ⑴直线AC 在平面ABCD 内； ⑵设上下底面中心为 , O O ¢， 则平面AA C C ¢¢ 与平面BB ¢D D ¢ 的交线为OO ¢；⑶点 ,, A O C ¢可以确定一平面； ⑷平面AB C ¢¢与平面AC D¢ 重合.※ 动手试试 练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面a 内，但点B 在平面a 外； ⑵直线a 经过平面a 外的一点M ； ⑶直线a 既在平面a 内，又在平面b 内.三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)；3. 用符号表示点、线、面的关系.※ 知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用), 是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用 来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定 一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面； 公理 3 用来判断两个平面相交，证明点共线或者线 共点的问题.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下面说法正确的是（ ）.①平面 ABCD 的面积为 210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④ 平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）. ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个 平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经 过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任 意三点可以确定一个平面 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它 们的交点一定（ ）.A.在直线DB 上B.在直线AB 上C.在直线CB 上D.都不对 4. 直线 12 , l l 相交于点P ，并且分别与平面g 相交于 点 , A B 两点， 用符号表示为____________________. 5. 两个平面不重合，在一个面内取 4点，另一个面 内取 3 点，这些点最多能够确定平面_______个.课后作业1. 画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜； ⑵ ,,, l AB CD a b a b =ÌÌ I AB ∥l ，CD ∥l .2.如图在正方体中，A 是顶点， , B C 都是棱的中点， 请作出经过 ,, A B C 三点的平面与正方体的截面.O ¢ O B C D ADC B A HGDCFBA中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳3§2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系学习目标1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.学习过程一、课前准备（预习教材 P 44~ P 47，找出疑惑之处） 复习 1： 平面的特点是______、_______ 、 _______. 复习 2：平面性质(三公理)公理 1___________________________________； 公理 2___________________________________； 公理3___________________________________.二、新课导学※ 探索新知探究 1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不 考虑）,空间两条直线呢? 观察：如图在长方体中，直线A B ¢ 与CC ¢的位置关系如何？结论：直线A B ¢ 与CC ¢既不相交，也不平行.新知 1：像直线A B ¢ 与CC ¢这样不同在任何一个平 面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3 对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？ 新知 2：异面直线的画法有如下几种( , a b 异面)： 试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究 2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则 这两条直线互相平行，空间是否有类似规律? 观察： 如图 2­1,在长方体中， 直线C D¢¢∥ A B ¢¢，AB ∥ A B ¢¢，那么直线AB 与C D ¢¢平行吗?图 2­1新知 3: 公理 4 (平行公理)平行于同一条直线的两 条直线互相平行.问题： 平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有 类似结论?观察：在图 2­1 中, ADC Ð 与 A D C ¢¢¢ Ð , ADC Ð 与 A BC ¢¢¢ Ð 的两边分别对应平行，这两组角的大小关 系如何?新知 4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究 3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图 2­2新知 5: 如图2­2,已知两条异面直线 , a b ， 经过空间 任一点O 作直线 a ¢∥a ,b ¢∥b ，把a ¢与b ¢所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 , a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ^ . 反思：思考下列问题.⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想? ※ 典型例题例1 如图2­3, ,,, E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边 ,,, AB BC CD DA 的中点，若对角线 2, BD = 4 AC = ，则 22 EG HF + 的值为多少?(性质：平行四 边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).aaba2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系4图 2­3例 2 如图 2­4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA ¢和CC ¢ ⑵B D ¢¢和C A¢ 图 2­4※ 动手试试练 正方体 ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 的棱长为a ，求异面直线AC 与 A D ¢¢所成的角.三、总结提升※ 学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.※ 知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一 点的直线， 和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图， ,,, a A B B a a a a ÌÏÎÏ ，则直线AB 与直线 a 是异面直线.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. ,, a b c 为三条直线，如果 , a c b c ^^ ，则 , a b 的位 置关系必定是（ ）.A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对 2. 已知 , a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3. 已知 l a b = I , , a b a b ÌÌ ， 且 , a b 是异面直线， 那么直线l （ ）.A.至多与 , a b 中的一条相交B.至少与 , a b 中的一条相交C.与 , a b 都相交D.至少与 , a b 中的一条平行4. 正方体 ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 的十二条棱中，与直线 AC ¢是异面直线关系的有___________条.5. 长方体 1111 ABCD A B C D - 中, 3 AB = , 2, BC = 1 AA =1， 异面直线AC 与 11 A D 所成角的余弦值是______.课后作业 1. 已知 , E E ¢是正方体 AC ¢棱 AD ， A D ¢¢的中点，求证： CEB C E B¢¢¢ Ð=Ð . 2. 如图 2­5，在三棱锥P ABC - 中，PA BC ^ ，E 、F 分别是PC 和 AB 上的点，且 32PE AF EC FB == ，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为 , a b ， 求证： 90 a b += °.图 2­5中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳5§2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系§2.1.4 平面与平面之间的位置关系学习目标1. 掌握直线与平面之间的位置关系， 理解直线在平 面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系， 会画相交平面的图 形.学习过程一、课前准备（预习教材 P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习 1：空间任意两条直线的位置关系有_______、 _______、_______三种. 复习 2：异面直线是指________________________ 的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.复习 3：平行公理：__________________________ ________________；空间等角定理：_______________________________________________________.二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：空间直线与平面的位置关系 问题： 用铅笔表示一条直线， 作业本表示一个平面， 你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图 3­1,直线A B ¢ 与长方体的六个面有几种 位置关系?图 3­1新知 1：直线与平面位置关系只有三种： ⑴直线在平面内—— ⑵直线与平面相交—— ⑶直线与平面平行——其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.反思：⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交 点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面 ⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想 想用符号语言该怎么描述.探究 2：平面与平面的位置关系问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两 个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图 3­2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图 3­2新知 2：两个平面的位置关系只有两种： ⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号 语言表示出来.※ 典型例题例 1 下列命题中正确的个数是（ ）①若直线l 上有无数个点不在平面a 内，则l ∥a . ②若直线l 与平面a 平行， 则l 与平面a 内的任意一 条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行.④若直线l 与平面a 平行，则l 与平面a 内的任意一 条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.32008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系6例 2 已知平面 , a b ，直线 , a b ，且a ∥b ,a a Ì ，b b Ì ，则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系?※ 动手试试 练 1. 若直线a 不平行于平面a ，且a a Ë ，则下列 结论成立的是（ ） A.a 内的所有直线与a 异面 B.a 内不存在与a 平行的直线 C.a 内存在唯一的直线与a 平行D.a 内的直线与a 都相交.练 2. 已知 ,, a b c 为三条不重合的直线， ,, a b g 为三 个不重合的平面：①a ∥c ,b ∥c Þ a ∥b ； ②a ∥g ,b ∥g Þ a ∥b ； ③a ∥c ,c ∥a Þ a ∥a ； ④a ∥g ,a ∥a a Þ ∥g ； ⑤a a Ë ,b a Ì ,a ∥b Þ a ∥a . 其中正确的命题是（ ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤三、总结提升 ※ 学习小结1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性. ※ 知识拓展求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的 条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的 位置关系进行分类讨论， 做到不重不漏.分类讨论是 数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难 为易、化繁为简.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 直线l 在平面a 外，则（ ）. A.l ∥a B.l 与a 至少有一个公共点 C.l A a = I D.l 与a 至多有一个公共点 2. 已知a ∥a ，b a Ì ，则（ ）. A.a ∥b B.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）. A.1 对 B.1 对或2 对 C.1 对或 2 对或 3 对D.0 对或1 对或 2对或 3 对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条； 过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线， 且这两条直线互 相平行， 那么这两个平面的位置关系一定是______. 课后作业 1. 已知直线 , a b 及平面a 满足: a ∥a ,b ∥a ,则 直线 , a b 的位置关系如何?画图表示.2. 两个不重合的平面， 可以将空间划为几个部分？ 三个呢？试画图加以说明.中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳7§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）学习目标1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位 置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.学习过程一、课前准备（预习教材 P 40~ P 50，找出疑惑之处） 复习 1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)； ⑵平行公理、等角定理；⑶直线与直线的位置关系 ì ïí ï î 平行 相交异面 ⑷直线与平面的位置关系 ì ïí ï î在平面内 相交平行 ⑸平面与平面的位置关系 ìíî平行 相交 复习 2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解 三角形求角.复习 3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系； ⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 如图 4­1, ABC D 在平面a 外，AB P a = I ， BC Q a = I ， AC R a = I ，求证：P ,Q ,R 三点共线.图 4­1小结：证明点共线的基本方法有两种⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面 的公共点，由公理 3 可推知这些点都在交线上，即 证若干点共线. ⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也 都在这条直线上. 例 2 如图 4­2,空间四边形ABCD 中，E ,F 分别是AB 和CB 上的点，G ,H 分别是CD和 AD 上的点，且EH FG 与 相交于点K .求证：EH,BD ,FG 三条直线相交于同一点.图 4­2小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所 在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线， 由公理 3 得证这三线共点.例 3 如图 4­3,如果两条异面直线称作“一对” ，那么在正方体的 12 条棱中，共有异面直线多少对? 图 4­3反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.※ 动手试试练 1. 如图 4­4,是正方体的平面展开图,图 4­4则在这个正方体中：2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系8①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 是异面直线其中正确命题的序号是（ ）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练 2. 如图 4­5， 在正方体中，E ,F 分别为AB 、AA ¢的中点，求证：CE ,D F¢ ,DA 三线交于一点. 图 4­5练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确 定平面的个数为多少? 小结：分类讨论的数学思想三、总结提升※ 学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.※ 知识拓展异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平 行，也不相交，即不可能在同一个平面内. ②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一 定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然 后根据题设条件推出矛盾.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 直线 1 l ∥ 2 l ,在 1 l 上取 3 个点，在 2 l 上取 2 个点， 由这 5 个点确定的平面个数为（ ）. A.1 个 B.3 个 C.6个 D.9 个 2. 下列推理错误的是（ ）. A. A l Î , A a Î ,B l Î ,B a Î l aÞÌ B. A a Î , A b Î ,B a Î ,B b Î AB a b Þ= I C.l a Ë , A l A aÎÞÏ D.A ,B ,C a Î , A ,B ,C b Î ,且 A ,B ,C 不共线 a b Þ 与 重合3. a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线， 则a ,c 的位置 关系是（ ）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行， 则它与另一平面____________.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____ _____________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.课后作业1. 如图 4­6,在正方体中M ,N 分别是 AB 和DD ¢的 中点，求异面直线B M ¢ 与CN 所成的角.图 4­62. 如图 4­7,已知不共面的直线a ,b ,c 相交于O 点， M ,P 点是直线a 上两点，N ,Q 分别是直线b ,c 上 一点.求证：MN 和PQ 是异面直线.图 4­7P NM O中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳9§2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直 线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理， 并会用 其证明线面平行.学习过程一、课前准备（预习教材 P 54~ P 55，找出疑惑之处）复习：直线与平面的位置关系有______________， _______________，_________________.讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？ 根据定义好判断吗？二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：直线与平面平行的背景分析实例 1：如图 5­1，一面墙上有一扇门，门扇的两边 是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时， 观察门扇 转动的一边l 与墙所在的平面位置关系如何？图 5­1实例 2：如图 5­2，将一本书平放在桌面上，翻动书 的封面，观察封面边缘所在直线l 与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图 5­2结论：上述两个问题中的直线l 与对应平面都是平 行的.探究 2：直线与平面平行的判定定理 问题： 探究1两个实例中的直线l 为什么会和对应的 平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把 这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行， 则该直线与此平面平行. 如图 5­3所示， a ∥a .图 5­3反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思 想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？※ 典型例题 例 1 有一块木料如图5­4 所示，P 为平面BCEF 内一点，要求过点P 在平面BCEF 内作一条直线与平 面ABCD 平行，应该如何画线？图 5­4例 2 如图 5­5，空间四边形ABCD 中， , E F 分别是, AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .图 5­5※ 动手试试练1. 正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ， M 和N 分别为AC 和BF 上的点，且AM FN = ， 如图 5­6 所示.求证：MN ∥平面BEC .图 5­6练 2. 已知 ABC D , , D E 分别为 , AC AB 的中点，沿 DE 将 ADE D 折起，使A 到 A ¢的位置，设M 是 A B ¢ 的中点，求证：ME ∥平面A CD ¢ .三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线 线平行Þ线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题. ※ 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法： ⑴利用定义： 证明直线与平面没有公共点.但直接证 明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理， 其关键是证明线线平行.证明线线 平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若直线与平面平行， 则这条直线与这个平面内的 （ ）.A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交 2. 下列结论正确的是（ ）. A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l 与平面a 不相交，则l ∥平面aC. , A B 是平面a 外两点， , C D 是平面a 内两点， 若 AC BD = ，则AB ∥平面aD.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线 段，则经过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系 是（ ）.A.平行B.相交C.AC 在此平面内D.平行或相交 4. 在正方体 1111 ABCD A B C D - 的六个面和六个对角 面中，与棱AB 平行的面有________个.5. 若直线 , a b 相交，且a ∥a ，则b 与平面a 的位 置关系是_____________.课后作业1. 如图 5­7，在正方体中，E 为 1 DD 的中点，判断1 BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.图 5­72. 如图 5­8，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是 ABC D 和 BCD D 的重心.求证：PQ ∥平面ACD .图 5­8N MFEDBA§2.2. 2 平面与平面平行的判定学习目标1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、 平面与平 面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.学习过程一、课前准备（预习教材 P 56~ P 57，找出疑惑之处） 复习 1： 直线与平面平行的判定定理是___________ ___________________________________________. 复习 2：两个平面的位置关系有___种，分别为____ ___和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点, 怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗? 二、新课导学 ※ 探索新知探究：两个平面平行的判定定理问题 1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内 的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平 行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内 的直线与另一个平面平行的问题.问题 2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平 面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线 和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 ⑴如图 6­1， AA AA B B ¢¢¢ Ì面, AA ¢∥面BB C C ¢¢ ， 则面AA B B ¢¢ ∥面BB C C ¢¢ 吗？图 6­1⑵如图 6­2，AA ¢∥EF ，AA ¢∥ DCC D¢¢ 面，EF ∥ DCC D ¢¢ 面 ，则 A ADD ¢¢ 面 ∥ DCC D¢¢ 面 吗？ 图 6­2⑶如图 6­3，直线A C ¢¢和B D ¢¢相交，且A C ¢¢、B D ¢¢ 都和平面ABCD 平行(为什么)，则平面A B C D ¢¢¢¢∥ 平面ABCD 吗？图 6­3反思：由以上 3 个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行. 如图 6­4所示，a ∥b .图 6­4反思：⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？ ※ 典型例题例 1 已知正方体 1111ABCD A B C D - ， 如图 6­5， 求证： 平面 11 AB D ∥1 CB D . 图 6­5例 2 如图 6­6， 已知 , a b 是两条异面直线， 平面a 过a ，与b 平行，平面b 过b ，与a 平行， 求证：平面a ∥平面b图 6­6小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这 两条直线必须是相交直线. ※ 动手试试练. 如图 6­7， 正方体中， ,,, M N E F 分别是棱A B ¢¢， A D ¢¢，B C ¢¢，C D ¢¢的中点，求证：平面AMN ∥ 平面EFDB . 图 6­7三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.※ 知识拓展判定平面与平面平行通常有 5种方法 ⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)； ⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)； ⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面 平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一 个平面内的两条直线， 则这两个平面平行(判定定理 的推论).学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 平面a 与平面b 平行的条件可以是（ ）. A.a 内有无穷多条直线都与b 平行B.直线a 与 , a b 都平行，且不在a 和b 内C.直线a a Ì ,直线b b Ì ,且a ∥b ,b ∥aD.a 内的任何直线都与b 平行2. 经过平面a 外的一条直线a 且与平面a 平行的 平面（ ）. A.有且只有一个 B.不存在 C.至多有一个 D.至少有一个3. 设有不同的直线 , a b ，及不同的平面a 、b ，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）. ①若a ∥a ,b ∥a ,则a ∥b ②若a ∥a ,a ∥b ,则a ∥b ③若 , a a a Ì ∥b ,则a ∥b .A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条， 则 这两个平面的位置关系是________________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条, 则这两平面的位置关系是_______________.课后作业1. 如图 6­8，在几何体ABC A B C ¢¢¢ - 中， 1 Ð +2180 Ð= °, 34180 Ð+Ð= °,求证：平面ABC ∥ 平面A B C ¢¢¢.图 6­82. 如图 6­9，A ¢、B ¢、C ¢分别是 PBC D 、 PCA D 、 PAB D 的重心.求证：面A B C ¢¢¢∥ ABC 面 .图 6­9baF EM N BC ¢ ADCAD ¢。

数学中的平行关系在数学中，平行关系是一种重要的几何概念。

它可以用来描述两条直线、两个平面或者更一般的情况下的物体之间的关系。

平行关系具有许多特殊性质和重要应用。

本文将介绍数学中的平行关系的定义、性质和应用，并深入探讨其中的数学原理。

一、平行关系的定义在欧几里得几何中，平行是指两条直线在同一平面上永不相交。

形式化地说，对于给定的两条直线l和m，如果直线l上的任意一点到直线m的距离始终保持不变，那么我们说直线l和m是平行的。

用符号表示为 l || m。

在更一般的情况下，平行关系可以定义为两个平面或者高维空间中的物体之间的关系。

如果两个平面上的任意一点到另一个平面的距离始终保持不变，那么我们说这两个平面是平行的。

同样地，通过一些数学定理和推理，我们可以将平行关系推广到更高维的空间中。

二、平行关系的性质平行关系具有一些重要的性质，这些性质对于理解和应用平行关系都有着重要的意义。

1. 平行关系是对称的。

如果直线l平行于直线m，那么直线m也平行于直线l。

这个性质可以用于证明一些与平行关系相关的定理。

2. 平行关系是传递的。

如果直线l平行于直线m，而直线m又平行于直线n，那么直线l也平行于直线n。

这个性质可以帮助我们在几何证明中建立一条复杂等式链。

3. 平行关系是自反的。

每条直线都与它自身平行。

这个性质与前两个性质一起构成了平行关系的完整定义。

三、平行关系的应用平行关系在数学和实际生活中有着广泛的应用。

下面介绍几个常见的例子：1. 平行线的性质：平行线具有一些重要的性质，比如平行线之间的夹角相等。

这些性质可以应用于解决几何问题，如证明两条直线平行或者找到图形中的平行线。

2. 坐标几何中的平行关系：在坐标几何中，平行关系可以通过直线的斜率来判断。

如果两条直线具有相同的斜率，那么它们是平行的。

3. 根据平行关系解决实际问题：平行关系在实际生活中的应用也非常广泛。

例如，在建筑设计中，需要确保墙壁或者地板之间保持平行关系；在导航系统中，需要通过平行关系来计算相对位置等。

初中数学《为什么它们平行》教案6.3 为什么它们平行●教学目的〔一〕教学知识点1.平行线的判定公理.2.平行线的判定定理.〔二〕才干训练要求1.经过阅历探求平行线的判定方法的进程，开展先生的逻辑推理才干.2.了解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.3.掌握应用数学言语表示平行线的判定公理及定理，逐渐掌握规范的推实际证格式.〔三〕情感与价值观要求经过先生画图、讨论、推理等活动，给先生浸透化归思想和分类思想.●教学重点平行线的判定定理、公理.●教学难点推理进程的规范化表达.●教学方法尝试指点、引导发现与讨论相结合.●教具预备投影片五张第一张：定理〔记作投影片6.3 A〕第二张：议一议〔记作投影片6.3 B〕第三张：定理〔记作投影片6.3 C〕第四张：想一想〔记作投影片6. 3 D〕第五张：小结〔记作投影片6.3 E〕●教学进程Ⅰ. 巧设理想情境，引入新课前面我们探求过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么状况下相互平行呢？上节课我们谈到了要证明一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需求通过推理的方法证明.我们知道：〝在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线〞是定义.〝两条直线被第三条直线所截，假设同位角相等，那么这两条直线平行〞是公理.那其他的三个真命题如何证明呢？这节课我们就来讨论第三节：为什么它们平行. Ⅱ.讲授新课看命题〔出示投影片6.3 A〕两条直线被第三条直线所截，假设同旁内角互补，那么这两条直线平行.这是一个文字证明题，需求先把命题的文字言语转化成几何图形和符号言语.所以依据题意，可以把这个文字证明题转化为以下方式：图6 －12如图6－12，，1和2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且1与2互补，求证：a∥b.那如何证明这个题呢？我们来剖析剖析.［师生共析］要证明直线a与b平行，可以想到运用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：1与3是同位角，所以只需证明3，那么a与b即平行.由于从图中可知2与3组成一个平角，即3=180,所以：3=180－2 .又由于条件中有2与1互补，即：1=180,所以1=180－2,因此由等量代换可以知道：3.好.下面我们来书写推理进程，大家口述，教员来书写.〔在书写的同时说明：符号〝∵〞读作〝因为〞，〝〞读作〝所以〞〕证明：∵1与2互补〔〕2=180〔互补的定义〕［∵2=180］1=180－2〔等式的性质〕∵2=180〔1平角=180〕3=180－2〔等式的性质〕［∵1 =180－2， 3=180－2］3〔等量代换〕［∵3］a∥b〔同位角相等，两直线平行〕这样我们经过推理的进程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.这一定理可复杂地写成：同旁内角互补，两直线平行.留意：〔1〕已给的公理，定义和曾经证明的定理应前都可以作为依据.用来证明新定理.〔2〕方括号内的〝∵2=180〞等，就是下面刚刚失掉的〝2=180〞，在这种状况下，方括号内的这一步可以省略. 〔3〕证明中的每一步推理都要有依据，不能〝想当然〞.这些依据，可以是条件，也可以是定义、公理，曾经学过的定理.在初学证明时，要求把依据写在每一步推理前面的括号内.好，下面大家来议一议〔出示投影片6.3 B〕小明用下面的方法作出了平行线，你以为他的作法对吗？为什么？图6－13这样我们就又失掉了直线平行的另一个判定定理：〔出示投影片6.3 C〕两条直线被第三条直线所截，假设内错角相等，那么这两条直线平行.这一定理可以复杂说成：内错角相等，两直线平行.刚才我们是应用判定定理〝同旁内角互补，两直线平行〞来证明这一定理的.下面大家来想一想〔出示投影片6.3 D〕借助〝同位角相等，两直线平行〞这一公理，你还能证明哪些熟习的结论呢？同窗们讨论得真棒.下面我们经过练习来熟习掌握直线平行的判定定理.Ⅲ.课堂练习〔一〕课本P190随堂练习〔二〕看课本P188~ 190，然后小结.Ⅳ.课时小结这节课我们主要讨论了平行线的判定定理的证明.由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次表达了〝数〞与〝形〞的关系；而运用这些公理、定理时，必需能在图形中准确地识别出有关的角.留意：1.证明言语的规范化.2.推理进程要有依据.3.〝两条直线都和第三条直线平行，这两条直线相互平行〞这个真命题以后证.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P191习题6.4 1、2●板书设计6.3 为什么它们平行一、平行线的判定方法1.公理：同位角相等，两直线平行.2.定理：同旁内角互补，两直线平行.：如图6－19，1和2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且1与2互补，求证：a∥b.证明：略3.定理：内错角相等，两直线平行 .，如图6－20，1和2是直线a、b被直线c截出的内错角 .且1 =2.求证a∥b.二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。

中班数学认识简单的平行和垂直关系在早期数学教育中，让幼儿认识简单的平行和垂直关系是非常重要的。

这些概念为今后学习几何方面的知识打下基础，并培养他们的观察力和逻辑思维能力。

在本文中，我们将探讨如何向中班幼儿介绍平行和垂直的概念，并为他们提供一些简单有趣的活动，以巩固他们的理解。

一、认识平行的概念1. 平行的定义在数学中，我们说两条直线是平行的，意味着它们永远不会相交。

它们始终保持相同的距离，永不交错。

2. 平行的特征让孩子们观察身边的平行线条，例如窗户的边框、台阶之间的间距等等。

指引他们发现平行线的共同特征：始终保持相同的间距，不会相交。

3. 平行的符号继续引导孩子们认识平行线的符号表示方法。

平行线通常用双竖线符号 "||" 来表示。

与此同时，也可以教给孩子们在纸上画出平行线，并在两条平行线之间用 "||" 符号标记。

二、认识垂直的概念1. 垂直的定义在数学中，我们说两条线条是垂直的，意味着它们相交成直角，即形成一个 90 度的角。

2. 垂直的特征帮助孩子们观察垂直线条的特征，例如墙壁与地面的交接处、门与地面的交接处等等。

引导他们发现垂直线的共同特点：相交成直角。

3. 垂直的符号与孩子们分享垂直线的符号表示。

垂直线通常用"┴" 符号来表示。

可以在纸上画出垂直线，并用"┴" 符号标记两条垂直线的交点。

三、巩固练习活动1. 平行与垂直的物体分类为了帮助幼儿更好地理解平行和垂直的概念，可以准备一些小物体（例如积木或纸片）让他们进行分类。

指导他们将物体分为平行和垂直的两组，并询问他们为什么做出这样的分类。

通过亲自操作和观察，幼儿们将更好地理解这些概念。

2. 室内环境寻找活动带领幼儿们在教室或家中寻找平行和垂直的线条。

例如，他们可以找到两个垂直相交的书架边、两个平行的窗户等等。

与幼儿们一起观察、描述和记录这些线条，并进行集体讨论，促使他们更深入地思考这些概念。

平行的原理在日常生活中，我们经常会听到“平行”的概念，无论是在数学、物理还是哲学领域，平行都是一个重要的概念。

而平行的原理也是一个非常重要的概念，它涉及到了许多方面的知识和应用。

在本文中，我们将深入探讨平行的原理，从数学、物理和哲学三个角度来理解这一概念。

首先，从数学的角度来看，平行的原理是指在同一平面上，两条直线要么相交于一点，要么永远不相交。

这是欧几里得几何学中的一个基本定理，也是平行线的定义之一。

在数学中，平行线是指在同一平面上永远不相交的两条直线。

平行线的性质在几何学中有着广泛的应用，它们可以用来构建各种几何图形，解决各种几何问题，是几何学中不可或缺的重要概念。

其次，从物理的角度来看，平行的原理也有着重要的应用。

在物理学中，平行的原理可以用来描述光线的传播规律。

光线在真空中传播时，如果遇到平行的界面，根据平行的原理，光线会以同样的角度反射或折射。

这一原理被广泛应用在光学仪器的设计和制造中，如反射望远镜、折射望远镜等，都是基于平行的原理来设计的。

此外，平行的原理也在光学成像原理中有着重要的应用，它是成像原理的基础之一。

最后，从哲学的角度来看，平行的原理也有着深刻的意义。

在哲学中，平行的原理可以用来描述不同领域之间的相似性和对应关系。

比如，在逻辑学中，平行的原理可以用来描述不同命题之间的逻辑关系；在伦理学中，平行的原理可以用来描述不同道德观念之间的对立和对应关系。

平行的原理在哲学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解世界的多样性和复杂性，揭示事物之间的内在联系和规律。

综上所述，平行的原理是一个涉及到数学、物理和哲学等多个领域的重要概念。

它不仅有着广泛的应用，而且在这些领域中都有着深刻的意义。

通过对平行的原理的深入理解，我们可以更好地理解世界的多样性和复杂性，揭示事物之间的内在联系和规律。

因此，平行的原理是我们认识世界和探索世界的重要工具和方法之一。

如何克服识图困难？初学平面几何，在“识图”时，总会遇到下面情况：给出简单图形识别不困难，但遇到复杂图形，非标准位置的图形或重叠的图形就会感到困难了．下面向大家介绍三种克服困难的方法，请同学们多多练习．一、分解识图练习．就是学会把复杂图形分解成简单的图形．例1 如图1，已知；AD∥BC，AB∥DC．问有多少对相等的内错角？简析：可把图形分解成四个简单的标准化图形．因而得到图2的四个图，共有四对相等的内错角．即∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CBD，∠DAC＝∠BCA．例 2 如图3，已知：AB∥CD，AD∥BC，DE∥BF，指出图中有多少对相等的同位角？简析：可把图3分解成四个简单的图形(图4)，可得到六对相等的同位角，即∠BFC＝∠EDF，∠AED＝∠EBF，∠AMD＝∠MNF，∠CNF＝∠NMD，∠AME＝∠MNB，∠BNC＝∠EMN．二、对比识图练习．运用反例与正面图形进行对比，提高识图能力．例3 如图5中，L1∥L2∥L3，L4截L1、L2与L3，且AD∥BE∥CF．问：(1)∠1与∠2，∠2与∠3，∠1与∠3是不是同位角？(2)∠2与∠7，∠2与∠3，∠7与∠3是不是内错角？(3)∠1与∠5，∠5与∠6，∠7与∠6是不是同旁内角？此题请同学们自己完成．三、变式识图练习．改变图形的习惯性位置进行识图是提高识图能力的好方法．由于受习惯思维的影响，同学们对截平行线的图形，看起来“顺眼”，找同位角、内错角、同旁内角也较容易，但对于截相交线的图形，找“角”就困难了．例4 如图6，找出∠C的内错角？分析：根据内错角定义，必须注意到AC、BF被BC所截，AC、AB也被BC所截，因而，∠C的内错角有两个，即∠FBC和∠EBC．例5 如图7，请同学们自己找出∠1与∠2的同位角、内错角、同旁内角．坚持做上述识图练习，就能正确、迅速地认识几何图形了，扎实了学好几何的基本功，也就解决了几何入门难的问题．。