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第二节 正项级数及其审敛法无穷级数只有在收敛时才有明确的意义,所以判定一个级数的敛散性是研究级数的重要内容之一.本节首先介绍正项级数敛散性的判定方法,从后面的章节我们将看到,其它级数的敛散性问题很多情况下都可转化为正项级数敛散性的讨论.一、正项级数收敛的充分必要条件1. 正项级数的定义定义1 对于级数∑∞=1n nu,若0(1,2,3,)n u n ≥=,则称∑∞=1n n u 为正项级数.[注] 对于正项级数∑∞=1n nu,当略去0n u =的项时,不影响其敛散性及收敛时级数的和,因此本书后面所讨论的正项级数均假设0(1,2,)n u n >=.2. 正项级数收敛的充分必要条件由于n u 的非负性,正项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n s 单调增加.根据单调有界的数列必有极限的准则可知,数列{}n s 有极限的充分必要条件是{}n s 有上界.因此有下面的定理.定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件是其部分和数列有上界.例1 讨论-p 级数 +++++=∑∞=pp p n p n n13121111的敛散性. 解 当1=p 时, -p 级数即是调和级数∑∞=11n n,发散. 当1<p 时, ∑∑==>nk nk p kk 1111,故∑=n k p k 11无界,所以∑∞=11n p n 发散.当1>p 时,对于1+≤≤n x n ,有p p pnx n 11)1(1≤≤+,所以 ⎰⎰⎰-++++≤++++211321111131211n n p p p p p p dx xdx x dx x n ⎰-+<+=np p dx x 111111, 即∑=nk p k 11有界,故∑∞=11n p n 收敛.综上所述,-p级数∑∞=11npn在1>p时收敛,1≤p时发散.定理1说明判断一个正项级数是否收敛,关键是判断它的部分和数列是否有界;而要做到这一点往往是很困难的. 但从这个定理出发,我们可以导出几个在使用上较为方便的正项级数敛散性的判别法.二、正项级数敛散性的判别法1 比较判别法定理2 设正项级数∑∞=1nnu和∑∞=1nnv满足关系式nnvu≤),3,2,1(=n,则 (1) 当∑∞=1nnv收敛时,∑∞=1nnu收敛;(2) 当∑∞=1nnu发散时,∑∞=1nnv发散.证明设级数∑∞=1nnu的部分和数列为{}n s,级数∑∞=1nnv的部分和数列为{}n t,则(1,2,3,)n ns t n≤=(1) 当∑∞=1nnv收敛时,由定理1可知{}n t有上界;而nnts≤,于是{}n s也有上界,从而∑∞=1 nnu收敛.(2)当∑∞=1nnu发散时,由定理1可知{}n s无上界;此时{}n t也必定无界,从而∑∞=1nnv发散. 注意到级数的每一项乘以非零常数c,以及去掉级数的前面有限项都不会影响级数的敛散性,我们得到如下推论.推论1若∑∞=1nnu和∑∞=1nnv都是正项级数,且对某个自然数N及常数c)0(>有nncvu≤, )(Nn>∀则 (1) 当∑∞=1nnv收敛时,∑∞=1nnu收敛;(2) 当∑∞=1n nu发散时,∑∞=1n nv发散.[说明](1) 从直观上讲,,比较判别法说明比收敛级数更“小”的级数收敛;比发散级数更“大”的级数发散.当然,这里指的“大”、“小”都是指正项级数一般项的比较.然而,此判别法不能判定比收敛级数更“大”的级数或比发散级数更“小”的级数的敛散性.(2) 应用比较判别法判定正项级数的敛散性,需要一些已知敛散性的级数作为比较时的“标准级数”,而我们经常选用几何级数、p -级数作为“标准级数”,所以一定要牢记它们的敛散性.例2判定下列正项级数的敛散性.(1)21sin 53n n n π∞=∑; (2) 31135n n n ∞=+-∑; (3) 1n ∞=. 解 (1) 因为2sin 1533n n n π<,而级数113n n ∞=∑收敛,所以由比较判别法知级数21sin53n n n π∞=∑收敛. (2) 注意到当2n ≥时,331135n n n <+-,而级数311n n∞=∑收敛,由上述推论1知级数31135n n n ∞=+-∑收敛. (3)11n >+,而级数111111231n n n ∞==++++++∑是发散的,根据比较判别法可知级数1n∞=.[注]虽然这里n ∞=1n <,但由此不等式出发利用比较法不能得出级数1n ∞=.例3 设级数21nn a ∞=∑收敛,讨论级数1n ∞=的敛散性.分析 这是一个关于正项级数的敛散性问题,而题设已告知一正项级数21nn a∞=∑收敛,并且此级数的一般项与1n ∞=的一般项有一定关系,故可以考虑用比较判别法解题.解 因为222211112121n n a a n n ⎛⎫⎛⎫≤+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,对于级数2111n n ∞=+∑,由于22111n n <+,根据比较判别法可知其收敛.又由已知,级数21nn a ∞=∑收敛.所以,级数2211121n n a n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑收敛,从而级数n ∞=收敛. 比较判别法是判别正项级数敛散性的重要方法,使用此方法的关键是记住一些常用级数的敛散性的同时,建立级数一般项之间的适当的不等式关系,而这点通常也是一个难点,需要通过一些练习来积累一定的经验才能运用灵活.下面介绍在应用上更方便的比较法的极限形式.定理3 （比较判别法的极限形式）若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数,且l v u nnn =∞→lim（+∞<<l 0）,则∑∞=1n nu和∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.证明 由于l v u nnn =∞→lim ,且+∞<<l 0,故对给定的02l ε=>,存在正整数N ,使当n N >时,有2n n u ll v ε-<=, 即: 322n n u l l v <<,于是,当n N >时,有322n n n l lv u v <<.由推论1可知,∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.[说明](1) 事实上，进一步还可证明如下结论:若lim 0nn nu v →∞=,且级数∑∞=1n n v 收敛,则级数1n n u ∞=∑也收敛;而若lim nn nu v →∞=+∞,且级数1n n v ∞=∑发散,则级数1n n u ∞=∑也发散. (2) 对两个正项级数1n n u ∞=∑和∑∞=1n n v ,若lim lim 0n n n n u v →∞→∞==,则n →∞时,nnu v 的极限(如果存在)反映了一般项n u 、n v 趋于零的“快慢程度”. 定理3说明,当n u 和n v 是同阶无穷小(特别地,二者是等价无穷小)时,级数1nn u∞=∑和∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.例4 判定正项级数1121nn ∞=-∑的敛散性. 分析 此题若用比较法判定,由于11212n n>-(1,2,n =),不能直接由这个最易想到的不等关系得到结论,而应寻找另外的不等关系. 而若选用比较法的极限形式,则可直接利用121n -与12n的密切联系,求解更为便捷. 解 因为11lim1212n nn →∞=-,根据定理3可知,级数1121n n ∞=-∑与112n n ∞=∑具有相同的敛散性.而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数,所以,级数1121nn ∞=-∑收敛. 例5 判定下列正项级数的敛散性.(1) 321121n n n n ∞=+--∑; (2) ∑∞=11sin n n . 解 (1) 因为 3221121lim 12n n n n n →∞+--=,而级数211n n∞=∑收敛,则根据定理3知级数321121n n n n ∞=+--∑收敛. (2) 因为 n →∞时,11sinnn ,即1sinlim 11n n n→∞=,而级数11n n∞=∑发散,根据定理3知级数∑∞=11sinn n发散. 利用比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性,需要先对所考虑级数的敛散性有一个大致估计,进而找一个敛散性已知的合适级数与之比较. 在很多情况下,这两个步骤都具有相当难度,下面介绍两个着眼于待判别级数自身特点的更加适用和方便的判别法. 2 比值判别法定理4 (达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数，若l u u nn n =+→∞1lim(或∞+),则(1) 当1<l 时,级数∑∞=1n nu收敛;(2) 当1>l (或∞+)时,级数∑∞=1n nu发散;(3) 当1=l 时,级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.证明 (1) 当1l <时,可取定一个适当小的正数ε,使1l q ε+=<(如:12lε-=),由数列极限的定义知,存在正整数N ,当n N ≥时有1n nu l u ε+-<,故11n nu l q u ε+<+=<. 因此， 1N N u qu +<,221N N N u qu q u ++<<,……………………mN m N u q u +<,……………………这组不等号右边的各项组成的级数23m N N N N qu q u q u q u +++++是几何级数,而01q <<,所以此几何级数收敛.由比较判别法可知不等号左边各项组成的级数12N N N N m u u u u +++++++也是收敛的.由于去掉级数的前面有限项不改变级数的收敛性,因此级数∑∞=1n nu收敛.(2) 当1l >时,可取定一个适当小的正数ε,使1l ε->(如:12l ε-=),则根据数列极限的定义,存在正整数N ,当n N ≥时有11n nu l u ε+>->,即1n n u u +>. 所以,从第N 项开始,级数∑∞=1n nu的一般项逐渐增大,所以lim 0n n u →∞≠,故级数∑∞=1n nu发散.(3) 当1l =时,级数可能收敛也可能发散.这个结论可以从p -级数11pn n∞=∑的敛散性看出.对p -级数而言,()111lim lim 11n p p n n n u n u n +→∞→∞⎡⎤==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.当1p >时,此级数收敛;当1p ≤时,此级数发散.[注] 在上述定理的第三种情况(即1=l 时),比值判别法失效,必须用其它方法来判定级数的敛散性,如比较判别法,级数的性质等.例6 判定下列正项级数的敛散性.(1) ∑∞=132n n n ; (2) ∑∞=⋅1!3n n n n n ; (3) ∑∞=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅1!4)12(531n nn n . 解 (1) 因为12)1(2lim 2)1(2lim33331>=+=+→∞+→∞n n n n n n n n ， 所以,级数∑∞=132n nn发散.(2) 因为1111(1)lim lim (1)13(1)!3!33n nn n n n n e n n n n n ++→∞→∞+=+=<+⋅, 所以,级数∑∞=⋅1!3n n nn n 收敛.(3) 因为121)1(412lim !4)12(531)!1(4)12)(12(531lim1<=++=-⋅⋅⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅⋅⋅→∞+→∞n n n n n n n n n n n , 所以,级数∑∞=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅1!4)12(531n nn n 收敛. [注] 一般地,比值判别法适合于正项级数中1n u +与n u 有公因子的情形;若级数的一般项中含有!n 时,用比值判别法特别有效.例7 判定正项级数2112nn n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 易知22212nn n n n <⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1,2,3)n =,对于级数212n n n ∞=∑使用比值判别法. 因为()22111lim1222n n n n n +→∞+=<,级数212n n n ∞=∑收敛.所以,由比较判别法知级数2112nn n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛.除了比值判别法,我们还有如下根值判别法.3 根值判别法定理5 （柯西判别法）设∑∞=1n nu为正项级数,若l u n n n =∞→lim (或∞+),则(1) 当1<l 时,级数∑∞=1n nu收敛;(2) 当1>l (或∞+)时,级数∑∞=1n nu发散;(3) 当1=l 时,级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.例7 判别下列级数的敛散性. (1)1(0)1nn na a n ∞=⎛⎫> ⎪+⎝⎭∑; (2) 21112n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.解 (1) 因为n n a ==， 所以,当1a <时,此级数收敛;当1a >时,此级数发散;当1a =,1lim lim 01nn n n n u n e →∞→∞⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭,此级数也发散. (2) 因为1lim lim 112nn n n n →∞→∞⎛⎫==+=> ⎪⎝⎭, 所以,由根值判别法得级数21112n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.[注] 一般说来,若正项级数的一般项中含nn 、na (a 为一常数)时,用根值判别法较为方便.习 题 7－21. 判定下列正项级数的敛散性:(1)1n ∞=; (2) 1ln n n n ∞=∑; (3) 1352nn ∞=+∑;(4)1n ∞=; (5)11n n n ∞=+-; (6) 1n ∞=.2. 判定下列正项级数的敛散性:(1) 1sin 3n n π∞=∑; (2) 13!n n n ∞=∑; (3)11tan 23n n n π∞=∑;(4) 11(1)!n n n n ∞+=+∑; (5) 2211n n x n ∞=∑; (6) 1sin 22n n n n π∞=∑; (7) 12132n n n n ∞=-⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; (8) 21121nn n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑.3. 证明lim 03!nn n n n →∞=. (提示：用级数收敛的必要条件)4. (1) 设0n a ≥，0n b >,若lim 0nn na b →∞=,且级数1n n b ∞=∑收敛,证明级数1n n a ∞=∑收敛. (提示:证明0nna Mb ≤≤,M 为一常数) (2) 利用(1)的结果证明级数31ln n nn∞=∑收敛.。
第二节 正项级数的审敛法教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合. 教学过程:一、正项级数及其审敛法 1.正项级数：若级数∑∞=1n nu的各项0≥n u , 则称级数∑∞=1n nu为正项级数.2.【定理1】(基本定理): 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔}{n S 有界. 且此时S S n ≤说明：因0≥n u ,于是11--≥+=n n n n S u S S ,可见}{n S 单调递增.故∑∞=1n nu收敛 ⇔}{n S 收敛 ⇔}{n S 有界. 此时显然有S S n ≤.（注意：单调有界数列收敛） 3.【定理2】(比较判别法): 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均为正项级数, 且n n v u ≤, ,2,1=n ,则 (1)∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=1n nu收敛; (2)∑∞=1n nu发散⇒∑∞=1n nv发散.证明: 由条件知, n nk knk k n T vu S =≤=≤∑∑==110, 那么(1) ∑∞=1n nv收敛⇒}{n T 有界⇒}{n S 有界⇒∑∞=1n nu收敛; (2)∑∞=1n nu发散⇒}{n S 无界⇒}{n T 无界⇒∑∞=1n nv发散.另证：若∑∞=1n nv收敛，由（1）证明知∑∞=1n nu必收敛，此与题设∑∞=1n nu发散矛盾，所以假设不成立，即∑∞=1n nv发散.4.【推论】(1) 若级数∑∞=1n nv收敛且存在0N >,..s t n N >时恒有: n n cv u ≤, (0>c 为常数),则级数∑∞=1n nu收敛.（2）若级数∑∞=1n nv发散且存在0N >, ..s t n N > 时恒有: n n u cv ≥,(0>c 为常数),则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论-p 级数 ++++++p p p p n 14131211的敛散性.)0(>p 解: ① 若,1≤p 由于nn p 11≥ ⇒-p 级数发散.② 若,1>p 由 1101p p n x n n x≤-≤≤⇒≤所以 ⎰⎰--≤=n n p n n p p x dx n dx n111(2,3,4,)n = , 那么 ⎰⎰⎰-++++≤++++=n n p p p p p p n xdx x dx x dx n S 132211131211 11111111111111--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+≤+=+∞-∞+⎰⎰p pp x p x dx x dx p p np ＝＝, 可见}{n S 有界⇒-p 级数收敛.综上知：-p 级数∑∞=11n pn收敛 ⇔ 1>p .（此结论当定理使用） [由-p 级数得结论]： 设∑∞=1n nu为正项级数, 那么① 若1>p , 且p n n u 1≤, ,2,1=n , 则∑∞=1n n u 收敛;② 若n u n 1≥, ,2,1=n , 则∑∞=1n n u 发散.例2 (1)证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证明:,11)1)(1(1)1(1+=++>+n n n n n 1211,1n n n n∞∞==+∑∑而级数=发散11(1)n n n ∞=∴+∑级数发散.(2) 证明级数2111n nn ∞=++∑是发散的. 证明：因为221111(1)1n n n u n n n ++=>=+++，且11,1n n ∞∞=+∑∑n=21而级数=发散n 故 级数2111n nn ∞=++∑是发散的. 例3（1）讨论级数211(1)n n n ∞=+∑的敛散性.解：3232111(1)n n u v n n n n =<==+ ， 而级数31121n n n v n∞∞===∑∑为收敛的-p 级数所以级数211(1)n n n ∞=+∑收敛.（2）讨论级数1()21nn n n ∞=+∑的敛散性.解：1()2122n nn n n n n u v n n ⎛⎫⎛⎫=<== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 而级数111()2nn n n v ∞∞===∑∑是收敛的几何级数所以级数1()21nn n n ∞=+∑收敛. (3)判断级数 33221(11)n n n ∞=+--∑的敛散性.解 令 331110n n n u n n u ∞==+--≥⇒∑为正项级数.又333333222211111n n u n n v n n n n=+--=≤≤=++-+级数3121n n∞=∑为收敛的P －级数，所以1nn v∞=∑收敛，由比较判别法知故级数33221(11)n n n ∞=+--∑收敛.例4 设40tan nn a xdx π=⎰.（1）求211(n n n a a n ∞+=+∑）的值.（2）证明当0λ> （常数）时，级数1nn a n λ∞=∑收敛.（1）解 244201tan (tan 1)tan tan 1n n n n a a x x dx xd x n ππ++=+==+⎰⎰ 所以211111(lim(1)1(1)1n n n n n a a n n n n ∞∞+→∞==+=-=++∑∑）= （2）证明 因为 4tan 0n n a xdx π=>⎰21110(1)n n n a a a n n n n nλλλλ+++≤≤=<+，且0λ>时，111n n λ∞++∑收敛，故原级数收敛.练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性:(1) ++++7151311 解 该级数为∑∞=-1121n n ,由121-n n 21>,且∑∞=121n n发散,知原级发散. (2) +++++++1117110151212n 解 该级数为∑∞=+1211n n ,由112+n 21n <,且∑∞=121n n收敛,知原级数收敛. (3) +-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++-)12(75329753275325323211432n n解 由于1122()(1,2,)33333n n n u n --≤==⋅⋅⋅ , 这是一个公比为32的几何级数,因而是收敛的,由比较判别法可知原级数收敛. (4)∑∞=+1)1ln(1n n （由函数单调性知0x >()ln(1)f x x x ⇒=-+1()101f x x '⇒=->+ 所以函数()f x 单调递增，0x >时()(0)0f x f >=⇒ln(1x x ＋）<） 解 因为ln(1)n n +<,所以11ln(1)n n >+,而调和级数11n n∞=∑发散,由比较 判别法可知原级数发散.(5)+⋅+⋅+⋅+⋅443322372352332312 解 由于122()()2133n n n u n =≤-,12()3n n ∞=∑是一个公比为32的收敛几何级数，所以由比较判别法可知原级数收敛.(6)∑∞=+111n n n 解 由23)1(111n n n n n =<+, ∑∞=123)1(n n收敛,知原级数收敛.例5 讨论级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的敛散性. 解：1）1a >时由111n n n u a a =<+且11nn a∞=∑收敛可得原级数收敛. 2）1a =时由1112n nu a ==+且112n ∞=∑发散可得原级数发散. 3）01a <<时由1112n n u a =>+且112n ∞=∑发散可得原级数发散. 结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项 时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、 P －级数的敛散性非常熟悉.5．【定理3】(比较判别法的极限形式): 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若l v u nnn =∞→lim，则(1)当+∞<≤l 0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当∞≤<l 0时,若∑∞=1n n v发散,则∑∞=1n nu也发散.（3）)当0l <<∞时,若∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同的敛散性.结论的另一种叙述方法： (1)当0l <<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同的敛散性；(2)当0l =时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛； (3)当l =∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.证明:(1)由+∞<≤l 0,,01>+=l ε,N ∃当n N >时，1+=<-l l v u nnε, 或12+<l v u nn,)()12(N n v l u n n >+<即,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)因为 lim n n nu l v →∞=,0l <≤+∞，故k u vn n n =∞→lim ，+∞<≤k 0,若∑∞=1n nu收敛,则∑∞=1n nv也收敛,可见,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu必发散.补充结论证明提示（1） 当0l <<+∞时,由l v u nnn =∞→lim得对0,0..N s t n N ε∀>∃>>时 33,22222n n n n n n n u u l l l l ll v u v v v εε-<=<<<<取则即由比较判别法得 结论成立.（2）当0l =时, nn n nu u v v εε<<即由比较判别法得结论成立. （3）当l =∞时,由无穷大的概念知0,..n n n nuM s t M u Mv v ∃>>⇒>由比较判别法得结论成立. 【推论】(-p 极限法): 设∑∞=1n nu为正项级数,且l u n n pn =∞→lim ,(1)当1>p ,+∞<≤l 0时,级数∑∞=1n nu收敛;(2)当1≤p ,∞≤<l 0时,级数∑∞=1n nu发散.（证明方法：设∑∞=1n n v 为正项级数,其中1n p v n =，利用比较判别法去证） 注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，0x →时 ~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1x x x x x x x e +-211cos ~2x x -例6 （1） 判别级数∑∞=11sin n n 的敛散性.解: n n n 1sin lim ∞→ nn n 11sin lim ∞→=,1= ⇒ 级数∑∞=11sin n n 发散.)1(=p（2）判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的敛散性.解: 1)1ln(lim 1)11ln(lim )11ln(lim 21210122222=-→=∞→∞→===+===⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+p p t t n t p n p n t t n n nn 令 , ⇒ 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. )12(>=p .（3） 判别级数11(1cos )n n ∞=-∑的敛散性.解：n →∞时，2111cos 2n n - 且2112n n∞=∑收敛⇒11(1cos )n n ∞=-∑收敛.（4）1186n n n ∞=-∑：11381()4n n n u =⋅-，18n n v =，11lim 18n n n n u v ∞→∞=∑n ＝且 收敛，推出1186n nn ∞=-∑收敛. （5）11ln(1)n n ∞=+∑：111,ln(1)~,n n v n n n →∞+=令11n ∞∑n ＝且发散，可推出原级数发散.（6）211ln(1)n n ∞=+∑：222111,ln(1)~,n n v n n n →∞+=令211n∞∑n ＝且收敛，可推出原级数收敛.例7 判定级数21(0)1nnn a a a∞=>+∑的敛散性. 解 （1）当1a =时，211112n nn n a a ∞∞===+∑∑发散. （2）当1a >时，令1n n v a =，22lim lim 11nn n n n nu a v a ρ→∞→∞===<+∞+1n n v ∞=∑收敛（101q a <=<），所以原级数211nnn a a ∞=+∑收敛. 另证：令1n n v a =，2211,1n n n n n nn n n a a u v v a a a ∞===≤==+∑ 收敛（101q a <=<），所以原级数211nnn a a∞=+∑收敛. （3）当1a <时，令nn v a =，21lim lim11n nn n nu v a ρ→∞→∞===<+∞+ 1n n v ∞=∑收敛（01q a <=<），所以原级数211nnn a a∞=+∑收敛.另证：令nn v a =，21,1n nn n n nn a u a v v a ∞==≤=+∑ 收敛（01q a <=<），所以原级数211nnn a a∞=+∑收敛. 综上所述1a =时211n n n a a ∞=+∑发散，1a ≠时211nnn a a ∞=+∑收敛. 【结论】：当n →∞时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与 无穷大比较）以及已知级数的敛散性.6．【定理4】(比值判别法,达朗贝尔判别法D Alembert '): 设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.证明: (1) 1<ρ时, 对,021>-=ρε 0,N ∃>,时当N n >,1ερ<-+nn u u 有r u u nn =+<+ερ1, n n ru u <+1)121,(,<+=+=>ρερr N n ,12++<N N ru u ,1223+++<<N N N u r ru u , ,11+-+<N m m N u r u由于∑∞=-11m m r收敛, 故∑∞=+1m mN u收敛. ∴级数∑∞=1n nu收敛.(2) 1>ρ时, 对,021>-=ρε ,N ∃,时当N n >,1ερ<-+nn u u 有121211>+=--=->+ρρρερn n u u , ,1n n u u >+ )(N n > 可见 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(2)’ +∞=ρ时, ,N ∃,时当N n >11>+nn u u , 或 ,1n n u u >+ 同样 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.例如: 级数∑∞=11n n 发散, 而级数∑∞=121n n收敛.注意到这两个级数均有1=ρ.例8（1）(88.3) 讨论级数∑∞=++11)!1(n n nn 的敛散性.解 由12)1(lim )!1()1()!2(lim lim 1121++⋅+=+⋅++=+→∞++→∞+→∞n n n n n n n n u u n n n n n nn n 1e1)1()11(1lim <=+⋅+=∞→n n nn n 知原级数收敛. （2）讨论级数1nn n n ∞=∑！的敛散性.解 令11,lim lim(1)1n n n n n n nu n u e n u n ρ+→∞→∞===+=>由于！，1nn n n ∞=∑！发散. (3) 判断级数 12!()nn n n ∞=∑的敛散性.解 令2!nn u n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由比值判别法知112(1)!221lim lim lim 112(1)!n n n n n n n n n u n u e n n n ρ++→∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故级数 12!()nn n n ∞=∑收敛.(4)∑∞=13sin2n nn π解 该级数的一般项nnn u 3sin2π=,，且11sinsin 3333n n n n n ππππ→∞＋＋时，～，～因为 1323sin333sinlim 323sin 23sin2lim lim 11111<=⋅=⋅⋅=++∞→++∞→+∞→nn n n n n n n n n n n n u u ππππππ,原级数收敛.例9 判别级数∑∞=-1)2)(12(1n n n 的敛散性. 解: (1) 由于1)22)(12()2)(12(limlim 1=++-==∞→+∞→n n n n u u n nn n ρ, 此时无法判断. (2) 但 141)2)(12(lim lim 22<=-=∞→∞→n n n u n n n n ，故得知级数收敛.另解 令1(21)(2)n u n n =-，又令21n v n =，因为211lim lim 2(21)4n n n nu n v n n ρ→∞→∞==⋅=-，且211n n ∞=∑收敛，故级数∑∞=-1)2)(12(1n n n 收敛. 例10 （1）求!10lim n nn ∞→.解: 由于 10110lim 10!)!1(10lim lim 11<=+=⋅+==∞→+∞→+∞→n n n u u n n n n nn n ρ,那么级数∑∞=1!10n nn 收敛, 于是0!10lim=∞→n n n . （2）证明 2!lim0n n n n n →∞⋅=. 证明：设有级数12!n nn n n ∞=⋅∑，因为 1112(1)!22lim lim lim 11(1)2!(1)n n n n n n n n n n u n n u n n e nρ+++→∞→∞→∞⋅+==⋅==<+⋅+， 所以级数12!n n n n n ∞=⋅∑收敛，于是 lim n n u →∞=2!lim 0n n n n n →∞⋅=. 例11 证明级数∑∞=-1)!1(1n n 是收敛的,并估计误差||n r .证明: (1) 由于101lim !)!1(lim lim 1<==-==∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n ρ, 故级数收敛.(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=+++++=)2)(1(1111!1)!2(1)!1(1!1||n n n n n n n r n )!1)(1(1111!11111!132--=-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤n n nn n n n n , )1(>n . 例12 证明级数∑∞=11n n n 是收敛的,并估计误差||n r .证明：(1) 由于101limlim <===∞→∞→n u n n n n ρ, 故级数收敛.(2) ++++++=+++321)3(1)2(1)1(1||n n n n n n n r ++++++<+++321)1(1)1(1)1(1n n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=+ 21)1(1111)1(1n n n n nn n n n n n n n n )1(11)1(11111)1(111+=+⋅+=+-⋅+=++. 【结论】：对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻 一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.但必须注意：比值判 别法对p -级数失效. 练习：用比值判别法(达朗贝尔法则)研究下列各级数的敛散性:(1)++++43227252321 解 该级数的一般项nn n u 212-=,因为)12(22)12(lim lim 11-⋅⋅+=+∞→+∞→n n u u n nn nn n 1212412lim <=-+=∞→n n n ,所以该级数收敛. (2) ++++!41! 31! 211 解 该级数的一般项!1n u n =,因为1011lim !)1(!lim lim 1<=+=+=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n , 所以原级数收敛.(3)∑∞=+1! )12(1n n解 该级数的一般项!)12(1+=n u n ,因为!)3(2!)12(limlim1 n n u u n n n n ++=∞→+∞→10)3(2)22(1lim <=++=∞→ n n n ,原级数收敛. (4) ++++!45!35!25132 解 该级数的一般项!51n u n n -=,因为,1015lim 5!)!1(5lim lim 11<=+=⋅+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n nn n 所以原级数收敛. (5)∑∞=12)!2()!(n n n解 该级数的一般项)!2()!(2n n u n =,因为141)22()12()1(lim )!()!2()!22())!1((lim lim 2221<=+⋅++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n , 所以原级数收敛.(6)+⋅+⋅+⋅+⋅542432322212432 解 该级数的一般项)1(2+⋅=n n u nn ,因为,1222lim 2)1()2()1(2lim lim 11>=+=+⋅⋅+⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n n n u u n n n n nn n 原级数发散. （7）比值法判定：11n n ∞=∑！收敛，1n n ∞=∑n 3发散，21cos 32n n n π∞=∑n（21cos 32n n n π∞=∑n ：2cos 322n n n n n u v π=≤=n n ）收敛. （8）111:22n n n n v n ∞==-∑令，11lim 12n n n nu v ∞→∞=∑n ＝则且收敛⇒原级数收敛.（9）1n n n n ∞=∑！：11lim lim(1n n n n u u n +→∞→∞=+n 则)=e>1则⇒原级数1nn n n ∞=∑！发散.7．【定理5】(根式（柯西）判别法): 设∑∞=1n nu为正项级数, 若ρ=∞→nn n u lim ，则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n n u 收敛；(2)1>ρ或+∞=ρ时,级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.证明: (1) 1<ρ时, 对,021>-=ρε ,N ∃,时当N n >,ερ<-nn u 有r u nn =+<ερ, n n r u <)121,(,<+=+=>ρερr N n 由于∑∞=1n nr收敛, 故级数∑∞=1n nu收敛.(2) 1>ρ时, 对,021>-=ρε ,N ∃,时当N n >,ερ<-n n u 有 12121>+=--=->ρρρερnn u , 1>n u )(N n >可见 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(2)’ +∞=ρ时, ,N ∃,时当N n >1>nn u , 或 ,1>n u同样 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(3) 1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.例如: 级数∑∞=11n n 发散, 而级数∑∞=121n n收敛.注意到这两个级数均有1=ρ.(1lim lim lim 01limln limln ln ======+∞→+∞→+∞→∞→∞→e eeeen t t t tt t nn n n n t t )【结论】：对通项的指数为与n 次幂相关的级数可以考虑用根植判别法. 例13 判别下列级数的敛散性（1）211(1)3n n n n ∞=+∑ 解 令21(1)3nn n n u +=，因为21(1)lim lim 133n nn n n n n e n u →∞→∞+==<， 所以 级数 211(1)3n n n n ∞=+∑收敛. （2）1()21nn n n ∞=+∑解 令()21nn n u n =+，因为1lim lim ()lim 121212n n n n n n n n n u n n →∞→∞→∞===<++， 所以 级数 1()21nn n n ∞=+∑收敛.例14 设(1,2,)n n n u c v n ≤≤= ，并且级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛，证明 级数1nn c∞=∑收敛.证明 设,(1,2,)n n n n n n w v u t v c n =-=-= 则0,0n n w t ≥≥即级数1nn w∞=∑与1nn t∞=∑都是正项级数.因为级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛，所以级数1nn w∞=∑收敛，而由(1,2,)n n n u c v n ≤≤= 知n n t w ≤，所以由正项级数比较判别法知级数1nn t∞=∑也收敛；而111nnnn n n c v t∞∞∞====-∑∑∑，且1nn v∞=∑收敛，故 级数1nn c∞=∑收敛.小结：1.正项级数多用比较判别法与比值判别法判断其敛散性.2．利用比较的极限形式判别时注意运用等价无穷小进行转化. 3．利用比较判别法时注意运用已证明过的常见不等式转化以及知道敛散性的调和级数11n n ∞=∑、几何级数1nn aq ∞=∑、P -级数11p n n∞=∑进行判断.4.对通项的指数为与n 相关次幂的级数可以考虑用根植判别法.5. 对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应 考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项比值极限判定. 但注意极限与1比较大小.课后记：存在问题：定理不熟悉，常用结论不熟悉，不知从何下手去证明.。
