高一数学不等式

高一数学不等式知识点归纳数学不等式是高中数学中重要的一部分内容。

在高一数学学习中，了解不等式的概念、性质以及解不等式的方法，对于学习数学和解决实际问题都有着重要的作用。

下面将对高一数学不等式知识点进行归纳和总结。

一、不等式的概念不等式是一种数学关系式，它表达了两个数的大小关系。

一般形式为a ≠ b或a < b或a > b，其中a、b为实数。

不等式中的关系符号有"≠"、“<”、“>”分别表示不等、小于和大于的关系。

二、不等式的性质1. 传递性：如果a < b且b < c，则有a < c。

类似的，大于的情况也满足这个性质。

2. 加减性：对于不等式，可以同时加上一个数或减去一个数，不等号的方向不变。

例如，如果a < b，则有a + c < b + c。

减法的情况也类似。

3. 倍乘性：对于正数k，不等式中的关系符号不改变。

例如，如果a < b，则有ka < kb。

当k为负数时，不等号的方向改变。

4. 乘方性：对于正实数k，不等式中的关系符号不改变。

例如，如果a < b，则有a^k < b^k。

当k为负数时，不等号的方向改变，但必须保证a和b皆大于0。

三、不等式的解集表示方法1. 用图形表示：可以通过将不等式转化为坐标系中的区域表示来解释和表示不等式关系。

2. 用集合表示：通过列举满足不等式的所有实数，将这些实数写成一个集合的形式来表示不等式的解集。

3. 用不等式表示：将不等式的解集写成一个由不等号和式子组成的不等式形式，来表示不等式的解集。

四、不等式的求解方法1. 加减法解不等式：利用加减性质，将不等式中的常数项移到一边，以求得未知数的范围。

2. 乘除法解不等式：利用倍乘性质，将不等式中的系数移到一边，并对系数符号进行考虑，以求得未知数的范围。

3. 绝对值不等式的解法：分为绝对值大于、小于和大于等于、小于等于两种情况，根据不等式的形式分别求解。

不等式一、基本不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质：①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．3、设a 、b 是两个正数，则2a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．4、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a b ab +≥．5、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．6、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．例：（13-14耀华7）若2-m 与|m |-3异号，则m 的取值范围是A、m >3B、-3<m <3C、2<m <3D、-3<m <2或m >3解析：由题.323,03020302><<-∴⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧<->-m m m m m m 或或得答案：D例：（13-14蓟县11）已知实数的最小值为则且、yx y x R y x 12,1,+=+∈解析：22323))(12(12+≥++=++=+yx x y y x y x y x 当且仅当222y x =答案：223+二、一元二次不等式1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac∆=-0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c=++()0a >的图象一元二次方程2ax bx +0c +=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a -±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a ==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x x x x <<∅∅若二次项系数为负，先变为正例：(12-13南开区17)已知不等式2230x x --<的解集为A，不等式260x x +-<的解集是B．(I)求A B ；(Ⅱ)若不等式20x ax b ++<的解集是A B ，求20ax x b ++<的解集．.,0221,0240-1(-1,2)0(2)(-1,2)).2,3(23-06(-1,3),31-032)1(2222R x x b a b a b a b ax x B A B x x x A x x x 解得解集为解得，的解集是由，得解得解解：<-+-∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=++=+∴<++=∴-=∴<<<-+=∴<<<--3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧图像法（数形结合）根的分布分离参数法恒成立问题：分类讨论（因式分解）含参一元二次不等式：例：（13-14红桥区17）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<．.1;11,111;11,1110;110)1)(1(00)1)(1(0;10 时，不等式的解为当不等式的解为时，当不等式的解为时，当或，不等式的解化为时，原不等是等价于当时，因式分解为当时，不等式解为解：当=<<>><<<<<<><--<>--≠>=a x aa a ax a a ax x x a x a x ax a a x a 例：（13-14蓟县13)已知一元二次不等式02122≥++kx kx 对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为解析:40040,0021,02≤≤⎩⎨⎧≤-=∆≥≠≥=k k k k k k 得则若，成立；则不等式化为若综上可得40≤≤k 答案：[]4,0例：(12-13南开12)己知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R，则实数m 的取值范围是_________________.解析：22,2064(2)4(2)0m m m m m ≠-≥⎧<<⎨∆=---<⎩ 不等式为一元二次不等式，则则得2得2<m<6答案：(2,6)三、线性规划1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3．解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证所求解是否在可行域内。

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的重要概念，它在数学运算中有着重要的作用。

掌握基本不等式的题型及解题方法对于高一学生来说至关重要。

在本文中，我们将对高一基本不等式的常见题型和解题方法进行详细的介绍。

1.绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的重要内容之一。

它常常以形如|ax + b| < c或者|ax + b| > c的形式出现。

解决绝对值不等式的关键在于将其转化为两个普通的不等式，然后求解。

以下是解决绝对值不等式的基本步骤：例题：求不等式|3x - 2| < 7的解集。

解：首先，我们将不等式转化为两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，|3x - 2| = 3x - 2，此时不等式转化为3x - 2 < 7。

2）当3x - 2 < 0时，|3x - 2| = -(3x - 2)，此时不等式转化为-(3x - 2) < 7。

接下来，我们分别求解这两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，可得3x - 2 < 7，解得x < 3。

2）当3x - 2 < 0时，可得-(3x - 2) < 7，解得x > -1。

因此，原不等式的解集为-1 < x < 3。

2.复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式组成的不等式。

解决复合不等式的关键在于找到其交集或并集，然后求解。

以下是解决复合不等式的基本步骤：例题：求解不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集。

解：首先，我们分别求解这两个不等式：1）x + 2 > 0，解得x > -2。

2）3x - 4 < 5，解得x < 3。

然后，我们找出这两个不等式的交集，即-2 < x < 3。

因此，不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集为-2 < x < 3。

基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。

它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。

在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。

本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。

一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。

二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。

三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。

学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。

高一数学数学不等式知识点数学不等式是高中数学的一个重要内容，它是代数学和几何学的一个重要分支，也是在解决实际问题中经常会遇到的数学工具。

在高一数学中，不等式的学习是一个重要的环节。

下面我们将介绍一些高一数学中的数学不等式知识点。

一、不等式的基本概念不等式是比较两个数大小关系的一种数学表达式。

在不等式中，常见的符号有“<”、“>”、“≤”和“≥”。

其中“<”表示“小于”，“>”表示“大于”，“≤”表示“小于等于”，“≥”表示“大于等于”。

例如：1) 对于实数a和b，如果a<b，则可表示为a<b。

2) 若a≤b，则表示为a≤b。

二、不等式的性质1. 加减性质对于不等式a<b，如果两边同时加、减同一个数，不等式的大小关系将保持不变。

例如：a<b, 则a+c < b+c。

a>b, 则a-c > b-c。

2. 乘除性质若不等式a<b，且c>0，则ac<bc。

若不等式a<b，且c<0，则ac>bc。

3. 倒置性质若a<b，则b>a。

三、一次不等式的求解求解不等式的目标是找出使得不等式成立的变量的取值范围。

对于一次不等式，我们可以使用加减法和乘除法对其进行求解。

1. 加减法求解对于不等式ax+b<c，我们可以按照以下步骤进行求解：1) 将不等式进行移项，得到ax < c-b。

2) 按照不等式性质，将不等式进行化简。

2. 乘除法求解对于不等式ax<b，我们可以按照以下步骤进行求解：1) 将不等式进行移项，得到ax-b < 0。

2) 将不等式进行因式分解，得到 a(x- b/a) < 0。

3) 按照不等式性质，将不等式进行化简。

四、一元一次不等式组的求解一元一次不等式组是由多个一元一次不等式构成的集合。

对于一元一次不等式组，我们可以通过图像法和代数法进行求解。

对于一元一次不等式组，我们可以将不等式表示为数轴上的区间，并找出满足所有不等式条件的解。

高一数学基本不等式知识点在高中数学学习的过程中，不等式是一个重要的部分。

不等式是数学中研究各种数量之间大小关系的一种数学关系。

在高一阶段，基本不等式是学习不等式的基础，也是进一步研究不等式的前提。

1. 不等式的定义与性质不等式是指两个数或者两个算式之间的大小关系。

常见的不等式符号包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。

在解不等式的过程中，我们需要注意不等式的性质，比如对称性、传递性以及与等式的关系等。

2. 基本不等式基本不等式是高一阶段不等式学习的核心内容。

在基本不等式中，包括了重要的三个不等式：算术平均数与几何平均数的大小关系、平均数不等式、柯西-施瓦茨不等式。

a. 算术平均数与几何平均数的大小关系：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于几何平均数。

即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。

b. 平均数不等式：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于它们的四次方平均数，四次方平均数大于等于它们的几何平均数。

即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ ((a1^4+a2^4+...+an^4)/n)^1/4 ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。

c. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。

该不等式在向量和内积的研究中具有重要的应用。

3. 不等式的解法在解不等式的过程中，我们需要运用相关的性质和定理，结合具体的不等式形式进行推导。

a. 基本不等式的应用：基本不等式是解决各类不等式问题的基础。

我们可以将待解决的不等式通过恰当的变形和不等式的运算性质转化成基本不等式，再利用基本不等式求解。

高一数学基本不等式有哪几个?
高中数学基本不等式常用的有六个，在以后学习的过程中还要积累一些常见的不等式。

1.基本不等式a^2+b^2≧2ab
对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。

证明的过程：因为（a-b）^2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。

它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。

2.基本不等式√ab≦(a+b)/2
这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。

证明过程：要证(a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）^2≧0，显然（√a-√b）^ 2≧0是成立的。

它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。

3.b/a+a/b≧2
这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。

证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。

4.基本不等式的拓展公式：a^3+b^3+c^3≧3abc，a，b，c均为正数。

5.（a+b+c）/3≧³√abc，a，b，c均为正数，当且仅当a=b=c时等号成立。

6.柯西不等式。

第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。

在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。

1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。

当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。

在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。

基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。

1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。

传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。

对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。

这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。

1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。

特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。

通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。

第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。

在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。

通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。

这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。

2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。

在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。

高一数学不等式知识点笔记一、不等式的定义和性质不等式是指两个数、两个代数式或两个函数之间的大小关系，通常用不等号（<、>、≤、≥）表示。

1. 不等式的基本性质：- 反身性：任何数与自身之间没有大小关系，即 a = a。

- 对称性：如果 a > b，则 b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。

- 传递性：如果 a > b 且 b > c，则 a > c；如果a ≥ b 且b ≥ c，则a ≥ c。

2. 不等式的加减性质：- 加法：如果 a > b，那么 a + c > b + c。

- 减法：如果 a > b，那么 a - c > b - c（当 c > 0）或 a - c < b - c （当 c < 0）。

3. 不等式的乘除性质：- 正数乘法：如果 a > b 且 c > 0，那么 ac > bc。

- 负数乘法：如果 a > b 且 c < 0，那么 ac < bc。

- 正数除法：如果 a > b 且 c > 0，那么 a/c > b/c。

- 负数除法：如果 a > b 且 c < 0，那么 a/c < b/c。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 是已知实数。

1. 解一元一次不等式的方法：- 将不等式转换为等价不等式。

- 使用数轴图，根据系数 a 的正负和不等号的方向确定解集。

- 需要注意的是，当不等式中存在乘法或除法时，需考虑 a 的正负和不等号的方向是否改变。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中 a、b、c 是已知实数且a ≠ 0。

1. 求解一元二次不等式的步骤：- 将一元二次不等式转换为二元一次不等式。