第三章 4旋转曲面
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§4旋转曲面的面积
b
(3)
首页
×
如果光滑曲线Ｃ由参数方程 x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β] 且 y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得 旋转曲面的面积为
S 2 y(t ) x 2 (t ) y'2 (t )dt .
(4)
事实上，由（２）知，
S 2 f x 1 f
lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b T 0
首页
×
一般地，我们归纳出所求量Φ的积分表达式的步骤. (1) 选取积分变量及变化区间； (2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小 区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的 部分量△Φ的近似值
ｄΦ＝f（x）dx；
b a 2
x dx = 2 a f x
b
dy 2 1( ) dx dx
= 2 f x dx dy = 2 y( t )ds
b 2 2 a
= 2
2 '2 = 2 y( t ) x ( t ) y ( t )dt .
首页
dx 2 dy 2 y( t ) ( ) ( ) dt dt dt
S f (i )xi ( xi xi xi 1 ).
i 1
首页
n
×
（iii）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a, b] 的分割,又与所有中间点 i( i=1,2,…，n）的取法
有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a, b]无限细
分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi, 中间 i 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯 形的面积S.
(3)
首页
×
如果光滑曲线Ｃ由参数方程 x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β] 且 y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得 旋转曲面的面积为
S 2 y(t ) x 2 (t ) y'2 (t )dt .
(4)
事实上，由（２）知，
S 2 f x 1 f
lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b T 0
首页
×
一般地，我们归纳出所求量Φ的积分表达式的步骤. (1) 选取积分变量及变化区间； (2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小 区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的 部分量△Φ的近似值
ｄΦ＝f（x）dx；
b a 2
x dx = 2 a f x
b
dy 2 1( ) dx dx
= 2 f x dx dy = 2 y( t )ds
b 2 2 a
= 2
2 '2 = 2 y( t ) x ( t ) y ( t )dt .
首页
dx 2 dy 2 y( t ) ( ) ( ) dt dt dt
S f (i )xi ( xi xi xi 1 ).
i 1
首页
n
×
（iii）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a, b] 的分割,又与所有中间点 i( i=1,2,…，n）的取法
有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a, b]无限细
分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi, 中间 i 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯 形的面积S.
第三章 常见曲面球面和旋转面
x b1 2 y b2 2 z b3 2 c b12 b22 b32 0,
当 b12 b22 b32 c 时，它表示一个球心在 b1,b2 ,b3 ，半径为 b12 b22 b32 c 的
球面；当 b12 b22 b32 c 时，它表示一个点 b1, b2 ,b3 ；当 b12 b22 b32 c 时，它
将（2）代入（1）中得
解（3）得
(x t)2 y2 (z t)2 1,
2( x
t)2
2y2
(z
t)2
2,
t z，
将（4）代入（3）中得所求柱面为
（2） （3） （4）
(x z)2 y2 1，
如果给的是准线 C 的参数方程
x f (t),
y
g (t ),
z h(t),
同理可得柱面的参数方程为
已知轴 l 过店 M1x1, y1, z1 ，方向向量为 vl, m, n，母线 的方程为：
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
二、旋转面的方程的求法
点 M x, y, z在旋转面上的充分必要条件是 M 在经过母线 上某一点 M 0 x0 , y0 , z0
的纬圆上（如图 3.2）。即，有母线 上的一点 M 0 使得 M和M 0 到轴 l 的距离相等（或到轴 上一点 M1 的距离相等）；并且 M0M l 。因此，有
2
2
与 M 的直角坐标 x, y, z的关系为
x R cos cos,
y
R
cos
sin
,
z R sin ,
R 0,
- ,
2
2
0 2
（3.4）
1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程
旋转曲面的面积
作业
P255：1，2，3.
0
2
64 a2
3
例3 已知
y
星形线
x y
a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
4
0
a
sin3
积 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx
很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面
积，取其为面积元素，dS 2 f (x) 1 f '2 xdx
旋转曲面的面积为
S
2
b
a
f
x
1 f '2 xdx
若曲线由参数方程
x y
xt y t
,
t
x x(t)
y
y(t)
( t )给出，则侧面积公式为：
A 2
y (t )
x'2 (t) y'2 (t)dt
若曲线段由极坐标方程
( ) ( )给出，则侧面积公式为
A 2
( ) sin
2 ( ) '2 ( )d
,
定义，且
y
t
0,
则由弧
微分只是推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得曲面的面积
S 2 y t x' 2 t y' 2 t dt
旋转曲面公式
旋转曲面公式旋转曲面公式是数学中常见的一类曲面方程。
在平面上，旋转曲面是通过绕着直线或点旋转形成的曲面。
旋转曲面公式是表达这类曲面的数学方程形式，非常有用且广泛应用于工程、物理和计算机图形学领域。
本文将介绍旋转曲面公式的定义、种类、基本特性和应用。
一、定义旋转曲面是指在平面上绕一个直线或一个点旋转所形成的曲面。
旋转曲面通常是由一条曲线绕着一定的轴或点旋转而生成。
旋转曲面公式是表达这类曲面的方程形式。
二、种类1. 绕x轴旋转当曲线绕x轴旋转时，生成的曲面被称为“圆锥面”或“圆锥体”（如果包含了内部）。
2. 绕y轴旋转当曲线绕y轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转椭球面”或“旋转椭球体”（如果包含了内部）。
3. 绕z轴旋转当曲线绕z轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转双曲面”，“旋转抛物面”或“旋转超球面”等。
三、基本特性1. 参数化形式旋转曲面可以用参数化的形式表示。
考虑曲线在xy平面上的表示形式r(t)。
为了将曲线绕z轴旋转，定义参数u表示绕z轴旋转的角度，曲面上每个点的坐标可以用下列参数化方程表示：x(u,t) = r(t)cos(u)y(u,t) = r(t)sin(u)z(u,t) = h(u)其中，r(t) 和 h(u) 是曲线在xy平面上和在z轴上的函数表示。
2. 等距线和平行线旋转曲面上的等距线是该曲面上的一条线，该线上的所有点到轴线（旋转轴）的距离相等。
相比之下，平行线是该曲面上的两条直线，它们不相交且距离相等。
对于圆锥面和旋转椭球面，等距线是从顶点或焦点到曲面上各点所在直线；对于旋转双曲面和旋转抛物面，等距线是与两极相切的曲面上的一条曲线。
3. 对称性旋转曲面具有一些特殊的对称性质。
根据对称平面或对称点的位置，旋转曲面可以被分为各种对称类型。
例如，对于绕x轴旋转的圆锥体，它有一个顶点和一条中心轴，因此它具有中心对称性；对于绕y轴旋转的旋转椭球体，它具有两个焦点和一条中心轴，具有反演和中心对称性。
第3章 PROE曲面的绘制
第3章Pro/ENGINEER曲面绘制本章主要介绍创建曲面造型特征的一些基本和高级的方法。
基本特征的创建方式主要有拉伸、旋转、扫描、混合等；而高级特征的创建方式比较多，主要有可变截面扫描、扫描混合、螺旋扫描、边界混合、截面至曲面、曲面至曲面、从文件、自由生成等。
本章以各个曲面创建命令为主线，就生成曲面的各种方法由简单到复杂，逐步深入地介绍曲面特征的创建方法。
同时，应当指出的是，由于有关曲面操作的详细介绍在《基础篇》中已给出，所以在绘制的过程中，一些简单操作可能一笔带过，不作详细说明。
本章知识要点：•基本曲面特征设计——包括对拉伸、旋转、扫描、混合等曲面基本创建方式进行介绍。
•高级曲面特征设计——介绍可变截面扫描、扫描混合、螺旋扫描、边界混合、截面至曲面、曲面至曲面、从文件、自由生成等高级曲面创建方法。
3.1 拉伸曲面（Extrude）拉伸曲面是指一条直线或一条曲线沿其垂直于绘图平面的一个或两个相对的方向拉伸所形成的一个曲面。
下面来看看创建拉伸曲面的过程。
（1）选取【Insert】|【Extend】然后将弹出【DashBoard】（仪表板）。
（2）点选曲面按钮，然后点选草图绘制按钮进入草图绘制模式。
（3）使用草绘工具绘制拉伸曲线如图3-1所示（4）设置好拉伸深度及方向，所生成的拉伸曲面如图3-2所示。
图3-1拉伸曲线草图图3-2拉伸曲面3.2 旋转曲面（Revolve）旋转曲面是指一条直线或曲面围绕一条中心轴，按一定的角度旋转而成的一个曲面。
下面来看看旋转曲面特征的创建过程。
（1）选取【Insert】|【Revolve】，然后将在屏幕下方出现【DashBoard】（仪表板）。
（2）点选曲面按钮，然后点选草图绘制按钮进入草图绘制模式。
（3）使用草绘工具绘制旋转曲线如图3-3所示。
注意必须绘制旋转轴。
（4）设置好旋转角度及方向，所生成的旋转曲面如图3-4所示。
图3-3旋转曲线草图图3-4旋转曲面3.3 扫描曲面（Sweep）扫描曲面是指一条直线或曲线沿某一条直线或曲线路径扫描所完成的一个曲面，下面来看看扫描曲面特征的创建过程。
43旋转曲面定义431在空间一条曲线绕着定直线旋转一
x0
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x2 y2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ：
将圆
( y b)2 z2 a2
:
,(b a 0)
x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b)2 z 2 a2 中保留 z 不变，而 y 用 x2 y2 代，就得将圆（20）绕
z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
( x2 y2 b)2 z2 a2
即
x2 y2 z2 b2 a2 2b x2 y2
或
(x2 y2 z2 b2 a2 )2 4b2 (x2 y2 )
这样的曲面叫做环面（图4-12（b)),它的形状像救生圈。
作业
P158 1，2，3
为
x
2
y y1 ( y1, z1) 0
从（12），（13），（14）三式中消去参数得所求旋转曲面的
方程为 F( y, x2 z2 ) 0
同样，把曲线 绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为
F( x2 y2 , z) 0
对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其 方程可类似的求出，这样我们就得出如下的规律：
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面叫做旋 转曲面，或称回转曲面。曲线 叫作旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋
转曲面的旋转轴，简称为轴。
如图就纬交4是圆成-5通或一，过纬条旋点线曲转。线M曲1在，面且通这的垂过些母直旋曲线于转 线轴轴显上l然l的在的的任旋平平意转面面点中上与M都，旋1 能以在转l彼旋曲为此转面界重时的的合形交每，成线个这一，半曲个我平线圆们面叫，把都作这它与旋个叫曲转圆做面
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x2 y2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ：
将圆
( y b)2 z2 a2
:
,(b a 0)
x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b)2 z 2 a2 中保留 z 不变，而 y 用 x2 y2 代，就得将圆（20）绕
z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
( x2 y2 b)2 z2 a2
即
x2 y2 z2 b2 a2 2b x2 y2
或
(x2 y2 z2 b2 a2 )2 4b2 (x2 y2 )
这样的曲面叫做环面（图4-12（b)),它的形状像救生圈。
作业
P158 1，2，3
为
x
2
y y1 ( y1, z1) 0
从（12），（13），（14）三式中消去参数得所求旋转曲面的
方程为 F( y, x2 z2 ) 0
同样，把曲线 绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为
F( x2 y2 , z) 0
对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其 方程可类似的求出，这样我们就得出如下的规律：
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面叫做旋 转曲面，或称回转曲面。曲线 叫作旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋
转曲面的旋转轴，简称为轴。
如图就纬交4是圆成-5通或一，过纬条旋点线曲转。线M曲1在，面且通这的垂过些母直旋曲线于转 线轴轴显上l然l的在的的任旋平平意转面面点中上与M都，旋1 能以在转l彼旋曲为此转面界重时的的合形交每，成线个这一，半曲个我平线圆们面叫，把都作这它与旋个叫曲转圆做面
旋转曲面
课题
第四章构建曲面（旋转曲面）
课时
2
教学目的
1.掌握旋转曲面的含义
2.掌握构建旋转曲面的方法
3.灵活运用
教学重点
1.旋转曲面的构建
2.旋转曲面的应用
教学难点
1.旋转曲面的构建
2.旋转曲面的应用
教学方法
讲授法、演示法
教学过程：
一、定义：旋转曲面是把几何图素绕着某一轴或一条直线旋转而产生的曲面。
二、构建方法：
1、绘制外形线框
2、绘制旋转曲面
范例：如下图绘制一线框
绘制如图线框模型
执行[绘图]/[绘制曲面]命令，先选择外形曲线，然后选择旋转轴，如图所示。
三、学生练习：
1、打开D:\CAM习题\源文件\06\6-30.MCX
结果应如图：
2、打开D:\CAM习题\源文件\06\6-31.MCX
线框图形旋转后图形课后小结源自旋转曲面可用多个图素进行串联，角度也可自定义。
作业
绘制课本上的三维图形和曲面
第四章构建曲面（旋转曲面）
课时
2
教学目的
1.掌握旋转曲面的含义
2.掌握构建旋转曲面的方法
3.灵活运用
教学重点
1.旋转曲面的构建
2.旋转曲面的应用
教学难点
1.旋转曲面的构建
2.旋转曲面的应用
教学方法
讲授法、演示法
教学过程：
一、定义：旋转曲面是把几何图素绕着某一轴或一条直线旋转而产生的曲面。
二、构建方法：
1、绘制外形线框
2、绘制旋转曲面
范例：如下图绘制一线框
绘制如图线框模型
执行[绘图]/[绘制曲面]命令，先选择外形曲线，然后选择旋转轴，如图所示。
三、学生练习：
1、打开D:\CAM习题\源文件\06\6-30.MCX
结果应如图：
2、打开D:\CAM习题\源文件\06\6-31.MCX
线框图形旋转后图形课后小结源自旋转曲面可用多个图素进行串联，角度也可自定义。
作业
绘制课本上的三维图形和曲面
第三章 4旋转曲面资料
：x 2
y 1
z 1 0
绕
Z轴旋转所得的旋转曲面的方程
通过轴线的平面与旋转曲面相截Ｌ所ຫໍສະໝຸດ 的平面曲线叫旋转曲面的子午线。
Ｃ
任意一条子午线都可以当做这个
旋转曲面的生成曲线。
求旋转面的方程
1、坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程 z
f ( y, z) 0
曲线 C
x
0
绕z 轴
C
o
y
x
求旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z 轴旋转一周
第三节 旋转曲面、二次旋转曲面
• 一、旋转曲面 • 二、二次旋转曲面 • 三、基本类型二次曲面方程 • 四、基本类型二次曲面图形与性质
一、旋转曲面
定义：空间中一条曲线Ｃ绕一条直线Ｌ旋转一周所成的曲 面称为旋转曲面。
z
旋转曲面的生成 平面曲曲线线C
绕旋定转直曲线面旋的转轴
O
x
形成旋
y
转曲面
一、旋转曲面
一般地，
欲求将平面曲线绕某轴旋转的曲面方程，只需将 其对应的坐标不动，而另一变量换成其余二变量的完全 平方和之正负方根的形式。
例 1：将 oyz 平面上的直线 z=R 绕 y 轴旋转一周所 得旋转曲面方程．
z2 x2 R 即： x2 z2 R2
z
例 2：求 oyz 平面上的直线 y=ztanθ 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面方程．
z
o
y
.
x
例3：将oyz平面上的圆（y b)2 z2 r 2 (b r 0) 绕 Z轴 旋转一周所成的曲面方程 z
生活中见过这个曲面吗？
o
y
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的， 就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示 双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
曲面实体
第三章曲面造型一、创建曲面1直纹/举升曲面（Create ruled/Lofted Surface）用于将两个或两个以上的截面外形以直线熔接方式产生直纹曲面，或以参数熔接方式产生平滑举升曲面。
举升：曲面相连直纹：直线相连练习绘制如图所示直纹曲面步骤与提示：1）在FRONT面内以（0，0，-50）为圆心绘制R10弧；2）在RIGHT面内以（0，0，-50）为圆心绘制R15弧；3）在RIGHT面内平移连接R15弧；4）在FRONT面内平移连接R10弧；5）在图层2中绘制直纹/举升曲面。
练习利用举升曲面平整曲面绘制如图所示图形。
步骤与提示：1）绘制如图二维图形；2）平移各截形到图示的Z深度，结果如图；3）打断矩形一边，举升曲面；4）绘制平整曲面加上底，着色。
2旋转曲面（Create Revolved Surfaces）用于将选择的几何图形绕某一轴线旋转而产生曲面。
练习绘制如图所示旋转曲面3扫掠曲面（Create Swept Surfaces）用于将选择的一个几何截面沿着一个或几个导引线平移而产生曲面，或将选择的两个几何截面沿着一个导引线平移而产生曲面。
有3种扫掠形式。
1）一个扫描截面与一个扫描路径；2）一个扫描截面与两个扫描路径；3）两个或多个扫描截面与一个扫描路径。
练习绘制如图所示扫描曲面步骤与提示：1)在TOP面内绘制100*100的矩形；2)偏移矩形两边并圆角；3)将矩形平移连接Z-30；4)在FRONT面内绘制R10半圆；5)在RIGHT面内绘制R20半圆；6)扫描曲面。
4网格曲面（Create Net Surface）由一系列横向和纵向组成的网格状结构来产生曲面，且横向和纵向曲线在3D空间可以不相交，各曲线的端点也可以不相交。
练习绘制图示网格曲面步骤与提示：1）TOP面内以（0，0，0）为中心绘制矩形100*150；2）平移连接矩形Z40；3）FRONT面内绘制弧R100、R60；4）RIGHT面内绘制弧R160、R180;5）FRONT面内过2弧中点绘制弧R160;6）过R100R160R60中点绘制圆弧；7）删除多余图形；8）绘制网格曲面。
旋转曲面
z
生活中见过这 个曲面吗？ 个曲面吗？
o
y
.
x 例5
( y b )2 + z 2 = a 2 . 将圆 Γ : 绕 z 轴旋转. (b > a > 0) x = 0
环面
救生圈
.
y
例6 （1） ）
x2 y2 =1 + 将椭圆 Γ : a 2 b 2 ( a > b ) z = 0
z 例3 （1） ）
y2 z2 =1 将双曲线 Γ : b 2 c 2 绕虚轴 x = 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
z 例3 （1） ）
y2 z2 =1 将双曲线 Γ : b 2 c 2 绕虚轴 x = 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
.
x2 y2 z 2 + 2 2 =1 2 b b c
.
b
x
0
z
y 2 x2 z 2 2 2 =1 2 b c c
双叶旋转双曲面
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
z
o
y
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
z
.
o
y
x
生活中见过这 个曲面吗？ 个曲面吗？
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
o
b
y
.
x2 y2 z 2 + 2 2 =1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
y 例3 （2） ）
y2 z2 将双曲线 Γ : b 2 c 2 = 1 绕实轴 x = 0 （即 y 轴）旋转
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标通过各教学环节，逐步培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，综合运用所学几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
掌握解析几何的基本概念、基本理论和基本方法，善于运用坐标和向量为工具，把几何问题转化为代数方程，以达到解决问题的目的，从而培养学生数形结合的思想。
熟练掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟练地进行一些几何量的计算，会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高学生的空间想象能力。
加深对中学平面解析几何的理解，能在较高的理论水平的基础上处理中学数学教学的有关问题，并为学习其他课程提供应有的基础知识。
三、教学学时分配《解析几何》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章向量与坐标（12学时）（一）教学要求1．了解向量的线性关系与分解及向量在轴上的射影；2．理解并掌握向量的概念及向量的加法，减法，数量乘向量；3．熟练掌握两个向量的数量积、向量积及三向量的混合积；4．熟练掌握有关向量的运算公式与方法；5．掌握用代数的方法研究几何对象及几何对象之间的关系。
（二）教学重点与难点教学重点：向量的运算及线性关系、数量积、向量积的运算及性质教学难点：向量的线性关系、数量积、向量积运算及应用（三）教学内容第一节向量的概念1．向量的相关概念2．几种特殊向量第二节向量的加法1．向量加法的定义与满足的运算律2．向量加法的几何作图法3．反向量与向量的减法第三节数量乘向量1．数量乘向量的定义及几何意义2．数量乘向量满足的运算律第四节向量的线性关系与向量的分解1．向量的线性组合2．向量的线性相关性第五节向标架与坐标1．标架与坐标的定义2．利用坐标进行向量的运算第六节向量在轴上的射影1．向量在轴上的射影的定义2．射影定理第七节两向量的数量积1．两向量数量积的定义与满足的运算律2．两向量数量积的几何意义3．用向量的坐标表示数量积4．两点间的距离公式、向量的方向余弦与两向量的交角第八节两向量的向量积1．两向量的向量积的定义与满足的运算律2．两向量的向量积的几何意义3．用向量的坐标表示向量积第九节三向量的混合积1．三向量混合积的定义与性质2．用向量的坐标表示三向量的混合积第十节三向量的双重向量积1．三向量双重向量积的定义2．三向量双重向量积的运算性质3．反向量与向量的减法本章习题要点：1．利用坐标进行向量的各种运算；2．利用数量积、向量积、混合积的几何意义进行一些几何量的计算；3．运用向量法证明一些几何命题。
4.3 旋转曲面
z
这样的曲面叫做环面
o x y
• 一般旋转曲面的方程
F1 x, y, z 0 设旋转曲面的母线 C : F2 x, y, z 0 旋转轴为直线 l : x x0 y y0 z z0 X Y Z
l
M1
C
平面 分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 纬圆 ＝
球
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 1 纬圆： 2 2 2 2 2 2 x x y y z z x x y y z z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 F1 x1 , y1 , z1 0 (3) 母线： F2 x1 , y1 , z1 0 (4)
4.3
旋转曲面
定义 一条空间曲线C 绕一条定直线旋转一周所 产成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线称为该曲面的旋转轴，曲线C 称为该 曲面的母线.
• 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称
为旋转面的纬圆或纬线. • 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为 旋转面的经线. 注： ⅰ 纬圆也可看作垂直于旋转 轴 l 的平面与旋转面的交线.
作业：
习题4.3 1
即 x1 2 y1 , z1 1.
因为旋转轴通过原点，所以过 M 1 的纬圆是
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1 5 2 2 2 x y z 1 ( x y z 1)2 9
x 不变
z y2 z2
所以，旋转曲面方程为
3-4 旋转曲面
5.2 特殊位置的旋转曲面方程
母线为坐标面上的曲线,旋转轴为坐标轴的旋 转曲面：
定理3.5.2 设旋转曲面S的母线为yOz坐标面上 的曲线
G:F(yx,z)00 S的旋转轴为z轴,则旋转曲面S的方程为
F( x2 y2,z) 0
一般的旋转曲面S的动纬圆C的方程为
xXxx02xx11yxY0y20y2yy11zyZ0z02z2zz11z002
得的旋转曲面的方程。
设P1(x1,y1,z1)为母线上任意一点，因为旋转轴过 原点且方向向量为{1,1,1}, 所以过P1的纬圆C的 方程为
x2y2z2
x12y12z12
(xx1)(yy1)(zz1)0
再由
x1 2
y1 1
z1 1 0
得x1=2y1,
z1=1，
代入纬圆C所在平面的方程：
( x 2 y 1 ) ( y y 1 ) ( z 1 ) 0 3 y 1 x y z 1
z1 z
| y1 | MP x2 y2
P M
Sz
o
N (0, y1,z1) .
z1 C
y1
y
.
x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1,z1) .
ff (y11,,zz11))==00 .
z1 z
这里P0 (x0, y0, z0)为(0, 0, 0) ，X=Y=0, Z=1，即
x2y2z2x 1 2y 1 2z1 2 y 1x2y2 x 1 2
z z1 0
z1z
由 F(y x1 1, z1)00 F(x2y2,z)0
0-4,5旋转曲面的面积 物理应用 1
§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式．(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．————————————————————一微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量是一个与某变量(设为x)的变化区间有关的量，且关于区间具有可加性. 我们就设想把分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐，然后就寻求相应于这个小区间的部分量的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如近似表达式（其中为上的一个连续函数在点x处的值，为小区间的长度),那么就把称为量的元素并记做，即以量的元素作为被积表达式在上进行积分，就得到所求量的积分表达式：例如求由两条曲线 (其中)及直线所为成图形的面积A.容易看出面积元素于是得平面图形的面积为采用微元法应注意一下两点：1）所求量关于分布区间具有代数可加性.2）对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：二旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．基本要求：(1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．——————————————————————————1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1把一个带电量为的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为（是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所做得功.解在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从移动到时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为于是所求的为例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
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z
绕 z 轴旋转一周
.
C
o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
得旋转曲面 S
绕 z轴旋转一周
z
M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 )
.
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP
2
S
x2 y2
z
o
z1
C
.
S：f ( x y , z ) 0
一、旋转曲面
通过轴线的平面与旋转曲面相截
所得的平面曲线叫旋转曲面的子
Ｌ
午线。
任意一条子午线都可以当做这个 旋转曲面的生成曲线。
Ｃ
求旋转面的方程
1、坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕z轴 C o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
பைடு நூலகம்
x y
f (t ) g (t ) cos 2 2 f (t ) g (t ) sin ,(a t b,0 2 )
2 2
z h(t )
例4
x y z 1 ： 求直线 绕 Z轴旋转所得的旋转曲面的方程 2 1 0
z
例 2：求 oyz 平面上的直线 y=ztanθ 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面方程．
O
y x z tan
2 2
y
x
即： x 2 y 2 z 2 tan2 0
2 2 2 例3：将oyz平面上的圆 （y b) z r (b r 0)
绕 Z轴 旋转一周所成的曲面方程 z
第三节 旋转曲面、二次旋转曲面 • 一、旋转曲面
• 二、二次旋转曲面
• 三、基本类型二次曲面方程 • 四、基本类型二次曲面图形与性质
一、旋转曲面
定义：空间中一条曲线Ｃ绕一条直线Ｌ旋转一周所成的曲 面称为旋转曲面。
z
旋转曲面的生成 平面曲线 C 曲线
绕定直线旋转 旋转曲面的轴
O
y
形成旋 转曲面
x
f ( y , x z ) 0 。
2 2
一般地，
欲求将平面曲线绕某轴旋转的曲面方程，只需将 其对应的坐标不动，而另一变量换成其余二变量的完 全平方和之正负方根的形式。
例 1：将 oyz 平面上的直线 z=R 绕 y 轴旋转一周所 得旋转曲面方程．
z 2 x2 R
即： x 2 z 2 R 2
x
( x y b) z r
2 2 2 2 2
即 ( x y z b . r 2 )2 4b2 ( x 2 y 2 )
2 2 2
. 2
圆环面
.
救生圈
求旋转面的方程
2、不在坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程
x f (t ) 曲线 C y g (t )( a t b) 绕 z 轴旋转一周所得曲面方程。 z h(t )
2
y1
y
x
在这里， 将 oyz 面 上 有 一 曲 线 f ( y, z) 0 中 y 换 成 了
x 2 y 2 ， z 不变即得曲线绕 z 轴旋转的曲面方程．
f ( x 2 y 2 , z ) 0
同理，
oyz 面上的曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的曲面方程为
o
r
b
y
2 2 2 例3：将oyz平面上的圆 （y b) z r (b r 0)
绕 Z轴 旋转一周所成的曲面方程
z
o
y
.
x
2 2 2 例3：将oyz平面上的圆 （y b) z r (b r 0)
绕 Z轴 旋转一周所成的曲面方程
z
生活中见过这个曲面吗？
o
y
.