绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式:样本数据1x ,2x ,L ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 ▲ ．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．7.算法与统计的题目 8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ．9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ．13．若BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ．14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为225,105． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点， 求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．CBPOAD19.（Ⅰ）设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L L ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．20.若()113x p f x -=，()2223x p f x -=g ，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）； （Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b = 求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．卷221．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分． A ．选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =g ．B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵A=⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．B C ED AD ．选修4—5 不等式证明选讲 设a ，b ，c为正实数，求证：333111abc a b c +++≥必做题22．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．23．请先阅读：在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1[(1)1]n n x -+-＝11C nk k n k k x-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证： （i ）1(1)C nkk n k k =-∑＝0；（ii ）21(1)C nkk n k k =-∑＝0；（iii ）11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1. 【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3. 【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4. 【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A I Z 的元素不存在．5. 【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+r r r rr r r r g=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=r r 76. 【答案】16π 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯7.算法与统计的题目 8. 【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．9【答案】11b c- 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．【答案】262n n -+【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11. 【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12.【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==．13．【答案】【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B =g 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==g 244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值14. 【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=,sin 105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF I CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ． 17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用． 解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==g 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边3km 处。
