江苏省兴化一中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(文)试卷
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兴化一中高三上第一次数学月度调研试卷（文）(考试用时：120分钟 总分160分 2017-10-9)注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1．若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则A B = ▲ ． 2．命题“若a b ≤,则22a b ≤”的否命题为 ▲ ． 3．函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ． 4. 函数()1lg 312y x x=++-的定义域是 ▲ ． 5．若,a b 均为单位向量，且()2a a b ⊥- ，则,a b的夹角大小为 ▲ ．6.将函数x y 2sin =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 ▲ ．7. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ▲ ． 8. 已知点P 是函数()cos 03f x x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭图象上一点，则曲线()y f x =在点P 处的切线斜率的最小值为 ▲ ．9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．10．已知()2sin 21x f x x =++，则()()()()()21012f f f f f -+-+++= ▲ ． 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ＋＋＞，7100a a ＋＜，则当n ＝ ▲ 时，{}n a 的前n 项和最大.12. 已知函数()()22,log 1,x x af x x x a ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在区间(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，M 为BC 中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1AD DB 2=，AE 3EC =，若DME 90∠=︒， 则cosA = ▲ ．14．在△ABC 中，已知sin 13sin sin A B C ＝，cos 13cos cos A B C ＝，则tan tan tan A B C ＋＋的值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知集合()(){}3350,A x x x a =---<函数()2lg 514y x x =-++的定义域为集合B ．（1）若4a =，求集合A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围．16. （本题满分14分） 已知02παβπ<<<<且()51sin ,tan 1322ααβ+==． （1）求cos α的值； （2）求sin β的值．17．（本题满分14分） 在ABC V 中，已知6C π=，向量()sin ,1m A →=，()1,cos n B →=，且m n →→⊥.(1) 求A 的值；(2) 若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =ABC ∆的面积．18. （本题满分16分）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN（1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ；（2）设AOB θ∠=，求A 在 MN上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？19. （本题满分16分）已知函数()221.f x x x kx =-++(1) 当2k =时,求方程()0f x =的解;(2) 若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个实数解12,,x x 求实数k 的取值范围.20. （本题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x --=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值；（3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xmx x e x 成立，求实数m 的取值范围．兴化一中高三上第一次数学月度调研试卷（文）参考答案(考试用时：120分钟 总分160分 2017-10-9)注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1．若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则A B = ▲ ． 1答案为：{﹣1，0，1}．2．命题“若a b ≤,则22a b ≤”的否命题为 ▲ ． 2答案为：,a b >则22a b >． 3．函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ． 3答案为：π.4. 函数()1lg 312y x x=++-的定义域是 ▲ ． 4答案为：{}5．若,a b 均为单位向量，且()2a a b ⊥- ，则,a b的夹角大小为 ▲ ．5答案为: ．6.将函数x y 2sin =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 ▲ ． 6答案为:1)32sin(++=πx y7. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ▲ ． 7答案为:28. 已知点P 是函数()cos 03f x x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭图象上一点，则曲线()y f x =在点P 处的切线斜率的最小值为 ▲ ． 8答案为：﹣．9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9答案为：3π 10．已知()2sin 21xf x x =++，则()()()()()21012f f f f f -+-+++= ▲ ．10答案为：5．11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ＋＋＞，7100a a ＋＜，则当n ＝ ▲ 时，{}n a 的前n 项和最大. 11答案为：812. 已知函数()()22,log 1,x x af x x x a ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在区间(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12答案为：[﹣1，0]．13. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，M 为BC 中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1AD DB 2=，AE 3EC =，若DME 90∠=︒， 则cosA = ▲ ．解：建立如图所示的坐标系，设C （a ，0），A （0，b ），则D（﹣，），E（， b），∴=（﹣，），=（， b ），∵∠DME=90°，∴•=0，∴（﹣，）•（， b ）=0，∴﹣+=0∴∵=（﹣，﹣），=（，﹣ b ），∴cosA==．13答案为：．14．在△ABC 中，已知sin 13sin sin A B C ＝，cos 13cos cos A B C ＝，则tan tan tan A B C ＋＋的值为▲ ．解：依题意cos A -sin A ＝13cos B cos C -13sin B sin C ，即cos A -sin A ＝13cos ()B C +，即cos A -sin A ＝-13cos A ，所以tan A 14=，又易得tan A ＝tan B tan C ， 而tan A ＋tan B ＋tan C =tan A tan B tan C ，所以tan A ＋tan B ＋tan C =tan 2A 196=． 14答案为：196二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）已知集合()(){}3350,A x x x a =---<函数()2lg 514y x x =-++的定义域为集合B ．（1）若4a =，求集合A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围． 15解：（1）因为集合A={x |（x ﹣3）（x ﹣3a ﹣5）＜0}， a=4，所以（x ﹣3）（x ﹣3a ﹣5）＜0⇒（x ﹣3）（x ﹣17）＜0，解得3＜x ＜17，所以A={x |3＜x ＜17}， ………………………………2分 由函数y=lg （﹣x 2+5x +14）可知﹣x 2+5x +14＞0，解得：﹣2＜x ＜7，所以函数的定义域为集合B={x |﹣2＜x ＜7}， ………………………………4分 集合A ∩B={x |3＜x ＜7}； ………………………………6分 （2）“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，即x ∈A ，则x ∈B ，集合B={x |﹣2＜x ＜7}， 当3a +5＞3即a ＞﹣时，3a +5≤7，解得﹣＜a ≤． ………………………………9分 当3a +5≤3即a ≤﹣时，3a +5≥﹣2，解得﹣≥a ≥﹣． …………………………12分 综上实数a 的取值范围：． ………………………………14分16. （本题满分14分） 已知02παβπ<<<<且()51sin ,tan 1322ααβ+==． （1）求cos α的值； （2）求sin β的值．16解：（1）将tan =代入tan α=得：tan α=…………………………2分所以，又α∈（0，）， ………………………………4分解得cos α=． ………………………………………………………6分（2）证明：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜α+β＜，又sin （α+β）=， ………………………………………………8分所以cos （α+β）=﹣， ………………………………………………10分由（1）可得sin α=， ………………………………………………12分所以sin β=sin [（α+β）﹣α]=×﹣（﹣）×=． …………………………14分17．（本题满分14分） 在ABC V 中，已知6C π=，向量()sin ,1m A =u r ，()1,cos n B =r ，且m n ⊥u r r.(1) 求A 的值；(2) 若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =ABC ∆的面积．17解：(1) 由题意知sin cos 0m n A B =+=， (2分)又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sinA ＋cos 5()6A π-＝0， ……………………4分 即sinA －32cosA ＋12sinA ＝0，即sin ()6A π-＝0. ……………………6分 又0＜A ＜5π6，所以()6A π-∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6. ……7分（注：不写范围扣1分.）(2) 设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x)2＋x 2－2×3x ×xcos 2π3， ………………………………………………10分解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3， ………………………………………………12分所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sinB ＝12×3×3×sin 2π3＝934. ………………………………14分18. （本题满分16分）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN（1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ；（2）设AOB θ∠=，求A 在 MN上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？ 最大值为多少？OCDM N18解：（1）如图，作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ， 连接OA 、OB ，6AOB π∴∠=， …………2分2sin,cos1212AB R OH R ππ∴==，1sin 212OE DE AB R π=== cos sin 1212EH OH OE R ππ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭ …………4分222sincos sin 2sin cos 2sin 121212121212S AB EH R R R ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sincos166R R ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ ……………………6分 （2）设02AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭………………………………8分则2sin,cos22AB R OH R θθ∴==，1sin 22OE AB R θ== cossin 22EH OH OE R θθ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭……………………10分 222sin cos sin 2sin cos 2sin 222222S AB EH R R R θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22sin cos 114RR πθθθ⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ …………12分0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，3,444πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭42ππθ∴+=即4πθ=时， …………14分)2max 1S R =，此时A 在弧MN 的四等分点处答：当A 在弧MN 的四等分点处时，)2max 1S R = ……………………16分19. （本题满分16分）已知函数()221.f x x x kx =-++(1) 当2k =时,求方程()0f x =的解;(2) 若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个实数解12,,x x 求实数k 的取值范围. 19解： (1) 当k=2时,f(x)=|x 2-1|+x 2+2x.①x 2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,方程化为2x 2+2x-1=0,解得因为所以x=2……………………2分 ②当x 2-1<0,即-1<x<1时,方程化为1+2x=0,解得x=-12. ……………………4分综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是或x=-12.……………………6分(2) 不妨设0<x 1<x 2<2,因为f(x)=22-1,||1,1,||1,⎧+>⎨+≤⎩x kx x kx x 所以f(x)在(0,1]上是单调函数.故f(x)=0在(0,1]上至多有一个解. ………………………………………………………………10分若x 1,x 2∈(1,2),则x 1x 2=-12<0,故不符合题意.因此,x 1∈(0,1],x 2∈(1,2).由f(x 1)=0,得k=-11x ,所以k ≤-1; …………………………………………14分由f(x 2)=0,得k=21x -2x 2,所以-72<k<-1.故实数k 的取值范围是7|--1}2⎧<<⎨⎩k k …………16分20.设R b a ∈,，函数a x a e x f x --=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值；（3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xmx x e x 成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵()xaf x e x'=-，∴()1f e a '=-， 由题设得：()()110e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩，∴1a b =⎧⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由（1）得()ln 1xf x e x =--，∴()1(0)xf x e x x'=->， ∴()()210xf x e x''=+>，∴函数()f x '在()0,+∞是增函数，．．．．．．．6分∵()120,1102f f e ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭，且函数()f x '图像在()0,+∞上不间断， ∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，．．．．．．．．．．．．．．8分 结合函数()f x '在()0,+∞是增函数有：∴函数()f x 存在极小值()0f x ．．．．．．．．．．．10分（3）1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0xe m x x x --≤成立， 1,2x ⎡⎫⇔∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln x m e x x ≥-成立（*） 令()1ln ,,2x h x e x x x ⎡⎫=-∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则()()ln 1xh x e x f x '=--=， ∴结合（2）得：()()000min ln 1xh x f x e x '⎡⎤==--⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 其中01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()00f x '=，即0010x e x -=， ∴00001,ln x e x x x ==-， ∴()000min 01ln 11110x h x e x x x '=--=+->=>⎡⎤⎣⎦， ∴()1,,02x h x ⎡⎫'∈+∞>⎪⎢⎣⎭，∴()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分∴()1122min 1111ln ln 22222h x h e e ⎛⎫==-=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 结合（*）有121ln 22m e ≥+， 即实数m 的取值范围为121ln 2,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分。
