AMATLAB微积分及泰勒级数计算 ppt课件

MATLAB函数积分1. 函数的定义在MATLAB中，函数是一段可重复使用的代码，用于执行特定任务或计算。

函数可以接受输入参数，并返回输出结果。

函数的定义包括函数名、输入参数和输出结果，以及函数体内执行的操作。

MATLAB中的积分函数是一类特定的函数，用于计算数学上的积分。

积分是微积分中的重要概念，表示曲线下面的面积或曲线沿某一轴方向的累积量。

通过对函数进行积分，可以求解曲线下面的面积、求解曲线长度等问题。

2. 积分函数的用途MATLAB提供了多个不同类型的积分函数，用于处理不同类型的积分问题。

这些函数可以用于科学计算、工程建模、数据处理等各种领域。

主要应用包括：•数学建模：在数学建模过程中，需要对各种复杂函数进行求解和分析。

通过使用MATLAB中的积分函数，可以方便地计算数学模型中各种变量之间的关系。

•工程计算：在工程领域中，常常需要对信号、图像、声音等进行处理和分析。

通过使用MATLAB中的积分函数，可以方便地对这些信号进行变换和处理。

•数据分析：在数据分析过程中，需要对大量的数据进行处理和统计。

通过使用MATLAB中的积分函数，可以对数据进行平滑、拟合和插值等操作。

3. 常用积分函数3.1 integralintegral函数是MATLAB中最常用的积分函数之一。

它可以用于计算一维函数在给定区间上的定积分。

integral函数的定义如下：Q = integral(fun,a,b)其中，fun是要进行积分的函数句柄（function handle），a和b是积分区间的起始点和终止点，Q是计算得到的积分结果。

例如，我们要计算函数 y = x^2 在区间 [0,1] 上的定积分，可以使用以下代码：fun = @(x) x^2;Q = integral(fun,0,1);3.2 quadquad函数是另一个常用的积分函数，它可以用于计算一维函数在给定区间上的数值积分。

与integral函数不同，quad函数允许用户指定更多选项以控制数值积分的精度和效率。

第九章微积分基础1函数的极限（符号解法）一元函数求极限函数 limit格式 limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x) 当x→a时的极限值。

limit(F,a) %用命令findsym(F)确信F中的自变量，设为变量x，再计算F当x→a时的极限值。

limit(F) %用命令findsym(F)确信F中的自变量，设为变量x，再计算F当x→0时的极限值。

limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %计算符号函数F的单侧极限：左极限x →a- 或右极限x→a+。

【例1】>>syms x a t h n;>>L1 = limit((cos(x)-1)/x)>>L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')>>L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>>v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];>>L5 = limit(v,x,inf,'left')>>L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)计算结果为：L1 =L2 =infL3 =-infL4 =1/xL5 = [ exp(a), 0] L6 = exp(6)注：在求解之前，应该先声明自变量x,再概念极限表达式fun,假设0x 为∞，那么能够用inf 直接表示。

若是需要求解左右极限问题，还需要给出左右选项。

【例2】 试别离求出tan 函数关于pi/2点处的左右极限。

>> syms t;f=tan(t);L1=limit(f,t,pi/2,'left'), L2=limit(f,t,pi/2,'right') L1 = Inf L2 = -Inf【例3】求以下极限1）312lim20+-→x x x 2）x x x t 3)21(lim +∞→解：编程如下：>>syms x t ;L1 = limit((2*x-1)/(x^2+3)) >>L2 = limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)回车后可得： L1 = -1/3 L2 = exp(6*t) 多元函数求极限求多元函数的极限能够嵌套利用limit()函数，其挪用格式为：limit(limit(f,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)【例4】求极限：x xy y x )sin(lim 30→→>> syms x y;f=sin(x*y)/x;limit(limit(f,x,0),y,3)ans = 3注：若是x0或y0不是确信的值，而是另一个变量的函数，如)(y g x →,那么上述的极限求取顺序不能互换。

第三章 微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。

符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。

例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。

7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。

3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。

2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’left') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。

>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。

MATLAB的微积分基本运算第六章 MATLAB 的微积分基本运算学习⽬标：1、熟悉符号对象和表达式的创建；2、熟悉计算结果的类型与精度控制和转换3、掌握MATLAB 中符号微积分运算：极限、导数、积分的命令及格式。

第⼀节极限⼀、极限概念演⽰：数列极限是指当n ⽆限增⼤时，n u 与某常数⽆限接近或n u 趋向于某⼀定值，就图形⽽⾔，其点列以某⼀平⾏y 轴的直线为渐近线。

函数极限也是如此。

例1：观察数列?+1n n ，当∞→n 时的变化趋势。

输⼊程序：>> n=1:100;xn=n./(n+1); >> for i=1:100;plot(n(i),xn(i),'r') % plot 是⼆维图形作图命令。

hold onend % for ……..end 语句是循环语句，循环体内的语句被执⾏100次由图可看出，随n 的增⼤，点列与直线y=1⽆限接近，所以11lim=+∞→n nn 例2：观察函数 xx f 1sin)(=，当0→x 时的变化趋势。

输⼊程序：>> x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)从图可看到，当0→x 时，x1sin 在-1和1之间⽆限次振荡，极限不存在。

例3：观察函数 xxx f )11()(+=，当∞→x 时的变化趋势输⼊程序：>> x=-1:10:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y)从图可看到，当∞→x 时，函数值与某常数⽆限接近，这个常数就是e 。

⼆、极限计算：如果符号表达式F中只有⼀个变量x，x可以省略，当a=0时0也可以省略。

例：阅读理解下列程序>> syms x n>> limit(x^2*exp(x))ans =>> limit(exp(-1/x),x,0,'left')ans =inf>> limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)ans =exp(6)三、符号对象与表达式的建⽴微积分运算的对象为函数，MATLAB称为符号表达式， MATLAB进⾏微积分运算⾸先要建⽴符号表达式，然后才可以利⽤MATLAB符号数学⼯具箱提供的函数进⾏运算。

MATLAB中的微积分运算（数值符号）显然这个函数是单词differential（微分）的简写，⽤于计算微分。

实际上准确来说计算的是差商。

如果输⼊⼀个长度为n的⼀维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算⼀阶导数的有限差分近似。

(1)符号微分1.常⽤的微分函数函数:diff(f) 求表达式f对默认⾃变量的⼀次微分值diff(f,x) 求表达式f对⾃变量x的⼀次积分值diff(f,n) 求表达式f对默认⾃变量的n次微分值diff(f,t,n)求表达式f对⾃变量t的n次微分值>> x=1:10x =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>> diff(x)ans =1 1 1 1 1 1 1 1 1例1:求矩阵中各元素的导数求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)1/(x*y) exp(x^2)]对x的微分,可以输⼊以下命令A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');B = diff(A,'x')可得到如下结果:例2:求偏导数求的偏导数。

syms x y;f = x*exp(y)/y^2;fdx = diff(f,x)fdy = diff(f,y)可得到如下结果：例3:求复合函数的导数求的导数sym('x');y = 'x*f(x^2)'y1 = diff(y,'x')得到结果如下：例4:求参数⽅程的导数对参数⽅程求导syms a b tf1 = a*cos(t);f2 = b*sin(t);A = diff(f2)/diff(f1) %此处代⼊了参数⽅程的求导公式B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求⼆阶导数可得到如下结果：例5:求隐函数的导数求的⼀阶导数syms x yp = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'%隐函数可进⾏整体表⽰%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数p1 = diff(p,x)可得到如下结果：2.符号积分1符号函数的不定积分函数:int功能:求取函数的不定积分语法:int(f)int(f,x)说明:第⼀个是求函数f对默认⾃变量的积分值;第⼆个是求⾃变量f对对⾃变量t的不定积分值。

第八节用MATLAB求泰勒（T aylor）级数展开及其实验本节介绍用MATLAB软件求一元函数和多元函数的泰勒多项式和泰勒级数等的方法及其实验。

一、用MATLAB求一元函数的泰勒级数展开taylor是MATLAB软件系统中求一元函数的泰勒（Taylor）级数展开函数，它的调用格式和主要功能如下：调用格式一：taylor (f)其中f.为待展开的函数表达式。

taylor (f)的功能是求出函数f.的五阶麦克劳林（Maclaurin）多项式。

调用格式二：taylor (f,n)其中n为展开时指定的项数。

taylor(f，n)的功能是求出函数f.的n-1阶麦克劳林（Maclaurin）多项式。

调用格式三：taylor (f,a)这种命令的功能是求出函数f.在点a处的Taylor多项式。

调用格式四：taylor (f,x,n,a)求出函数f.关于x-a的n-1阶Taylor多项式。

【例1】求函数x e(关于5-x的3 阶Taylor多项式。

)xf=解输入程序：>> syms xf=taylor (exp(x),x,4,5)运行后屏幕显示：f =exp(5)+exp(5)*(x-5)+1/2*exp(5)*(x-5)^2+1/6*exp( 5)*(x-5)^3【例2】求函数x)(的五阶麦克劳林（Maclaurin）f+=1x多项式。

解输入程序：>> syms xf=taylor (sqrt(1+x))运行后屏幕显示：f =1+1/2*x-1/8*x^2+1/16*x^3-5/128*x^4+7/256*x^5 【例3】求函数x)ln(的在x=-2的五阶Taylor多x=1f+项式。

解 输入程序：>> syms xf=taylor (log(sqrt(1+x)),-2)运行后屏幕显示：f =1/2*i*pi-1/2*x-1-1/4*(x+2)^2-1/6*(x+2)^3-1/8*(x+2)^4-1/10*(x+2)^5【例4】求函数x x f sin )(=的在2π=x 处的四阶Taylor 多项式。