计算机图形学 曲线和曲面 算法

计算机图形学的基本原理和算法计算机图形学是计算机科学中的一个重要分支，它研究的是如何利用计算机来进行图像和模型的处理、生成和表示。

在现代社会中，计算机图形学已经广泛应用于游戏、电影、设计等领域，它不仅为人们带来了极大的乐趣和便利，也为科学技术的发展带来了重要的推动作用。

本文将介绍计算机图形学的基本原理和算法，包括三维图形学、二维图形学和几何计算等方面的内容。

一、三维图形学三维图形学是计算机图形学的核心领域之一，它研究的是如何使用计算机来生成、处理和显示三维图像。

三维图形学的基本原理是利用数学模型来描述和表示三维图像，其中最基本的数学模型是三维坐标系和向量。

三维坐标系中的每个点都可以用三个坐标来表示，而向量则是以两个点之间的差值来表示。

在三维图形学中，常用的向量运算包括加法、减法、点积和叉积，在这些运算中，向量的长度和方向都是非常重要的参数。

三维图形学中的常用算法包括三维渲染、立体几何、曲面细分和体绘制等。

三维渲染算法是将物体表面和光线结合起来，生成真实的三维图像的过程。

其中常用的三维渲染算法包括光线跟踪、简单光照和阴影投射算法等。

另外，立体几何和曲面细分算法则是用来对三维模型进行建模和细化的，它们可以帮助设计师快速地创造各种复杂的三维模型。

最后，体绘制算法则可以将三维模型表示为一系列立体图形，以使其更加直观和易于理解。

二、二维图形学二维图形学是计算机图形学中另一个重要的分支，它主要研究的是如何使用计算机来生成、处理和显示二维图像。

在二维图形学中，最常用的数学模型是笛卡尔坐标系和矩阵运算。

笛卡尔坐标系采用了直角坐标系的表示方法，在这种坐标系中，每个点都可以用一个有序的数对来表示，其中横坐标代表点在水平方向上的位置，纵坐标则代表点在垂直方向上的位置。

二维图形学中常用的算法包括图形转换、图形填充、线段裁剪和图像滤波等。

图形转换算法是将图像从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，其中最常用的算法包括平移、缩放、旋转和剪切等。

计算机图形学的基本算法计算机图形学是研究如何利用计算机生成、处理和显示图像的学科。

图形学的基本算法涵盖了多个方面，包括图像绘制、几何变换、光照和渲染等。

以下将详细介绍计算机图形学的基本算法及其步骤。

1. 图像绘制算法：- 像素绘制算法：基于像素的图形绘制算法包括点绘制、线段绘制和曲线绘制。

例如，Bresenham线段算法可用于绘制直线。

- 多边形填充算法：多边形填充算法用于绘制封闭曲线图形的内部区域。

常见的算法包括扫描线填充算法和种子填充算法。

2. 几何变换算法：- 平移变换：平移变换算法用于将图像在平面上进行上下左右的平移操作。

- 旋转变换：旋转变换算法用于将图像按照一定的角度进行旋转。

- 缩放变换：缩放变换算法用于按照一定的比例对图像进行放大或缩小操作。

- 剪切变换：剪切变换算法用于按照一定的裁剪方式对图像进行剪切操作。

3. 光照和渲染算法：- 光照模型：光照模型用于模拟物体与光源之间的相互作用。

常见的光照模型有Lambert模型和Phong模型等。

- 阴影生成算法：阴影生成算法用于在渲染过程中生成逼真的阴影效果。

例如，阴影贴图和阴影体积等算法。

- 光线追踪算法：光线追踪算法通过模拟光线的路径和相互作用，实现逼真的光影效果。

常见的光线追踪算法包括递归光线追踪和路径追踪等。

4. 图像变换和滤波算法：- 傅里叶变换算法：傅里叶变换算法用于将图像从时域转换到频域进行分析和处理。

- 图像滤波算法：图像滤波算法用于对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作。

常见的滤波算法包括均值滤波、高斯滤波和Sobel算子等。

5. 空间曲线和曲面生成算法：- Bézier曲线和曲面算法：Bézier算法可用于生成平滑的曲线和曲面，包括一阶、二阶和三阶Bézier曲线算法。

- B样条曲线和曲面算法：B样条算法可用于生成具有更高自由度和弯曲度的曲线和曲面。

以上列举的是计算机图形学中的一些基本算法及其应用。

计算机图形学的基础理论与算法计算机图形学是研究如何利用计算机来生成、显示和处理图像的学科。

它涵盖了很多基础理论和算法，本文将详细介绍计算机图形学的基础理论和算法，并分点列出内容。

以下为详细步骤：1. 背景介绍- 简要介绍计算机图形学的定义和应用领域- 引出图形学的基础理论和算法的重要性2. 基础理论2.1. 数学基础- 向量和矩阵运算的基本概念和公式- 坐标转换和变换矩阵的原理和应用- 齐次坐标和透视投影的概念和计算方法2.2. 几何学基础- 点、线、面的描述和表示方法- 几何变换（平移、旋转、缩放）的理论和计算方法- 几何运算（交点、重合、距离等）的基本原理和算法3. 图形生成算法3.1. 点、线、面的生成算法- DDALine算法：基于斜率的直线生成算法- BresenhamLine算法：基于整数运算的直线生成算法- MidpointCircle算法：中点画圆算法3.2. 曲线和曲面的生成算法- Bezier曲线：控制点和插值基函数的概念和计算方法 - B样条曲线：节点矢量和基函数的定义和计算方法- 曲面生成算法：基于曲线的旋转、细分等方法4. 光栅化和填充算法- 图形的光栅化原理和步骤- 扫描线填充算法：处理凸多边形和凹多边形的填充算法 - 边界填充算法：处理带洞多边形的填充算法- 区域填充算法：处理具有复杂形状的区域填充算法5. 三维图形学5.1. 三维坐标和投影- 世界坐标、视觉坐标和屏幕坐标的转换方法- 透视投影和正交投影的概念和计算方法5.2. 三维变换和可视化- 平移、旋转、缩放、镜像等三维变换的理论和计算方法 - 数据可视化的基本原理和算法6. 图像处理和渲染- 图像处理的基本概念和方法：滤波、边缘检测、色彩转换等- 图像渲染的基本概念和方法：光照、阴影、纹理映射等7. 应用实例- 介绍一些计算机图形学在实际应用中的案例，如计算机游戏、虚拟现实、动画制作等- 引出计算机图形学的发展趋势和挑战总结：通过本文详细介绍了计算机图形学的基础理论和算法，包括数学基础、几何学基础、图形生成算法、光栅化和填充算法、三维图形学、图像处理和渲染等方面的内容。

昆明理工大学理学院信息与计算科学专业设计/综合性实验报告年级： 2015级姓名：学号： 201511101105 指导教师：胡杰实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210实验内容：1．实验/作业题目：MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线2．实验/作业课时：2个课时3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机（2）软件：windows OS，VC++6.0或以上版本。

实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。

完成实验要求的知识或技能：Bezier算法的迭代算法。

（2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。

一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。

在此使用了三次Bezier算法。

（3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。

（4）基本的程序阅读能力，VC6.0的基本使用技巧4．基本要求(完成实验要达到的目标)：Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。

Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质 1、端点性质： a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。

b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。

2、凸包性：Bezier 曲线完成落在控制多边形的凸包内。

3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。

4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)5．程序结构(程序中的函数调用关系图)6．算法描述或流程图：7．实验数据和实验结果（用屏幕图形表示，可另加附页）：8．实验心得体会：在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（Bézier curve）是电脑图形学中相当重要的参数曲线。

实验报告学院：计算机科学与信息学院专业：计算机科学与技术班级：07软件2 姓名学号实验组付光亮，邹艳实验时间2010-5-17 指导教师成绩实验项目名称曲面和曲线的生成算法实验目的掌握常用曲线和曲面的生成算法，为几何造型打下基础。

在MFC上实现基本算法。

学会相关的矩阵运算实验要求Visual studio VC++ 6.0实验原理1.掌握算法原理；2.依据算法，编写源程序并进行调试；3.对运行结果进行保存与分析；4.把源程序以文件的形式提交；实验环境Visual studio VC++ 6.0实验步骤实验内容(1).绘制Hermit曲线。

给定直线的两个端点：P0，P1，及两端点处的切线：R0，R1，则三次Hermit 曲线方程为：用于实现画Hermit的代码如下：用于实现该算法的C++代码如下：32332232132231()()23()2()TTt tF tF t t tFF t t t tF t t t⎡⎤-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦()()[]()()()()()()()()3210()00112233H H HP t x t y t T M B F Bx yx yF F F Fx yx y===⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥''⎢⎥⎢⎥''⎣⎦实现该功能的接口如下：（2）Bezier 曲线满足以下条件的一组折线集(Bezier 特征多边形)称为Bezier 曲线： 曲线的起点和终点与多边形的起点和终点重合，多边形的第一条边和最后一条边表示曲线在起点和终点的切矢量方向。

曲线的形状趋向于Bezier 特征多边形的形状。

当给定Bezier 特征多边形的n+1个顶点P i 时， Bezier 曲线的插值公式为：(权B i,n (t) i=0,1,2,3,…n+1称为基函数) Bernstein(伯恩斯坦)基函数：三次Bezier 曲线矩阵表示：调合函数：()()()()ni in t t C t t i n i n t B iin in in i ,...2,1,011!!!,=--=--=-TTZZ B B B B t t t t t t t t t TMB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-==3210323232333363133Bezier 曲面的算法 接口如下()PTMt C Z=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000 1 00 3 03 6-3 13-3 1-3ZM[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==z yxz y xz y x z yxTP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 33322211100032103210（3）B样条曲线当给定特征多边形的n+1个顶点P i(i=0，1,2,..,n)时，K次B样条曲线的插值公式为：实验结果（1）。