高中数学必修三检测：变量间的相关关系习题(附解析)

课时作业13变量间的相关关系两个变量的线性相关|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列变量是线性相关的是()A．人的体重与视力B．圆心角的大小与所对的圆弧长C．收入水平与购买能力D．人的年龄与体重解析：B为确定性关系；A，D不具有线性关系，故选C.答案：C2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是()A．①②B．①③C．②④D．②③解析：具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．答案：D3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2解析：设回归方程为y^＝b^x＋a^，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以b^<0，a^>0，因此方程可能为y^＝－1.5x＋2.答案：B4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合解析：设线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，而a^＝y－－b^x－.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2有公共点(s，t)．答案：A5．下列有关回归方程y^＝b^x＋a^的叙述正确的是()①反映y^与x之间的函数关系②反映y与x之间的函数关系③表示y^与x之间的不确定关系④表示最接近y与z之间真实关系的一条直线A．①②B．②③C．③④D．①④解析：y^＝b^x＋a^表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列关系：(1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系．(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系．(3)柑橘的产量与气温之间的关系．(4)森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中具有相关关系的是________．解析：(1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还要受冶炼温度等其他因素的影响，故具有相关关系．(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一种确定性关系．)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系关系数加以说明；关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测生活垃圾无害化处理量．a^＝y－－b^t－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得：y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。

§2.3 变量间的相关关系课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求回归直线方程．1．相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种__________性关系．2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．3．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量之间具有____________，这条直线叫__________．4．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n－x －y ∑i ＝1n－x ＝∑i ＝1nxiyi －n x y∑i ＝1nx2i －n x 2，a ^＝ .b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．5．通过求Q ＝∑i ＝1n(yi －bxi －a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差平方和最小”的方法叫做______________．一、选择题1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( ) A ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B ．圆半径与圆的面积C ．正n 边形的边数与内角度数之和D ．人的年龄与身高2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( ) A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元 B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D ．劳动生产率为1千元时，工资90元4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^ ＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^ ＝－10x －200 D.y ^＝10x －2005．给出两组数据x 、y 的对应值如下表，若已知x 、y 是线性相关的，且回归直线方程：y ＝a ^ ＋b ^x ，经计算知：b ^ ＝－1.4，则a ^为( )A. 17.4 B ．－1.74 C ．0.6 D ．－0.6 6．回归直线方程表示的直线y ^ ＝a ^ ＋b ^x 必经过点( ) A ．(0,0) B ．(x ，0) C ．(x ，y ) D ．(0，y )二、填空题7．若对某个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行调查统计得y 与x 具有相关关系，且回归直线方程y ^＝0.7x ＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程y ^＝3－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分． 三、解答题10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归方程．11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：则由此得到回归直线的斜率约为________．13．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3 246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006 2×轮船吨位．(1)假设两轮船吨位相差1 000吨，船员人数平均相差多少？(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？1．由最小二乘法得⎩⎪⎨⎪⎧b ^ ＝∑n i ＝1 －x i －y ∑ni ＝1 －x ＝∑ni ＝1xiyi －n x y ∑ni ＝1x2i －n x 2a ^ ＝y －b ^x其中：b ^ 是回归方程的斜率，a ^是截距． 2．回归方程的求解过程 计算x ，y ，∑n i ＝1x2i ，∑ni ＝1xiyi计算b ^ ＝∑ni ＝1xiyi －n x y ∑n i ＝1x2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^ x⇓y ^ ＝b ^ x ＋a ^3．在回归方程y ^＝bx ＋a 中，当回归系数b>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b 个单位；当b<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少b 个单位． 答案：§2.3 变量间的相关关系 知识梳理1．非确定 2.正相关 负相关 3.线性相关关系 回归直线 4.y －b ^x 5.最小二乘法 作业设计1．D [人的年龄与身高具有相关关系．]2．D [只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．]3．C [因工人月工资与劳动生产率变化的回归直线方程为y ^ ＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^ 2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.] 4．A [∵y 与x 负相关，∴排除B 、D ， 又∵C 项中x>0时y ^<0不合题意，∴C 错．] 5．A [x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6， y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ^ ＝y －b ^x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.] 6．C [由a ^ ＝y －b ^ x 得y ＝b ^ x ＋a ^， 即点(x ，y )适合方程y ^ ＝a ^ ＋b ^x ．] 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1， 当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析 y ^ ′＝3－2.5(x ＋1)＝3－2.5x －2.5＝y ^－2.5， 因此，y 的值平均减少2.5个单位． 9．20解析 令两人的总成绩分别为x1，x2. 则对应的数学成绩估计为 y ^ ＝6＋0.4x1，y ^2＝6＋0.4x2，所以|y ^ 1－y ^2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.10．解 x ＝706＝353，y ＝2306＝1153，∑6i ＝1x2i ＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i ＝1xiyi ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ^ ＝∑6i ＝1xiyi －6x y∑6i ＝1x2i －6x 2＝3 474－6×353×11531 286－353≈1.68，a ^ ＝y －b ^x ≈18.73，即所求的回归方程为y ^＝1.68x ＋18.73.11．解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关． 列表，计算设所求回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^，则由上表可得b ^ ＝∑5i ＝1xiyi －5x y ∑5i ＝1x2i －5x 2＝90250＝0.36，a ^ ＝y －b ^ x ＝40.8.∴所求回归方程为y ^＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x2i ＝7 900， ∑5i ＝1xiyi ＝17 035， 所以回归直线的斜率b ^＝∑5i ＝1xiyi －5x y ∑5i ＝1x2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.13．解 (1)由y ^ ＝9.5＋0.006 2x 可知，当x1与x2相差1 000吨时，船员平均人数相差y ^ 1－y ^ 2＝(9.5＋0.006 2x1)－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1000≈6(人)．(2)当取最小吨位192时，预计船员人数为y ^＝9.5＋0.006 2×192≈10(人)． 当取最大吨位3 246时，预计船员人数为y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈29(人)．。

变量间的相关关系练习与解析2思路导引1.有关线性回归的说法，不正确的是A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程答案：D解析：只有线性相关的数据才有回归直线. ←相关关系与函数关系不同，散点图的特点及最小二乘法的思想，这些依赖于对概念的正确理解.2.下面哪些变量是相关关系A.出租车费与行驶的里程B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重D.铁的大小与质量答案：C解析：A、B、D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系. ←注意相关关系与函数关系不同.3.回归方程yˆ=1.5x－15，则A.y=1.5x－15B.15是回归系数aC.1.5是回归系数aD.x=10时，y=0答案：A解析：D中x=10时yˆ=0，而非y=0，系数a、b的意义要分清.4.r是相关系数，则结论正确的个数为①r∈［－1，－0.75］时，两变量负相关很强②r∈［0.75，1］时，两变量正相关很强③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）时，两变量相关性一般④r=0.1时，两变量相关很弱A.1B.2C.3D.4答案：D解析：相关系数r的性质.5.线性回归方程yˆ=bx+a过定点________.答案：（x，y）解析：yˆ=bx+a，yˆ=bx+y－b x，（yˆ－y）=b（x－x）.6.已知回归方程yˆ=4.4x+838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________.答案：225解析：所求应是回归方程斜率的倒数.7.为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查10个家庭，得数据如下：求回归直线方程.解：用计算机Excel软件作出散点图（如图2－3－12），观察呈线性正相关，并求出回归方程yˆ=0.8136x－0.0044. ←回归方程yˆ=bx+a中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====x byax nxyx nyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)())((1221121|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.统计学认为，相关变量的相关系数r∈［－1，－0.75］时，两变量负相关很强；r∈［0.75，1］时，两变量正相关很强；r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）时，两变量相关性一般；r∈［－0.25，0.25］时，两变量相关很弱.月支出(千元)2.1.0.00.51 1.52 2.5 3平均收入(千元)y x =0.8136－ 0.0044图2－3－12煤气消耗量(百万立方米)y x =6.0573＋ 0.0811r =0.9961322110123 4 52煤气使用户数(万户)图2－3－138.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：（1）检验是否线性相关； （2）求回归方程；（3）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少.解：用计算机Excel 软件作出散点图（如图2－3－13），观察呈线性正相关，并求出回归方程.用计算机Excel 软件求回归方程时，点选“显示r 2的值”可进一步得到相关系数.（1）r =0.998>0.632=r 0.05，线性相关；（2）yˆ=0.08+6.06x ； （3）x 0=4.5+0.5=5，代入得y ˆ=30.38， 所以煤气量约达3038万立方米. ←线性分析，其一般步聚是：画出散点图；若呈直线形，求回归直线方程；推测实际问题.。

2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关[A 基础达标]1．如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉哪个点后，两个变量的相关关系更明显( )A ．DB ．EC ．FD ．A解析：选C.A 、B 、C 、D 、E 五点分布在一条直线附近且贴近该直线，而F 点离得远，故去掉点F .2．(2019·江西省上饶市期末统考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝7.8x ＋40.2.零件数x (个) 1 23 4 5 加工时间y (min)50677179A ．55B ．55.8C ．59D ．51解析：选 D.设表中模糊的数据为m .由表中的数据可得x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝50＋m ＋67＋71＋795＝267＋m5，又由回归直线的方程为y ^＝7.8x ＋40.2，所以267＋m 5＝7.8×3＋40.2，解得m ＝51.即表中模糊的数据为51.故选D.3．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：选C.因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B.b ^＞b ′，a ^＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^＞a ′D.b ^＜b ′，a ^＜a ′解析：选C.由两组数据(1，0)和(2，2)可求得直线方程为y ＝2x －2，从而b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x －·y －∑6i ＝1x 2i －6x－2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b ^＜b ′，a ^＞a ′.5．(2019·广西钦州市期末考试)若回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率估值为1.23，样本中心点为(4，5)，当x ＝2时，估计y 的值为____________．解析：因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率估值为1.23，所以b ^＝1.23，y ^＝1.23x ＋a ^. 因为样本中心点为(4，5)，所以5＝1.23×4＋a ^，a ^＝0.08，y ^＝1.23x ＋0.08， 代入x ＝2，y ＝1.23×2＋0.08＝2.54. 答案：2.546．(2019·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与利润额y (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，月微信推广费用x 与月利润额y 满足线性回归方程y ＝6.5x ＋17.5，则p 的值为____________．解析：由题中数据可得x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋60＋p ＋705＝200＋p5.由线性回归方程y ^＝6.5x ＋17.5经过样本中心(x －，y －)，有200＋p5＝6.5×5＋17.5，解得p ＝50. 答案：507．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1，2，3，…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y ^＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ^≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：88．(2019·湖南省张家界市期末联考)为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5 y86542(1)求x －，y －；(2)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．解：(1)计算可得x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝8＋6＋5＋4＋25＝5.(2)b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y－∑5i ＝1x 2i －5x－2＝61－5×3×555－5×32＝－1.4，因为线性回归直线过(x －，y －)，则a ^＝y －－b ^x －＝5－(－1.4×3)＝9.2， 故y 关于x 的线性回归方程是y ^＝－1.4x ＋9.2.(3)当x ＝4.5时，y ^＝－1.4×4.5＋9.2＝2.9(千元/吨)．9．(2019·河北省石家庄市期末考试)在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (吨)之间的一组数据为价格x1.41.61.822.2需求量y 12 10 75 3(1)根据上表数据，求出回归直线方程y ＝b x ＋a ；(2)试根据(1)中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？(参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑n i ＝1x 2i －n (x )－2， a ^＝y －－b ^x －)解：(1)因为x －＝15×9＝1.8，y －＝15×37＝7.4，∑i ＝15x i y i ＝62，∑i ＝15x 2i ＝16.6， 所以 b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y－∑5i ＝1x 2i －5(x )－2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a ^＝y －－b ^x －＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，故y 对x 的线性回归方程为y ^＝28.1－11.5x . (2)y ＝28.1－11.5×1.9＝6.25(吨)．所以如果价格为1.9万元，则需求量大约是6.25吨．[B 能力提升]10．对两个变量的四组数据进行统计，获得以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3解析：选A.由相关系数的定义以及散点图的含义，可知r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1.11．2018年，我国政府加强了对高耗能企业的监管，采取多种方式促进企业向节能型企业转变，某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨汽油)有如下几组样本数据的斜率为0.7，已知该工厂在2018年能耗计划中汽油不超过8.75吨，则该工厂2018年的计划产量最大约为____________吨．解析：x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，故样本点的中心为A (4.5，3.5)，由题意，设回归直线方程是y ^＝0.7x ＋a ^，代入A 点坐标得3.5＝0.7×4.5＋a ^，求得a ^＝0.35，故回归直线方程为y ^＝0.7x ＋0.35.由题意得y ^＝0.7x ＋0.35≤8.75，解得x ≤12.所以该工厂2018年的计划产量最大约为12吨．答案：1212．(2019·湖北省宜昌县域高中协同发展共同体期末考试)为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了5组昼夜温差与100颗种子发芽数，得到如下资料：组数据中选取3组数据求出线性回归方程，再用没选取的2组数据进行检验．(1)若选取的是第2，3，4组的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：b ^＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑n i ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －) 解：(1)由题意：x －＝11＋13＋123＝12，y －＝25＋30＋263＝27，b ^＝∑3i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑3i ＝1（x i －x －）2＝（x 1－x－）（y 1－y －）＋（x 2－x －）（y 2－y －）＋（x 3－x －）（y 3－y －）（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋（x 3－x －）2＝（11－12）×（25－27）＋（13－12）×（30－27）＋（12－12）×（26－27）（11－12）2＋（13－12）2＋（12－12）2＝52， a ^＝y －－b ^x －＝27－52×12＝－3，故回归直线方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22，|22－23|＝1<2，当x ＝8时，y ＝52×8－3＝17，|17－16|＝1<2，所以(1)中所得的回归直线方程是可靠的．13．(选做题)(2019·黑龙江省牡丹江市第一高级中学期末考试)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w －＝18 i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ＝108.81.6＝68，c ^＝y －－d ^w －＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)(ⅰ)由(2)知， 当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.(ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。

2.3变量的相关性课后篇巩固探究A组1.有五组变量:①汽车的质量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和学习成绩;③某人每日吸烟量和其身体健康情况;④立方体的棱长和体积;⑤汽车的质量和行驶100千米的耗油量.其中两个变量成正相关的是()A.①③B.②④C.②⑤D.④⑤解析:①是负相关;②是正相关;③是负相关;④是函数关系,不是相关关系;⑤是正相关.答案:C2.下列有关线性回归的说法中,不正确的是()A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C.线性回归直线方程最能代表观测值x,y之间的关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程解析:只有所有的数据点都分布在一条直线附近时,才能得到回归直线方程.答案:D3.近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)数据如下:建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是()A.=2.799 1x-27.248 5B.=2.799 1x-23.549 3C.=2.699 2x-23.749 3D.=2.899 2x-23.749 4解析:利用计算器容易求得,x i y i,代入公式求出得方程为=2.799 1x-23.549 3.答案:B4.工人月工资y(单位:元)随劳动生产率x(单位:千元)变化的回归直线方程为=60+90x,下列判断正确的是()A.劳动生产率为1 000元时,工资平均为150元B.劳动生产率提高1 000元时,工资平均提高150元C.劳动生产率提高1 000元时,工资平均提高90元D.劳动生产率为1 000元时,工资平均为90元解析:由表示回归直线=60+90x 的斜率,得C 正确. 答案:C5.某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:如果回归方程的斜率是,则它的截距是( )A.=11-22B.=22-11C.=11-22D.=22-11解析:由=11,(4+7+12+15+21+25+27+31+37+41)=22,得=22-11.答案:B6.(2017湖南株洲二中高三七模)已知x ,y 如下表所示:若x 和y 线性相关,且线性回归直线方程是x+2.1,则=( ) A.0.7B.0.8C.0.9D.1解析:根据所给的数据,得到 =3, =4.5,∴这组数据的样本中心点是(3,4.5).∵线性回归直线的方程一定过样本中心点,∴4.5=3+2.1,解得=0.8.答案:B7.变量x与y具有线性相关关系,当x取值为16,14,12,8时,通过观测得到y的值分别为11,9,8,5.若在实际问题中,y的预测最大取值是10,则x的最大取值不能超过.解析:通过计算可求得回归直线方程为=0.728 6x-0.857 1,将y=10代入计算得x=15,从而x的最大取值不能超过15.答案:158.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm,因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.解析:设父亲的身高为x cm,儿子身高为y cm,则所以=173,=176,=1,=176-1×173=3,所以=x+3.当x=182 cm时,=185 cm.答案:1859.某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应关系:x/百万元24568y/百万元3040605070(1)假定y与x之间有线性相关关系,求其回归直线方程;(2)若实际的销售额不少于60百万元,则广告费支出应不少于多少?解:(1)=5,=50,=145,=13 500,x i y i=1 380,----=6.5, =50-6.5×5=17.5.故所求回归直线方程为=6.5x+17.5.(2)由回归方程得≥60,即6.5x+17.5≥60,解得x≥.故广告费支出应不少于百万元.10.导学号17504034假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料:若由资料知y对x呈线性相关关系.试求:(1)回归方程x+的系数.(2)使用年限为10年时,试估计维修费用是多少.解:(1)列表如下:=-=1.23,-=5-1.23×4=0.08.(2)回归直线方程是=1.23x+0.08.当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计使用10年时维修费用是12.38万元.B组1.(2017四川成都高三诊断)某设备的使用年限x(单位:年)与所支付的维修费用y(单位:千元)的几组数据如下表:y与x呈线性相关关系,根据上表中数据可得其线性回归直线方程x+中的=1.54,由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是()A.7.2千元B.7.8千元C.8.1千元D.9.5千元解析:由题表中数据得=3.5,=4.25,又因为线性回归直线x+经过(),=1.54,所以4.25=1.54×3.5+,得=-1.14,所以回归直线方程为=1.54x-1.14,当x=6时,维修费用约为=1.54×6-1.14=8.1(千元).故选C.答案:C2.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)得到回归直线方程x+,那么下面说法中不正确的是()A.直线x+必经过点()B.直线x+至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)中的一个点C.直线x+的斜率为--D.直线x+和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)的总离差[y i-(x i+)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的总离差中最小的直线答案:B3.为了考察两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1,l2.已知两人所得的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都相等,且分别都是s,t,则下列说法正确的是()A.直线l1和l2一定有公共点(s,t)B.直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t)C.必有直线l1∥l2D.l1和l2必定重合解析:因为l1,l2均过点(),即(s,t),故l1,l2有公共点(s,t).答案:A4.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验收集到的数据如下表:由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为.解析:设表中模糊不清的数据为m,由表中数据得=30,,将=30,代入回归直线方程,可解得m=68.答案:685.(2017湖北黄冈高三调研)许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中的一个,某机构在研究这两个因素的关系时,收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比(x%)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比(y%)的数据,建立的回归直线方程是=0.8x+4.6,这里,斜率的估计0.8说明一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加,则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加左右.解析:回归直线方程y=0.8x+4.6中,回归系数是0.8,回归截距是4.6,斜率的估计0.8表示一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%,则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右.答案:1%0.8%6.(2017安徽安庆高三三模)某电脑公司的三名产品推销员的工作年限与年推销金额数据如下表:由表中数据算出线性回归直线方程x+中的,若该电脑公司的第四名推销员的工作年限为6年,则估计他的年推销金额为万元.解析:由已知可知回归直线方程为x+×(3+5+10)=6,×(2+3+4)=3,代入回归直线方程得,因此他的年推销金额为×6+=3(万元).答案:37.导学号17504035炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一些数据,如下表所示:(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?(2)求回归直线方程.(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?解:(1)以x轴表示含碳量,y轴表示冶炼时间,可作散点图如图所示:从图中可看出,各点散布在一条直线附近,即它们线性相关.(2)列出下表,并用科学计算器进行计算:高中数学必修3设所求的回归直线方程为=bx+a,其中a,b的值使Q=(y i-bx i-a)2的值最小.-≈1.267 3,≈-30.514 5,-即所求的回归直线方程为=1.267 3x-30.514 5.(3)当x=160时,y=1.267 3×160-30.514 5≈172(min),即大约冶炼172 min.。

第二章 2.3 2.3.2一、选择题1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg[答案] D[解析] 本题主要考查线性相关及回归方程．D 选项断定其体重必为58.79kg 不正确．注意回归方程只能说“约”、“大体”而不能说“一定”、“必”．2．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝150＋60x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，工资为210元B ．劳动生产率提高1 000元，则工资平均提高60元C ．劳动生产率提高1 000元，则工资平均提高210元D ．当月工资为270元时，劳动生产率为2 000元[答案] B[解析] 由回归系数b ^的意义知，b ^>0时，自变量和因变量按同向变化(正相关)，b ^<0时自变量和因变量按反向变化(负相关)，回归直线斜率b ^＝60，所以x 每增加1，y ^平均增加60，可知B 正确．3．下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点( )A.(2,2) B ．(1.5,2) C ．(1,2)D ．(1.5,4)[答案] D[解析] x －＝0＋1＋2＋34＝1.5，y －＝1＋3＋5＋74＝4，回归直线必过点(x －，y －)，故选D.4．(2013·湖北文，4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x 、y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578 其中一定不正确的结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] D[解析] 本题考查的是线性相关关系及回归直线方程． 若y 与x 负相关，则y ^＝bx ＋a 中b <0，故①不正确，②正确； 若y 与x 正相关，则y ^＝bx ＋a 中b >0，故③正确，④不正确；故选D.5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] 本题主要考查了回归分析及回归直线方程． 依题意：x ＝3.5，y ＝42，又b ^＝9.4，∴42＝9.4×3.5＋a ^. ∴a ^＝9.1，∴y ^＝9.4x ＋9.1，当x ＝6时，y ^＝65.5，故选B. 6．以下关于线性回归的判断，正确的有________个．( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A 、B 、C 点；③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y ^的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] D[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^、b ^得到的直线y ^＝a ^x ＋b ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，解得y ^＝11.69，∴③正确；④正确，∴选D.二、填空题7．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为________．[答案] 450kg[解析] 将x ＝50代入回归直线方程得y ^＝250＋4×50＝450，故预计小麦产量为450kg. 8．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．[答案] 0.254[解析] 本小题考查内容为回归直线方程与回归系数的意义．由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.三、解答题9．要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩(x )和高一年级期末数学考试成绩(y )(如下表)：(2)判断入学成绩(x )与高一期末考试成绩(y )是否有线性相关关系；(3)如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程；(4)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩． [解析] (1)入学成绩(x )与高一期末考试成绩(y )两组变量的散点图如下：(2)从散点图可以看出这两组变量具有线性相关关系．(3)设所求的回归直线方程为：y ^＝a ^＋b ^x ，经计算可得：x －＝70，y －＝76.3，b ^＝∑i ＝110x i y i －10x － y－∑i ＝110x 2i －10x －2＝0.787 389， a ^＝y －－b ^x －＝21.182 78， 因此所求的回归直线方程为 y ^＝21.182 78＋0.787 389x .(4)把某学生入学数学成绩80分，代入回归直线方程可得：y ≈84分．即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分．一、选择题1．观测两相关变量得如下数据：A ．y ^＝12x －1B ．y ^＝xC ．y ^＝2x ＋13D ．y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 由回归系数公式可算出b ^＝1，a ^＝0.故回归直线方程为y ^＝x ，故选B.也可以根据回归直线方程过(x －，y －)代入求解．2．某同学对一家超市就“气温与热饮杯的销售量”进行调查，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x ℃与当天销售量y (个)之间的线性回归方程为：y ^＝－2.352x ＋147.767，当x ＝2℃时可卖出热饮杯的杯数约为( )A ．109B ．128C ．134D ．143[答案] D[解析] 把x ＝2℃代入线性回归方程得y ^＝－2.352×2＋147.767≈143.故选D.二、填空题3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是________．[答案] y ^＝1.23x ＋0.08[解析] 设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，(x －，y －)是样本点的中心．依题意，b ^＝1.23，x －＝4，y －＝5，所以a ^＝y －－b ^x －＝0.08，所以回归直线的方程是y ^＝1.23x ＋0.08.4．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y ^＝－2x ＋60.d ＝________.[答案] 100[解析] 由题意得，x －＝14(c ＋13＋10－1)＝22＋c 4，y －＝14(24＋34＋38＋d )＝96＋d 4，又线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，故－2×22＋c 4＋60＝96＋d 4，解得2c ＋d ＝100.三、解答题5．假设学生在初中的数学成绩和高一的数学成绩是线性相关的．现有10名学生的初中数学成绩(x )和高一数学成绩(y )如下：[解析] 求斜率即求回归方程中的b ，按照公式进行计算．因为x －＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y －＝72.3，∑i ＝110xi y i ＝51 467，所以b ^＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2. 斜率为1.218 2.6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) [解析] (1)由题设所给数据，可得散点图如下图．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14i 2i ＝86，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －·y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．。

《变量间的相关关系》基础训练知识点1 变量之间的相关关系1.[2018河北邢台高一（下）月考]下列两个变量之间的关系是相关关系的是（）A.正方体的棱长与体积B.单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C.日照时间与水稻的亩产量D.电压一定时，电流与电阻2.[2017重庆万州二中高一（下）月考]观察下列散点图，其中对两个变量的相关关系判断正确的是（）A.a为正相关，b为负相关，c为不相关B.a为负相关，b为不相关，c为正相关C.a为负相关，b为正相关，c为不相关D.a为正相关，b为不相关，c为负相关3.[2017湖南衡阳八中高一（下）期中考试]某化妆品公司20122017年的年利润x（单位:百万元）与年广告支出y(单位:百万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，可知（）与有正相关关系A.利润的中位数是16.2,x y与有正相关关系B.利润的中位数是17.3,x y与有负相关关系C.利润的中位数是17.3,x yD.利润的中位数是18.4,x y 与有负相关关系4.从某地区1230岁的居民中随机抽测了10个人的身高和体重,所得数据如下表所示：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系. 知识点2 线性回归方程及其应用5.[2018江西上饶鄱阳二中高一（下）期中考试]已知,x y 之间的一组数据如下：则y 关于x 的回归直线必经过点（ ） A.(2,2) B.(1,3) C.(2.5,5)D.(4,6)6.某省考察团对该省的6大城市职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y (千元）进行统计调查，已知y 与x 具有相关关系，回归方程为ˆ0.6 1.6yx =+.若某城市居民人均消费水平为7.6千元，估计该城市人均消费额占人均工资的百分比约为（ ） A.81% B.76% C.71% D.65%7.[2018山西大同一中高一（下）月考]已知高三学生高考成绩y (单位:分）与高三期间有效复习时间x （单位:天）正相关，且回归直线方程是ˆ350yx =+.若期望甲同学高考成绩不低于500分，那么他的有效复习时间应不低于____天.8.通过调查某地若干户家庭的年收入x （单位:万元）和年饮食支出y (单位:万元）的关系，得到y 对x 的回归直线方程为ˆ0.2540.321y x =+，则该地家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____万元.9.已知某班学生每周用于物理学习的时间x （单位:h) 与物理成绩y (单位:分）的几组数据如下：根据上表可得回归直线的斜率为 3.53，则回归直线在y 轴上的截距为____(结果保留到0.1).10.[2017广东肇庆高一（下）期末考试]某研究机构对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由于某些原因，识图能力的一个数据丢失，但已知识图能力样本的平均值是5.5. (1)经过分析，知道记忆能力x 和识图能力y 之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ (2)已知某一学生记忆能力值为12，请预测他的识图能力值.11.[2017湖北黄石高一（下）期末考试]下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2)中求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?12.某研究性小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该研究小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.(1)若选取的是1月与6月的2组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ 附：()()()1122211ˆˆˆ,n ni iiii i nni i i i x y nxy x x y y bay bx x nx x x ====---===---∑∑∑∑ (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想?参考答案1. 答案：C解析：A,B,D 中的两个变量之间的关系是确定的，不是相关关系；对于C ，日照时间会影响水稻的亩产量，但不是唯一因素，它们之间是相关关系. 2.答案：D解析：根据变量的相关性，可知图a中，两个变量是正相关；图b中,两个变量不相关；图c中，两个变量成负相关.故选D.3.答案：B解析：年利润的6个数据的中间两个为16.2,18.4，则中位数为17.3；又x增加时，y也随之增加，因此x与y成正相关.故选B.4.答案：见解析解析：作出的散点图如图所示：由散点图，可知两者之间具有相关关系，且为正相关.5.答案：C解析：因为0123451355792.5,566x y++++++++++====，所以y关于x的回归直线必经过样本点的中心(2.5,5).故选C.6.答案：B解析：将7.6y=代入回归方程，得10x=，所以该城市人均消费额占人均工资的百分比约为7.6100%76%10⨯=.故选B.7.答案：150解析：由350500x+≥，得150x≥.8.答案：0.254解析：由题意，知()()0.25410.3210.2540.3210.254x x ++-+=⎡⎤⎣⎦，故该地家庭年收人每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元. 9. 答案：13.5解析：由已知可得2415231916112016171317.410x +++++++++==，9279978964478368715974.910y +++++++++==.设回归直线方程为ˆˆ3.53yx a =+，则ˆ74.9 3.5317.4a =⨯+，解得ˆ13.5a ≈，所以回归直线在y 轴上的截距为13.5. 10.答案：见解析解析：(1)设丢失的数据为m ，依题意，得3685.54m +++=，解得5m =，即丢失的数据值是5.由表中的数据，得468107, 5.54x y +++===，41i i i x y ==∑4222221436586108170,46810216ii x =⨯+⨯+⨯+⨯==+++=∑，4142214ˆ4i ii ii x y xybxx ==-==-∑∑217047 5.5ˆˆ0.8, 5.50.870.121647a y bx -⨯⨯==-=-⨯=--⨯，所以所求线性回归方程为 ˆ0.80.1yx =-. (2)由（1），得当ˆ12,0.8120.19.5x y==⨯-=时, 即预测他的识图能力值是9.5. 11.答案：见解析解析：（1)散点图如下：(2)由于3456 2.534 4.54.5, 3.544x y ++++++====， 4422222113 2.543546 4.566.5,345686i ii i i x yx ===⨯+⨯+⨯+⨯==+++=∑∑，所以4142221466.54 4.5 3.5ˆˆˆ0.7, 3.50.7 4.50.35864 4.54i ii ii x y xyba y bx xx ==--⨯⨯====-=-⨯=-⨯-∑∑.因此，所求的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+. (3)当100x =时，ˆ0.71000.3570.35y=⨯+=，则可预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了90-70.35=19.65（吨标准煤）. 12.答案：见解析解析：（1)由数据，得11131282529261611,y 24,44x ++++++====所以()()22222112513291226816411241830ˆˆˆ,771113128411b a y bx⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-=-+++-⨯， 所以y 关于x 的线性回归方程为1830ˆ77yx =-. (2)当10x =时，150150ˆ,22277y=-<；当6x =时,7878ˆ,12277y=-<,所以该小组所得线性回归方程1830ˆ77yx =-是理想的.。

第二章 统计 2.3 变量间的相关关第 2.3.1 变量之间的相关关第 2.3.2 两个变量的线性相关A 级 基础巩固一、选择题1．设有一个回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加1个单位时，y 平均( ) A ．增加1.5个单位 B ．增加2个单位 C ．减少1.5个单位D ．减少2个单位解析：由于b ^＝－1.5<0，故选C. 答案：C2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫作散点图C ．回归方程最能代表观测值x ，y 之间的线性关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线解析：只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线． 答案：D3．下表是一组学生的物理和数学成绩对比表．由下表可知( )学生 A B C D E F G 数学成绩/分 85 80 75 70 65 60 55 物理成绩/分75706668646258A.B ．数学与物理成绩是一种正相关关系 C ．数学与物理成绩是一种负相关关系 D ．数学与物理成绩没关系解析：由数据可知数学好的同学物理成绩也好，但也具有一些随机性，故选B. 答案：B4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.答案：A5．(2015·湖北卷)已知变量x 和y 满足相关关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．答案：C 二、填空题6．已知一个回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1，7，5，13，19}，则y －＝__________________．解析：因为x －＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x －，y －)，所以y－＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.57．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示．若已求得它们回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为__________________．解析：设回归直线方程为y ＝b x ＋a ，则b ＝6.5.易知y ＝50，x ＝5，所以a ^＝y －－b ^x －＝50－32.5＝17.5，即回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5.答案：y ^＝6.5x ＋17.58．如图所示，有5组(x ，y )数据的散点图，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大．解析：在散点图中，点的分布越接近回归直线，两个变量的相关性越大． 答案：D 三、解答题9．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x (单位：年)与所支出的总费用y (单位：万元)有如下的数据资料：使用年限x 2 3 4 5 6 总费用y2.23.85.56.57.0(1)试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的回归系数a ^，b ^； (2)当使用年限为10年时，估计车的使用总费用． 解：(1)列表：i 1 2 3 4 5 x i 2 3 4 5 6 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 x i y i 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 2i4 9162536x －＝4，y －＝5，＝112.3于是b ＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23； a ^＝y －－b ^x －＝5－1.23×4＝0.08.(2)线性回归直线方程是y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10年时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38 (万元)，即当使用10年时，估计支出总费用是12.38万元．10．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x /(转/秒)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y /件11985(2)如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； (3)在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －67，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y ≤10得5170x －67≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内． B 级 能力提升1．(2014·湖北卷)根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：作出散点图如下图所示：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，当x ＝0时，y ^＝a >0.故a >0，b <0. 答案：B2．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．解析：令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 答案：203．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数15615013212813011610489937654(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数． 解：(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．。