高一数学知识点讲解与专题训练9---指数函数
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)
B.[2，＋∞) D.(0，＋∞)
9.指数函数
＝ f(x) ax
的图象经过点(2,4)，则
－ 的பைடு நூலகம்是 f( 3)
________.
6/7
函数 ＝ 的值域是 1 x2−1
10. y 2
________.
11.函数 ＝y 121－x 的单调递增区间为( )
A.(－∞，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
(2)直线 ＝y 2a 与函数 ＝ － ＞ y |ax 1|(a 0 且 a≠1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是
________.
题型五 指数函数的性质和应用 角度一:指数型函数的定义域、值域 例 5 求下列函数的定义域和值域：
＝ ； ＝ － ； ＝ 1
(1)y 2 x-4 (2)y
1
2x
3.有理指数幂的运算法则
若 a>0，b>0，则有任意有理数 ，α β 有如下运算法则：
＝ ； (1)aαaβ aα＋β
＝ ； (2)(aα)β aα·β
＝ (3)(ab)α aα·bα.
4.指数函数的定义
函数 ＝ ＞ y ax(a 0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.
(3)y
1 x2 −2x−3
2
.
函数 ＝ 1. f(x) － ＋ 1 2x x1＋3的定义域为( ) － A.( 3,0] － B.( 3,1] C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]
函数 ＝ － ， ∈ － 的值域为 2.
f(x) 13x 1 x [ 1,2]
________.
① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ⑤ y 2·( 2)x
y 2x－1
y π2x
−1
1
y＝3 x ; y＝x3.
(2)若函数 ＝ － ＋ y (a2 3a 3)·ax 是指数函数，则实数 ＝a ________.
1.若函数 ＝ － y a2(2 a)x 是指数函数，则( )
A．a＝1 或－1
B．a＝1
5.指数函数的图象与性质
底数
＞a 1
0＜a＜1
图象
定义域 R，值域(0，＋∞)
性质
图象过定点(0,1)，即 ＝x 0 时，y＝1
当 ＞x 0 时，y＞1； 当 ＞x 0 时，0＜y＜1；
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当 ＜x 0 时，0＜y＜1 在 R 上是增函数
当 ＜x 0 时，y＞1 在 R 上是减函数
[典型例题]
题型一 根式的运算 例 1 求下列各式的值：
求 的值域 (3) f(x)
.
设1.
＞ ， ＝ ＋ 是 ex a
a 0 f(x) a ex
R
上的偶函数.
求 (1) a 的值；
(2)求证 f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
1.下列各式正确的是( )
＝ A.(3 a)3 a
＝ C.(5 a)5 |a|
－ ＋ － 的值是 2. (a
b)2
5 (a
b)5
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
函数 ＝ ＋ ，且 ≠ 恒过定点 ． (2)
f(x) 1 ax－2(a>0
a 1)
________
(3)已知函数 ＝y 3x 的图象，怎样变换得到 ＝ ＋ y 13x＋1 2 的图象？并画出相应图象．
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函数 1.(1) y＝|2x－2|的图象是( )
a 0.80.7 b 0.80.9 c 1.20.8
abc
()
＞ ＞ A.a b c
＞ ＞ B.b a c
＞ ＞ C.c b a
＞ ＞ D.c a b
角度三:指数函数的综合应用
例8
已知函数
－3x 1 ＝ ＋ f(x) 3x 1.
(1)证明 f(x)为奇函数.
(2)判断 f(x)的单调性，并用定义加以证明.
C．a＝－1
． 且 ≠ D a>0 a 1
2.若函数 ＝ － y (2a 3)x 是指数函数，则实数 a 的取值范围是 ． ________________
题型四 指数函数的图象
例 4 （1））如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象，则 a，b，c，d
与 1 的大小关系是( )
＞ ＞ B.y2 y1 y3 ＞ ＞ D.y1 y3 y2
14.某种细菌在培养过程中，每 20 min 分裂一次，即由 1 个细菌分裂成 2 个细菌，经过 3 h， 这种细菌由 1 个可繁殖成________个.
15.已知函数
＝ － ＋ ，若 1
f(x) a 2x 1
f(x)为奇函数，则
＝a ________.
＋ － ＋ － － － ＝ −1
5.2 2
( 4)0
1
2
(1 5)0· 83 ________.
2 21
6.下列各函数中，是指数函数的是( )
＝ － A.y ( 3)x
＝－ B.y 3x
＝ C.y 3x－1
＝ D.y 13x
＝ 7.y 34x 的图象可能是( )
8.y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( A.[1，＋∞) C.[0，＋∞)
(
[玩转练习]
＝－ B.(4 7)4 7 ＝ D.6 a6 a
)
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A.0
或 － C.0 2(a b)
－ B.2(a b) － D.a b
计算 － 的结果是 1
3. [( 2)2] 2
(
A. 2
2 C. 2
)
－B. 2
－2
D. 2
4.下列各式运算错误的是( ) － － ＝－ A.( a2b)2·( ab2)3 a7b8 － － ＝ B.( a2b3)3÷( ab2)3 a3b3 － － ＝ C.( a3)2·( b2)3 a6b6 － － ＝ D.[ (a3)2·( b2)3]3 a18b18.
－ ； － ； － ； 3
(1) (
2)3
4 (2) (
3)2
8 (3) (3
π)8
－ ＋ － ＋ ＋ ， ∈ － (4) x2 2x 1 x2 6x 9 x ( 3,3)
1.化简下列各式：
－ ； － ； － 5
(1) (
2)5
4 (2) (
10)4
4 (3) (a
b)4.
题型二 分数指数幂的运算
例 计算： － － ＋ ＋ ＋ － ； 2 (1)
开 n 次方，称作开方运算.
＝ ； 1
an
na
＝ ； m
a n n am
＝ − m
an
1
n am
， ， ∈ (a>0 n m N＋)
＝ ＞ 且 ∈ ； (1)(n a)n a(n 1 n N＋)
＝ 为奇数且 ＞ ， ∈ ， (2)n an
a
(n
为偶数且 ＞ ， ∈ |a| (n
n 1 n N＋) n 1 n N＋).
高一数学知识点讲解与专题训练
第 9 讲 指数运算和指数函数
知识点讲解： 1.基本概念
整数指数
n 次方根
分数指数
＝an ＝ ≠ a0 1(a 0)
＝ ≠ a－n
1 an(a
0)
2.根式的性质
如果存在实数 x，使得 ＝xn ∈ ， ＞ a(a R n 1 且 n∈N＋)，则 x 叫做 a 的 n 次方根，n a叫做把 a
－ ＋ ＋ － ＋ ； 1
(1)(0.027) 3
641
1 2
3
256 4
2
(2 2) 3
3－1 π0
2/7
＞ ， ＞ (2)(a
8 5
·b
−6 5
)
−1 2
·5
a4÷ 5
b3(a
0
b
0).
1
1
2.已知
x＋y＝12，xy＝9
且
x<y，求
x2
1
−
y2
1
的值．
x2 + y2
题型三 指数函数的概念 例 3 (1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
−1
0.064 3
780
[(−2)3
−
]
4 3
16－0.75
|
1
0.01| 2
化简： ＞ 9
(2)
3 a 2 a−3 ÷ 3 a−7 ⋅ 3 a13 (a 0).
(3)已知
a
1 2
+
−
a
1 2
＝3，求下列各式的值．
① ＋ ；② ＋ ；③ a a－1
a2 a－2
3
−3
a2 + a 2.
1.计算下列各式的值：
D.(0,1)
若 ＜ ，则实数 的取值范围是 12. 122a＋1 123－2a
a
()
A.(1，＋∞)
，＋∞ B.12
C.(－∞，1)
－∞， D.
1 2
设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 13. y1 40.9 y2 80.48 y3 12－1.5
(
)
＞ ＞ A.y3 y1 y2 ＞ ＞ C.y1 y2 y3
角度二:指数型函数的单调性
例6
判断
＝ f(x)
1 3
x2
−
2
x
的单调性，并求其值域.
1.求函数 y＝ 2−x2+2x 的单调区间.
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例 7 比较下列各组数的大小： 与 ； 与 ； (1)1.9－π 1.9－3 (2) 0.72− 3 0.70.3 与 (3)0.60.4 0.40.6.
