新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 11 指数与指数函数

1 / 18 新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习

考点知识总结11 指数与指数函数

高考

概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中等难度

考纲

研读 1.了解指数函数模型的实际背景

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算

3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点

4．体会指数函数是一类重要的函数模型

一、基础小题

1．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为( )

A．18 B．21 C．24 D．27

答案 D

解析 因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.

2．化简 (a>0，b>0)的结果是( ) 2 / 18 A．ba B．ab C．a2b D．ab

答案 D

解析

3.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0

答案 D

解析 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.

4．已知a＝(2)43，b＝225，c＝913，则( )

A．b

解析

5．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )

A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)

C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定

答案 A

解析 ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x).若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x).∴f(3x)≥f(2x).故选A.

6．已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是( )

A．(2－22，2＋22) B．(－∞，2)

C．(－∞，2＋22) D．[2＋22，＋∞)

答案 C

解析 令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或4 / 18 Δ≥0，m2≤1，f（1）＝1－m＋m＋1≥0，

解得2－22

7．已知实数x，y满足ax

A．1x2＋1>1y2＋1

B．ln(x2＋1)>ln (y2＋1)

C．sin x>sin y

D．x3>y3

答案 D

解析 因为实数x，y满足axy，根据函数y＝x2的对称性和单调性，可知x2，y2的大小不确定，故A，B中的不等式不恒成立；根据正弦函数的单调性，可知C中的不等式也不恒成立；由于函数f(x)＝x3在R上单调递增，所以x3>y3，所以D中的不等式恒成立．故选D.

8．(多选)设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )

A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)

B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)

C．f（x1）－f（x2）x1－x2＞0

D．fx1＋x22＜f（x1）＋f（x2）2 5 / 18 答案 ACD

解析

9．(多选)已知函数f(x)＝ex－1－e－x＋1，则下列说法正确的是( )

A．函数f(x)的最小正周期是1

B．函数f(x)是单调递增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝1轴对称

D．函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称

答案 BD

解析 函数f(x)＝ex－1－e－x＋1，即f(x)＝ex－1－1ex－1，可令t＝ex－1，即有y＝t－1t，由y＝t－1t在t＞0时单调递增，t＝ex－1在R上单调递增，可得f(x)在R上为增函数，则A错误，B正确；由f(2－x)＝e1－x－ex－1，可得f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(x)的图象关于点(1，0)对称，则C错误，D正确．故选BD.

10．(多选)已知函数f(x)＝πx－π－x2，g(x)＝πx＋π－x2，则f(x)，g(x)满足( ) 6 / 18 A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)

B．f(－2)＜f(3)

C．f(x)－g(x)＝π－x

D．f(2x)＝2f(x)g(x)

答案 ABD

解析 f(－x)＝π－x－πx2＝－f(x)，g(－x)＝πx＋π－x2＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)，A正确；因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)，B正确；f(x)－g(x)＝πx－π－x2－πx＋π－x2＝－2π－x2＝－π－x，C不正确；f(2x)＝π2x－π－2x2＝2·πx－π－x2·πx＋π－x2＝2f(x)g(x)，D正确．

11．求值：0.064－13－－590＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋0.0112＝________．

答案 14380

解析 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.

12．已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．

答案 e

解析 由题意得，f(x)＝e|x|，x≥1，e|x－2|，x<1.当x≥1时，f(x)＝e|x|＝ex≥e(当x＝1时，取等号)；当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e.故f(x)的最小值为f(1)＝e. 7 / 18 二、高考小题

13．(2022·天津高考)设a＝30.7，b＝13－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )

A．a＜b＜cB．b＜a＜c

C．b＜c＜aD．c＜a＜b

答案 D

解析 因为a＝30.7＞1，b＝13－0.8＝30.8＞30.7＝a，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以c＜1＜a＜b.故选D.

14．(2022·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )

A．60 B．63 C．66 D．69

答案 C

解析 因为I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），所以I(t*)＝K1＋e－0.23（t*－53）＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈30.23＋53≈66.故选C.

15．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )

A.(－1，1) 8 / 18 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(0，1)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

答案 D

解析 因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)＞0等价于2x＞x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图：

两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，所以不等式2x＞x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.

16．(2022·上海高考)已知常数a>0，函数f(x)＝2x2x＋ax的图象经过点Pp，65，Qq，－15.若2p＋q＝36pq，则a＝________．

答案 6

解析 由已知条件知f(p)＝65，f(q)＝－15，

所以2p2p＋ap＝65，①2q2q＋aq＝－15， ② 9 / 18 ①＋②，得2p（2q＋aq）＋2q（2p＋ap）（2p＋ap）（2q＋aq）＝1，

整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，

∴36pq＝a2pq，又pq≠0，

∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，∴a＝6.

三、模拟小题

17．(2022·云南曲靖陆良县联办高级中学模拟)函数y＝ 1－12x的定义域是( )

A．(0，＋∞) B．(－∞，0)

C．[0，＋∞) D．(－∞，0]

答案 C

解析 要使函数有意义，需满足1－12x≥0，即12x≤1＝120，解得x≥0，因此，函数y＝ 1－12x的定义域为[0，＋∞).故选C.

18．(2022·湖北武汉高三开学考试)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是( )

A．－23，0 B．－23，－13

C．－23，0 D．(－∞，0)

答案 A 10 / 18 解析 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴3－x0＋m－1＝－3 x0－m＋1，∴2m＝－3－x0－3 x0＋2，构造函数y＝－3－x0－3 x0＋2，x0∈[－1，1]，令t＝3x0，t∈13，3，y＝－1t－t＋2＝2－t＋1t在13，1上单调递增，在(1，3]上单调递减，∴t＝1取得最大值0，t＝13或t＝3取得最小值－43，y∈－43，0，∴－43≤2m<0，∴－23≤m<0.故选A.

19．(多选)(2022·山东日照二模)若实数m，n满足5m－4n＝5n－4m，则下列关系式中可能成立的是( )

A．m＝nB．1

C．0

答案 ACD

解析 由题意，实数m，n满足5m－4n＝5n－4m，可化为4m＋5m＝5n＋4n，设y＝f(x)＝4x＋5x，y＝g(x)＝5x＋4x，由初等函数的性质，可得f(x)，g(x)都是单调递增函数，画出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示，作直线y＝t0，当t0<1时，n9时，1