高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)
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指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
〔1〕根式的概念
①如果 xn a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，a 的 n 次
方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n a
表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．
②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a 0 ．n n n n
a (a 0)③根式的性质：( a ) a ；当 n 为奇数时， a a ；当 n 为偶数时， | a | a ．
(a 0)〔2〕分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是：a n n
am (a 0, m, n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．② m 1 m 1正数的负分数指数幂的意义是： a n ( ) n n ( )m (a 0, m, n N , 且 n 1) ．0 的负分数指a a
数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
〔3〕分数指数幂的运算性质
① ar as ar s (a 0,r , s R) ② (ar )s ars (a 0, r, s R) ③
(ab)r arbr (a 0, b 0, r R)
2.1.2 指数函数及其性质
〔4〕指数函数
函数名称 指数函数
定义
函数 y a (a 0
且 a 1)
叫做指数函数
图象 a 1 0 a 1
y 1 y
O
y a x
(0, 1)
x
y a x
y 1
O
y
( 0 , 1 )
x
定义域 R
值域 〔0,+∞〕
过定点 图象过定点〔0,1〕，即当 x=0 时，y=1．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
函数值的变化情况
y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)
a 变化对
图象影响 在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴；
在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴；
在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴． n an 3 9
1 5 1
5 1 2.1 指数函数练习
1．以下各式中成立的一项 〔 〕A． ( n )7 n7 m 7
m
B． 12 (3)4 C． 4
x3 y 3 3
(x y) 4 D． 2 1 1 1 1 1 52．化简(a 3 b 2 )(3a 2 b 3 ) ( 3 a 6 b 6 )的结果 〔 〕A． 6a B． a C． 9a D． 9a 23．设指数函数 f (x) a x (a 0, a 1) ，那么以下等式中不正确的选项是 〔 〕A．f(x+y)=f(x)·f(y) B． f〔x y〕f (x)
f ( y)C． f (nx) [ f (x)]n (n Q)
1 D． f (xy)n [ f (x)]n ·[ f ( y)]n (n N )4．函数 y (x 5)0 (x 2) 2
A．{x | x 5, x 2}
C．{x | x 5} 〔 〕
B．{x | x 2}
D．{x | 2 x 5或x 5}5．假设指数函数 y a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a等于 〔 〕A． B． 2 2 C． D． 2 26．当 a 0 时，函数 y ax b 和 y bax 的图象只可能是
〔 〕
7．函数 f (x) 2|x| 的值域是
〔 〕A． (0,1] B． (0,1)
2 x 1, x 0 C． (0,) D．R8．函数 f (x) 1 ，满足 f (x) 1的 x 的取值范围x 2 , x 0
〔 〕
A． (1,1)
B． (1,)C．{x | x 0或x 2} D．{x | x 1或x 1}9．函数 y ( 1 )
2 x2 x2 得单调递增区间是〔 〕 1 1A． [1, ] 2 B． (,1] C． [2,) D． [ 2 ,2]3 3
3 3
1 5 5 1 x e x e x
10． f (x) ，那么以下正确的选项是 〔 〕 2
A．奇函数，在 R 上为增函数 B．偶函数，在 R 上为增函数
C．奇函数，在 R 上为减函数 D．偶函数，在 R 上为减函数
11．函数 f (x)的定义域是〔1，2〕，那么函数 f (2 x ) 的定义域是 .
12．当 a＞0 且 a≠1 时，函数 f (x)=ax－2－3 必过定点 .
三、解答题：13．求函数 y 1
的定义域.5 x 1 1
14．假设a＞0，b＞0，且a+b=c，
求证：(1)当r＞1时，ar+br＜cr；(2)当r＜1时，ar+br＞cr.15．函数 f (x) a x 1
a x 1
(a＞1).〔1〕判断函数f (x)的奇偶性；〔2〕证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 a，求 a 的值． 2参考答案一、DCDDD AAD D A
二、11．(0,1)； 12．(2，－2)；
三、13． 解：要使函数有意义必须：
x 1 0
x 1 x 0
x 1 x 0∴定义域为： x x R且x 0, x 11 a +1 a +12 14． 解： a r br a r b r ，其中 0 a 1,0 b 1. c r c c 当r＞1时， a r b r a b ，所以ar+br＜cr；
1 c c c c
当 r＜1 时， a r b r a b ，所以 ar+br＞cr. 1
c c c c
15．解：(1)是奇函数.(2) x ＜x ， a x1 1 a x2 1 。= (a x1 1)(a x2 1) (a x1 1)(a x2 1)设 1 2 那么 f (x1 ) f (x2 )
a x 1 a x2 1 (a x1 1)(a x2 1)∵a＞1，x ＜x ，∴a x1 ＜a x2 . 又 ∵ x1 ＞0， x2 ＞0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
函数 f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.
16、 (1)假设 a>1，那么 f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a ＝a，即
2
a＝3或2
a＝0(舍去)．(2)假设 0 a＝0(舍去)，综上所述，所求 a 2 的值为1 2 2 或3. 2 1 c c
