2.6 圆形镜共焦腔的自再现模和行波场-20200318

第二章 开放式光腔与高斯光束模
属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为
q
mn(q1)
mnq
c
2L
属于同一纵模的相邻两个横模之间的频率间隔为
m
(m1)nq
mnq
1 2
c
2 L
1 2
q
n
m(n1)q
mnq
c
2 L
q
横模参数对频率的影响不可忽略。
单程衍射损耗
模的单程损耗为
mn (r, ) Cmn
2
r w0 s
m
Lmn
2
r2 w2
0s
e
r2 w2
0s
cos m sin m
Cmn为与模式有关的归一化常数； w0s为镜面上基模光斑半径。
cosm 和sinm 因子任选一个，但当m = 0时，只能取cos m
因子，否则将导致整个式子为零。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
第二章 开放式光腔与高斯光束模
mn (x, y) mn K(x, y, x ', y ')mn (x ', y ')ds '
K x , y , x , y i e ik x , y ,x, y
L
拉盖尔—高斯近似
当腔的菲涅耳数N足够大时，圆形镜共焦腔的自再现模为拉 盖尔多项式和高斯函数的乘积。
2n
1)
4
arctan
z f
圆形镜共焦腔行波场特性的分析方法与方形镜共焦腔相同，
两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率
半径以及光束发散角都完全相同。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
小结： 在N>>1时, 共焦腔的自再现模能以厄米~高斯或拉盖尔~高斯
函数近似描述 ：镜面上基模或其它高阶横模的振幅、相位分 布、光斑尺寸和模体积、 单程相移和谐振频率、单程损耗、 等相位面的分布、基模光束的远场发散角，这些特征都能以 解析解的形式表达。 共焦腔光束的基本特征唯一地由共焦参数 f 决定, 与反射镜 的尺寸a 无关。参数f 或w0 是表征共焦腔高斯光束的特征参 数。 只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的 损耗由腔的菲涅尔数N决定，不同横模的损耗各不相同。 共焦腔的特点：衍射损耗低，易于调整，有模简并，基模体 积小。严格的对称共焦腔只是一种理想情况。
只有精确解才能给出共焦模 的损耗与N及横模指标m和n 的关系
福克斯和厉鼎毅用迭代法给 出圆形镜共焦腔几个最低阶 模的损耗。
与方形镜共焦腔模的损耗比 较，当菲涅耳数相同时，它 的损耗比方形镜腔类似横模 的损耗要大。
（二）圆形镜共焦腔行波场
在拉盖尔—高斯近似下，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可求出由一个镜 面上的场所产生的圆形镜共焦腔的行波场
第二章 开放式光腔与高斯光束模
x
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分
y
三
镜面上的场分布 （坐标原点，相位原点）
腔内和腔外场分布 （坐标原点，相位原点）
共焦腔内任 意点的场
共焦腔外任意点 的场
行波场
驻波场
行波场
第二章 开放式光腔与高斯光束模
Emn
x, y, z
Amn E0
w0 wz
2
H
m
w
z
i[kL(m2n1) ]
mn e
2
(一) 镜面上的场分布
① 振幅分布
mn (r, ) Cmn
2
r w0s
m
Lmn
2
r2 w2
0s
e
r2
w
2 0
s
cos m sin m
上式为实函数，它实际上就是镜面上光场振幅的分布函数。
基模振幅分布为
00
r,
C e
r2 w02 s
00
基模在镜面上的振幅分布也是高斯型的，整个镜面上没有 场的节线，在镜中心处振幅最大。
高阶模的特点
方形镜共焦腔，可近似表 示为厄米-高斯函数的形式
七
TEM00 TEM10 TEM20 TEM03 TEM11 TEM31
圆形镜共焦腔，可近似表示 为拉盖尔-高斯函数的形式。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
方形镜共焦腔高阶模的远场发散角可由基模的发散角求出
m 2m 10
n 2n 10
高阶模的发散角随模阶次m,n而增大，多模振荡时，光束的方 向性要比单基模振荡差。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
总结
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分
一
x
镜面上的场分布
y
第二章 开放式光腔与高斯光束模
对称共焦腔的自再现模
二
方形镜共焦腔自再现模积分方程具有严 格的解析函数解。它们是一组特殊定义 的长椭球函数，并且当腔的菲涅耳数足 够大时，可近似表示为厄米-高斯函数 的形式。
圆形镜共焦腔本征函数的解为超椭球函 数。在腔的菲涅耳数足够大时，可近似 表示为拉盖尔-高斯函数的形式。
Emn (r,, z)
Amn E0
w0 w(z)
2
r w(z)
m
Lmn
z
r2 w2 (z)
e e
r w2
2
(z
)
imn (r , ,z )
cos m
sin
m
w(
z)
w0
1
z f
2
w0
1
2z L
2
w0
L 2
f
mn
(r
,
,
z
)
k
f
z
2(
f
zr 2 2
z
2
)
(m
x,
y, z
k
f
z
x2 y2 z 2 f 2 z2
m
n
1
4
arctg
z f
五
R(z0 )
z0
f2 z0
f
z0 f
f z0
等相位面
z
z0
x2 2 z0
y2 f2 z0
x2 y2
2R z0
x2 y2 z z0 R(z0 )2 R2(z0 )
圆形镜共焦腔高阶模的光斑随着m,n的增加而增大，其光斑半 径无解析表达式。 表给出了几个高阶模的镜面光斑半径wmns的计算结果。
当基模振幅下降到中心值的1/e 处与镜面中心的距离为镜面 上基模光斑半径与方形镜共焦腔完全一样。
w0s
L
第二章 开放式光腔与高斯光束模
高阶模
10
r,
C10
2 w0 s
re e
r2 w02 s
i
高阶模振幅分布出现节线或 节圆，场分布具有圆对称形 式。
高阶模TEMmn的m 表示沿辐 角ϕ方向的节线数；n 表示 沿半径r 方向的节圆数；各 节圆沿r 方向并不是等距分 布的。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
四
wz
L 2
1
z2 f2
w0s 2
2
2
1
z f
w0
1
z f
w2 z－ z2
w02
f2
1
w0
Lλ 2π
f
0
2w( z )
lim
z
z
2w0 f
2
2 2 L
2
f w0
第二章 开放式光腔与高斯光束模
f L 2
共焦腔
焦参数
mn
mn
1
|
1
mn
|2
i[kL m 2n1 ]
mn e
2
| 1 |2 1
mn
mn 0?
即所有自再现模的损耗均为零。这一结果是在N–>∞的情况下 得到的。当N为有限(但不太小)时，拉盖尔-高斯近似能满意地 描述场分布及相移等特征，但却不能用来分析模的损耗。
第二章 开放式光腔与高斯光束模
mn e
2
圆形镜共焦腔中自再现模在腔内单程渡越的总相移为
mn
arg
1 mn
kL
m
2n
1
2
kL
mn
第二章 开放式光腔与高斯光束模
谐振频率 共焦腔模的谐振条件为
2mn q 2
此可求出圆形镜共焦腔模的谐振频率为
mnq
c 2L
q
1 2
m
2n
1
L L
圆形镜共焦腔模在频率上也是高度简并的，如TEMmnq, TEM(m+2)n(q-1) , TEM(m+2) (n+1) (q-1)等模式的谐振频率都相同。
2
x
H
n
w
z
y e e
w
r
2
2
z
i mn x, y,z
方形球面镜共焦腔行波场的振幅分布为
Emn
x,
y, z ＝Amn E0
w0
wz
Hm
2
w
z
x
Hn
2
w
z
y e
x2 w2 (
y z
2
)
m=n=0
E00 x, y, z
A00 E 0
w0 wz
e
x2
w2
y z
2
基模共焦场在任一z坐标处的横截面内都是高斯分布
第二章 开放式光腔与高斯光束模
2.6 圆形镜对称共焦腔的自再现模
第二章 开放式光腔与高斯光束模
圆形镜对称共焦腔是由两块相同的圆形球面 镜组成。
圆形镜共焦腔的处理方法与方形镜相似，只 是由于反射镜的孔径为圆形。采用极坐标系 统(r, )来讨论其光场分布和传播。
积分方程的精确解析解是超椭球函数。