平行四边形典型例题精编版

平行四边形经典例题平行四边形一、基础知识平行四边形二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。

2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题例1、如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.例2、如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE = CF.例3、已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.（图1） BO A B C D E F （图2）例4、如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1△ABE ≌△CDF ；（2）若、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论.例5、如图7 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.，求证：四边形AFCE 是菱形.例6、如图8，四边形ABCD 是平行四边形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点.（1）如果，则△DEC ≌△BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.例7、如图9，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C.（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.A DBC EF (图6) M N 备用图（1）备用图（2）B C BRPDCBAEF 第12题图四、练习一、选择题1.下列命题正确的是（）(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形(B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形(D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为( ) A. 6<ac<ac<ac<ac<="">4．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°,∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（）（A ）1 （B ）1.2 （C ）32（D ）1.5 5．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BD 的长是（）（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( ) （A ）互相垂直（B ）相等（C ）互相平分（D ）互相垂直且相等7. 如图，等腰△ABC 中，D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，AB=5那么四边形AFDE 的周长是（）（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20(第7题）（第8题）（第9题）（第10题）8.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（）．（A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△AC D 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )． (A)9 cm (B)12cm (c)29cm (D)18 cm 10.如图，在周长为20cm 的□ABCD中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（）(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11. 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（）（A ）34 （B ）33 （C ）24（D ）８12.如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ )A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P13. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC5 ，BD=12c m ，则梯形中位线的长等于（） AB CDOEA BCDEF图 2ABCDEFO第10题图DABCPMN （1）（2）图9A B CDE F O 图A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（）A ．红花、绿花种植面积一定相等B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等二、填空题1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。

完整版)平行四边形典型证明题(已分类)1.在平行四边形ABCD中，平分线AE交DC于点E，已知∠DAE＝25°，求平行四边形ABCD各角的度数。

2.如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，交点G在ED和BC上，点D、C分别落在D′、C′的位置上，已知∠EFG=55°，求∠AEG的度数。

3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BD上，且BE=DF，证明四边形AECF是平行四边形。

4.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且∠DAE=∠BCF。

1）证明AE=CF。

2）证明AE∥CF。

5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上平分∠BAD，点F在AD上平分∠BCD，证明四边形AECF是平行四边形。

6.如图，点D、E、F分别是△XXX各边中点。

1）证明四边形ADEF是平行四边形。

2）已知AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF的周长和面积。

7.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°得到△CFE。

证明四边形DBCF是平行四边形。

8.如图，矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。

1）证明AG＝C′G。

2）求△BDG的面积。

9.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，已知AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。

10.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，已知∠1＝15°。

1）求∠2的度数。

2）证明BO＝BE。

11.如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，CE∥BD，DE∥AC。

1）判断四边形OCED的形状，并证明。

2）已知AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积。

12.在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD 的平分线于点F。

平行四边形经典习题36道平行四边形习题1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数．2、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH ．3、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等．4、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD ．_O_A_ D_ C_ E_ C _D_A_ BG_E_ F_ H_ O_ D _ A _ B_ C_ H _ F_ G_ E5、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD于H ，求证：EG=GC=CH=HF ．6、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED ．7、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA ．_ C_ D_A_B_E_F_E_D_B_ C _A_ G_ F_ j _ H _ G_ K_B_ C _A_ F_E8、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ，延长BC 到F ，使CF=CE ，求证：BE ⊥DF9、在四边形ABCD 中，AB=CD ，P 、Q 分别是AD 、BC 中点，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点，求证：PQ ⊥MN ．10、平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，AE=AB=BF 求证：CE ⊥DF ．_ A_ B_ C_ D_ P_Q_N_ M_ C _D_ A_B_ F _E_E_A_ F_G_ B_C11、在正方形ABCD 中，P 是BD 上一点，过P 引PE ⊥BC交BC 于E ，过P 引PF ⊥CD 于F ，求证：AP ⊥EF ．12、过正方形ABCD 的顶点B 引对角线AC 的平行线BE ，在BE 上取一点F ，使AF=AC ，若作菱形CAFÉ，求证：AE 及AF 三等分∠BAC ．13、以∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 分别为边，在BC 的同侧作等边三角形ABD 、BCE 、CAF ，求证：ADEF 是平行四边形．_C_B_A_D_ E_F_ C_B_A_D_F_P_ H_E_ F_D_C_A_B14、M、N为∆ABC的边AB、AC的中点，E、F为边AC 的三等分点，延长ME、NF交于D点，连结AD、DC，求证：⑴BFDE是平行四边形，⑵ABCD是平行四边形．15、平行四边形ABCD的对角线交于O，作OE⊥BC，AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm,求：平行四边形ABCD的面积．16、平行四边形ABCD中，EF平行于对角线AC，且与AB、BC分别交于E、F，求证：SADE∆=S CDF∆_A_B_C _D_E_F _O_A _B_D _E_F_E_A_B_C _D_M_N_F _E_D_B_C_A17、求证：四边形ABCD 的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半．18、平行四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点为E 、F ，求证：DE 、BF 三等分对角线AC ．19、证明：顺次连结四边形的各边中点的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形的对角线之和．20、在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ，求证：DE BG ，DE=BG ．_A_ H_G_ B _ C_D_E_F21、在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 的高，∠A 的平分线AE 交CD 于F ，交BC 于E ，EG ⊥AB 于G ，求证：CFGE 是菱形．22、若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：BG=EC ，BG ⊥EC ．23、正方形ABCD 中，M 为AB 的任意点，MN ⊥DM ，BN 平分∠CBF ，求证：MD=NM_B _ C_A _ N_ F_ M_H_F _G_ E_D_A_ B _ C_ F_A_ B_C_ D_ E_ G _ F_ G_C_D_A_ B_E_ H24、平行四边形ABCD 中，E 为AB 上的任一点，若CE 的延长线交DA 于F ，连结DE ，求证：S ADE ∆=S BEF ∆25、过四边形ABCD 的对角线BD 的中点E 作AC 的平行线FEG ，与AB 、AC 的交点分别为F 、G ，求证：AG 或FC 平分此四边形的面积，26、若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：S AEG ∆=S ABC ∆．27、四边形ABCD 中，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点，又AD 、BC 相交于点P ，求证：S PMN ∆=41S ABCD ． _ G_ E _ D_ A _ B _ C_E_D_ A_ B_C_ F_ G_E _C_B_D_A_ FPMNACD PMNA CDQPM N D CBA28、正方形ABCD 的边AD 上有一点E ，满足BE=ED+DC ，如果M 是AD 的中点，求证：∠EBC=2∠ABM ，EMAB29、若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN ，BM DG ．30、从正方形ABCD 的一个顶点C 作CE 平行于BD ，使BE=BD ，若BE 、CD 的交点为F ，求证：DE=DF ．31、平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过A 、_ F_ C _D_ A_ B _ E_F_G_D_E_B_ A_ C_ N _ MD 、C 、B ，向FH 作垂线，垂足为G 、F 、E 、H ，求证：AG-DF=CE-BH ．32、正方形ABCD 中，∠EAF=45︒,求证：BE+DF=EF ．33、正方形ABCD 中，点P 与B 、C 的连线和BC 的夹角为15︒,求证：PA=PD=AD ．PBA34、四边形ABCD 中，AD=BC ，EF 为AB 、DC 的中点的连线，并分别与AD 、BC 延长线交于M 、N ，求证：∠AME=∠BNE ．_ D _ A_ B_E _F35、正方形ABCD 中，MN GH ，求证：MN=HG ．36、正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，F 是线段CE 的中点,求证：∠DAE=21∠BAF ．_ C _ B_ A_ M_ G_ H_ F _A_B_ N_E_ M _ D_ C。

平行四边形经典例题一、已知平行四边形的性质求角度例题：在平行四边形ABCD 中，∠A 的度数比∠B 的度数小40°，求∠A 和∠B 的度数。

解析：因为平行四边形的邻角互补，即∠A + ∠B = 180°。

又已知∠A 比∠B 小40°，即∠B - ∠A = 40°。

联立这两个方程可得：∠A = 70°，∠B = 110°。

二、利用平行四边形的性质求边长例题：平行四边形ABCD 的周长为40，AB = 6，求BC 的长。

解析：平行四边形的对边相等，所以AB = CD = 6，BC = AD。

周长为40，则2(AB + BC) = 40，即2×(6 + BC) = 40，解得BC = 14。

三、判断四边形是否为平行四边形例题：已知四边形ABCD 中，AB∠CD，AB = CD，判断四边形ABCD 是否为平行四边形。

解析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD 是平行四边形。

四、根据平行四边形的性质求线段长度例题：在平行四边形ABCD 中，AC、BD 是对角线，AC = 10，BD = 8，且AC 与BD 的夹角为60°，求AB 的长度。

解析：过 A 作AE∠BD 于E。

设O 为AC 与BD 的交点，则AO = 5，BO = 4。

在直角三角形AOE 中，因为∠AOE = 60°，所以OE = AO×cos60° = 5×1/2 = 2.5，AE = AO×sin60° = 5×√3/2。

在直角三角形ABE 中，根据勾股定理可得AB = √(AE² + BE²) = √[(5×√3/2)²+(4 + 2.5)²]。

五、利用平行四边形的性质证明线段相等例题：在平行四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，连接DE、BF。

(完整版)平行四边形题型练习题题目一在平行四边形 ABCD 中，已知 AB = 8cm，BC = 5cm，BD =6cm。

求平行四边形的周长和面积。

解析：首先，由于 AD || BC，所以 ABDC 是一个平行四边形。

根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以 AC 是 BD 的中线。

根据中线定理，中线的长度等于边长的一半。

因此，AC = 6cm。

平行四边形的周长等于各边长之和。

根据已知条件，AB = 8cm，BC = 5cm，CD = AB = 8cm，DA = BC = 5cm，所以周长为 8cm +5cm + 8cm + 5cm = 26cm。

平行四边形的面积可以通过底边乘以高得到。

底边可以选择AB 或 CD，高可以选择 BD 或 AC。

选择 AB 和 BD，面积为 AB ×BD = 8cm × 6cm = 48cm²。

所以，平行四边形的周长为 26cm，面积为 48cm²。

解：AB = 8cm，BC = 5cm，BD = 6cm。

由平行四边形的性质，平行四边形的周长等于各边长之和。

所以，平行四边形的周长为 8cm + 5cm + 8cm + 5cm = 26cm。

平行四边形的面积可以通过底边乘以高得到。

所以，平行四边形的面积为 AB × BD = 8cm × 6cm = 48cm²。

所以，平行四边形的周长为 26cm，面积为 48cm²。

题目二在平行四边形 EFGH 中，已知 EF = 12cm，GH = 8cm，且角EFG 是直角。

求平行四边形的周长和面积。

解析：由于 EFGH 是一个平行四边形，所以 EF || GH。

根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以 EG 是 FH 的中线。

根据中线定理，中线的长度等于边长的一半。

因此，EG = FH = 8cm。

平行四边形的周长等于各边长之和。

根据已知条件，EF =12cm，FG = EH = EF - EG = 12cm - 8cm = 4cm，GH = 8cm，HE = FG = 4cm，所以周长为 12cm + 4cm + 8cm + 4cm = 28cm。

（完整版）平⾏四边形经典练习题（3套）附带详细解答过程练习1⼀、选择题（3′×10=30′）1．下列性质中，平⾏四边形具有⽽⾮平⾏四边形不具有的是（）．A．内⾓和为360° B．外⾓和为360° C．不确定性 D．对⾓相等2．Y ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°3．下列正确结论的个数是（）．①平⾏四边形内⾓和为360°；②平⾏四边形对⾓线相等；③平⾏四边形对⾓线互相平分；④平⾏四边形邻⾓互补．A．1 B．2 C．3 D．44．平⾏四边形中⼀边的长为10cm，那么它的两条对⾓线的长度可能是（）．A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm 5．在Y ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S YABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）． A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．A．有斜边和⼀直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等;B．直⾓三⾓形两个锐⾓互余;C．全等三⾓形对应⾓相等;D．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等.7．下列说法中正确的是（）．A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题8．⼀个三⾓形三个内⾓之⽐为1：2：1，其相对应三边之⽐为（）．A．1：2：1 B．12：1 C．1：4：1 D．12：1：29．⼀个三⾓形的三条中位线把这个三⾓形分成⾯积相等的三⾓形有（）个．A．2 B．3 C．4 D．510．如图所⽰，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为（）．A．2 B．2.5 C．3 D．3.5⼆、填空题（3′×10=30′）11．⽤14cm长的⼀根铁丝围成⼀个平⾏四边形，短边与长边的⽐为3：4，短边的⽐为________，长边的⽐为________．12．已知平⾏四边形的周长为20cm，⼀条对⾓线把它分成两个三⾓形，?周长都是18cm，则这条对⾓线长是_________cm．13．在Y ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂⾜为E，?若Y ABCD?的周长为38cm，△ABD的周长⽐Y ABCD的周长少10cm，则Y ABCD的⼀组邻边长分别为______．14．在Y ABCD中，E是BC边上⼀点，且AB=BE，⼜AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则YABCD 的各内⾓度数分别为_________．15．平⾏四边形两邻边的长分别为20cm ，16cm ，两条长边的距离是8cm ，?则两条短边的距离是_____cm ． 16．如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的______和_______，?那么这两个命题是互为逆命题．17．命题“两直线平⾏，同旁内⾓互补”的逆命题是_________．18．在直⾓三⾓形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．19．直⾓三⾓形两直⾓边的长分别为8和10，则斜边上的⾼为________，斜边被⾼分成两部分的长分别是__________． 20．△ABC 的两边分别为5，12，另⼀边c 为奇数，且a+b+?c?是3?的倍数，?则c?应为________，此三⾓形为________三⾓形．三、解答题（6′×10=60′）21．如右图所⽰，在YABCD 中，BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，若∠A=60°，AF=3cm ，CE=2cm ，求YABCD 的周长．22．如图所⽰，在YABCD 中，E 、F 是对⾓线BD 上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE=CF ；（2）AE ∥CF ．23．如图所⽰，Y ABCD 的周长是，AB 的长是DE ⊥AB 于E ，DF ⊥CB 交CB?的延长线于点F ，DE 的长是3，求（1）∠C 的⼤⼩；（2）DF 的长．FCDAEB24．如图所⽰，Y ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、?∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN 与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出⼀个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：?推理过程中要⽤到“平⾏四边形”和“⾓平分线”这两个条件）．25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.求证：∠C=90°．26．如图所⽰，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，?求∠C的度数．27．已知三⾓形三条中位线的⽐为3：5：6，三⾓形的周长是112cm，?求三条中位线的长．28．如图所⽰，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．29．如图所⽰，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，?CD?⊥MN 于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，?使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成⽴呢？30．如图所⽰，E 是Y ABCD 的边AB 延长线上⼀点，DE 交BC 于F ，求证：S△ABF=S △EFC ．答案:⼀、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C⼆、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm 和10cm 14．50°，130°，50°，130° ? ? 15．10 16．结论题设 17．同旁内⾓互补，两直线平⾏ 18．519．13 直⾓三、21．Y ABCD 的周长为20cm 22．略23．（1）∠C=45° （2）DF=224．略 25．?略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm ；20cm ；24cm 28．提⽰：连结BD ，取BD?的中点G ，连结MG ，NG 29．（1）略（2）结论仍成⽴．提⽰：过F 作FG ⊥MN 于G 30．略练习2⼀、填空题(每空2分,共28分) 1.已知在中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平⾏四边形的周长为 cm .2.要说明⼀个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明(只需填写⼀种⽅法)3.如图,正⽅形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有个等腰直⾓三⾓形. 4.把“直⾓三⾓形、等腰三⾓形、等腰直⾓三⾓形”填⼊下列相应的空格上.(1)正⽅形可以由两个能够完全重合的拼合⽽成; (第3题)AB CD O(2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合⽽成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合⽽成.5.矩形的两条对⾓线的夹⾓为ο60,较短的边长为12cm ,则对⾓线长为 cm .6.若直⾓梯形被⼀条对⾓线分成两个等腰直⾓三⾓形,那么这个梯形中除两个直⾓外,其余两个内⾓的度数分别为ο和ο.7.平⾏四边形的周长为24cm ,相邻两边长的⽐为3:1,那么这个平⾏四边形较短的边长为 cm .8.根据图中所给的尺⼨和⽐例,可知这个“⼗”字标志的周长为 m .(第8题) (第10题) 9.已知平⾏四边形的两条对⾓线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平⾏四边形的⾯积为 2cm .10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上) ⼆、选择题(每题3分,共24分)11. 如果⼀个多边形的内⾓和等于⼀个三⾓形的外⾓和，那么这个多边形是（）A 、三⾓形B 、四边形C 、五边形D 、六边形12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平⾏四边形的对⾓线互相平分 B.对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形 C. 平⾏四边形的对⾓相等 D.对⾓线互相垂直的四边形是平⾏四边形13.给出四个特征(1)两条对⾓线相等;(2)任⼀组对⾓互补;(3)任⼀组邻⾓互补;(4)是轴对称图形但不是中⼼对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14. 四边形ABCD 中，AD//BC ，那么的值可能是（） A 、3：5：6：4 B 、3：4：5：6 C 、4：5：6：3 D 、6：5：3：415.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的⼀个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ?的⾯积 ( )A.变⼤B.变⼩C.不变D.⽆法确定(第15题) (第16题) (第17题) 16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果ο60=∠BAF ,则DAE ∠等于 ( )A.ο15B.ο30C.ο45D.ο6017.如图,在ABC ?中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,A B C D EF 1m 1mA B C a b A B CDO l那么四边形AFDE 的周长是 ( ) A.5 B.10 C.15 D.2018.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平⾏四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD ⼀定是平⾏四边形;(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD ⼀定是平⾏四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD ⼀定是平⾏四边形;(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD ⼀定是平⾏四边形其中正确的说法是( )A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4) 三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分)19.如图,中,DB=CD ,ο70=∠C ,AE ⊥BD 于E .试求DAE ∠的度数.(第19题)20.如图,中,G 是CD 上⼀点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,ο100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.(第20题)21.⼯⼈师傅做铝合⾦窗框分下⾯三个步骤进⾏:(1)先截出两对符合规格的铝合⾦窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是: ;(3)将直⾓尺靠紧窗框的⼀个⾓(如图③),调整窗框的边框,当直⾓尺的两条直⾓边与窗框⽆缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是: .AB CD EABCDABCD FEGABCD(图①) (图②) (图③) (图④) (第21题)22.李⼤伯家有⼀⼝如图所⽰的四边形的池塘,在它的四个⾓上均有⼀棵⼤柳树,李⼤伯开挖池塘,使池塘⾯积扩⼤⼀倍,⼜想保持柳树不动,如果要求新池塘成平⾏四边形的形状.请问李⼤伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.(第22题)答案1.60.2.平⾏四边形;有⼀组邻边相等.3.8. 提⽰:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB4.(1)等腰直⾓三⾓形; (2)等腰三⾓形; (3)直⾓三⾓形. 7.3. 8.4. 提⽰:如图所⽰,将“⼗”字标志的某些边进⾏平移后可得到⼀个边长为1m 的正⽅形,所以它的周长为4m .8题) 9. 36. 提⽰:菱形的⾯积等于菱形两条对⾓线乘积的⼀半. 10. (1)(2)(4). 提⽰:四边形ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C.15.C. 提⽰:因为ABC ?的底边BC 的长不变,BC 边上的⾼等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ?的⾯积不变.16.A. 提⽰:由于()BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=∠=∠∠∠ο9021,所以通过折叠后得到的是由 . 17.B. 提⽰:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C.19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠⼜因为四边形ABCD 是平⾏四边形,所以AD ∥BC ,所以,DBC D ∠=∠因为οοοο20709090,,=-=∠-=∠?⊥D DAE AED BD AE 中所以在直⾓.20.(1)因为四边形ABCD 是平⾏四边形,所以AB=DC ,⼜AF=CG ,所以AB －AF=DC －CG,即GD=BF,⼜ DG ∥BF,所以四边形DFBG 是平⾏四边形,所以DF=BG ;(2)因为四边形DFBG 是平⾏四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得DGE GBF ∠=∠,所以ο100=∠=∠DGE AFD .A BCD21.(1)平⾏四边,两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形; (2)矩,有⼀个是直⾓的平⾏四边形是矩形.22.如图所⽰,连结对⾓线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平⾏线,且这些平⾏线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平⾏四边形.练习31、把正⽅形ABCD 绕着点A ，按顺时针⽅向旋转得到正⽅形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．2、四边形ABCD 、DEFG 都是正⽅形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．AB CDE FGH DC ABGH F E3、将平⾏四边形纸⽚ABCD按如图⽅式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．挑战⾃我：1、 (2010年眉⼭市)．如图，每个⼩正⽅形的边长为1，A、B、C是⼩正⽅形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90° B．60° C．45° D．30°2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选⽤⼀种图形不能进⾏平⾯镶嵌的图形是（）A. 正三⾓形B. 正⽅形C. 正五边形D. 正六边形3．（2010年北京顺义）若⼀个正多边形的⼀个内⾓是120°，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．8 C．6 D．4 4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为。

平行四边形例题
例题：在平行四边形ABCD中，AB = 5，BC = 3，求平行四边形ABCD的周长。

题目解析：
1. 首先明确平行四边形的性质，平行四边形的对边相等。

- 在平行四边形ABCD中，AB与CD是一组对边，BC与AD是另一组对边。

- 已知AB = 5，根据对边相等可知CD = 5；已知BC = 3，根据对边相等可知AD = 3。

2. 然后求平行四边形的周长。

- 平行四边形的周长等于四条边的长度之和，即C = AB+BC + CD+AD。

- 把AB = 5，BC = 3，CD = 5，AD = 3代入可得：C=5 + 3+5+3 = 16。

再看一道例题：
例题：平行四边形ABCD中，∠A比∠B大30°，求平行四边形ABCD各个内角的度数。

题目解析：
1. 利用平行四边形邻角互补的性质。

- 在平行四边形ABCD中，∠A与∠B是邻角，所以∠ A+∠ B = 180^∘。

2. 又因为∠A比∠B大30°，即∠ A=∠ B + 30^∘。

- 把∠ A=∠ B + 30^∘代入∠ A+∠ B = 180^∘中，得到(∠ B + 30^∘)+∠ B=180^∘。

- 化简可得2∠ B+30^∘=180^∘，移项得到2∠ B = 180^∘-30^∘=150^∘，解得∠ B = 75^∘。

- 因为∠ A=∠ B + 30^∘，所以∠ A=75^∘+30^∘=105^∘。

- 根据平行四边形的对角相等，可知∠ C=∠ A = 105^∘，∠ D=∠ B = 75^∘。

平行四边形经典题目一、如图，分别以▱ABCD的对边AB、CD为边在形外作等边△ABE、等边△CDF。

连结CE交AB于点G，连结AF交CD于点H。

试探索图形中除▱ABCD外，是否有其他的平行四边形，并给予证明。

【答案解析】四边形AECF和四边形AGCH是平行四边形。

（1）对于▱AECF：方法1 ▱ ABCD中，AB＝CD.因为△ABE和△CDF都是等边三角形，所以AE＝CF，EB＝DF，又因为BC＝AD，△ABC ＝△ADC，△ABE＝△CDF＝60°，所以△CBE＝△ADF，所以△CBE△△ADF，得CE＝AF，已证AE＝CF，所以四边形AECF 是平行四边形。

方法 2 设△BAH＝α，则△EAF＝60°＋α.因为□ABCD中AB△DC，所以△CHF＝α.在△CHF中△CFH＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，所以△EAF＋△CFA＝180°，则EA△CF.因为EA＝CF，所以四边形AECF是平行四边形。

方法3 设▱ABCD的对称中心为点O（对角线AC、BD交点），则将▱ABCD绕点O旋转180°以后，AB与CD重合.因为△ABE和△CDF是同在平行四边形外全等的等边三角形，旋转后也相互重合，则对称点E、F连线经过点O，且OE＝OF.因为OA＝OC，所以四边形AECF是平行四边形。

（2）对于▱AGCH：因为（1）中已证▱ AECF可知AH△GC，且已知▱ABCD 中AG△HC，所以四边形AGCH是平行四边形。

二、如下图（a），△ABC中AB＝AC＝13cm，BC＝10cm.M、N分别是AB、AC的中点。

（1）若C1是BC的中点，连结MC1、NB.求图中阴影部分的面积。

（2）将线段BC1沿BC向右移动到B1C1位置，如图（b）.连结MC1、NB1。

图中阴影部分的面积还与（1）中相同吗？请说明理由。

【答案解析】（1）连结AC1，易知它是等腰三角形底边上的高，由勾股定理可得AC1＝12cm，从而cm2.连结MN、NC1，设MC1、NB交于点O.由三角形中位线定理及平行四边形的判定可知四边形MNC1B是平行四边形，所以.因为N是AC中点，所以，进而阴影部分面积cm2。

典型例题1．在□ABCD中，DB = DC，∠C = 70º，AE⊥BD于E，则∠DAE = 度。

答案：20.提示：∵DB = DC，∠C = 70º，∴∠CDB = 40º.∵AB//CD，∴∠ABD = 40º∵AE⊥BD，∴∠BAE = 50º，又∵∠DAB =∠C = 70º，∴∠DAE = 70º−50º = 20º2．已知：如图，E、F分别为中AD、BC的中点，分别连接AF、BE 交于G，连接CE、DF交于点H。

求证：EF与GH互相平分。

解答：∵E为AD的中点，F为BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴AE//CF，AE = CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF//CE同理可证：BE//DF，∴四边形GFHE是平行四边形，∴EF与GH互相平分习题精选一、判断题1．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形3．对角线相等的四边形是平行四边形4．有两组对角分别相等的四边形是平行四边形5．对角线互相垂直的四边形是平行四边形6．邻边互相垂直的四边形是平行四边形7．如果一条对角线将四边形分成两个全等三角形，那么这个四边形是平行四边形8．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形二、填空题1．如果一个四边形的每对相邻内角都互补，那么这个四边形是__________．2．延长△ABC的中线AD到E，使AE=2AD，则四边形ABEC是__________．3．如果一个四边形以其对角线交点为中心，在平面内旋转180°，与原四边形重合，则这个四边形是__________.4．□ABCD的周长是48厘米，AB=6厘米，则BC =__________厘米．5．如图，□ABCD，则AB =__________，__________= AD，∠A =__________，__________=∠D，若此时∠B+∠D=128°，则∠B =__________度，∠C =__________度．6．若一个平行四边形的周长为80 cm，且相邻两边之比为1：3，则长边=__________cm，短边=__________cm．三、选择题1．判断一个四边形是平行四边形的条件是( )A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组邻边相等，一组对边相等C．一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行D．一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等2．平行四边形的对角线将它分成四个三角形，则这四个三角形的面积( )A．都不相等 B．不都相等C．都相等 D．以上结论都不对3．下列条件能组成一个平行四边形的是( )A．相邻的两边分别是5cm和7cm，一条对角线长是13cmB．两组对边分别是3cm和4cmC．一条边长是7cm，两条对角线长分别是3cm和4cmD．一组对角都是135º，另一组对角都是40°4．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD = BC B．AB = AD，CB = CDC．AB = CD，AD = BC D．∠B =∠C，∠A =∠D5．□ABCD中，∠A：∠D = 3：6，则∠C的度数是( )A．60° B．120°C．90° D．150°6．在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是( )A．2：7：2：7 B．2：2：7：7C．2：7：7：2 D．2：3：4：57．以不共线的三点为顶点，可以作平行四边形( )A．一个 B．两个 C．三个D．四个8．平行四边形具有，但一般四边形不具有的性质是( )A．不稳定性 B．内角和等于360°C．对角线互相平分 D．外角和等于360°9．顺次连结梯形各边中点所组成的图形是( )A．平行四边形 B．菱形 C．梯形D．正方形10．顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是( )A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形11．等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是( )A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形四、解答题1．证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．2．如图，在□ABCD对角线AC上分别取E、F，使A E=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．3．已知：如图□ABCD的周长是 20 cm，△ADC的周长是 16 cm．求：对角线AC的长．4．如图，CD是△ABC的高，E、F、G分别是BC、AB、AC上的中点．求证：FG = DE参考答案一、1．× 2．√ 3．× 4．√ 5．× 6．√ 7．× 8．√ 9．√二、1．平行四边形2．平行四边形 3．平行四边形 4．185．CD BC∠C∠B 64 1166．30 10三、1．C 2．C 3．B 4．C5．A 6．A 7．C 8．C9．A 10．B 11．D四、1．已知：四边形ABCD，AC与BD为它的对角线，交于点O，且AO=CO，BO=DO，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：在△ABO和△CDO中∴△ABO≌△CDO∴AB = CD同理可证△ADO≌△CBO∴AD = BC∴四边形ABCD为平行四边形．2．证明：连结BD，与AC交于点O∴AO = C O，BO = DO，又∵AE = CF，∴EO = FO∴四边形EDFB为平行四边形3．解：∵□ABCD的周长为 20 cm∴AD+DC =×20 = 10(cm)而△ADC的周长为16cm．即AD+DC+AC = 16∴10+AC=16，∴AC = 6，∴对角线AC的长为6cm．4．证明：∵F、G是AB、AC的中点∴FG∥BC且FG =BC∵CD⊥DB且E是BC的中点∴DE =BC，∴FG = DE。

中考专题训练——平行四边形的判定和性质1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．参考答案与试题解析1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵BE＝DF，∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．【分析】（1）只要证明DE＝CF，DE∥CF即可解决问题；（2）过D作DH⊥BE于H，想办法求出DH、HF即可解决问题；【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵E是AD的中点，∴DE＝AD，∵CF＝BC∴DE＝CF，又∵AD∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形．（2）过D作DH⊥BE于H，在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥CD，∴∠DCF＝60°，∵AB＝4，∴CD＝4，∴CH＝2，DH＝2，∴FH＝1，在Rt△DHF中，DF＝＝．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出DE＝FC；【分析】（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：∵DE∥FC，DE＝FC∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝＝．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？【分析】（1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE＝DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC于点O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可；（2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题；（3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等；【解答】（1）证法一：∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF又∵AE＝CF∴△BAE≌△DCF（SAS）∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD即：∠BEF＝∠DFE∴BE∥DF，而BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证法二：连接BD，交AC于点O．∵ABCD是平行四边形∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）又∵AE＝CF∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）四边形BFDE是平行四边形∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF∴△BAE≌△DCF（AAS）∴BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（3）四边形BFDE不是平行四边形因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，AB＝DE＝CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用三角函数即可求得到CE的长，则求得CD，进而根据AB＝CD求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥DE，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∵AB∥EC，∴∠ECF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝30°∵CF＝，∴CE＝2CF＝2，∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，∴AB＝CD＝DE，∴CE＝2AB，∴AB＝．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．【答案】（1）证明见解析；（2）CD，AF，BD，AD，CF．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDAF是平行四边形，∴AG＝GC，AD＝CF，∵E为AD的中点，∴EG是△ADC的中位线，∴2EG＝DC，∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝AD，由（1）可知，CD＝AF＝BD＝2EG，即所有长度为2EG的线段是CD，AF，BD，AD，CF．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，【分析】得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD＝FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CEB，根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵∠BAE＝70°，∴∠BCD＝70°，∵∠DCE＝20°，∴∠BCE＝70°﹣20°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．【分析】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝2﹣2，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝4，解得：AM＝2﹣2，∴AC＝2AM＝4﹣4．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后证明△ADF为等边三角形，可得ED＝DF，进而可以证明四边形BECF为平行四边形；（2）根据AB＝6和勾股定理可得BF的长，然后证明BE＝BD，进而可得四边形BECF 的周长．【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠AED＝30°，∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°，∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴AD＝DF，∵ED＝AD，∴ED＝DF，∵BD＝DC，∴四边形BECF为平行四边形；（2）∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵△ADF为等边三角形，∴AF＝AD＝3，∴BF＝＝＝3，∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝3，∴四边形BECF的周长为：2（BF+BE）＝2（3+3）＝6+6．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据∠ADB＝∠CBD＝90°，可得DE∥CB，由∠AEB+∠C＝180°．证明BE∥CD，进而可得四边形BEDC是平行四边形；（2）根据勾股定理先求出AD的长，再设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，EB＝EA＝8﹣x．根据勾股定理列式计算得x的值，进而可以求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠CBD＝90°，∴DE∥CB，∵∠AEB+∠C＝180°，∵∠AEB+∠BED＝180°，∴∠C＝∠BED，∴∠CDB＝∠EBD，∴BE∥CD，∴四边形BEDC是平行四边形；（2）∵四边形BEDC是平行四边形．∴BC＝DE，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8．设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，∴EB＝EA＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+DB2＝EB2，∴x2+42＝（8﹣x）2．解得x＝3．∴BC＝DE＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝AD•DB+DB•BC＝16+6＝22．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．【分析】（1）根据已知条件证明△AED≌△BFD，可得ED＝FD，可得四边形AEBF是平行四边形；（2）根据BE⊥CE，可得四边形AEBF是矩形，根据CE＝2AE＝4，BC＝9，再利用勾股定理即可求DE的长．【解答】解：（1）四边形AEBF是平行四边形，证明：∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD，∵AE∥BF，∴∠AED＝∠BFD，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS），∴ED＝FD，∵AD＝BD，∴四边形AEBF是平行四边形；（2）∵BE⊥CE，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形AEBF是矩形，∴EF＝AB，DE＝AB，在Rt△BEC中，CE＝4，BC＝9，根据勾股定理，得BE2＝BC2﹣CE2＝92﹣42＝65，在Rt△ABE中，AE＝2，BE2＝65，根据勾股定理，得AB＝＝＝，∴DE＝AB＝．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形；（2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE，∴DE∥AC，∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，BE＝AE，∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEF，∴∠F＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE＝BE，又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形，∴AE⊥CF，∵CE＝BE，∴∠B＝∠DCE＝30°，∴∠BED＝∠BAC＝60°，∵DF∥AC，∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°，∴BD＝CD＝DE，∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°，∴∠CED＝60°，∴∠FEG＝∠CED，∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°，∴△EFG≌△CED（AAS），∴EG＝DE，FG＝CD，∴FG＝DE，∵CG＝FG，∴CG＝DE，∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．【分析】（1）只要证明AD∥FG，AF∥DG即可；（2）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，∵EB＝BF，EC＝CH，∴BC∥FH，BC＝FH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AD∥FH，∴∠DAF+∠AFG＝180°，∵∠ADG＝∠AFG，∴∠DAF+∠ADG＝180°，∴AF∥CD，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵BF＝BE，CH＝CE，∴BC＝FH，∴AD＝FH，∵四边形AFHD是平行四边形，∴FG＝AD＝FH，∴HG＝FH，∴长度为FH的一半的所有线段为：AD，BC，FG，HG．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．【分析】（1）由CN∥AB，MA＝MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD＝MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．（2）由∠AMD＝2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，在△ADM和△CNM中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴MD＝MN，∴四边形ADCN是平行四边形．（2）解：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD+∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MC＝MD，∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形，∵AC＝BC，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴▱ADCN是正方形，∴AN＝AD＝BD＝CD＝CN．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC＝∠BFC，∠EAF＝∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．∴∠ADE＝∠CBF＝60°．∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA＝∠CBA，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC＝AB．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF．∴∠AED＝∠CFB．又∵AD＝BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED＝∠BFC，∠EAD＝∠FCB．又∵∠DAB＝∠BCD，∴∠EAF＝∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．【分析】（1）求出AP＝BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△OQC的面积，再求出答案即可．【解答】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，∴∠P AO＝∠QCO，在△APO和△CQO中∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），∵ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，∵AO＝OC，∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，∴△OQC的面积为 1.2cm×4cm＝2.4cm2，∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定求出AF＝CD，求出AF＝BD，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出四边形AFBD的矩形，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝AF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）解：∵AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形，∵AB＝AC＝13，BD＝5，∴由勾股定理得：AD＝＝12，∴四边形AFBD的面积是12×5＝60．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；（2）利用全等三角形的判定求解．【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；（2）BG＝y，DE＝t，当0≤t≤时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或（不合题意，舍去），当＜t≤时，则BF＝3t﹣8，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或，所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次，第一次是2秒时，y＝6，第二次是4秒时，y＝6，第三次是5秒时，y＝5．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为PE+PF＝AB．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．【分析】（1）先求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF＝AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE＝∠C，然后求出∠B＝∠BPE，利用等角对等边求出PE＝BE，然后求解即可；（2）根据等边对等角可得∠B＝∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠CDE，然后求出∠C＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝PD+PE，然后求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE＝AF，然后求出PD+PE+PF＝AC，等量代换即可得证；（3）证明思路同（2）．【解答】解：（1）答：PE+PF＝AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD＝0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PF＝AE，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠B＝∠BPE，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+AE＝AB，∵PD＝0，∴PE+PF＝AB；故答案为：PE+PF＝AB（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝PD+PE，∵PF∥AC，PE∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PE＝AF，∴PD+PE+PF＝AC，∴PD+PE+PF＝AB；（3）证明：同（2）可证DE＝CE，PE＝AF，∵AE+CE＝AC，∴PF+PE﹣PD＝AC，∴PE+PF﹣PD＝AB．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD＝AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝AB ＝AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，根据三角形的中位线的性质得到DQ＝FQ，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED＝EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴FP＝PB，∴CP＝AB＝AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，∵CQ∥AD，∴DQ＝FQ，∵在Rt△DAF与Rt△DEF中，∴AQ＝EQ＝DF．。