小专题小专题：与椭圆有关的定点问题

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+= ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明．4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点．(1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，所以椭圆的方程为22142y x +=，则12(0(0F F ，，，设()()000000P x y x y >>，，则()()1002002PF x y PF x y =--=-，，，，所以()22120021PF PF x y ⋅=--=，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()2204212y y ---=，得0y =，则点P 的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB 的直线方程为：(1)y k x -， 由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B Bx y ，，则1B x- 同理可得A x A Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB 的斜率A BAB A By y k x x -=-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++， 所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++ ()()()2221212749139k x x k x x k =++++++ ()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y xx y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G的纵坐标为G y = 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B ，，且3AP PB =， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-…或112m <…， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-…或112m <…．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=．(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>． 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅的取值范围． 解：(13)AP =，，设()(31)Q x y AQ x y =--，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-因为221182y x +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P APP y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥,则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，② 把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =，又因为CN NM +=2CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a =21c =．所以211a c b ===，． 所以曲线E 的方程为2212x y += (2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=，所以()()112222x y x y λ-=-，，， 所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，，所以()22121221x xx x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点)，当25||PA PB -<t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a-===， 即222a b =，所以2221a b ==，．故椭圆C 的方程为2212x y +=． (2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，．因为OA OB tOP +=，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k t k t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为25||PA PB -<12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k =+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t-<<2t <<，所以实数t 取值范围为(()26223-，，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x ab+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x += 设AB 的直线方程：y m =+．由22124y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得22440x m ++-=，由()22)1640m ∆=-->，得m -< P 到AB的距离为d =， 则1||2PAB S AB d ∆=⋅=，==当且仅当2(m =±∈-取等号，所以三角形PAB (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002y x x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=②将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为())11，此时AB ； 当1t =-时，同理可得AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，，由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③ 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y xy ，，，，则由③得：21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，． 又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯…， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11-，，，此时AB=； 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k=+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m ==+，当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A的坐标为0)，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。

专题：椭圆相关的二级结论及推导1.122PF PF a +=：由椭圆第一定义可知。

2.标准方程22221x y a b+=：由定义即可得椭圆标准方程。

3.111PF e d =< ：椭圆第二定义（椭圆平面内到定点 F(c,0)的距离和到定直线 L: ( F 不在 L 上)的距离之比为常数 (即离心率 e,0<e<1)的点的轨迹是椭圆。

其中定点 F 为椭圆的焦点,定直线 L 称为椭圆的准线）对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．证明如下：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 证明：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M da ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，由此得222()x c y c a a x c-+=-．将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b+=>>．这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.如图，设00(,)P x y ，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k 。

由两直线夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+得：()()20022222222222200000001222222200100000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x cα++++++-======++-++-⋅+()()20022222222222200000002222222200200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x cβ+--+---======+-----⋅-,0,2παβαβ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭同理可证其它情况。

一．解答题（共30小题）1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k OD为直线OD的斜率，求证：k•k OD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围．9．如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．10．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．12．（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB 于L，求证：为定值（2）将椭圆（a＞b＞0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．（3）如图，若AB、CD是过椭圆（a＞b＞0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：为定值．13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．15．已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．（I）若P（），Q（，1），求椭圆C l的方程；（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．16．已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（﹣a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值．（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若K QA+K QB=2与l的斜率无关，求t的值．17．如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（﹣1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．18．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．19．如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．22．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K 两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．23．已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．24．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x2=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．25．已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值和最小值．26．设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．27．已知椭圆的左焦点F1（﹣1，0），长轴长与短轴长的比是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：为定值．28．已知椭圆的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线（称为椭圆的右准线）于P，Q两点．（1）若当θ=30°时有，求椭圆的离心率；（2）若离心率e=，求证：为定值．29．已知点P在椭圆C：（a＞b＞0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6﹣|PF2|，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．30．如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．解：（Ⅰ）设C方程为由已知b=2，离心率…（3分）得a=4，所以，椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）．Q（2，﹣3），则|PQ|=6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0 由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积…（6分）故，当t=0时，…（7分）②∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）与，联立解得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，．…（9分）同理PB的直线方程y﹣3=﹣k（x﹣2），可得所以，…（11分）==，所以直线AB的斜率为定…（13分）2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率．解：（1）∵椭圆离心率为，∴，∴（2分）又椭圆经过点，∴解得c=1，∴（3分）∴椭圆C的方程是…（4分）（2）若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意…（5分）设直线方程为l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0…（7分）∴…（8分）∴k1+k2=====k（）=﹣∵k1+k2=m，∴﹣=m，∴k=．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，∴椭圆E的方程为．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，∵A，P，M三点共线，∴，∴，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，则直线m的方程为，====，即．所以直线m过定点（﹣1，0）．4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．解：（1）由于，∴解得a2=2，b2=1，从而所求椭圆的方程为=1．∵三点共线，而点N的坐标为（﹣2，0）．设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．由消去x得，即．根据条件可知解得，依题意取．设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，得，又由，得（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2），∴从而从而消去y2得．令，则．由于，所以φ'（λ）＜0．∴φ（λ）是区间上的减函数，从而，即，∴，解得，而，∴．故直线AB的斜率的取值范围是．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则可得切线PA的方程是，而点A（x1，y1）在此切线上，有即x0x1+2y0y1=x12+2y12，又∵A在椭圆上，∴有x0x1+2y0y=2，①同理可得x0x2+2y0y2=2．②根据①和②可知直线AB的方程为，x0x+2y0y=2，而直线AB过定点N（﹣2，0），∴﹣2x0=2⇒x0=﹣1，因此，点P恒在直线x=﹣1上运动．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．（Ⅰ）解：由题设可知：，∴a=2，c=…2分∴b2=a2﹣c2=2…3分∴椭圆的标准方程为：…4分（Ⅱ）解：设P（x P，y P），M（x1，y1），N（x2，y2），由可得：①…5分由直线OM与ON的斜率之积为可得：，即x1x2+2y1y2=0②…6分由①②可得：x P2+2y P2=（x12+2y12）+（x22+2y22）∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12=4，x22+2y22=4∴x P2+2y P2=8，即…..8分由椭圆定义可知存在两个定点F1（﹣2，0），F2（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4；….9分；（Ⅲ）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（﹣x1，﹣y1）…..10分由题设可知l AB斜率存在且满足k NA=k NB，∴…．③k MN•k MB+1=+1④…12分将③代入④可得：k MN•k MB+1=+1=⑤….13分∵点M，B在椭圆上，∴k MN•k MB+1==0∴k MN•k MB+1=0∴k MN•k MB=﹣1∴MN⊥MB…14分．7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则且，解得，，即．由，解得．（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=，所以a=．又c=1，所以b=1．所以椭圆C的方程为．（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即•，将代入并整理得（*）．由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以，解之得或．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．8．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k OD为直线OD的斜率，求证：k•k OD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围．解：（1）根据题意有：解得：∴椭圆C的方程为=1（2）联立方程组消去y得：（4+k2）x2+2kx+t2﹣4=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点坐标为（x0，y0）则有：∴，故为定值（3）当t=1时，①式为（4+k2）x2+2kx﹣3=0故∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1∴若的夹角为锐角，则有，即，解得，且k≠0，∴当k∈时，的夹角为锐角9．如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．（1）证明：∵椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，∴，∴抛物线P：x2=4cy．设过F2的直线l的方程为y+c=kx，与抛物线联立，可得x2﹣4kcx+4c2=0，∵过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，∴△=16k2c2﹣16c2=0，k＞0∴k=1，即切线l的斜率为定值；（2）解：由（1），可得直线l的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程可得（a2+b2）x2﹣2b2cx+b2c2﹣a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②∵∴x2=﹣λx1③由①②③可得=∵f（λ）=，当λ∈[2，4]时，单调递增，∴f（λ）∈∴∵0＜e＜1∴椭圆的离心率e的取值范围是[]．10．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．解：（1）由=，c=2，得a=，b==2．故所求椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），故，．①由题意，得．化简，得，∴点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．②设A（x1，y1），则得到．将，，代入上式整理，得k2（2e2﹣1）=e4﹣2e2+1；∵e4﹣2e2+1＞0，k2＞0，∴2e2﹣1＞0，∴．∴≥3．化简，得．解之，得，．故离心率的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．（1）解：设P（x，y），则，即（x+1）2+y2+（x﹣1）2+y2=6，整理得，x2+y2=2，所以动点P的轨迹方程为x2+y2=2．…（4分）（2）解：由题意知，，解得，所以椭圆方程为．…（6分）则，，设Q（x0，y0），y0＞0，则，直线AQ的方程为，令，得，直线BQ的方程为，令，得，（ i ）当直线AQ 的斜率为时，有，消去x 0并整理得，，解得或y 0=0（舍），…（10分） 所以△AMN 的面积==． …（12分）（ii ），，所以．所以对任意的动点Q ，DM •CN 为定值，该定值为． …（16分）12．（1）如图，设圆O ：x 2+y 2=a 2的两条互相垂直的直径为AB 、CD ，E 在弧BD 上，AE 交CD 于K ，CE 交AB 于L ，求证：为定值（2）将椭圆（a ＞b ＞0）与x 2+y 2=a 2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．（3）如图，若AB 、CD 是过椭圆（a ＞b ＞0）中心的两条直线，且直线AB 、CD 的斜率积，点E 是椭圆上异于A 、C 的任意一点，AE 交直线CD 于K ，CE 交直线AB 于L ，求证：为定值．解答： 解：（1）如图所示，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F 点， ∵CD ⊥AB ，∴EF ∥CD ，∴，，又EF2+FO2=OE2=a2，∴====1．为定值．（2）如图，设椭圆（a＞b＞0），椭圆的长轴、短轴分别为AB、CD，E在椭圆的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值．证明：过点E作EF⊥AB，垂足为F点，∵CD⊥AB，∴EF∥CD，∴，，∴===1．为定值．（3）如图所示，过点E分别作EF∥CD交AB与点F，EM∥AB交直线CD于点M．∴，．设A（x1，y1），C（x2，y2），D（﹣x2，﹣y2），B（﹣x1，﹣y1）．E（x0，y0）．则．设直线AB的方程为y=kx（k≠0），则直线CD的方程为．直线EF的方程为，直线EM的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．联立解得x F=．联立，解得x M=．联立解得．联立，解得=．∴==．同理．∴====．为定值．13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．（1）证明：设直线l：，A（x1，y1），B（x2，y2）．将代入中，化简整理得2x2+6mx+9m2﹣36=0．于是有，．则，上式中，分子====，从而，k PA+k PB=0．又P在直线l的左上方，因此，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△PAB的内切圆的圆心在直线上．（2）解：若∠APB=60°时，结合（1）的结论可知．直线PA的方程为：，代入中，消去y得．它的两根分别是x1和，所以，即．所以．同理可求得．=••=．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．解：（1）由知：F1为F2Q中点．又∵，∴|F1Q|=|F1A|=|F1F2|，即F1为△AQF2的外接圆圆心而|F1A|=a，|F1F2|=2c，∴a=2c，又圆心为（﹣c，0），半径r=a，∴，解得a=2，∴所求椭圆方程为．（5分）（2）①由（1）知F2（1，0），y=k（x﹣1），，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，又∵|F2M|=a﹣ex1，|F2N|=a﹣ex2，∴=，，∴为定值．（10分）②由上可知：y1+y2=k（x1+x2﹣2），=（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则，故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m=0，则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0，+，由已知条件知k≠0且k∈R，，∴，故存在满足题意的点P且的取值范围是．（15分）15．已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．（I）若P（），Q（，1），求椭圆C l的方程；（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．解答：（Ⅰ）解：∵P（）在椭圆上，Q（，1）在双曲线上，则，①+②×3得：，a2=5，把a2=5代入①得，b2=4．所以椭圆C l的方程为；（Ⅱ）证明：由A（﹣a，0），B（a，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，k1•k2+k3•k4==∵设P（x1，y1）在椭圆上，Q（x2，y2）在双曲线上，∴，则k1•k2+k3•k4===．所以k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）假设△PMN是正三角形，∴∠MPN=∠PMN=60°，又∵MN⊥x轴，∴∠PAN=30°，∠PBA=30°，∴△PAB为等腰三角形，∴点P位于y轴上，且P在椭圆上，∴点P的坐标为（0，±b），此时，即a=．综上，当a=，且点P的坐标为（0，±b）时，△PMN为正三角形．16．已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（﹣a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值．（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若K QA+K QB=2与l的斜率无关，求t的值．解：（1）由题意得解得a2=2，b2=1故椭圆方程为（2）设N（），P（X，Y）则MN的方程为由得由韦达定理得所以代入直线方程得P（）∴，∴（3）AB的方程为x=my+1，设A（e，f），B（g，h）由得（m2+2）y2+2my﹣1=0所以f+h=，fh=====2∵K QA+K QB=2与l的斜率无关∴2t=2，即t=1．17．如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（﹣1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．解：（1）由已知条件知，，解得，又b2=a2﹣c2=1，所以椭圆C的方程为；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2=2=0，①由于直线l与椭圆C相交，所以△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得直线l的斜率k的取值范围是；②∠MF1A和∠NF1F2总相等．证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以tan∠MF1A﹣tan∠NF1F2====，所以tan∠MF1A=tan∠NF1F2，又∠MF1A和∠NF1F2均为锐角，所以∠MF1A=∠NF1F2．18．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．解：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，．设，则，∴（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y）整理得，，∴从而，由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．∴，所以点H恒在直线2x+3y﹣2=0上．19．如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．（I）解：由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0）．设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知A、P均在第一象限，且满足，．则=…（3分）而Q、O、A、P在同一直线上，所以x1y2=x2y1故…（4分）（II）证明：设，P（x，y），则A（tx，ty）且，解之得：，且…（6分）OA•OP﹣OA22=tOP2﹣OA22=，其中0＜t＜1所以f′（t）=恒成立，，函数f（t）在区间（0，1）上是减函数，因此当0＜t＜1时，f（t）＞f（1）=，即故：△OAA2与△OA2P不相似．…（9分）（III）解：由得，由得．∴{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R}因此∀y≠0，⇔⇔m2≤3所以b=因此b的值为…（13分）20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知，椭圆方程可设为．（1分）∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为．（4分）（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（9分）（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0⇔2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．（14分）21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．解：（Ⅰ）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2，即2a=2，∴a=椭圆的离心率为，即e=∵e=，∴，∴c=1又∵a2=b2+c2，∴b=1．又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上∴椭圆方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k2+2）x2+2kx﹣1=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=8k2+8＞0，．．设线段PQ中点为N，则点N的坐标为，∵M（0，m），∴直线MN的斜率k MN=∵直线MN为PQ的垂直平分线，∴k MN•k=﹣1，可得．即，又k≠0，∴k2+2＞2，∴，即．（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，∴=|FM||x 1|+|FM||x2|=|FM|（|x1|+|x2|）∵P，Q在y轴两侧，∴|x1|+|x2|=||（x1﹣x2）∴，∵，由，可得．∴．又∵|FM|=1﹣m，∴．∴△MPQ的面积为（）．设f（m）=m（1﹣m）3，则f'（m）=（1﹣m）2（1﹣4m）．可知f（m）在区间单调递增，在区间单调递减．∴f（m）=m（1﹣m）3有最大值．此时∴△MPQ的面积为×=∴△MPQ的面积有最大值．22．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K 两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．解：（Ⅰ）连接DF2，FO（O为坐标原点，F2为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1⊥FO，所以|DF2|=2|FO|=2b，所以|DF1|=2a﹣|DF2|=2a﹣2b，故．…（2分）在Rt△FOF1中，即b2+（a﹣b）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，所求椭圆E的方程为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：设直线l的方程为y=k（x+2）并代入整理得：（k2+4）x2+4k2x+4k2﹣4=0由△＞0得：，…（5分）设H（x1，y1），K（x2，y2），N（x0，y0）则由中点坐标公式得：…（6分）①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，﹣2），（0，2）．…（7分）②当k≠0时，则x0≠0，直线MN的方程为此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，﹣2），（0，2）；若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则，即x0+y0=1，所以，解得：（舍去），…（8分）若直线MN过椭圆G的顶点（﹣1，0），则，即x0﹣y0=﹣1，所以，解得：（舍去）．…（9分）综上，当k=0或或时，直线MN过椭圆G的顶点．…（10分）（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为，…（11分）根据题意可设P（m，n），则A（﹣m，﹣n），C（m，0）则直线AC的方程为，…①过点P且与AP垂直的直线方程为，…②①×②并整理得：，又P在椭圆W上，所以，所以，即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA⊥PB．…（14分）法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为根据题意可设P（m，n），则A（﹣m，﹣n），C（m，0），∴，，所以直线，化简得，所以，因为x A=﹣m，所以，则．…（12分）所以，则k PA•k PB=﹣1，故PA⊥PB．…（14分）23．已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，∴b=c，∴b2=a2﹣c2=c2，∴a2=2c2，∴．（3分）（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2∴，．（6分）（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则整理得x0x+y0y=x12+y12∵x12+y12=b2。

圆锥曲线定点、定直线、定值专题1.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭（Ⅱ）若直线l:y kx m=+与椭圆C相交于A，B两点（A B圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为由已知得a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3∴椭圆的标准方程为。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0）∴∴∴解得m1=-2k，且均满足3+4k 2-m 2>0当m 1=-2k 时，l 的方程为y=k （x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当时，l 的方程为直线过定点所以，直线l 过定点，定点坐标为。

2.已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21-，离心率为2e 2=﹒ （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒解：(1)， ∴所求椭圆E 的方程为：。

(2)当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：x=ky+1，，把（2）代入（1）整理得：，（3）∴，假设存在定点M （m ，0），使得为定值，=，当且仅当5-4m=0，即时，（为定值）．这时。

再验证当直线l 的倾斜角α=0时的情形，此时取，， ，∴存在定点使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l 均有（恒为定值）．3.已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率5e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

《选修11：椭圆中定值定点问题》教案适⽤⾼中数学适⽤年级⾼⼆学科适⽤区域苏教版区域课时时长(分钟)知识点对称问题定点、定值、最值等问题2 课时教学⽬标 1．掌握圆锥曲线中的定点、定值、最值问题的求法．2．掌握有关圆锥曲线中对称问题的处理⽅法．教学重点圆锥曲线中定点、定值、最值等问题的求解⽅法教学难点数形结合思想的应⽤【教学建议】本节课采⽤创设问题情景——学⽣⾃主探究——师⽣共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习⽅式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学⽅案，通过创设问题情景、学⽣⾃主探究、展⽰学⽣的研究过程来激励学⽣的探索勇⽓．【知识导图】教学过程【教⼀学、建导议】⼊1．定点、定值、探索性问题是椭圆中的综合题，⼀直是⾼考考查的重点和热点问题． 2．本部分在⾼考试题中多为解答题，是中⾼档题．⼆、知识讲解由于椭圆只研究中⼼在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题⼀般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下⼏个⽅⾯： (1)与椭圆有关的直线过定点：①y－y0＝k(x－x0)表⽰过定点(x0，y0)的直线的⽅程；②(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 表⽰过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 和 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线的⽅程．第1页/共14页(2)与椭圆有关的圆过定点： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0 表⽰的是过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 和圆 x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0 交点的圆的⽅程． (3)与椭圆有关的参数的定值问题．(1)考参数点的2取值椭范圆围中：的最值由直问线题和椭圆的位置关系或⼏何特征引起的参数如 k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据⼏何特征建⽴关于参数的不等式或函数进⾏求解． (2)长度和⾯积的最值：由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或⾯积的值变化．此类问题主要是建⽴关于参数(如 k 或(x，y))的函数，运⽤函数或基本不等式求最值．类型⼀定点问题如图，椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)过点 P1，32，其左、右焦点分别为 F1，F2，离⼼率 e＝12，M，N是直线 xa2 c上的两个动点，且 F1M·F2N ＝0．(1)求椭圆的⽅程； (2)求 MN 的最⼩值；(3)求以 MN 为直径的圆 C 是否过定点？请证明你的结论．a12＋49b2＝1，【解】(1)因为 e＝ac＝12，且过点 P1，32，所以 a＝2c，a2＝b2＋c2，a＝2，解得b＝ 3.所以椭圆⽅程为x42＋y32＝1． (2)由题可设点 M(4，y1)，N(4，y2)．⼜知 F1(－1，0)，F2(1，0)，则 F1M ＝(5，y1)， F2N ＝(3，y2)．所以 F1M ·F2N ＝15＋y1y2＝0，y1y2＝－15，y2＝－1y51 ．⼜因为 MN＝|y2－y1|＝－1y51 －y1＝|1y51|＋|y1|≥2 15，当且仅当|y1|＝|y2|＝ 15时取等号，所以 MN 的最⼩值为 2 15．(3)设点 M(4，y1)，N(4，y2)，所以以 MN 为直径的圆的圆⼼ C 的坐标为4，y1＋2 y2，半径 r第2页/共14页＝|y2－2 y1|，所以圆 C 的⽅程为(x－4)2＋y－y1＋2 y22＝(y2－4y1)2，整理得 x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋16＋y1y2＝0．由(2)得 y1y2＝－15，所以 x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋1＝0，令 y＝0 得 x2－8x＋1＝0，所以 x＝4± 15，所以圆 C 过定点(4± 15，0)．【总结与反思】定点问题常见的 2 种解法： (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建⽴⼀个直线系或曲线系⽅程，⽽该⽅程与参数⽆关，故得到⼀个关于定点坐标的⽅程组，以这个⽅程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置⼊⼿，找出定点，再证明该点适合题意．类型⼆定值问题已知 F1，F2 为椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点 F2 且斜率为 k(k≠0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E，F 两点，△ EFF1 的周长为 8，且椭圆 C 与圆 x2＋y2＝3 相切． (1)求椭圆 C 的⽅程； (2)设 A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线 x＝4 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2 的斜率为 k′，求证：k·k′为定值．【解】(1)因为△EFF1 的周长为 8，所以 4a＝8，所以 a2＝4，⼜椭圆 C 与圆 x2＋y2＝3 相切，故 b2＝3，所以椭圆 C 的⽅程为x42＋y32＝1． (2)由题意知过点 F2(1，0)的直线 l 的⽅程为 y＝k(x－1)，设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线 l 的⽅程 y＝k(x－1)代⼊椭圆C 的⽅程x42＋y32＝1，整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＞0 恒成⽴，且 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132．直线 AE 的⽅程为 y＝x1y－1 2(x－2)，令 x＝4，得点 M4，x12－y12，直线 AF 的⽅程为 y＝x2y－2 2(x－2)，令 x＝4，得点 N4，x22－y22，所以点 P 的坐标为4，x1y－1 2＋x2y－2 2．所以直线 PF2 的斜率为 k′＝x1y－1 2＋4－x2y1－2 2－0＝13x1y－1 2＋x2y－2 2＝13·y2xx11x＋2－x22y(1x－1＋2(xy21)＋＋y42)＝第3页/共14页13·2kxx11xx22－－23(kx(1x＋1＋x2x)2＋)＋44k，将 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132代⼊上式得 k′＝13·2k·444k4kk2k22－2＋－＋131232－－23×k4·k482kk8＋22k＋23＋3＋44k＝－1k，所以 k·k′为定值－1．【由题悟法】定值问题常见的 2 种求法： (1)从特殊⼊⼿，求出定值，再证明这个值与变量⽆关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从⽽得到定值．类型三存在性问题已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)以 2，0 为顶点，且离⼼率为12．(1)求椭圆 E 的⽅程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与直线 x＝－4 相交于 Q 点，P 是椭圆E 上⼀点且满⾜ OP ＝ OA ＋ OB (其中 O 为坐标原点)，试问在 x 轴上是否存在⼀点 T，使得 OP ·TQ 为定值？若存在，求出点 T 的坐标及 OP ·TQ 的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)已知 2，0 为椭圆 E 的顶点，即 a＝2．⼜ac＝12，故 c＝1，b＝ 3．所以椭圆 E 的⽅程为x42＋y32＝1．y＝kx＋m， (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．联⽴3x2＋4y2＝12. 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．－8km 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝4k2＋3，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4k62m＋3．将 P4－k28＋km3，4k62＋m 3代⼊椭圆 E 的⽅程，得4(644kk2＋2m32)2＋3(43k62m＋23)2＝1，即 4m2＝4k2＋3．设 T(t，0)，Q(－4，m－4k)．所以TQ ＝(－4－t，m－4k)， OP ＝4－k28＋km3，4k62＋m 3．32km＋8kmt 6m(m－4k) 6m2＋8km＋8kmt即 OP ·TQ ＝ 4k2＋3 ＋ 4k2＋3 ＝4k2＋3．因为 4k2＋3＝4m2，所以 OP ·TQ ＝6m2＋84kmm2＋8kmt＝32＋2k(1m＋t)．要使 OP ·TQ 为定值，只需2k(1m＋t)2＝4k2(m1＋2 t)2＝(4m2－m32)(1＋t)为定值，则 1＋t＝0，所第4页/共14页以 t＝－1，所以在 x 轴上存在⼀点 T(－1，0)，使得 OP ·TQ 为定值32．【由题悟法】存在性问题求解的 3 个注意点：存在性问题，先假设存在，推证满⾜条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在． (1)当条件和结论不唯⼀时要分类讨论； (2)当给出结论⽽要推导出存在的条件时，先假设成⽴，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规⽅法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．1．四已知、椭课圆堂C：运ax⽤22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(1，0)，右顶点为 A，且|AF|＝1．(1)求椭圆 C 的标准⽅程； (2)若动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且只有⼀个交点 P，且与直线 x＝4 交于点 Q，问：是否存在⼀个定点 M(t，0)，使得 MP ·MQ ＝0．若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． 2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点 F1(－1，0)，长轴长与短轴长的⽐是 2∶ 3． (1)求椭圆的⽅程； (2)过F1 作两直线 m，n 交椭圆于 A，B，C，D 四点，若 m⊥n，求证：|A1B|＋|C1D|为定值． 3．如图，在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 36，直线 l 与 x 轴交于点 E，与椭圆 C 交于 A，B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为2 3 6． (1)求椭圆 C 的⽅程．(2)若点 E 的坐标为 23，0，点 A 在第⼀象限且横坐标为 3，过点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另⼀点 P，求△ PAB 的⾯积． (3)是否存在点 E，使得E1A2＋E1B2为定值？若存在，请求出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由． 1．【解】(1)由 c＝1，a－c＝1，得 a＝2，b＝ 3，故椭圆 C 的标准⽅程为x42＋y32＝1．第5页/共14页y＝kx＋m，(2)由消去 y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，3x2＋4y2＝12，所以 Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即 m2＝3＋4k2．设 P(xp，yp)，则 xp＝－3＋4km4k2＝－4mk， yp＝kxp＋m＝－4mk2＋m＝m3 ，即 P－4mk，m3 ．因为 M(t，0)，Q(4，4k＋m)，所以 MP ＝－4mk－t，m3 ， MQ ＝(4－t，4k＋m)，所以 MP ·MQ ＝－4mk－t·(4－t)＋m3 ·(4k ＋m)＝t2－4t＋3＋4mk(t－1)＝0 恒成⽴，t－1＝0，故即 t＝1．所以存在点 M(1，0)符合题意．t2－4t＋3＝0，2a∶2b＝2∶ 3， 2．【解】(1)由已知，得 c＝1，a2＝b2＋c2.解得 a＝2，b＝ 3．故所求椭圆⽅程为x42＋y32＝1． (2)由已知 F1(－1，0)，当直线 m 不垂直于坐标轴时，可设直线 m 的⽅程为 y＝k(x＋1) (k≠0)．y＝k(x＋1)，由x42＋y32＝1，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0．由于 Δ＞0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，－4k2±6 k2＋112(1＋k2)12(1＋k2)则有 x1，2＝ 3＋4k2 ，|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 3＋4k2 ．同理|CD|＝ 3k2＋4 ．所以|A1B|＋|C1D|＝123(＋1＋4kk22)＋123(k12＋＋k42)＝172((11＋＋kk22))＝172．当直线 m 垂直于坐标轴时，此时|AB|＝3，|CD|＝4；或|AB|＝4，|CD|＝3，所以|A1B|＋|C1D|＝13＋14＝172．综上，|A1B|＋|C1D|为定值172．3．【解】(1)由ac＝ 36，设 a＝3k(k>0)，则 c＝ 6k，b2＝3k2，所以椭圆 C 的⽅程为9xk22＋3yk22＝1．因为当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，AB＝23 6，即 xA＝xB＝ 6k，第6页/共14页代⼊椭圆⽅程，解得 yA＝k，yB＝－k 或 yA＝－k，yB＝k，于是 2k＝23 6，即 k＝ 36，所以椭圆 C 的⽅程为x62＋y22＝1． (2)将 x＝ 3代⼊x62＋y22＝1，解得 y＝±1．因为点 A 在第⼀象限，所以 A( 3，1)．⼜点E的坐标为23，0，所以kAE＝2 ，直线 3EA的⽅程为y＝23x－23＝23 3x－1，y＝23 3x－1，由x62＋y22＝1，得 B－ 53，－75．⼜ PA 过原点 O，所以 P(－ 3，－1)，PA＝4，直线 PA 的⽅程为 x－ 3y＝0，所以点 B 到直线 PA 的距离 h＝－53＋7 5 23 ＝353，S△ PAB＝12PA·h＝12×4×35 3＝65 3．(3)假设存在点 E，使得E1A2＋E1B2为定值，设 E(x0，0)(x0≠± 6)，当直线 AB 与 x 轴重合时， E1A2＋E1B2＝(x0＋1＋ 6)2 (6－1 x0)2＝1(62－＋x220x)220，当直线 AB 与 x 轴垂直时，E1A2＋E1B2＝21－2 x620＝6－6 x20，由1(62－＋x220x)202＝6－6 x20，得 x0＝± 3，6－6 x20＝2，所以若存在点 E，此时 E(± 3，0)，E1A2＋E1B2为定值 2．根据对称性，只需考虑直线 l 过点 E( 3，0)的情况，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的⽅程x＝my＋ 3，为 x＝my＋ 3，由x62＋y22＝1，得(m2＋3)y2＋2 3my－3＝0，－2 3m－3所以 y1＋y2＝ m2＋3 ， y1y2＝m2＋3．( ) ⼜E1A2＝x1－1 32＋y21＝m2y211＋y21＝(m2＋1 1)y21，E1B2＝(x2－ 13)2＋y22＝m2y221＋y22＝(m2＋1 1)y22，第7页/共14页所以E1A2＋E1B2＝(m2＋1 1)y21＋(m2＋1 1)y22＝(y1(＋m2y＋2)21－)y221yy221y2＝((mm1222＋＋m312))2·＋(mm2＋926＋3)32＝2，综上所述，存在点 E(± 3，0)，使得E1A2＋E1B2为定值 2．五、课堂⼩结1．定值问题的求解策略： (1)可以从⼀般的情形进⾏论证，即⽤类似⽅程 ax＋b＝0 恒有解的思路来解决问题； (2)也可以运⽤从特殊到⼀般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对⼀般情形也成⽴． 2．最值问题的求解策略： (1)如果建⽴的函数是关于斜率 k 的函数，要增加考虑斜率不存在的情况； (2)如果建⽴的函数是关于点(x，y)的函数，可以考虑⽤代⼊消元、基本不等式、三⾓换元或⼏何解法来解决问题．六、课后作业1．对任意实数 a，直线 y＝ax－3a＋2 所经过的定点是________． 2．若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆x52＋y42＝1 的交点个数为________． 3．已知椭圆的中⼼在坐标原点，焦点在 x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是⼀个⾯积为 4 的正⽅形，设 P 为该椭圆上的动点，C，D 的坐标分别是(－2，0)， ( 2，0)，则 PC·PD 的最⼤值为________． 4．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率是 36，过椭圆上⼀点 M 作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，且斜率分别为 k1，k2，若点 A，B 关于原点对称，则 k1·k2 的值为________．答案与解析 1．【解析】直线⽅程即为 y－2＝a(x－3)，因此当 x－3＝0 且 y－2＝0 时，这个⽅程恒成⽴，故直线系恒过定点(3，2)．【答案】(3，2) 2．【解析】因直线与圆没有公共点，所以圆⼼到直线的距离 4 >2，则 m2＋n2<4，m2＋n2 可以判断出点(m，n)在椭圆的内部，故过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为 2．第8页/共14页【答案】2 3．【解析】设椭圆⽅程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，半焦距为 c，则由条件，得 b＝c，b2＋c2＝4，解得 b＝c＝2，于是 a＝2，从⽽ C、D 就是椭圆的焦点，于是 PC＋PD＝2a＝4，由基本不等式得 PC·PD≤PC＋2 PD2＝4，即 PC·PD 的最⼤值为 4．【答案】44．【解析】设 M(x0，y0)，A(x1，y1)，则 B(－x1，－y1)，从⽽ k1·k2＝yx11－－yx00·－－yx11－－yx00＝xy2121－－xy2002，ax202＋by202＝1，⼜ax122＋by212＝1，x20－x21 y21－y20 两式相减得 a2 ＝ b2 ，故k1·k2＝－ba22，⼜e＝36，所以ba22＝13，故k1·k2＝－13．【答案】－131．如图，已知 A1，A2，B1，B2 分别是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的四个顶点，△ A1B1B2 是⼀个边长为 2 的等边三⾓形，其外接圆为圆 M． (1)求椭圆 C 及圆 M 的⽅程；(2)若点 D 是圆 M 劣弧 A1B2 上⼀动点(点 D 异于端点 A1，B2)，直线 B1D 分别交线段 A1B2，椭圆 C 于点 E，G，直线 B2G 与 A1B1 交于点 F．①求GEBB11的最⼤值；②试问：E，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 22，且过点 P 22，12，记椭圆的左顶点为 A．(1)求椭圆的⽅程； (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B，C 两点，试求△ ABC ⾯积的最⼤值； (3)过点 A 作两条斜率分别为k1，k2 的直线交椭圆于 D，E 两点，且 k1k2＝2，求证：直线 DE 恒过⼀个定点． 3．在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，已知椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率 e＝12，直线 l：x－ my－1＝0(m∈R)过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆 C 于 A，B 两点．第9页/共14页(1)求椭圆 C 的标准⽅程．(2)已知点 D52，0，连结 BD，过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1，设直线 l1 与直线 BD 交于点P，试探索当 m 变化时，是否存在⼀条定直线 l2，使得点 P 恒在直线 l2 上？若存在，请求出直线 l2 的⽅程；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1，A，B 是四条直线 x＝±2，y＝±1 所围成的两个顶点．(1)设 P 是椭圆 C 上任意⼀点，若 OP ＝m OA ＋n OB ，求证：动点 Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的⽅程；(2)若 M，N 是椭圆 C 上两个动点，且直线 OM，ON 的斜率之积等于直线 OA，OB 的斜率之积，试探求△ OMN 的⾯积是否为定值，说明理由．答案与解析1．【解】(1)由题意知 B2(0，1)，A1(－ 3，0)，所以 b＝1，a＝ 3，所以椭圆 C 的⽅程为x32＋y2＝1．易得圆⼼ M－ 33，0，A1M＝2 3 3，所以圆 M 的⽅程为x＋ 332＋y2＝43．(2)设直线 B1D 的⽅程为 y＝kx－1k<－ 33，与直线 A1B2 的⽅程 y＝ 33x＋1 联⽴，解得点 E23k－3 1，3k＋1 3k－1．y＝kx－1，联⽴x32＋y2＝1消去 y 并整理，得(1＋3k2)x2－6kx＝0，解得点 G3k62＋k 1，33kk22－＋11．①GEBB11＝||xxGE||＝3k3262k＋k－311＝3k32k－2＋13k＝1－3k＋13k2＋1＝1＋－(1 3k＋1)＋－(32k＋1)＋2≤1＋221＋2＝2＋1 2 ，当且仅当 k＝－6＋ 33时等号成⽴．所以GEBB11的最⼤值为2＋1 2．3k2－1 ②易得直线 B2G 的⽅程为 y＝3k2＋6k1－1x＋1＝－31kx＋1，与直线 A1B1 的⽅程 y＝－ 33x－13k2＋1联⽴，解得点 F－6k 3k－1，3k＋1 3k－1，第10页/共14页所以 E，F 两点的横坐标之和为23k－3 1＋－6k 3k－1＝－23．故 E，F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3．ac＝ 22， 2．【解】(1)由题意得 21a2＋41b2＝1，a2＝b2＋c2，a＝1，解得 b＝ 22，c＝2 2.所以椭圆的⽅程为 x2＋2y2＝1．(2)设 B(m，n)，C(－m，n)，则 S△ ABC＝12·2|m|·|n|＝|mn|．⼜ 1＝m2＋2n2≥2 2m2n2＝2 2|mn|，所以|mn|≤ 42，当且仅当|m|＝ 2|n|时取等号，从⽽ S△ ABC≤ 42．所以△ ABC ⾯积的最⼤值为 42． (3)因为 A(－1，0)，所以直线 AD：y＝k1(x＋1)，直线 AE：y＝k2(x＋1)．y＝k1(x＋1)，1－2k21联⽴ x2＋2y2＝1消去 y，得(1＋2k21)x2＋4k21x＋2k21－1＝0，解得 x＝－1 或 x＝1＋2k21，故点 D11－＋22kk2121，1＋2k21k12．同理，E11－＋22kk2222，1＋2k22k22．⼜ k1k2＝2，故 E8k12＋－k821，84＋k1k12．故直线DE的⽅程为y－1＋2k21k21＝8k214＋－k1k821－11＋－2k221kk2121· 8＋k21－1＋2k21x－11＋－22kk1122，即 y－1＋2k21k21＝23k1 k21＋2·x－11－＋22kk2121，即 y＝2(k321k＋1 2)x＋2(k521k＋1 2)．y＝0，所以 2yk21－(3x＋5)k1＋4y＝0．则令3x＋5＝0得直线 DE 恒过定点－53，0．3．【解】(1)在 x－my－1＝0 中，令 y＝0，则 x＝1，所以 F(1，0)．c＝1，由题设，得ac＝12，c＝1，解得从⽽ b2＝a2－c2＝3，a＝2，所以椭圆 C 的标准⽅程为x42＋y32＝1．(2)令 m＝0，则 A1，32，B1，－32或 A1，－32，B1，32．第11页/共14页当 A1，32，B1，－23时，P4，32；当 A1，－23，B1，32时，P4，－23．所以满⾜题意的定直线 l2 只能是 x＝4．下⾯证明点 P 恒在直线 x＝4 上．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由于 PA 垂直于 y 轴，所以点 P 的纵坐标为 y1，从⽽只要证明 P(4，y1)在直线 BD 上．x－my－1＝0，由x42＋y32＝1消去 x，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0．－6m－9因为 Δ＝144(1＋m2)>0，所以 y1＋y2＝4＋3m2，y1y2＝4＋3m2．①因为 kDB－kDP＝yx22－－052－y41－－250＝my2＋y21－52－y321＝32y2－ 32my1y2m－y232－ 32＝y1＋my2y－2－23m32 y1y2．将①式代⼊上式，得 kDB－kDP＝0，所以 kDB＝kDP．所以点 P(4，y1)在直线 BD 上，从⽽直线 l1、直线 BD 与直线 l2：x ＝4 三线恒过同⼀点 P，所以存在⼀条定直线 l2：x＝4，使得点 P 恒在直线 l2 上． 4．【解】(1)易求 A(2，1)，B(－2，1)．设P(x0，y0)，则x402＋y20＝1．由OP＝mOA＋nOBx0＝2(m－n)，，得y0＝m＋n，4(m－n)2 所以 4 ＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝12．故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝12上．(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则yx11yx22＝－14．平⽅得 x21x22＝16y21y22＝(4－x21)(4－x22)，即 x21＋x22＝4．因为直线 MN 的⽅程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，| | x1y2－x2y1所以 O 到直线 MN 的距离为 d＝，(x2－x1)2＋(y2－y1)2所以△ OMN 的⾯积S＝12MN·d＝12|x1y2－x2y1|＝12 x21y22＋x22y21－2x1x2y1y2＝121 2x21＋x22＝1．故△ OMN 的⾯积为定值 1．x211－x422＋x221－x421＋21x21x22＝第12页/共14页1．在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 22，且经过点1， 26，过椭圆的左顶点 A 作直线 l⊥x 轴，点 M 为直线 l 上的动点(点 M 与点 A 不重合)，点 B 为椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点 P． (1)求椭圆 C 的⽅程； (2)求证：AP⊥OM；(3)试问 OP ·OM 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．答案与解析1．【解】(1)因为椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 22，所以 a2＝2c2，⼜ c2＝a2－b2，所以 a2＝2b2．⼜椭圆 C 过点1， 26，所以21b2＋23b2＝1．所以 a2＝4，b2＝2．所以椭圆 C 的⽅程为x42＋y22＝1．(2)法⼀：设直线 BM 的斜率为 k，则直线 BM 的⽅程为 y＝k(x－2)．设 P(x1，y1)，将 y＝k(x－2)代⼊椭圆 C 的⽅程x42＋y22＝1 中并化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，解得4k2－2 x1＝2k2＋1，x2＝2，所以－4k y1＝k(x1－2)＝2k2＋1，从⽽P42kk22－＋21，－2k42＋k 1．令 x＝－2，得 y＝－4k，所以 M(－2，－4k)， OM ＝(－2，－4k)．⼜ AP ＝42kk22－＋21＋2，－2k42＋k 1＝2k82k＋2 1，－2k42＋k 1，所以 AP ·OM ＝－ 2k21＋6k12＋21k26＋k21＝0，所以 AP⊥OM．法⼆：设 P(x0，y0)．因为 A(－2，0)，B(2，0)，所以 kPA·kPB＝x0y＋0 2·x0y－0 2＝x20y－20 4．⼜因为 P 在椭圆上，所以x420＋y220＝1，所以 y20＝21－x420．所以 kPA·kPB＝12(x420－－x420)＝－12．因为 kPB＝kMB＝－tan∠MBA＝－MABA， kMO＝－tan∠MOA＝－MAOA，所以 kPB＝12kMO．因为 kPB＝－kPA21，所以 kMO·kPA＝－1，即 AP⊥MO．第13页/共14页(3)设 M(－2，t)，P(x0，y0)．由(2)得 AP⊥MO．所以 kAP＝x0y＋0 2，kOM＝－t 2．所以kAP·kOM＝－2(txy00＋2)＝－1．所以2(x0＋2) t＝ y0 ．所以 OP ·OM ＝(x0，y0)·－2，2(x0y＋0 2)＝－2x0＋y0·2x0y＋0 4＝4．所以 OP ·OM 为定值 4第14页/共14页。

类型一：标准方程的求解例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例5 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 例6 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PFRt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例7 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．类型二：直线与椭圆的位置关系(代数法-两根之和-积-判别式)一、公共点问题通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系，几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此例8 判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切（3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例9 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m 当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m 即1≥m 51≠≥∴m m 且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。

椭圆中的定点与定值问题江苏省苏州第十中学 朱嘉隽【教学目标】1. 在解决椭圆定值定点问题的过程中，体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式；2. 综合、灵活地使用对称、共线以及变量之间的关系，掌握等价转化、数形结合等思想方法.【基础训练】1. 已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点，直线MN 过x 轴上的一定点，该定点为___________．【解析】通过特殊位置判断，不妨设直线AM 的斜率为1，直线AN 的斜率为-1，联立椭圆与直线方程解之，即22211253248041645=+4x y x x x x y x ⎧+=⎪⇒++=⇒=-=-⎨⎪⎩或（舍去），由此时点M 、N 的对称性可知，直线MN 过x 轴上的定点12(,0)5T -． 【反思】填空题中涉及定点定值问题的，往往采用特殊位置带入求解，猜测得到答案，在解答题中也经常采用先猜后证的方法，但要注重严格的计算证明．2. 椭圆22:182x y C +=上一点(2,1)A ，若,M N 是椭圆上关于原点对称的两个点，当直线AM 、AN 的斜率都存在时，AM AN k k ⋅=_____________.【解析】设点求解，抓住点在椭圆上，构建关系，设00(,)M x y 、00(,)N x y --，则0012AM y k x -=-，0012ANy k x --=--，20002000111224AM AN y y y k k x x x ----∴⋅=⋅=----，又22002(1)8x y =-，14AM AN k k ∴⋅=-. 【反思】有关重要结论可识记，若,M N 是椭圆22221x y a b+=上关于原点对称的两个点，点A 是椭圆上一定点，则22AM AN b k k a⋅=-．3. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O为坐标原点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为__________.【解析】设(,0)A a -、(,0)B a ，再设椭圆上异于,A B 两点的任一点00(,)P x y ，则有222002(1)x y b a =-，由题意，22000222000AP BP y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-+--，2212b a ∴-=-，e ∴=【反思】利用第2小题的结论即可得到答案，这其实是对椭圆的另一种定义形式，即“一个动点到两个定点的连线斜率乘积为定值，且该定值在(1,0)-内”．4. 已知椭圆22:143x y C +=上有一点3(1,)2P ，点,M N 是椭圆C 上的两个动点，当直线PM 的斜率与直线PN 的斜率互为相反数时，直线MN 的斜率为__________.【解析】结合前几题的思考过程，本题亦可采用特殊位置猜测得到结论，不妨取点M 为点P 关于原点的对称点，即3(1,)2M --，则由直线PM 的斜率与直线PN 的斜率互为相反数可知，32PM k =，则32PN k =-，故(2,0)N ，恰为椭圆的右顶点，此时12MN k =.【反思】若要对本题严格论证，则需要联立直线方程和椭圆方程，分别求解,M N 的点坐标，但仍可从先猜后证的角度入手，适当简化【例题讲解】例1 已知椭圆22:184x y C +=，设M 是椭圆C 上异于长轴端点的任意一点，试问在x 轴上是否存在两个定点,A B ，使得直线,MA MB 的斜率之积为定值？【解析】寻找题目中的变量与不变量，分辨清晰，避免因为变量过多造成思路混乱，假设在x 轴上存在满足题意的两个定点,A B ，且设为1(,0)A x 、2(,0)B x ，再设椭圆上异于长轴端点的任一点00(,)M x y，则220004(1)(8x y x =-≠±，由题意，001020MA MB y y k k x x x x λ--⋅=⋅=--（定值）， 即2200102012()y x x x x x x x λ=--+，即2200120124()2x x x x x x x λλλ-=-++，整理得，20120121()()402x x x x x x λλλ+-++-=，因00(,)M x y 是椭圆上任一点，121112*********()040x x x x x x x x λλλλλ⎧⎧⎧=-=-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴-+=⇒==-⎨⎨⎨⎪⎪⎪-==-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩⎩或故在x轴上存在两个定点A、(B -，使得12MA MB k k ⋅=-.【反思】通过解后反思，可以发现此时的A、(B -就是椭圆的左右顶点，故对基础训练中的结论又从另一个角度加以了论证和解释，在本题中主要渗透待定系数的方法，要学会在定点定值问题中加以灵活运用.由本题的设问，可以引申到如果在直线y x =上找两个定点，是否也可以使得直线,MA MB 的斜率之积为定值？诸如此类的推广和探索，可作为学生的课后思考.例2 如图2，设点P 是椭圆22:14x E y +=上的任意一点，且异于左右顶点,A B ，直线,PA PB 分别交直线10:3l x =于点,M N ． （1）求证：PN BM ⊥；（2）若连结MB 并延长交椭圆E 与点Q ，试证：PQ 过x 轴上的一个定点.【解析】（1）（解法一）设点00(,)P x y ，则有220001(2)4x y x =-≠±，002PA y k x =+，直线000:(2)2y PA y y x x -=++，001610(,)33(2)y M x ∴+， 故00164(,)33(2)y BM x =+，00(2,)PB x y =--，200016840333(2)y BM PB x x ∴⋅=--=+.或利用斜率关系，求得0042BMy k x =+，002PB y k x -=-，则2020414BM PB y k k x ⋅==--. 或利用P 点求出直线000:(2)2y PB y y x x -=--，00410(,)33(2)y N x ∴-， 则000016444(,)(,)033(2)33(2)y y BM BN x x ⋅=⋅=+-.（解法二）设10(,)3M m 、10(,)3N n ，利用A P M 、、三点共线，得PA MA k k =，即0023y m x =+，同理B P N 、、三点共线，得PB NB k k =，即0023y m x =-， 由此亦可证0BM BN ⋅=或者1BM BN k k ⋅=-. 综上，PN BM ⊥得证.【反思】利用在基础训练中发现的结论“若,A B 是椭圆22221x y a b+=上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上一定点，则有22P A P B b k k a⋅=-”，在本题中,A B 恰好为椭圆的左右顶点，不难发现14PA PB k k ⋅=-，故在本题中，无论点P 如何运动（异于左右顶点），若设PA k k =，则必有14PB k k=-，由题意易得PA ML k AL =（令直线l 与x 轴的交点为L ，直线的斜率为直线倾斜角的正切），BM MLk BL=，而4PN PB ALk k ML==-，又由163AL =，43BL =，故1PN BM k k ⋅=-为一个定值.这为我们从解析几何问题的几何背景对定点定值加深理解提供了另一种渠道.从（1）的证明中，我们还可以得到：点,M N 的纵坐标之积是一个定值，即169M N y y =-.由此，可对本题做一个拓展：试证以MN 为直径的圆必过x 轴上的两个定点.从解析几何代数解决方法的角度略证，从其几何背景分析，由于16||9M N y y =为定值，则由射影定理可知，以MN 为直径的圆必过(2,0)B 和14(,0)3D . 由此，设想若直线l 改为其他直线，则上述结论是否依然成立？很显然，（1）中的结论不成立，但是点,M N 的纵坐标之积M N y y 仍为一个定值，故以MN 为直径的圆仍然必过x 轴上的两个定点，我们还可以设法求出这样的圆的最小半径，可利用基本不等式加以求解，此处略解.若直线l为椭圆的右准线，则:l x =，可得13M N y y =-，此时0BM BN ⋅<，故MBN∠是钝角，可见原题中的直线是较为特殊的一条直线.（2）设直线PB 的斜率为k ，则直线:(2)PB y k x =-，则联立椭圆方程得2222244(4)4(2)0(2)x y x k x y k x ⎧+=⇒-+-=⎨=-⎩，2282214B P k x x k -=∴=+，故222824(,)1414k k P k k --++， 由（1）所证，PN BM ⊥，以1k -代k 得222824(,)44k kQ k k -++， 特别地，令P Q x x =，即1k =±，此时65P Q x x ==， 此时，直线PQ 与x 轴上的交点为6(,0)5T ，以下证明6(,0)5T 即为所求定点：222245146826445145P PT P ky k k k k x k --+===----+，同理2544QT k k =-， PT QT k k ∴=，则直线PQ 过x 轴上的定点6(,0)5T .【反思】探索一种新的方法，考虑到椭圆的中心在原点，可以采用移轴的方法，以2x -为整体，将椭圆方程改造为22[(2)2]44x y -++=，即22(2)4(2)40x x y -+-+=，设直线:(2)1PQ m x ny -+=（对直线方程的改造是由凑2x -想到的，从直线PQ 本身出发，求出直线PQ 上的定点即可），代入椭圆方程中，构造二次齐次式，22(2)4(2)[(2)]40x x m x ny y -+--++=，即22(14)(2)4(2)40m x n x y y +-+-+=， 令2yk x =-，则244(14)0k nk m +++=（改造成关于k 的方程）， 注意到方程中k 的几何意义就是椭圆上的点到(2,0)B 的连线斜率，当代入点P 坐标时，即为1PB k k =，当代入点Q 坐标时，即为2QB k k =，由（1）可得121k k =-，故1414m +=-，54m ∴=-， 回代直线PQ 方程得：5(2)14x ny --+=，则直线PQ 必过定点6(,0)5T . 从本法中得到启发，当P 在椭圆上运动时，直线l 也在变化时，可利用本法探究椭圆中的某些定点定值问题，如当1214k k =-时，则有12m =-，此时直线PQ 为1(2)12x ny --+=，则必过原点，也就是前述的关于椭圆的结论；又如当120k k +=，则有0n =，此时直线PQ 为12x m=+，为一束平行直线.【课外练习】1. 已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点在直线20x y -=上，则该椭圆的离心率为________.2. 椭圆22142x y +=的左右顶点为,A B ，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于,A B 的一个定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为__________. 【答案】(0,0)Q3. 在平面直角坐标系xoy 中，如图3，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m >0,0,021<>y y ．（1）设动点P 满足 422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）． 【答案】（1）设点(,)P x y ，则(2,0)F 、(3,0)B 、(3,0)A -，由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+=化简得92x =，故所求点P 的轨迹为直线92x =． （2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得5(2,)3M 、120(,)39N -，直线MA ：0352303y x -+=+-，即113y x =+， 直线NB ：032010393y x --=---，即5562y x =-， 联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点10(7,)3T ． （3）点(9,)T m ，直线MA ：03093y x m -+=-+，即(3)12my x =+， 直线NB ：03093y x m --=--，即(3)6my x =-，图3分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m mN m m --++， （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =，此时必过点(1,0)D ，当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为(1,0)D ， 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)D ．（方法二）若12x x =，则由222224033608020m m m m --=++及0m >，得m =此时直线MN 的方程为1x =，过点(1,0)D ，若12x x ≠，则m ≠2222401080240340180MDm m m k m m m +==---+，222220102036040120NDmm m k m m m -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过(1,0)D ，即直线MN N 必过x 轴上的点(1,0)D ．【方法提炼】1. 椭圆定点定值问题的两类基本形式：①椭圆中满足一定条件的两点连结所得的直线经过定点，②椭圆中与满足一定条件的两点有关的几何量为定值，两者往往可以互相转化；2. 在椭圆综合问题中，某些几何量与参数无关，构成了定点定值问题的基础，解决此类问题的方法一般是：①计算推理求其结果，②考查极端或特殊位置，探索出定点定值后予以证明．。

椭圆中的定点定值问题1．已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点为F（1，0），且（1-，22）在椭圆C上。

（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QA QB⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22222(11)()22a=--++，即2a= --3分∴2211b=-=，∴椭圆C 方程为2212xy+=．（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得716QA QB⋅=-恒成立。

当直线l的斜率不存在时，A （1，22），B（1，22-），由于（521,42-）·（521,42--）=716-，所以54m=，下面证明54m=时，716QA QB⋅=-恒成立。

当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2-，0）则（524-，0）•（524--，0）=716-，符合题意。

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A()11,x y，B()22,x y，由x=ty+1及2212xy+=得22(2)210t y ty++-=有0∆>∴12122221,22ty y y yt t+=-=-++；111x ty=+，221x ty=+∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y-⋅-=--+=2(1)t+121211()416y y t y y-++=22222211212217(1)242162(2)1616t t tt tt t t--+-++⋅+=+=-+++，综上所述：在x轴上存在点Q（54，0）使得716QA QB⋅=-恒成立。

2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆1T，2T都过点(0,2)M-，且椭圆1T与2T的离心率均为22．（Ⅰ）求椭圆1T与椭圆2T的标准方程；（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交1T，2T于点P，Q，当4k k'=时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（Ⅰ）22221,1422x y yx+=+=；（Ⅱ）直线MP的方程为2y kx=-，联立椭圆方程得：221422x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y得22(21)420k x kx+-=，则42Pkx=，则点P的坐标为242222:(,)k kP-，同理可得点Q的坐标为：222222:(,)k kQ''-，又4k k'=，则点Q为：22242822(,)8181k kk k-++，22222282222218121242428121PQk kk kkkk kk k---++==--++，则直线PQ的方程为：2222142()2k ky xk--=--，即222222142()21221k ky xk k k--=--++,化简得122y xk=-+，即当0x=时，2y=，故直线PQ过定点(0,2)．3．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（2）设直线AE方程为：，代入得，设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，yxOPQ在上式中以﹣K 代K，可得，所以直线EF 的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为．4．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l ，交椭圆E 于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM 于点N ，证明：点N在一条定直线上．解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y 2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），•=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x 1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是[﹣6，]；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M （x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x 0+2）=，直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．5．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．解：（1）①∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴椭圆C的方程．证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD 的斜率为k，则PD ：y=kx ﹣1，由，得P （，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．解：（2）椭圆C 的中心到右准线的距离d=，由=1，得，∴==，令t=a 2﹣5，t ＞0，则=t++9≥2+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，∴椭圆C 的中心到右准线的距离的最小值为．6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点到直线2:a l x c =的距离为45，离心率5e =，,A B 是椭圆上的两动点，动点P 满足OP OA OB λ=+，（其中λ为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求AB OP k k +的最小值；（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ⋅=⋅，问是否存在常数λ和平面内两定点,M N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在，求出λ的值和定点,M N ；若不存在，请说明理由．解：（1）由题设可知：右焦点到直线2:a l x c=的距离为： 2a c c -=455， 又53c a =，222b a c =-，∴24b =．∴椭圆标准方程为22194x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y 则由OP OA OB =+得()1212,P x x y y ++．∴221212122212121249AB OPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-． 由()0,AB k ∈+∞得，423AB OP AB OP k k k k +≥⋅=，当且仅当23AB k =±时取等号 （3）221212122212121249AB OGy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-．∴4·9OA OB k k =-．∴12124+90x x y y =． 设(),P x y ，则由OP OA OB λ=+，得)11221212,,,,x y x y x y x x y y λλλ=+=++， 即1212,x x x y y y λλ=+=+．因为点A 、B 在椭圆224+9=36x y 上，所以()2221212493636249x y x x y y λλ+=+++．所以222493636x y λ+=+．即222219944x y λλ+=++，所以P点是椭圆222219944x yλλ+=++上的点， 设该椭圆的左、右焦点为,M N ，则由椭圆的定义18PM PN +=得182299λ=+， ∴22λ=±，()35,0M ，()35,0N -．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F 2（1，0），点3(1,)2H 在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点00(,)M x y 在圆222x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由． 解：（1） 右焦点为2(1,0)F ，∴1=c ，左焦点为)0,1(1-F ，点3(1,)2H 在椭圆上 222212332(11)(11)422a HF HF ⎛⎫⎛⎫=+=+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=∴a ，322=-=c a b所以椭圆方程为13422=+y x（2）设()),(,,2211y x Q y x P ，()213412121≤=+x y x()()212121212122)4(41)41(311-=-+-=+-=x x x y x PF112212)4(21x x PF -=-=∴，连接OM ，OP ，由相切条件知1212121212122221413)41(33||||x PM x x x y x OM OP PM =∴=--+=-+=-=221212112=+-=+∴x x PM PF ，同理可求221212222=+-=+∴x x QM QF所以22224F P F Q PQ ++=+=为定值．8．分别过椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点M ，N ，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M 、N 点坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0， 即k 3=﹣k 4，∴l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E 的方程为．（2）焦点F 1、F 2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0）， 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以，即，①又点R在椭圆C上，所以，②联立①②，解得所以所求圆R的方程为．（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以，化简得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以，即，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36．（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．10．已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax，左焦点)0,3(-F，且离心率23=e．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：mkxy+=（0≠k）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a ce c ，解得2=a ，1=b 所以椭圆的方程为1422=+y x ． （2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得0448)41(222=-+++m kmx x k ，0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km ， 整理得01422>+-m k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则221418k kmx x +=+，22214144k m x x +-= 由已知，AN AM ⊥，即0=⋅AN AM ，又椭圆的右顶点为)0,2(A ，所以0)2)(2(2121=+--y y x x ，∵2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，∴04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k ，即04418)2(4144)1(22222=+++⋅-++-⋅+m kkmkm k m k ． 整理得01216522=++k mk m ， 解得k m 2-=或56km -=均满足01422>+-m k ． 当k m 2-=时，直线l 的方程为k kx y 2-=，过定点)0,2(，与题意矛盾，舍去；当56k m -=时，直线l 的方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56(，故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(．11．已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆C ，使得l 与圆C 相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，满足12k k ⋅为定值，若存在，求出定圆的方程并求出12k k ⋅的值，若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，又因为点A 在椭圆C 上，所以221314a b+=， 解得a=2，b=1，c =C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．由方程组222y kx mx y r=+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221kmx x k -+=+，221221m r x x k -=+，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m rk --⋅+⋅+-++==--+，将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意． 所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，经过点)22,1(，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为21-的直线分别交椭圆于N M ,两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．解：（1）根据题意12121211222222222=+⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+=y x b a cb a b ac b ．当MN 的斜率存在时，设0224)21(22:22222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y MN ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>+-=∆22212212221222140)12(8k m x x k km x x m k ，∴21222222112211-=-+⋅-+=-⋅-=⋅x m kx x m kx x y x y k k NA MA ， ∴k m m km m m x x km x x k 200202))(22()12(2221212-==⇒=+⇒=++-++或（舍）． ∴直线MN kx y =过定点(0,0)，当MN 斜率不存在时也符合，即直线MN 恒过定点(0,0)． 14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为6，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2260x y -+=相切． （1）求椭圆C 标准方程；（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．解：（1）由36=e 得36=a c ，即a c 36=① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222a y x =+且与直线0622=+-y x 相切，所以6)2(2622=-+=a 代入①得c=2， 所以2222=-=c a b ．所以椭圆C 的标准方程为12622=+y x （2）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k设()()1122,,,A x y B x y ，所以2221222131612,3112kk x x k k x x +-=+=+ 根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得2()EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值． 则()()()11221212,,()EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+=()()()()()()22222221221231610123421k m k m mm k x x m k x x k +-++-=++++-+要使上式为定值，即与k 无关，()631012322-=+-m m m ，得37=m ．此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-，所以在x 轴上存在定点E （37，0）使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为95-． 15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆221:12x C y +=和椭圆222:4x C y λ+=（1,λλ>为常数）．（1）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，求OCD ∆面积的最小值； （2）如图（2），过椭圆2C 上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为,M N ，当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）设22(,)B x y ，则椭圆1C 在点B 处的切线方程为2212x x y y += 令210,D x y y ==，令220,C y x x ==，所以221OCD S x y ∆=又点B 在椭圆的第一象限上，所以2222220,0,12x x y y >>+=∴222222222212222x x y y x y =+≥= ∴221222OCD S x y ∆=≥=，当且仅当22222x y =2221x y ⇔== 所以当2(1,)2B 时，三角形OCD 的面积的最小值为22． （2）设(,)P m n ，则椭圆1C 在点33(,)M x y 处的切线为：3312xx y y +=又PM 过点(,)P m n ，所以3312x m y n +=，同理点44(,)N x y 也满足4412xm y n +=所以,M N 都在12x m yn +=上，即直线MN 的方程为12xm yn +=，又(,)P m n 在2C 上，224m n λ+=，故原点O 到直线MN 的距离为：224d m n λ==+， 所以直线MN 始终与圆221x y λ+=相切．16．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率22e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由。

专题26--椭圆中定值和最值问题一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y －y 0＝k (x －x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线的方程；(2)(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＝0表示的是过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆的方程．3．与椭圆有关的参数的定值问题 二、椭圆中的最值问题 1．参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k ，a ，b ，c ，(x ，y )的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．2．长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k 或(x ，y ))的函数，运用函数或基本不等式求最值． 要点热点探究► 探究点一 与椭圆有关的定值问题在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题．例1 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．【解答】 (1)当直线AM 的斜率为1时， 直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为此方程有一根为－2，所以x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2. 所以k MP ＝k PN ，M 、P 、N 三点共线， 所以直线MN 过x 轴上的一个定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 例2 椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为：x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝12k 5(k 2＋4)，y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，又A (－2,0)， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝－64(k 2＋1)25(k 2＋4)＋4k 5·12k 5(k 2＋4)＋1625＝0， 即可得∠MAN ＝π2.► 探究点二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于k 的函数；二是关于点(x ，y )的函数．例3 如图26－1，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A ，C ，T 三点共线；(2)如果BF →＝3FC →，四边形APCB 面积的最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和点P 的坐标．【解答】 (1)证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，①AT ：x a 2c＋y b ＝1，② BF ：x c ＋y－b ＝1，③解得AT 与BF 的交点⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得： ⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1， 满足①式，则AT 与BF 的交点在椭圆上，即为点C ，则A ，C ，T 三点共线． (2)过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，则△OBF ∽△ECF .∵BF →＝3FC →，∴CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得： ⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b2＝1，∴a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 设P (x 0，y 0)，则x 20＋2y 20＝2c 2，此时C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c ·4c 3＝43c 2， 直线AC 的方程为：x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c＝x 0＋2y 0－2c 3·c .所以只需求x 0＋2y 0的最大值即可．法一：∵(x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2， ∴x 0＋2y 0≤6c ，当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c . 法二：令x 0＋2y 0＝t ，代入x 20＋2y 20＝2c 2得：(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0. Δ＝(－4t )2－24(t 2－2c 2)≥0， 得－6c ≤t ≤6c ，当t ＝6c 时，代入原方程解得x 0＝y 0＝63c .由法一、法二知四边形APCB 的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23， ∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1.此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫63，63.【点评】 本题所建立的函数与点P 坐标(x 0，y 0)有关．在计算最值时，方法一用的是基本不等式；方法二用的是代入消元和方程有解来计算最值．本题还可以用三角换元的方法或者构造z ＝x 0＋2y 0的几何意义用线性规划的思想来解决问题． ► 探究点三 椭圆和圆的综合问题椭圆和圆的综合问题中，题目中存在多种曲线混合的现象，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值的问题．例4 如图26－2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其右准线l与x 轴的交点为T ，过椭圆的上顶点A 作椭圆的右准线l 的垂线，垂足为D ，四边形AF 1F 2D 为平行四边形．(1)求椭圆的离心率；(2)设线段F 2D 与椭圆交于点M ，是否存在实数λ，使TA →＝λTM →？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；(3)若B 是直线l【解答】 (1)依题意：AD ＝F 1F 2，即a 2c ＝2c ，所以离心率e ＝22.(2)由(1)知：a ＝2c ，b ＝c ，故A (0，c )，D (2c ，c )，F 2(c,0)，T (2c,0)，TA →＝(－2c ，c )，所以椭圆方程是x 22c 2＋y 2c2＝1，即x 2＋2y 2＝2c 2，直线F 2D 的方程是x －y －c ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2y 2＝2c 2，x －y －c ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－c (舍去)或⎩⎨⎧x ＝43c ，y ＝13c ，即M ⎝⎛⎭⎫43c ，13c ，TM →＝⎝⎛⎭⎫－23c ，13c ，所以TA →＝3TM →， 即存在λ＝3使TA →＝3TM →成立．(3)解法一：由题可知圆心N 在直线y ＝x 上，设圆心N 的坐标为(n ，n )， 因圆过准线上一点B ，则圆与准线有公共点， 设圆心N 到准线的距离为d ，则NF 2≥d ，即(n －c )2＋n 2≥|n －2c |，解得n ≤－3c 或n ≥c ，又r 2＝(n －c )2＋n 2＝2⎝⎛⎭⎫n －c 22＋c22∈[c 2，＋∞)， 由题可知，(πr 2)min ＝c 2π＝4π，则c 2＝4， 故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.解法三：设B (2c ，t )，△AF 2B 外接圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 又A (0，c )，F 2(c,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＋cD ＋F ＝0，c 2＋cE ＋F ＝0，4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，D ＝E ＝－c －F c ，r 2＝14(D 2＋E 2－4F )＝12c 2＋F 22c2.由4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，得4c 2＋t 2＋(2c ＋t )⎝⎛⎭⎫－c －Fc ＋F ＝0， 4c 2＋t 2－2c 2－ct －2F －tFc ＋F ＝0,2c 2－ct ＋t 2－(t ＋c )F c＝0，F ＝c ⎣⎡⎦⎤(t ＋c )＋4c 2t ＋c －3c ，所以F ≥c 2或F ≤－7c 2，所以r 2＝12⎝⎛⎭⎫c 2＋F 2c 2≥c 2，所以(πr 2)min ＝c 2π＝4π，所以c 2＝4.所求椭圆方程是x 28＋y 24＝1.【点评】 本题的第三小问从多种角度建立了半径与圆心的坐标之间的关系，无论哪一种方法，本题关键是求出r 2的取值范围，方法一用的是几何法；方法二和方法三用的是代数法．例 [2011·江苏卷] 如图26－3，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意k >0，求证：PA ⊥PB.【解答】 (1)由题设知a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，得线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点， 又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)k ＝2时，直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43. 于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此，d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k2，记μ＝21＋2k 2.则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )，于是C (μ，0)，故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率k PB ＝μk 32＋k 2－μkμ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k PB k ＝－1，所以PA ⊥PB .。

专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、 三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求 直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的 取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、 解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、 解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、 解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． 又因为2111b ==+,所以22a =,21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ； 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、 解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =； 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明： 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，． 所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。

微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题1.已知椭圆x 24＋y22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________．2．椭圆x 216＋y27＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在椭圆上且直线AB 过F 2，若△F 1AB 的面积为2，则|y 1－y 2|的值为________．3．已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，动直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 相切，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l.则四边形F 1MNF 2的面积为________．4．已知椭圆G 的方程为x 212＋y24＝1.斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，则△PAB 的面积是________．5．已知椭圆C ：x 212＋y24＝1，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另外一点A(点A 在x 轴下方)，若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的动点，且直线AP ，BP 分别交直线y ＝x 于点M ，N ，则OM·ON＝________．6．焦点在x轴的椭圆C过点P(2，2)，且与直线l：y＝x＋3交于A，B两点，若△PAB 的面积为2，则椭圆C的标准方程为________．7.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b＞0)过点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，圆O ：x 2＋y 2＝b 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与圆O 相切，切点在第一象限内，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△OAB 的面积为64时，求直线l 的方程．8．已知椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过原点的两条直线l 1和l 2分别与Γ交于点A ，B 和C ，D ，得到平行四边形ACBD.(1)当四边形ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S.(2)若直线l 1和l 2关于y 轴对称，Γ上随意一点P 到l 1和l 2的距离分别为d 1和d 2，当d 12＋d 22为定值时，求此时直线l 1和l 2的斜率及该定值．(3)当四边形ACBD 为菱形，且圆x 2＋y2＝1内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满意的关系式．微专题251．答案： 2.解析：由题意，PF 1＋PF 2＝4，所以△PF 1F 2的三边长分别为3，1，22，明显△PF 1F 2是直角三角形，所以S ＝12×1×22＝ 2.2．答案：23.解析：△F 1AB 的面积S ＝12·F 1F 2·|y 1－y 2|＝3|y 1－y 2|＝2，所以|y 1－y 2|＝23.3．答案：7.解析：将直线l 的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中，得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＝0，化简得m 2＝7.设d 1＝F 1M ＝|－1＋m |2，d 2＝F 2N ＝|1＋m |2，又|d 1－d 2|＝MN ，所以S ＝12|d 1－d 2|(d 1＋d 2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪d 12－d 222＝|m |＝7.4．答案：92.解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4； 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2.所以AB ＝32，此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12AB ·d ＝92.5．答案：6. 解析：设P (x 0，y 0)，则x 0212＋y 024＝1，即y 02＝4－x 023.设M (x M ，y M )，由A ，P ，M 三点共线，即AP →∥AM →，所以(x 0＋3)(y M ＋1)＝(y 0＋1)(x M ＋3)，又点M 在直线y ＝x 上，解得M 点的横坐标x M ＝3y 0－x 0x 0－y 0＋2，设N (x N ，y N )，由B ，P ，N 三点共线，即BP →∥BN →，所以x 0(y N ＋2)＝(y 0＋2)x N ，点N 在直线y ＝x 上，解得N 点的横坐标x N ＝－2x 0x 0－y 0－2.所以OM ·ON ＝2|x M －0|·2|x N －0|＝ 2|x M |·|x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y 0－x 0x 0－y 0＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2x 0x 0－y 0－2＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02－6x 0y 0（x 0－y 0）2－4＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02－6x 0y 0x 02－2x 0y 0－x 023＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－3x 0y 0x 023－x 0y 0＝6. 6．答案：x 26＋y 23＝1.解析：由题意，设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，其中0＜m ＜n .则有m ＋n ＝12.另一方面，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋3，mx 2＋ny 2＝1，消去x 得12y 2－23my ＋3m －1＝0.因为OP ∥AB ，所以△PAB 的面积即为△OAB 的面积，所以S ＝12×3·|y 1－y 2|＝66m 2－3m ＋1＝2，所以6m 2－3m ＋13＝0，解得m ＝13或者m ＝16.因为0＜m ＜n ，所以m＝16，n ＝13.椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1. 7．答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)y ＝－22x ＋62.解析：(1)因为椭圆C 过点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，代入椭圆方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧02a 2＋12b 2＝1.12a 2＋12b 2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的标准方程是x 22＋y 2＝1.(2)因为切点在第一象限，所以可设直线l 为y ＝kx ＋m (k ＜0，m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2·21＋2k2，因为直线l 与圆O 相切，圆心O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝1，所以m 2＝1＋k 2.线段AB 的长为l AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4km 1＋2k 22－4·2m 2－21＋2k 2＝ 22·1＋k 21＋2k 2·k 2，所以△OAB 的面积S ＝12l AB ·d ＝12×22×1＋k 21＋2k 2·k 2＝64，即（1＋k 2）·k 2（1＋2k 2）2＝316，所以16(1＋k 2)·k 2＝3(1＋2k 2)2，即(2k 2＋3)(2k 2－1)＝0，所以k 2＝12，k ＝－22，所以m ＝62，直线l 的方程为y ＝－22x ＋62. 8．答案：(1)4a 2b 2a 2＋b 2；(2)直线l 1和l 2的斜率分别为b a 和－b a ，此时d 12＋d 22＝2a 2b 2a 2＋b 2；(3)1a 2＋1b2＝1.解析：(1)因为四边形ACBD 为正方形，所以直线l 1，l 2的方程为y ＝x 和y ＝－x .点A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2a 2＋y 2b2＝1的实数解，解得x 12＝x 22＝a 2b 2a 2＋b 2.依据对称性，可得正方形ACBD 的面积S ＝4x 12＝4a 2b2a 2＋b 2.(2)由题意，不妨设直线l 1的方程为y ＝kx (k ≠0)，于是直线l 2的方程为y ＝－kx .设P (x 0，y 0)，于是有x 02a 2＋y 02b 2＝1，又d 1＝|kx 0－y 0|k 2＋1，d 2＝|kx 0＋y 0|k 2＋1，d 12＋d 22＝（kx 0－y 0）2k 2＋1＋（kx 0＋y 0）2k 2＋1＝2k 2x 02＋2y 02k 2＋1，将y 02＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 02a 2代入上式，得d 12＋d 22＝2k 2x 02＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 02a 2k 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－b 2a 2x 02＋2b2k 2＋1，对于随意x 0∈[－a ，a ]，上式为定值，必有k 2－b 2a 2＝0，即k ＝±ba，因此，直线l 1和l 2的斜率分别为b a 和－b a ，此时d 12＋d 22＝2a 2b 2a 2＋b2.(3)设AC 与圆x 2＋y 2＝1相切的切点坐标为(x 0，y 0)，所以x 02＋y 02＝1，则切线AC 的方程为x 0x ＋y 0y ＝1.点A ，C 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y ＝1，x 2a 2＋y 2b2＝1的实数解．①当x 0＝0或y 0＝0时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1，1)，于是有1a 2＋1b2＝1.②当x 0≠0且y 0≠0时，将y ＝1y 0(1－x 0x )代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(b 2y 02＋a 2x 02)x 2－2x 0a 2x＋a 2(1－b 2y 02)＝0，于是x 1x 2＝a 2（1－b 2y 02）b 2y 02＋a 2x 02，同理可得y 1y 2＝b 2（1－a 2x 02）b 2y 02＋a 2x 02.因为ACBD 为菱形，所以AO ⊥CO ，得AO →·CO →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以a 2（1－b 2y 02）b 2y 02＋a 2x 02＋b 2（1－a 2x 02）b 2y 02＋a 2x 02＝0，整理得a 2＋b 2＝a 2b 2(x 02＋y 02)．因为x 02＋y 02＝1，得a 2＋b 2＝a 2b 2，即1a 2＋1b2＝1.综上，a ，b 满意的关系式为1a 2＋1b2＝1.。

椭圆中的定点问题40一．解答题（共33小题）1．已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．2．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．3．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．4．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．5．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．6．如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．7．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点A（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程和椭圆的离心率；（Ⅱ）过点（4，0）作直线l交椭圆C于P，Q两点，点S与P关于x轴对称，求证：直线SQ恒过定点并求出定点坐标．8．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．9．以椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由．10．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．11．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设点A是椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上异于点A的两动点，若直线AP，AQ 的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP ⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．13．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．14．已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．16．己知椭圆方程C：+=1（a＞b＞0），经过点（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．17．设椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（﹣1，﹣）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x﹣my﹣t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N （M、N与A均不重合），若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．18．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，设动直线l：y=kx+m与椭圆E相切于点P且交直线x=2于点N，△PF1F2的周长为2（+1）．（1）求椭圆E的方程；（2）求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；（3）求证：以PN为直径的圆恒过点F2．19．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，点P（，1）在椭圆Γ上．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过Γ的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求此定点．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．21．设椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3，且过点（﹣1，﹣）．（1）求E的方程；（2）设椭圆E的左顶点是A，直线l：x﹣my﹣t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N（M，N均与A不重合），且以MN为直径的圆过点A，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．22．已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），过P点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点T与点M关于x轴对称．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）证明：直线TN恒过某定点．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠PAQ=90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．24．已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．25．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P （a，b）与F 1，F2围成等腰三角形，且=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线QA、QB分别交直线l：x=m（m＜﹣2）于M，N两点．（i）当=λ时，求Q点坐标；（ii）是否存在实数m，使得以MN为直径的圆经过点F1？若存在，求出实数m的值，若不存在．请说明理由．26．设椭圆E：=1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率e=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E标准方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆E上的两点，，且，设M（x0，y0），且（θ∈R），求x02+3y02的值；（Ⅲ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F1，F2的动直线ℓ1，ℓ2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．27．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆上，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若点B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE过定点．28．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0）．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．29．已知椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且恒成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．30．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y﹣=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）．（1）求C的方程；（2）在C上是否存在点P，使S △PAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1的右焦点为F（c，0）（a＞b＞c＞0），短轴的一个端点为P，已知△POF的面积为，且O到直线PF的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点，若直线OA，OB与直线x=4分别交于M，N两点，线段MN的中点为R，线段AB的中点为Q，证明：直线RQ过定点．32．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（2，1），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点P作椭圆两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆交于点A，B，问：直线AB是否经过定点T？若经过，求出点T的坐标；若不经过，请说明理由．33．已知椭圆C：x2+3y2=6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．椭圆中的定点问题40参考答案与试题解析一．解答题（共33小题）1．（2009•全国卷Ⅱ）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当2．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0，可得y=﹣．进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0），S2=|PM|•|x0﹣|，化简整理，再1+2x02=t （t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．【解答】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，则=，令1+2x02=t（t≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．3．（2015•福建模拟）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值．【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则由；由得，即．所以c=1又因为．因此所求椭圆的方程为：．（2）动直线l的方程为：，由得．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则．====由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1．因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）4．（2016•河北区二模）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG和OT 的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则判别式△=36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2=，y1y2=，则y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），k OG==﹣，设直线FT的方程为：y=﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT=﹣，∴k OG=k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|=3，|PQ|=，，当m≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t＞1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．5．（2015•宣城三模）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．【分析】（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；（2）根据条件将直线方程x=ty+λ代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可．【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为①焦点F（c，0），因为②，将点B（c，）代入方程①得③由②③结合a2=b2+c2得：．故所求椭圆方程为．（2）由得（2+t2）y2+2tλy+λ2﹣2=0．∵l为切线，∴△=（2tλ）2﹣4（t2+2）（λ2﹣2）=0，即t2﹣λ2+2=0①设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，∵MN为圆的直径，∴②因为，所以，代入②及①得=，要使上式为零，当且仅当，解得x0=±1，所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（﹣1，0）与（1，0），即两个焦点．6．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵点M，N在椭圆上，所以，故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=﹣∴x1x2+2y1y2=0∴x2+2y2=20所以P在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）7．（2015•河南模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点A（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程和椭圆的离心率；（Ⅱ）过点（4，0）作直线l交椭圆C于P，Q两点，点S与P关于x轴对称，求证：直线SQ恒过定点并求出定点坐标．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得方程组，解可得a、b的值，进一步可得c的值，将其代入椭圆方程可得其标准方程以及离心率；（Ⅱ）分析可得直线l的斜率存在，故可以设l的方程为y=k（x﹣4），表示出点S与P的坐标；联立直线与椭圆的方程，可得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣8=0，求出k的范围，进而结合方程用k表示出x s+x p，x s•x p，不妨设x s＞x p，则可以表示x s﹣x p、y s+y p、y s﹣y p，记SQ 的中点为M，表示出M的坐标，进而可以表示直线SQ的方程，对其变形可得SQ所过得定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点A（，），则有，解可得，则c==2，则e==，故所求椭圆的方程为+=1，其离心率为；（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，故可以设l的方程为y=k（x﹣4），∵点S与P关于x轴对称，∴x s=x p，y s=﹣y p，联立方程，则可得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣8=0，△=（﹣16k2）2﹣4（2k2+1）（32k2﹣8）＞0，解可得﹣＜k＜，则x s+x Q=，x s•x Q=，不妨设x s＞x Q，则x s﹣x Q=，y s+y Q=k（x s+x Q﹣8）=﹣，y s﹣y Q=k（x s﹣x Q）=k•，k SQ==，记SQ的中点为M，则M（，），即则M（，﹣），SQ的方程为y=x﹣=（x﹣2），即点（2，0）在直线SQ上，同理若x s＜x p，点（2，0）在直线SQ上，综合可得：直线SQ恒过定点（2，0）．8．（2016春•高安市校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）【解答】所以k的取值范围是：（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣，y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=设存在点E（0，m），则，所以==要使得=t（t为常数），只要=t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0即由（1）得t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点，使恒为定值．9．（2016•南昌校级二模）以椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得，从而解得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）易知，设M（0，m），N（0，n），P（x0，y0），从而可得，且Q（﹣x0，﹣y0），，=（﹣，m），从而化简可得，．假设存在满足题意的x轴上的定点R（t，0）化简可得t2=﹣，再结合3=3﹣解得．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得解得故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ），设M（0，m），N（0，n），P（x0，y0），则由题意，可得，且Q（﹣x0，﹣y0），，=（﹣，m），因为A，P，M三点共线，所以，故有，解得．同理，可得．假设存在满足题意的x轴上的定点R（t，0），则有，即．因为，，所以t2+mn=0，即，整理得，t2=﹣，又∵3=3﹣，∴t2=1，解得t=1或t=﹣1．故以MN为直径的圆恒过x轴上的定点（﹣1，0），（1，0）．10．（2016•广州一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2，+=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．可得在x轴上存在点P（±2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．11．（2016•德州一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设点A是椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上异于点A的两动点，若直线AP，AQ 的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆方程；（Ⅱ）在（I）的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，再由直线恒过定点的求法，即可得到所求定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e==，又b2=a2﹣c2，又点（1，）在椭圆上，可得+=1，解得a=2，b=，c=1即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）在（I）的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．又A（﹣2，0），由题知，则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）==．则m2﹣km﹣2k2=0．∴（m﹣2k）（m+k）=0，∴m=2k或m=﹣k．当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k=k（x+2），此时直线PQ过点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k时，直线PQ的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线PQ过点（1，0）．当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过点（1，0），P、Q点的坐标分别是，，满足，综上，直线PQ恒过点（1，0）．12．（2016•南昌校级二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP ⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．13．（2016•海淀区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．14．（2016•单县校级模拟）已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率公式和向量的数量积的坐标表示，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）（i）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程x2+2y2=4，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得斜率k，进而得到所求直线方程；（ii）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）（i）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，①由，可得（x2，y2﹣1）=（﹣x1，（1﹣y1）），即有x2=﹣x1，②②代入①，可得k=±，即有直线l的方程为y=±x+1：（ii）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．下面证明：对任意直线l，均有．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+==2k，已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），又k AQ===k﹣，k QB′===﹣k+=k﹣，∴k AQ=k QB′，即Q、A、B'三点共线，∴===．故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．15．（2016•泰州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O 的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．。

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m≠0），求直线l的斜率．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k OD为直线OD的斜率，求证：k•k OD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一9．如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．10．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．12．（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值（2）将椭圆（a＞b＞0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．（3）如图，若AB、CD是过椭圆（a＞b＞0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：为定值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一15．已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．（I）若P（），Q（，1），求椭圆C l的方程；（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．16．已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（﹣a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值．（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若K QA+K QB=2与l的斜率无关，求t的值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一17．如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（﹣1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．18．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一19．如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．22．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一23．已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．24．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x2=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一25．已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值和最小值．26．设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一27．已知椭圆的左焦点F1（﹣1，0），长轴长与短轴长的比是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：为定值．28．已知椭圆的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线（称为椭圆的右准线）于P，Q两点．（1）若当θ=30°时有，求椭圆的离心率；（2）若离心率e=，求证：为定值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一29．已知点P在椭圆C：（a＞b＞0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6﹣|PF2|，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．30．如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一。