2019版高中数学全程学习方略配套课件第二章 阶段复习

3.求抛物线标准方程 需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及 一个定形条件（即已知p）．
4.几个注意点 （1）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件， 如双曲线有c2=a2+b2，椭圆有a2=b2+c2. （2）“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨
迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，
3 a 2
【归纳】解答本题的注意点. 提示：解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对 椭圆及双曲线定义的理解.
直线与圆锥曲线 【技法点拨】 1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路 直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解
的讨论，即联立方程组
Ax By C 0, 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋ 0, f（x, y）
已知点 P(0, 3 ) 到这个椭圆上点的最远距离为 7，求这个椭圆方
2
2
程，并求椭圆上到点P的距离为 7 的点的坐标.
x 2 y2 【解析】设椭圆方程为 2 2 （ 1 a＞b＞0） , a b c 3 3 e , c2 a 2 , a 2 4 x 2 y2 2 2 2 由a =b +c 得a=2b,故椭圆方程可化为 2 2 （ 1 b＞0） , 设M（x,y） 4b b
在，说明理由.
x 2 y2 【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为 2 2 （ 1 a＞b＞0） , a b
且可知左焦点为F′（-2,0）.
c2 从而有 ｜AF｜｜ AF ｜ 3 5 8, 2a c 2, 解得 a 4,
又a2=b2+c2,所以b2=12,
bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0和a≠0两种情况，对 双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ ＝0外， 直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重 合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情 况).

a n1 a n2
a1
（4）构造数列法，利用数列的递推公式，构造一个新的数列 （等差或等比数列）由新数列的通项公式求得原数列的通项 公式. （5）利用Sn求an. 如果给出的条件是an与Sn的关系式，可利用 an SS1nSn1((nn21)) 来求.
【特别提醒】在利用Sn求得an后，要特别注意验证当n=1时是 否合适,若不合适，则通项公式an在最后书写时,要分段写出.
【例5】已知数列{an},{bn}满足：a1=1,a2=k(k为常数)，且 bn=an·an+1，其中n∈N*. (1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的表达式. (2)若{bn}是等比数列，探求数列{an}是否为等比数列？并说明理 由. 【审题指点】由题目可知数列{an}的前两项以及an与bn的递推关 系，在（1）、（2）所具有的前提条件下，可利用等比数列的定 义来解决，在运用公式时一定要注意k和公比的取值讨论.
【规范解答】(1)因为(an+1-an)g(an)+f(an)=0,
g(an)=4(an-1),f(an)=(an-1)2,
所以(an-1)(3an-4an+1+1)=0,
又a1=2,则an≠1,∴an+1=34
an
1 4
.
（2）因为 an1
1
3 4
anBiblioteka 1 413 4
a
n
1
3.
an 1
an 1
an 1 4
分类讨论思想 【名师指津】分类讨论思想在数列中的运用
数列中的分类讨论常出现在等比数列中，这是因为等比 数列的公比不能为0，且前n项和是一个分段函数，当q=1和 q≠1时，求和公式不同.

解析：由映射的定义，A 中任取一个元素 x，B 中都有唯一确 定的 f(x)对应知①②错．
答案：C
2．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析：由题意得xx＋－11>≠00，， 所以xx>≠－1，1， 选 C. 答案：C
悟·技法 1.分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代 入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求 值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 2.分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A，B A，B 是两个非空数集
A，B 是两个①非空集合
按照某种确定的对应关系 f， 按某一个确定的对应关系 f，
对应关系 f： 对于集合 A 中的②任意一个 对于集合 A 中的④任意一个
A→B 数 x，在集合 B 中有③唯一确 元素 x，在集合 B 中都有⑤唯
将 f(1x)＝2fxx－1 代入 f(x)＝2f(1x) x－1 中， 可求得 f(x)＝23 x＋13.
悟·技法 求函数解析式常用的方法
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式．
解析：法一：∵f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1， 又 x＋1≥1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：设 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝t－1，x＝(t－1)2， ∵f( x＋1)＝x＋2 x， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 即 f(x)＝x2－1(x≥1)．

2.函数 y＝ax(a＞1)， y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)的增长速度比 较 (1)指数函数 y＝ax 和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无 论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn，但由于 y＝ ax 的增长速度快于 y＝xn 的增长速度，因此总存在一个 x0，当 x＞x0 时有 ax＞xn. (2)对于对数函数 y＝logax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0， ＋∞)，尽管在 x 的一定范围内可能会有 logax＞xn，但由于 y＝logax 的增长速度慢于 y＝xn 的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个 实数 x0，使 x＞x0 时，logax＜xn. (3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数， 但由于它们增长速度不同， 而且不在同一个“档次上”， 因此在(0， ＋∞)上随 x 的增大， 总会存在一个 x0， 当 x＞x0 时， 有 ax＞xn＞logax.
二、必明 2●个易误点 1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函 数定义域． 2．在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果 对实际问题的合理性．
[小题热身] 1．某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%， 则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A．减少 7.84% B．增加 7.84% C．减少 9.5% D．不增不减
解析： (1)当 x≤6 时， y＝50x－115， 令 50x－115>0， 解得 x≥2.3， ∵x 为整数，∴3≤x≤6. 当 x>6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115>0，有 3x2－68x＋115<0，结合 x 为整数得 6<x≤20. 50x－1153≤x≤6，x∈Z 故 y＝ 2 －3x ＋68x－1156<x≤20，x∈Z.

解析：由函数 f(x)是周期为 2 的奇函数
得
2 f(
0516)＝f(65)＝f(－45)＝－f(45)＝－lg
95＝lg
59，
故 f(20516)＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.
答案：1
考向三 函数性质的综合应用 [分层深化型]
[例 2] (2017·新课标全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)单调递
∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝f11＝－15.
悟·技法 函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数的周期性只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可 证明函数是周期函数，且周期为 T. (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数 的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期， 则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期.
件．
2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝－f(x0)、 f(－x0)＝f(x0)．
[小题热身]
1．(2018·安徽江南十校联考)设 f(x)＝x＋sinx(x∈R)，则下列说 法错误的是( )
减，且为奇函数．若 f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值
范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
解析：∵ f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴ f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴ －1≤x－2≤1， ∴ 1≤x≤3. 答案：D

[同类练]——(着眼于触类旁通) 2．若本例中的函数改为 f(x)＝x2－2ax，其他不变，应如何求解？
解析：∵f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为 x＝a. (1)当 a<0 时，f(x)在[0,1]上是增函数， ∴f(x)min＝f(0)＝0. (2)当 0≤a≤1 时，f(x)min＝f(a)＝－a2. (3)当 a>1 时，f(x)在[0,1]上是减函数， ∴f(x)min＝f(1)＝1－2a.
[知识重温]
一、必记 3●个知识点 1．二次函数的解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐 标．
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1、x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标．
2．二次函数的图象与性质
所以必有a－>a0＝－1 ， 解得 a＝1. 因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
考向三 二次函数的图象与性质
[分层深化型] [例 2] 已知函数 f(x)＝ax2－2x(a>0)，求函数 f(x)在 x∈[0,1]上 的最小值．
解析：因 a>0，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向上，且对称 轴为 x＝1a.
举例
过(0,0)，(1,1) 下凸 递增
y＝x2
过(0,0)，(1,1) 上凸
递增
y＝x
1 2
过(1,1)
下凸
递减
y＝x－1，y＝x

1 2
考向二 求二次函数的解析式
[互动讲练型]
[例 1] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x) 的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．

二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
[知识重温]
一、必记 4●个知识点 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1)
常用对数
底数为 10
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三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。

6.抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论. (1)y2=2px(p>0)中,|AB|=_x_1_+_x_2+_p_. (2)y2=-2px(p>0)中,|AB|=-x1-x2+p. (3)x2=2py(p>0)中,|AB|=_y_1_+_y_2+_p_. (4)x2=-2py(p>0)中,|AB|=-y1-y2+p.
F1,F2为焦点且∠F1PF2=α,则△PF1F2为焦点三角形(如
图).
(1)焦点三角形的面积 S b2tan . 2
(2)焦点三角形的周长L=2a+2c.
3.双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时,最简单实用的
办法是:把标准方程中的1换成0,即可得到两条渐近线的
第二课 圆锥曲线与方程
【体系构建】
【核心速填】 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性 质
椭圆
平面内与两个定 点F1,F2的距离 定义 之和等于常数 (大于|_F_1_F_2_|_) 的点的轨迹
双曲线
平面内与两个 定点F1,F2的距 离的差的绝对 值于_于_等__|零__F于__1)F__2常_的|_且数_点_大(的_小_ 轨迹
ab
可设为
x2 a2

y2 b2
(
0)
4.共轭双曲线
(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线.
(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距.
(3)与 x2 y2 1 具有相同渐近线的双曲线系方程为
a2 b2
x2 a2

y2 b2
k(k 0).
5.抛物线方程的设法 对顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线方程,一般可 设为y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).

[知识重温]
一、必记 2●个知识点
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D
上的任意两个自变量的值 x1，x2.
定 义
当 x1<x2 时，都有 ①f(x1)<f(x2)，那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函
数；
当 x1<x2 时，都有②f(x1)>f(x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上
即 y＝－－xx－＋1122＋＋22，，xx≥<00. ， 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log u 与 u＝x2－3x 1 2
＋2 的复合函数． 令 u＝x2－3x＋2>0，则 x<1 或 x>2. ∴函数 y＝log (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
法二：y＝xx＋ ＋21＝1＋x＋1 1. ∵y＝x＋1 在(－1，＋∞)上是增函数， ∴y＝x＋1 1在(－1，＋∞)上是减函数， ∴y＝1＋x＋1 1在(－1，＋∞)上是减函数． 即函数 y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上单调递减.
悟·技法 判断或证明函数的单调性的 2 种重要方法及其步骤
[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能 用“或”联结.
[变式练]——(着眼于举一反三) 2．求出下列函数的单调递增区间． (1)f(x)＝|x2－4x＋3|； (2)f(x)＝ 3－12x－x2；
(3)f(x)＝13 2x2－3x＋1 .

解析：(1)由已知得 f(x)的定义域为 x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋2 ＝a＋x2x.
当 a＝－4 时，f′(x)＝2x－x 4. ∴当 0<x<2 时，f′(x)<0，即 f(x)单调递减；当 x>2 时，f′(x)>0， 即 f(x)单调递增． ∴f(x)只有极小值，且在 x＝2 时，f(x)取得极小值 f(2)＝4－4ln 2， 无极大值．
解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh＝200πrh 元， 底面的总成本为 160πr2 元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)
元．又根据题意得 200πrh＋160πr2＝12 000π，所以 h＝51r(300－4r2)， 从而 V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．由 h＞0，且 r＞0 可得 0＜r＜5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)．
(2)∵f′(x)＝a＋x2x， ∴当 a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即 f(x)在 x∈(0，＋∞)上单 调递增，没有最小值；
当 a<0 时，由 f′(x)>0 得，x>－a2，∴f(x)在－a2，＋∞上单调递 增；由 f′(x)<0 得，0<x<－a2，∴f(x)在0，－a2上单调递减．
已知函数极值求参数的值(或取值范围)时，通常是利用函数的 导数在极值点处的函数值等于零建立关于参数的方程；也可以求出
参数的极值(含参数)，利用极值列方程；或根据极值的情况，列出 关于参数的不等式(或组)．
已知函数最值求参数的值(或取值范围)，通常是求出函数最值 (含参数)，然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于参数的不 等式(或组)求解．
＋∞)，

3．已知实数 a>1,0<b<1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的
区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)C． Nhomakorabea0,1)
D．(1,2)
解析：∵a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0) ＝1－b>0，由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取 值范围是(_3_，__＋__∞__)；
(2)(2018·长春市高三质检)已知函数 f(x)为偶函数且 f(x)＝f(x－
4)，又在区间[0,2]上 f(x)＝－x2－32x＋5，0≤x≤1 2x＋2－x，1<x≤2
[知识重温]
一、必记 4●个知识点 1．函数的零点的概念 对于函数 y＝f(x)，x∈D，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y ＝f(x)，x∈D 的零点． 2．方程的根与函数的零点的关系 由函数的零点的概念可知，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．所以 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y ＝f(x)有零点．
[小题热身]
1．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2－
ax 的零点是( )
A．0,2
B．0，12 C．0，－12 D．2，－12
解析：∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为 0 和－12. 答案：C
2．已知函数 y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：

2．若幂函数

f(x)的图象过点

22，21，则函数
g(x)＝exf(x)的单
调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
解析：设幂函数
f(x)＝xα，因为图象过点

22，21，所以12＝
2
2

α，α＝2，所以 f(x)＝x2，故 g(x)＝exx2，令 g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2
(3)若 a<0，则由 f′(x)＝0 得 x＝ln－a2. 当 x∈(－∞，ln－a2)时，f′(x)<0； 当 x∈(ln－a2，＋∞)时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－∞，ln(－a2))上单调递减， 在(ln－a2，＋∞)上单调递增．
悟·技法 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)确定函数 y＝f(x)的定义域． (2)求导数 f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内 的一切实根． (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定 义区间分成若干个小区间． (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定的数在每个 相应区间内的单调性.
解析：设 f′(x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1， x2，x3，x4，当 x<x1 时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x1<x<x2 时，f′(x)<0， f(x)为减函数，则 x＝x1 为极大值点，经过类似分析可知，x＝x3 为 极大值点，x＝x2，x＝x4 为极小值点．
[变式练]——(着眼于举一反三)